Как найти неправильную несократимую дробь

Данная статья посвящена рассмотрению сократимых и несократимых дробей. Приведем примеры, дадим определения сократимых и несократимых дробей. Выясним, как определить, можно ли сократить конкретную дробь.

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби вида ab можно разделить на сократимые и несократимые. Разделение объясняется соответственно наличием или отсутствием общих для числителя и знаменателя дроби делителей. Приведем определения.

Обыкновенная сократимая дробь – такая дробь, для числителя и знаменателя которой существует положительный общий делитель, отличный от единицы.

Обыкновенная несократимая дробь – такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть имеют единственный общий положительный делитель, равный единице.

Приведем примеры сократимых и несократимых дробей.

Проверка дроби на сократимость

Часто с первого взгляда на конкретную дробь сложно сказать, является она сократимой или несократимой. Конечно, исключения составляют простые случаи, когда по признакам делимости сразу можно выявить общий делитель числителя и знаменателя.

К примеру, по признаку делимости на 10 сразу можно сказать, что дробь 470540 сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель, равный 10. Так же, дробь 384428 является сократимой по признаку делимости на 2. 

Но как быть с более сложными случаями, когда признаки делимости не могут помочь? Например, когда нужно узнать, сократима ли дробь 288329342439. Для таких случаев существует общий метод проверки дроби на сократимость.

Посмотрим на практическое применение этого правила.

В математических выкладках, если при вычислениях получилась сократимая дробь, принято производить ее сокращение и записывать в виде несократимой дроби.

В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида , которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно просты^[1], то есть не имеют общих делителей, кроме . Например, дробь несократима, а можно сократить:

Обыкновенные дроби[править | править код]

Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида где  — целое число, а  — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:

Для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель^[2] НОД Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

Вариации и обобщения[править | править код]

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.

Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида где — целые числа. Делителей единицы четыре: Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить^[3], что дробь может быть сокращена до (уже несократимой)

Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.

Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце^[4]. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида , где , — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:

У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Reduced Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.

Правила проверки дроби на сократимость

В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.

Например, легко увидеть, что дробь $frac{230}{450}$ сократима, т.к. ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $10$. Или с помощью признака делимости на $2$ можно утверждать, что дробь $frac{368}{6824}$ сократима.

В более сложных случаях с помощью признаков делимости сложно выяснить, сократима ли данная дробь. Например, сложно определить, сократима дробь $frac{240671}{357893}$. В таких случаях удобно использовать общий метод проверки дроби на сократимость.

Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость

Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:

• если $НОД=1$, то дробь является несократимой;
• если $НОДne 1$, то дробь является сократимой.

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Например, сократим обыкновенную дробь $frac{7}{21}$ на $7$, т.к. $7div 7=1$ и $21div 7=3$. В результате сокращения получим дробь $frac{1}{3}$, для которой $frac{7}{21}=frac{7cdot 1}{7cdot 3}=frac{1}{3}$.

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Обычно дроби сокращают для получения несократимых дробей, которые равны исходным сократимым дробям. Несократимую дробь можно получить в результате сокращения исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя — наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.

Дробь $frac{a:НОДleft(a, bright)}{b:НОДleft(a, bright)}$ — несократимая, т.к. $a:НОДleft(a, bright)$ и $b:НОДleft(a, bright)$ — взаимно простые числа.

Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.

Правило сокращения дробей

1. Найти НОД числителя и знаменателя дроби.

2. Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.

Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ textit{разложения дроби на простые множители}, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.

Также можно использовать еще один способ сокращения дроби — последовательное сокращение. Т.е. на каждом шаге проводят сокращение дроби на общий делитель числителя и знаменателя, который легко определяется, например, по признакам делимости.