Как найти неравенство с одним неизвестным

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для
сравнения величин.

Символ Название Тип знака
> больше строгий знак
(число на границе не включается)
< меньше строгий знак
(число на границе не включается)
больше или равно нестрогий знак
(число на границе включается)
меньше или равно нестрогий знак
(число на границе включается)

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство
отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой
знак сравнения: «>», «<»,
«» или «».

Запомните!
!

Линейным
неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

x − 6 < 8

Так как в неравенстве «x − 6 < 8»
неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Как решить линейное неравенство

Важно!
Галка

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное
в первой степени с
коэффициентом «1».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях,
в неравенствах можно переносить
любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Запомните!
!

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на
противоположный.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x 6 < 8
x < 8 + 6
x < 14

Итак, мы получили ответ к неравенству «x < 14». Но что означает такой
ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить,
понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

число 14 на числовой оси

Запомните!
!

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x < 14» все решения неравенства, то есть область
слева от числа «14».

ответ неравенства

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство
«x − 6 < 8»
даст верный результат.

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его
вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 < 8».

подставим число в неравенство

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Важно!
Галка

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство
дают верный результат.

Решением неравенства
называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x < 14» можно понимать так: любое число из
заштрихованной области (то есть любое число меньшее
«14») будет являться решением неравенства
«x − 6 < 8».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x»
стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую,
и правую часть на число «2».

Запомните!
!

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

  • Если неравенство умножается (делится) на положительное число,
    то
    знак самого неравенства остаётся прежним.
  • Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число,
    то
    знак самого неравенства меняется на противоположный.

Разделим «2x > 16» на «2».
Так как «2» —
положительное число, знак неравенства останется прежним.


          2x > 16     | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)      
x > 8        

ответ неравенства 2x - 16 > 0
Ответ: x > 8


Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x ≥ 0

Используем правило переноса.

9 − 3x ≥ 0
−3x ≥ −9

Разделим неравенство на «−3».
Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.


−3x ≥ −9
                   −3x −9      | :(−3)
−3x : (−3) −9 :(−3)
x ≤ 3

ответ неравенства -3x ≥ -9
Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

16 ноября 2021 в 16:44

Алина Кирщина
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Алина Кирщина
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Как правильно написать «больше 15» символом? <15 или >15?

0
Спасибоthanks
Ответить

24 ноября 2021 в 12:56
Ответ для Алина Кирщина

Борис Гуров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 1

Сообщений: 28

(^-^)
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1

Сообщений: 28


> 15   Острый конец символа «птичка» > смотрит в сторону меньшего числа

Еще можно запомнить, как что где больше вершин у символа «птички», там большее число находится. У символа > слева две вершины, а справа одна, значит слева находится большее число.

0
Спасибоthanks
Ответить

29 ноября 2021 в 7:32
Ответ для Алина Кирщина

Фархад Асланов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Фархад Асланов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1


>15

0
Спасибоthanks
Ответить

5 марта 2020 в 23:01

Лина Недзвецкая
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Лина Недзвецкая
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Решите неравенство:
log3 

 ≤1

0
Спасибоthanks
Ответить

20 августа 2020 в 1:16
Ответ для Лина Недзвецкая

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


 0 < (3x − 5)/(x+1) ≤ 3. 
(3x − 5)/(x+1) > 0   ⇔   x < − 1  ∪  x > 5/3;
(3x − 5)/(x+1)  ≤ 3   ⇔  8/(x+1) ≥ 0   ⇔   x > − 1.
{(−∞;  −1) ∪  (5/3; +∞)} ∩ (−1; +∞) =  (5/3; +∞).

0
Спасибоthanks
Ответить

17 июля 2016 в 15:37

Sergey Gurzhiy
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Sergey Gurzhiy
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Решите неравенство
2^3-6x<1

0
Спасибоthanks
Ответить

21 сентября 2016 в 13:44
Ответ для Sergey Gurzhiy

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


Странно, что для 11класса, но всё же:

23 ? 6x<1
8 ? 6x<1
? 6x< ? 7
x>

1
Спасибоthanks
Ответить

6 июня 2016 в 17:05

Катя Петрова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Катя Петрова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0
Спасибоthanks
Ответить

7 июня 2016 в 2:49
Ответ для Катя Петрова

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


Пусть  2= y > 0.
Неравенство можно записать в виде 
   ? 0.  
Откуда  y = 2 или  8 ? y < 9.
Стало быть,  x = 1 или  3 ? x < log29.


0
Спасибоthanks
Ответить

7 июня 2016 в 13:11
Ответ для Катя Петрова

Хачик Казанджян
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Хачик Казанджян
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1


Форум задачиРешение:Пусть    y=2x ,  y>0Тогда    y3 ? 3y2 + ?32;     y3-3y2+?0 
-Tак как y>0, то сокращаем на y и преобразуем к виду ?0    или ?0Следовательно,   y=2 или (8?y<9)
Учитывая, что y=2x получим  x=1 или (3?x<log29) Ответ:   (x=1)?(3?x<log2). или так  {1?[3;log29)}

0
Спасибоthanks
Ответить

8 июня 2016 в 12:10
Ответ для Катя Петрова

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60


Списывать нехорошо.

0
Спасибоthanks
Ответить

5 мая 2016 в 10:09

Влада Навдушевич
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Влада Навдушевич
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Как решить неравенство (х^2-4х+3)/(х^4-х^6) < или = 0

0
Спасибоthanks
Ответить

8 июня 2016 в 12:28
Ответ для Влада Навдушевич

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

 (x — 1)(x — 3)
x4(1 — x)(1 + x) 

 ? 0.
и метод интервалов.
Ответ: (-oo; -1) U [3; +oo).

0
Спасибоthanks
Ответить

3 августа 2015 в 16:54

Надие Рахимова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Надие Рахимова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

область решения неравенства (х-4)>3х равна? решить

0
Спасибоthanks
Ответить

31 августа 2016 в 10:31
Ответ для Надие Рахимова

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197


(x-4)>3x
x-4-3x>0
-4-2x>0
2x+4<0
2x<-4
x<-2

Проверка: Возьмём число меньшее -2, например -3
-3-4>-3 · 3
12>-9 Верно.
Ответ: x<-2

0
Спасибоthanks
Ответить


После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства <, ≤, ≥, а и b являются действительными числами, где a≠0.

Определение 2

Неравенства a·x<c или a·x>c, с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0, тогда строгое неравенство вида 0·x>c и 0·x<c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a·x≤c, a·x≥c. Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

  • форме записи a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором;
  • допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 – в первом, и a=0 – во втором.

Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай а=0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-2<0 являются примерами линейных неравенств.  А неравенства такого плана, как 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x<p (≤, >, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a<p (≤, >, ≥) при а=0.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b<0 (≤, >, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0

  • число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x<−b (≤, >, ≥);
  • будет производиться деление обеих частей неравенства  на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3·x+12≤0;  3·x≤−12;  x≤−4.

Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

−2,7·z>0; z<0.

Ответ: z<0 или (−∞, 0).

Пример 3

Решить неравенство -5·x-1522≤0.

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x, которое равняется -5, с коэффициентом b, которому соответствует дробь -1522. Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести -1522 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на -5, изменить знак неравенства:

-5·x≤1522;-5·x:-5≥1522:-5x≥-322

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 1522:-5=-1522:5, после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число -1522:5=-1522·15=-15·122·5=-322.

Ответ: x≥-322 и [-322+∞).

Рассмотрим случай, когда а=0. Линейное выражение вида a·x+b<0 является неравенством 0·x+b<0, где на рассмотрение берется неравенство вида b<0, после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b<0, потому что при подстановке любого t вместо переменной x, тогда получаем 0·t+b<0, где b<0. В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b<0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

Определение 5

Числовое неравенство вида b<0 (≤, >, ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0·x+7>0.

Решение

Данное линейное неравенство 0·x+7>0 может принимать любое значение x. Тогда получим неравенство вида 7>0. Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ: промежуток (−∞, +∞).

Пример 5

Найти решение неравенства 0·x−12,7≥0.

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид −12,7≥0. Оно является неверным. То есть 0·x−12,7≥0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0·x+0>0 и 0·x+0≥0.

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0>0 и 0≥0. Первое является неверным. Значит, 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ: неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0. Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Определение 6

Метод интервалов – это:

  • введение функции y=a·x+b;
  • поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
  • определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 с помощью метода интервалов:

  • нахождение нулей функции y=a·x+b, чтобы решить уравнение вида a·x+b=0. Если a≠0, тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х0;
  • построение координатной прямой с изображением точки с координатой х0, при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
  • определение знаков функции y=a·x+b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
  • решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство −3·x+12>0.

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения −3·x+12=0. Получаем, что −3·x=−12, x=4. Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4. Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Методом интервалов

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (−∞, 4), необходимо произвести вычисление функции y=−3·x+12 при х=3. Отсюда получим, что −3·3+12=3>0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4, +∞), тогда  подставляем значение х=5. Имеем, что −3·5+12=−3<0. Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Методом интервалов

Мы выполняем решение неравенства со знаком >, причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Методом интервалов

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (−∞, 4) или x<4.

Ответ: (−∞, 4) или  x<4.

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть  на примере 4 линейных неравенства: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0. Их решениями будут значения x<2, x≤2, x>2 и x≥2. Для этого изобразим график линейной функции y=0,5·x−1, приведенный ниже.

Графическим способом

Видно, что

Определение 7
  • решением неравенства 0,5·x−1<0 считается промежуток, где график функции y=0,5·x−1 располагается ниже Ох;
  • решением 0,5·x−1≤0 считается промежуток, где функция y=0,5·x−1 ниже Ох или совпадает;
  • решением 0,5·x−1>0 считается промежуток, гре функция располагается выше Ох;
  • решением 0,5·x−1≥0 считается промежуток, где график выше Ох или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y=a·x+b, а правая – y=0, причем совпадает с Ох.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Определение 8

Построение графика функции y=a·x+b производится:

  • во время решения неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, где график изображен ниже Ох;
  • во время решения неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси Ох или совпадает;
  • во время решения неравенства a·x+b>0 производится определение промежутка, где график изображается выше Ох;
  • во время решения неравенства a·x+b≥0 производится определение промежутка, где график находится выше Ох или совпадает.
Пример 7

Решить неравенство -5·x-3>0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции -5·x-3>0. Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения  координат точки его пересечения с Ох -5·x-3>0 получим значение -35. Изобразим графически.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства.  Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

Ответ: -∞, -35 или x<-35.

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y=0·x+b, то есть y=b. Тогда прямая будет параллельна Ох или совпадающей при b=0. Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y=0·x+7 является y=7, тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной Ох и находящейся выше Ох. Значит, 0·x+7<=0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y=0·x+0, считается y=0, то есть прямая совпадает с Ох. Значит, неравенство 0·x+0≥0 имеет множество решений.

Ответ: второе неравенство имеет решение при любом значении x.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, x-35-2·x+1>27·x.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки  и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5−2·x>0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9
  • раскрыть скобки;
  • слева собрать переменные, а справа числа;
  • привести подобные слагаемые;
  • разделить обе части на коэффициент при x.
Пример 9

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.  Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида. 

В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейное неравенство, чем оно отличается от уравнений, как решается. Также разберем примеры по этой теме.

  • Определение линейного неравенства

  • Решение линейных неравенств

Определение линейного неравенства

Сначала давайте вспомним основные математические знаки, используемые для сравнения.

Символ Название Тип знака
> больше строгий знак, т.е. исключает число на границе
< меньше
больше или равно нестрогий знак, т.е. с числом на границе включительно
меньше или равно

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение, только вместо знака “равно” стоит один из знаков сравнения.

Примечание: неизвестная переменная (чаще всего это “x”) всего одна и указана в первой степени, именно поэтому, неравенство называется линейным.

Например:

  • x + 3 > 7
  • 12 – 2x < 4
  • x (3 + 5) + 11 ≥ 0

Решение линейных неравенств

В целом, чтобы решить линейное неравенство, мы действуем также, как и при решении уравнений. То есть приводим неравенство к следующему виду:

  1. В левой части оставляем и/или переносим все неизвестные, в правой собираем все остальное.
  2. Делим правую часть на левую и получаем решение (если требуется).

Примечание: при переносе элемента из одной части в другую, его знак меняется на противоположный.

Пример 1

x + 3 > 7
x > 7 – 3
x > 4

Полученное решение можно нанести на числовую ось:

Пример решения линейного неравенства на числовой оси

Т.к. знак неравенства строгий (“больше”), число 4 отмечается в виде незакрашенной внутри точки. Все числа, находящиеся справа от четырех (за исключением 4) являются решением нашего неравенства (можно закрасить или заштриховать).

Если неравенство нестрогое, то точку внутри нужно закрасить. Например, x ≥ 4 на оси выглядит так:

Пример решения линейного неравенства на числовой оси

Все числа, находящиеся справа от 4, в том числе, оно само, нам подходят.

Таким образом, решение неравенства – это нахождение множества чисел, подстановка которых в это неравенство дает правильный результат (т.е. это все значения из закрашенной/заштрихованной области на числовой оси).

Пример 2

6x + 8 ≤ 26
6x ≤ 26 – 8
6x ≤ 18
x ≤ 3 (разделили обе части на 6)

Примечание:

Когда мы делим или умножаем неравенство на какое-то число, то:

  • данное действие выполняется для обеих его частей;
  • знак неравенства остается тем же, если число положительное, или меняется на противоположный, если оно отрицательное.

Пример 3

-2x – 6 < -12
-2x < -12 + 6
-2x < -6
x > 3 (разделили обе части на -2)

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x < c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

  • Если знак неравенства строгий > , < , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

  • Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

  • Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Неравенство Графическое решение Форма записи ответа
x < c

x<c

x ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ c

x≤c

x ∈ ( − ∞ ; c ]
x > c

x>c

x ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c

x≥c

x ∈ [ c ; + ∞ )

Алгоритм решения линейного неравенства

  1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

  1. Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.
  • Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .
  • Если a < 0 , то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x ≥ b a .
  1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 − 3 x > 18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    − 3 < 0 ,   знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество    6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15         |     ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3 > 0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ [ − 5 ;     + ∞ )

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 1 ≤ 6 x − 1

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

0 ≤ 0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

    Ответ:

    1. x – любое число
    2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
    3. x ∈ ℝ

    №2. Решить неравенство    x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

    Решение:

    Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

    x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

    − 8 x + 8 x > 48 − 6

    0 > 42

    Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

    Ответ: x ∈ ∅

    Квадратные неравенства

    Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c – некоторые числа, причем   a ≠ 0, x – переменная.

    Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

    Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

    Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

    1. Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .
    1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

    Если знак неравенства строгий > , < , точки будут выколотые.

    Решение квадратного неравенства, знак неравенства строгий

    Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

    Решение квадратного неравенства, знак неравенства нестрогий

    1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x.

    Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

    Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

    Решение квадратного неравенства, знаки на интервалах +-+

    Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

    Решение квадратного неравенства, знаки на интервалах +-+

    Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

    Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

    Решение квадратного неравенства, знаки на интервалах -+-

    Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

    Решение квадратного неравенства, знаки на интервалах -+-

    1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

    Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

    Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

    1. Записать ответ.

    Примеры решения квадратных неравенств:

    №1. Решить неравенство    x 2 ≥ x + 12.

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    x 2 ≥ x + 12

    x 2 − x − 12 ≥ 0

    x 2 − x − 12 = 0

    a = 1, b = − 1, c = − 12

    D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Решение квадратного неравенства x^2≥x+12

    В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

    Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

    Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

    №2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    − 3 x − 2 ≥ x 2

    − x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

    − x 2 − 3 x − 2 = 0

    a = − 1, b = − 3, c = − 2

    D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

    x 1 = − 2, x 2 = − 1

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   − .

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Решение квадратного неравенства -3x-2≥x^2

    Поскольку знак неравенства   ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком   +.

    Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

    Ответ:   x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

    №3. Решить неравенство   4 < x 2 + 3 x .

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    4 < x 2 + 3 x

    − x 2 − 3 x + 4 < 0

    − x 2 − 3 x + 4 = 0

    a = − 1, b = − 3, c = 4

    D = b 2 − 4 a c =   ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

    x 1 = − 4, x 2 = 1

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    − x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Решение квадратного неравенства 4<x^2+3x

    Поскольку знак неравенства   < ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   − .

    Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

    Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

    №4. Решить неравенство   x 2 − 5 x < 6.

    Решение:

    Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

    x 2 − 5 x < 6

    x 2 − 5 x − 6 < 0

    x 2 − 5 x − 6 = 0

    a = 1, b = − 5, c = − 6

    D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

    D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

    x 1 = 6, x 2 = − 1

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 =   44 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Решение квадратного неравенства x^2-5x<6

    Поскольку знак неравенства   < , выбираем в ответ интервал со знаком   -.

    Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

    Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 6 )

    №5. Решить неравенство   x 2 < 4.

    Решение:

    Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

    x 2 < 4

    x 2 − 4 < 0

    x 2 − 4 = 0

    ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0   [ x = 2 x = − 2

    x 1 = 2, x 2 = − 2

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Решение квадратного неравенства x^2<4

    Поскольку знак неравенства   < ,   выбираем в ответ интервал со знаком   − .

    Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

    Ответ:   x ∈ ( − 2 ; 2 )

    №6. Решить неравенство   x 2 + x ≥ 0.

    Решение:

    Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x 2 + x = 0.

    x 2 + x ≥ 0

    x 2 + x = 0

    x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

    x 1 = 0, x 2 = − 1

    Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

    x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    Решение квадратного неравенства x^2+x≥0

    Поскольку знак неравенства   ≥ ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

    В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

    Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

    Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

    Дробно рациональные неравенства

    Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

    f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

    Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

    Примеры дробно рациональных неравенств:

    x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

    Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

    Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

    1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

    f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

    1. Приравнять числитель дроби к нулю   f ( x ) = 0.  Найти нули числителя.
    1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g ( x ) = 0.  Найти нули знаменателя.

    В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

    1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

    Вне зависимости от знака неравенства
    при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые.

    Если знак неравенства строгий,
    при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

    Если знак неравенства нестрогий,
    при нанесении на ось x нули числителя жирные.

    1. Расставить знаки на интервалах.
    1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

    Примеры решения дробно рациональных неравенств:

    №1. Решить неравенство   x − 1 x + 3 > 0.

    Решение:

    Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

    1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f ( x ) g ( x ) > 0.
    1. Приравниваем числитель к нулю  f ( x ) = 0.

    x − 1 = 0

    x = 1 – это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

    1. Приравниваем знаменатель к нулю  g ( x ) = 0.

    x + 3 = 0

    x = − 3 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

    1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

    При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

    1. Расставляем знаки на интервалах.

    Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3   =   2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

    Поскольку знак неравенства   > ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

    В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

    Решение дробно рационального неравенства (x-1)/(x+3)<0

    Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

    №2. Решить неравенство   3 ( x + 8 ) ≤ 5.

    Решение:

    Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

    1. Привести неравенство к виду  f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

    3 ( x + 8 ) ≤ 5

    3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0

    3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

    3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

    3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

    − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

    1. Приравнять числитель к нулю  f ( x ) = 0.

    − 5 x − 37 = 0

    − 5 x = 37

    x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

    x = − 7,4 – ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

    1. Приравнять знаменатель к нулю  g ( x ) = 0.

    x + 8 = 0

    x = − 8 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

    1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

    При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

    1. Расставляем знаки на интервалах.

    Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение  f ( x ) g ( x ) :

    − 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 < 0

    Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   -.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

    Поскольку знак неравенства   ≤ ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   -.

    В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

    Решение дробно рационального неравенства 3/(x+8)≤5

    Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

    №3. Решить неравенство   x 2 − 1 x > 0.

    Решение:

    Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

    1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f ( x ) g ( x ) > 0.
    1. Приравнять числитель к нулю  f ( x ) = 0.

    x 2 − 1 = 0

    ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

    x 1 = 1, x 2 = − 1  – нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

    1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

    x = 0 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

    1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

    При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

    1. Расставляем знаки на интервалах.

    Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение  f ( x ) g ( x ) :

    x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

    Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

    1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

    Поскольку знак неравенства   > ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

    В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

    Решение дробно рационального неравенства (x^2-1)/x>0

    Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

    Системы неравенств

    Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств – это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

    Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

    Пример системы неравенств:

    { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

    Алгоритм решения системы неравенств

    1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
    1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
    1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
    1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

    Примеры решений систем неравенств:

    №1. Решить систему неравенств   { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    2 x − 3 ≤ 5  

    2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

    x ≤ 4 ;

    Графическая интерпретация:

    Решение неравенства 2x-3≤5

    Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

    1. Решаем второе неравенство системы.

    7 − 3 x ≤ 1

    − 3 x ≤ 1 − 7

    − 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ),  поскольку  − 3 < 0,  знак неравенства после деления меняется на противоположный.

    x ≥ 2

    Графическая интерпретация решения:

    Решение неравенства 7-3x<=1

    Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

    1. Наносим оба решения на ось x.

    Решение системы неравенств 2x-3≤=5; 7-3x≤=1

    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

    Ответ:   x ∈ [ 2 ; 4 ]

    №2. Решить систему неравенств   { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    2 x − 1 ≤ 5

    2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

    x ≤ 3

    Графическая интерпретация:

    Решение неравенства 2x-1≤5

    Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

    1. Решаем второе неравенство системы.

    1 < − 3 x − 2

    3 x < − 1 − 2

    3 x < − 3 | ÷ 3 ,  поскольку  3 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

    x < − 1

    Графическая интерпретация решения:

    Решение неравенства 1<-3x-2

    Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

    1. Наносим оба решения на ось x.

    Решение системы неравенств 2x-1≤5; 1<-3x-2

    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

    Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

    №3. Решить систему неравенств   { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    3 x + 1 ≤ 2 x

    3 x − 2 x ≤ − 1

    x ≤ − 1

    Графическая интерпретация решения:

    Решение неравенства 3x+1≤2x-1

    1. Решаем второе неравенство системы

    x − 7 > 5 − x

    x + x > 5 + 7

    2 x > 12 |   ÷ 2 ,  поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

    x > 6

    Графическая интерпретация решения:

    Решение неравенства x-7>5-x

    1. Наносим оба решения на ось x.

    Решение системы неравенств 3x+1≤2x-1; x-7>5-x

    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

    Ответ:   x ∈ ∅

    №4. Решить систему неравенств   { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

    Решение:

    Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

    1. Решаем первое неравенство системы.

    x + 4 > 0

    x > − 4

    Графическая интерпретация решения первого неравенства:

    Решение неравенства x+4>0

    1. Решаем второе неравенство системы

    2 x + 3 ≤ x 2

    − x 2 + 2 x + 3 ≤ 0

    Решаем методом интервалов.

    − x 2 + 2 x + 3 = 0

    a = − 1, b = 2, c = 3

    D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

    D > 0 – два различных действительных корня.

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

    Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

    Решение квадратного неравенства 2x+3≤x^2

    Графическая интерпретация решения второго неравенства:

    Решение квадратного неравенства 2x+3≤x^2

    1. Наносим оба решения на ось x.

    Решение системы неравенств x+4>0; 2x+3<=x^2

    1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

    Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪ .

    Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

    Ответ:   x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

    Скачать домашнее задание к уроку 8.

    В статье мы рассмотрим, что собой представляют линейные неравенства с одной переменной и покажем, какими способами их можно решать.

    Понятие линейного неравенства

    Определение

    Линейными неравенствами с одной переменной называются неравенства, которые можно записать в виде формулы ax + b > 0. Вместо «>» могут быть знаки «<» или «≤», «≥». x – неизвестная переменная. a и b – действительные числа.

    Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства a*x < c либо a*x > c, в которых x – искомая переменная, а a и c некоторые числа. О том, что коэффициент при x может или не может быть равным нулю, ничего не говорится. Это позволяет строгое неравенство 0*x > c и 0*x < c записать в виде 0*x ≥ c и 0*x ≤ c.

    Линейными неравенствами с одной переменой считают неравенства, имеющие вид ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0. Где a и b являются любыми числами, но a не должно равняться нулю. x – искомая переменная.

    Неравенства ax + b > 0 и ax > c считаются равносильными, так как получаются с помощью переноса слагаемого из одной их части в другую. Решения подобных неравенств совпадают.

    Примеры линейных неравенств с одной переменной:

    • -2x + 4 > 0;
    • 3x +1 ≤ 0;
    • 2(x-1) < 2x-4;
    • 3x+1 ≤ 6-3x
    • 3x – 6 > 0.

    Как решать линейные неравенства

    Решением линейного неравенства называют нахождение всех значений переменной x, при которых оно сохраняет свою силу. Самыми распространёнными и результативными способами, с помощью которых удаётся решить подавляющее большинство линейных неравенств являются метод равносильных преобразований, метод интервалов и графический метод. Рассмотрим каждый из них подробнее.

    Решение линейных неравенств с помощью равносильных преобразований

    Применительно к нашему случаю равносильными называются следующие преобразования:

    • Перенос одного и более членов неравенства из одной части в другую. При этом знак переносимого слагаемого меняется на противоположный. В качестве примеров подобного рода неравенств можно привести
      2x − 3 > 6 и 2x > 6 + 3 или 10x – 1 > 3 и 10x > 3 + 1.
    • Деление или умножение обеих частей неравенства на одно положительное число. Знак неравенства при этом остаётся тем же. В качестве примеров можно указать
      2x > 9 и 10x > 45 или -9x > -15 и -3x > -5.
    • Деление или умножение обеих частей неравенства на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом нужно сменить на противоположный. Примеры подобных неравенств следующие 5x < -8 и -10x>16 или  9x +12 > 21 и 3x — 4 < -7.

    Задачи 1 — 2

    Решить: 2x – 9 >3.

    Решение: Видно, что коэффициент при x ненулевой. Это значит, описанные выше преобразования применимы.

    Переносим свободное слагаемое из левой части в правую и получаем 2x > 3+9, 2x > 12

    Разделим обе части на 2. Будем иметь x > 6. Это неравенство равносильно 2x – 9 >3.

    Полученное решение можно записать в виде x > 6 либо [(6,+infty)].

    Скобки круглые т. к. неравенство строгое.

    Ответ: [(6,+infty)].


    Решить: -5x – 8 ≥ 12

    Решение: Коэффициент при x равен -5 т. е. тоже не нулевой, а значит можно решать дальше. Переносим -8 в правую часть и получаем -5x ≥ 12 + 8, -5x ≥ 20.

    Делим обе части на -5. Не забываем, что при этом необходимо будет сменить знак.

    x ≤ -4

    Решение записываем, как x ≤ -4 или (-∞, -4]. Скобка в конце стоит квадратная т. к. x может быть не только меньше, но и равным 4.

    Ответ: (-∞, -4].


    Если числовое неравенство b > 0 («<», «≤», «≥») верно, то исходное неравенство будет иметь своё решение при любом из значений x. Если же оно неверно, то у исходного неравенства решений нет вовсе.


    Задачи 3 — 4

    Решить неравенство: 0*x + 9 > 0.

    Решение: Указанное неравенство равносильно 9 > 0.

    x при этом может принимать совершенно любые значения.

    Решение имеет вид (-∞, ∞).

    Ответ: (-∞, ∞).


    Решить: 0*x + 3 < 0.

    Решение: Данное неравенство сводится к 3 < 0

    Оно является неверным, а значит неравенство решений не имеет.

    Ответ: решений нет.

    У некоторых из читателей возможно появился вопрос, как быть, если и в роли коэффициента при x, и в роли слагаемого выступает ноль. Это неравенства 0*x + 0 < 0, 0*x + 0 > 0, 0*x + 0 ≤ 0, 0*x + 0 ≥ 0. Два первых из них решений не имеют, ведь ноль не может быть больше или меньше самого себя. У двух последних решения есть т. к. любое число равно самому себе, в частности, ноль равен нулю.

    Нет времени решать самому?

    Наши эксперты помогут!

    Решение линейных неравенств методом интервалов

    Он может быть использован лишь тогда, когда коэффициент при x не равен нулю. Последовательность действий при использовании указанного метода следующая:

    1. Находятся нули функции y = ax + b. Для этого, нужно решить уравнение ax + b = 0. При a неравном нулю его решение будет состоять из одного корня x0.
    2. Строится координатная прямая. На ней изображается точка с координатой x0. При строгом неравенстве точку нужно изобразить выколотой. При нестрогом – закрашенной.
    3. На промежутках определяются знаки функции y = ax + b. Если решение неравенства имеет знаки > или ≥, то добавляется штриховка над положительным промежутком. Если решение идёт со знаками если < или ≤, штриховка происходит над отрицательным промежутком.

    Задача 5

    Решить: −6x + 12 > 0 методом интервалов.

    Решение:

    Действуем в соответствии с алгоритмом. Находим корень уравнения − 6x + 12 = 0.

    Делим обе части выражения на -6. Получаем x=2.

    Решение линейного неравенства 1

    Для определения знака на промежутке (−∞, 2) вычисляем функцию y = −6x + 12 при х = 1. Видим, что −6 * 1 + 12
    = 6, 6 > 0, т. е. знак положительный. Определяем, какой знак на промежутке (2, + ∞). Для этого в функцию
    подставляем х = 3. Получаем

    Решение линейного неравенства 2

    Штрихуем положительный промежуток

    Решение линейного неравенства 3

    Из чертежа ясно, что решение нашего неравенства (−∞, 2) или x < 2.

    Ответ: (−∞, 2).

    Решение неравенств графическим способом

    Главное при пользовании этим методом правильно найти промежутки, которые требуется изобразить на графике.

    Действия при пользовании графическим способом следующие:

    • При решении ax + b < 0 определяем промежуток, где график будет ниже оси 0x;
    • При решении ax + b ≤ 0 определяем промежуток, где график либо ниже 0х, либо совпадает с ней;
    • При решении ax + b > 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х;
    • При решении ax + b ≥ 0 определяем промежуток, где график выше оси 0х или совпадает с ней.

    Задача 6

    Решить: −4 * x − √3> 0

    Коэффициент при x отрицательный, значит наша прямая убывающая. Чтобы определить точки её пересечения с осью 0x нужно решить уравнение −4 * x − √3 = 0

    X= -√3/4

    Построим график этого линейного неравенства y=0.

    Решение неравенства графическим способом

    Т. к. у решения неравенства знак >, внимание следует обращать на промежуток выше оси 0x.

    Он находится левее точки -√3/4.

    Видно, что решением неравенства будет (−∞, −√3/4).

    Ответ: (−∞, −√3/ 5).

    Неравенства, сводящиеся к линейным

    При их решении следует использовать такие приёмы, как раскрытие скобок, собирание в левой части неравенства чисел, а в правой переменных, деление обеих частей на коэффициент при x.

    Задача 7

    Решить: 3x + 2 > 2(x + 3) + x.

    Решение: Раскрываем в правой частях скобки 3x + 2 > 2x + 6 + x.

    Переносим члены с иксами в одну сторону, без иксов в другую.

    3x — 2x — x > 6 – 2

    0x > 4

    0 > 4

    Получаем противоречие, т. е. неравенство решения не имеет.

    Ответ: решений нет.

    Добавить комментарий