Как найти неравенство парабола

Квадратные неравенства — коротко о главном

Квадратичная функция–это функция вида: ( displaystyle fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0), ( displaystyle ane 0)

График квадратичной функции – парабола. Её ветви направлены вверх, если ( displaystyle a>0), и вниз, если ( displaystyle a<0):

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси ( Ox).

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ( Ox).

Виды квадратных неравенств

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

( displaystyle left. begin{array}{l}a{{x}^{2}}+bx+c ge 0\a{{x}^{2}}+bx+c>0\a{{x}^{2}}+bx+cle 0\a{{x}^{2}}+bx+c<0end{array} rightrangle ane 0)

Алгоритм решения квадратных неравенств:

1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства ( >,text{ }<,text{ }ge ,text{ }le ) на знак равенства «( displaystyle=)»).

Пример:

( 2{{x}^{2}}+x-3ge 0)

( 2{{x}^{2}}+x-3=0)

2) Найдём корни этого уравнения:

( {{x}_{1}}=-frac{3}{2};text{ }{{x}_{2}}=1)

3) Отметим корни на оси ( Ox) и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)

4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим «( +)», а там где ниже – «( —)».

5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) «( +)» или «( —)», в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое — не входят.

( xin left( -infty ;-frac{3}{2} right]cup left[ 1;+infty right))

А теперь еще раз тоже самое но более сжато (то есть на языке математики)

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет её график.

Квадратичная функция – это функция вида ( fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c=0), ( ane 0)

Другими словами, это многочлен второй степени.

График квадратичной функции – парабола (помнишь, что это такое?)

• если ( a>0), то ветви параболы направлены вверх;
• если ( a<0), то ветви параболы направлены вниз.

Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вверх, функция при всех значениях Х принимает лишь положительные значения.

Если парабола не пересекает ось Х и ее ветви направлены вниз – лишь отрицательные.

В случае, когда у уравнения (( 1)) ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси ( Ox):

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при ( a>0) функция неотрицательна ( left( f(x) ge 0 right)) при всех ( x), а при ( a<0) – неположительна ( left( f(x) le 0 right)).

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где – меньше:

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое — не входят.

Если корень только один, – ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, всё зависит только от коэффициента ( a): если ( a>0), то всё выражение больше 0, и наоборот.

Ну что, уловил? Тогда давай смотреть примеры!

Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

Суть графического метода

Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции y=f(x) и y=g(x), их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:

Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥) и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать  y=a·x2+b·x+c (при этом f(x)=a·x2+b·x+c), а правая y=0 (при этом g(x)=0).

Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс Ох. Проанализируем положение параболы относительно оси Ох. Для этого выполним схематический рисунок.

Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена

Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось Ох в точках x1 и x2. Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, что указывает на наличие двух корней у квадратного трехчлена a·x2+b·x+c . Корни трехчлена мы обозначили как x1 и x2, причем приняли, что x1<x2, так как на оси Ох изобразили точку с абсциссой x1 левее точки с абсциссой x2.

Части параболы, расположенные выше оси Ох обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

Красным мы отметили промежутки (−∞, x1) и (x2, +∞), на них парабола выше оси Ох. Они являются решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0. Синим мы отметили промежуток (x1, x2), который является решением неравенства a·x2+b·x+c<0. Числа x1 и x2 будут отвечать равенству a·x2+b·x+c=0.

Сделаем краткую запись решения. При a>0 и D=b2−4·a·c>0 (или D’=D4>0 при четном коэффициенте b) мы получаем:

• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (−∞, x1)∪(x2, +∞) или в другой записи x<x1, x>x2;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≥0 является (−∞, x1]∪[x2, +∞) или в другой записи x≤x1, x≥x2;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c<0 является (x1, x2) или в другой записи x1<x<x2;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≤0 является [x1, x2] или в другой записи x1≤x≤x2,

где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена a·x2+b·x+c, причем x1<x2.

Решение с одним корнем у квадратного трехчлена

На данном рисунке парабола касается оси Oх только в одной точке, которая обозначена как x0. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a>0. D=0, следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень x0.

Парабола расположена выше оси Oх полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки  (−∞, x0), (x0, ∞).

Запишем результаты. При a>0 и D=0:

• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (−∞, x0)∪(x0, +∞) или в другой записи x≠x0;
• решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R;
• квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox);
• квадратное неравенство a·x2+b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x0 (его дает точка касания),

где x0 – корень квадратного трехчлена a·x2+b·x+c.

Решение квадратного трехчлена, не имеющего корней

Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси Ox. Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a>0. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как D<0.

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств  a·x2+b·x+c>0 и a·x2+b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x2+b·x+c<0 и a·x2+b·x+c≤0 не имеют решений.

Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на −1 мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при х2.

Алгоритм решения неравенств с использованием графического способа

Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая Oх и парабола, которая отвечает квадратичной функции y=a·x2+b·x+c. Ось Oу мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси Oх. Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство,
давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.

Потренируемся определять тип неравенства на примерах.

Неравенство	Тип
x − 7 < 0	линейное
x2 + 5x ≥ 0	квадратное
2x − 7 > 5	линейное
x2 + x − 12 ≤ 0	квадратное

Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать
линейные неравенства.
Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать
этот метод и почему он получил такое название.

Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения
квадратного неравенства по алгоритму выше.

Требуется решить квадратное неравенство.

x² + x − 12 < 0

Итак, согласно п.1 мы должны перенести
все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль.
В заданном неравенстве
«x² + x − 12 < 0» ничего дополнительно делать не требуется,
так как в правой части и так уже стоит ноль.

Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед «x²»
стоял положительный коэффициент. В неравенстве
«x² + x − 12 < 0»
при «x²» стоит положительный коэффициент «1»,
значит, снова нам ничего делать не требуется.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси

разным образом.

Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов.
Справа налево чередуя, начиная с «+», отметим знаки.

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ.
Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве
«x² + x − 12 < 0»,
значит, нам требуются отрицательные интервалы.
Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами
«−4» и «3», поэтому
запишем его в ответ в виде двойного неравенства
−4 < x < 3.

Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

Ответ: −4 < x < 3

Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами,
метод интервалов и получил свое название.

После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4 < x < 3
и подставим его вместо «x» в исходное неравенство.
Если мы получим верное неравенство,
значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

Возьмем, например, из интервала число «0». Подставим его в исходное неравенство
«x² + x − 12 < 0».

x² + x − 12 < 0

0² + 0 − 12 < 0

−12 < 0

(верно)

Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

Краткая запись решения методом интервалов

Сокращенно запись решения квадратного неравенства
«x² + x − 12 < 0»
методом интервалов будет выглядеть так:

x² + x − 12 < 0

x² + x − 12 = 0

x_1;2 =

−1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 = −4	x2 = 3

Ответ: −4 < x < 3

Другие примеры решения квадратных неравенств

Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

2x² − x ≥ 0

В правой части неравенство уже стоит ноль. При «x²»
стоит «2» (положительный коэффициент), значит можно сразу переходить
к поиску корней.

2x² − x ≥ 0

2x² − x = 0

x_1;2 =

−(−1) ± √(−12) − 4 · 2 · 0

2 · 2

x_1;2 =

x_1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 =	x2 = 0

Ответ: x ≤ 0;    x ≥

---

Рассмотрим пример, где перед «x²» в квадратном неравенстве стоит
отрицательный коэффициент.

−x² − 3x + 4 ≥ 0

По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы
перед «x²» стоял положительный
коэффициент. Для этого умножим все неравенство на «−1».

            −x² − 3x + 4 ≥ 0 | ·(−1)
x² + 3x − 4 ≤ 0

Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

x² + 3x − 4 ≤ 0

x² + 3x − 4 = 0

x_1;2 =

−3 ± √32 − 4 · 1 · (−4)

2 · 1

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x2 =	x1 =
x2 =	x1 =
x2 = −4	x1 = 1

В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это
«x² + 3x − 4 ≤ 0».

Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком «−».

Ответ: −4 ≤ x ≤ 1

---

К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше.
Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке
«Квадратные неравенства
с одним корнем или без корней».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Продолжим разбираться с решением неравенств.

В прошлой статье подробно рассмотрели решение линейных неравенств.

Какие неравенства называют квадратными?

Это неравенства, содержащие в левой части квадратный трехчлен, а в правой – “0”

Где, a≠0. Т.к. при a=0 получим конечно же линейное неравенство.

Напомню, неравенство, содержащее знак “><” называется строгим, содержащее “≥≤” – нестрогим.

Рассмотрим в качестве примера два неравенства.

1. Приводим к стандартному виду

Если первое неравенство в условии уже записано в стандартном виде (левая часть неравенства квадратный трехчлен, правая част – нуль), то второе неравенство необходимо привести к такому виду.

2. Находим корни уравнения, полученного приравниванием левой части нулю

Тут на дзене возникал вопрос про “корни”.

Нахождение корней уравнения и извлечение корня – это разные математические понятия. Так что не путайте !

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень, с помощью которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Будем искать КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ, т.е. число при котором левая часть окажется равна нулю. Обычно пользуются формулами или подбором корней по обратной теореме Виета.

Здесь покажу расчет по формулам.

3. Отмечаем найденные корни на числовой прямой

4. Проводим условно “параболу” через точки на прямой

Направление веток параболы определяется коэффициентом “а”, входящим в квадратный трехчлен левой части неравенства.

В первом неравенстве а=1>0,

во втором неравенстве а=-5<0.

5. Выбираем интервалы, являющиеся решением неравенства

Теперь еще раз посмотрим на знак неравенства. Если знак “меньше нуля”, то выбираем интервалы, где функция расположена ниже числовой прямой. Если знак “больше нуля”, то выбираем интервалы, где парабола находится выше числовой прямой.

6. Записываем ответ

А вот в какие скобки заключены интервалы кратко можно пояснить так:

“> → ○→(“

“≥→●→[“

Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)