Как найти несмежный угол

Ответ:

Сме́жные углы́ — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Поэтому сумма величин смежных углов 180 градусов. То есть, величина угла, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет градусов.

Объяснение:

Несмежного угла нет!!!

Несмежные углы – это два угла, которые не имеют общей стороны, но лежат по разные стороны от пересекающихся прямых. Эти углы образуются при пересечении двух параллельных прямых линий пересекающей прямой. Каждая из двух пар противолежащих углов называется несмежными углами.

На рисунке ниже прямые AB и CD параллельны, а прямая EF пересекает их. Углы AEF и BED являются несмежными углами.

perl
       A_______________B
        |               |
        |               |
        |       E       |
        |      /        |
        |     /         |
        |    /          |
        |   /           |
        |  /            |
        | /             |
       D_______________C

Несмежные углы важны в геометрии и используются, например, при решении задач на нахождение неизвестных углов или при доказательстве теорем.

Смежные углы в геометрии

15 июня 2022

Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.

В этом уроке:

1. Что такое смежные углы
2. Основное свойство смежных углов
3. Биссектрисы смежных углов
4. Тренировочные задачи

Это довольно простая, но очень важная тема.

1. Что такое смежные углы

Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$

Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.

Получим два новых угла: $angle AMN$ и $angle BMN$. Эти углы и называются смежными.

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).

Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:

А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:

Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых

образуется четыре пары смежных углов: $angle ASM$ и $angle ASN$; $angle BSM$ и $angle MSN$; $angle ASN$ и $angle BSN$; наконец, $angle ASM$ и $angle BSM$.

2. Основное свойство внешних углов

У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:

Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов

[angle AMB=angle AMN+angle BMN]

Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому

[angle AMN+angle BMN={180}^circ ]

Другими словами, если один угол равен $alpha $, то смежный с ним равен ${180}^circ -alpha $. Или если известно, что углы $alpha $ и $beta $ — смежные, то $alpha +beta ={180}^circ $.

Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.

Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:

1. $angle ABC={36}^circ $.
2. $angle ABC={121}^circ $.

Решение

1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:

Тогда $x=180-36=144$.

2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:

Тогда $x=180-121=59$.

Немного усложним задачу.

Задача 2. Найдите смежные углы, если:

1. один из них на 68° больше другого.
2. один из них в 5 раз больше другого.
3. их градусные меры относятся как 5 : 4.

Решение.

1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.

Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:

[begin{align}2x+68&=180 \ 2x&=112 \ x&=56 end{align}]

Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.

2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому

[begin{align}5x+x&=180 \ 6x&=180 \ x&=30 end{align}]

Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.

3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.

Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:

[begin{align}5x+4x&=180 \ 9x&=180 \ x&=20 end{align}]

Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.

3. Биссектрисы смежных углов

Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:

Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:

Если $angle AMC=x$ и $angle BMD=y$, то $angle AMN=2x$ и $angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому

[begin{align}2x+2y&={180}^circ \ x+y&={90}^circ end{align}]

Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.

Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $angle ABC={70}^circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $angle ABD={40}^circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.

Решение. Изобразим все углы на рисунке:

Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно

[begin{align}angle MBD&={180}^circ -angle ABD= \ &={180}^circ -{40}^circ ={140}^circ end{align}]

Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $angle CBD=2x$, $angle MBD=2y$. Но $angle MBD=angle MBC+angle CBD$, поэтому

[begin{align}2x+2y&=140 \ x+y&=70 end{align}]

Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.

Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $angle MAC+angle ABC={180}^circ $. Докажите, что $angle MAC=angle NBC$.

Пусть $angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $angle MAC={180}^circ -x$.

С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $angle NBC={180}^circ -x$.

Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $angle MAC=angle NBC$, что и требовалось доказать.

Смотрите также:

1. Что такое вертикальные углы
2. Перпендикулярные прямые — определение и свойства
3. Правила комбинаторики в задаче B6
4. Метод координат в пространстве
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение

В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.

Теорема о вертикальных углах

Если две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Несмежные углы называются вертикальными или противоположно вертикальными углами. Также, каждая пара прилегающих углов образует прямую, а эти углы называются смежными^[1]. Поскольку каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, то градусные меры вертикальных углов — равны.

Алгебраическое решение вертикальных углов

Например, угол A на рисунке — неизвестен. Обозначим A = x. Если два прилегающих угла образуют прямую, то они — смежные. Тогда, градусная мера C = 180 − x. Аналогично, градусная мера D = 180 − x. Углы C и D имеют одинаковую меру, которая равна 180 — x и являются вертикальными. Поскольку, угол B является смежным для обоих углов C и D, для того, чтобы вычислить размер B можно использовать градусную меру любого из них. Используя меру угла C или угла D, найдём градусную меру угла B = 180 — (180 — x) = 180—180 + x = x. Отсюда, оба угла A и B имеют г

См. также

• Угол
• Смежные углы

Литература

Ссылки

• Definition and properties of vertical angles With interactive applet
• Angle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference