Как найти несобственный интеграл онлайн

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Один (или оба) из пределов интегрирования равен

или
. В этом случае, интеграл называется
несобственным интегралом первого рода, например:
.

В любой точке на отрезке интегрирования, подинтегральная функция терпит бесконечный разрыв. В этом случае, интеграл называется
несобственным интегралом второго рода, например:

в точке
.

Рассмотрим в качестве примера
несобственный интеграл
первого рода
. График подинтегральной функции

на отрезке интегрирования

имеет вид:

Геометрически, данный несобственный интеграл равен площади под графиком функции

на отрезке
. Рассматриваемый интеграл является сходящимся, потому что указанная площадь равна

– конечному числу. Однако, несобственные интегралы бывают и расходящимися, например:

Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода выглядит следующим образом:

Сначала мы заменяем бесконечный предел на некоторый параметр, например

и получаем определенный интеграл. Этот интеграл мы вычисляем обычным образом: берем
неопределенный интеграл
и далее используем формулу Ньютона-Лейбница. На завершающем этапе, мы вычисляем
предел
при
и, если, данный предел существует и конечен, тогда исходный несобственный интеграл является сходящимся, а в противном случае – расходящимся.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода заключается в разбивке интервала интегрирования на отрезки в каждом из которых подинтегральная функция является непрерывной (разрывы допускаются только на концах отрезка). Далее, вычисляются полученные
определенные интегралы, а при подстановке значений в формулу Ньютона-Лейбница вычисляются соответствующие пределы. И если все эти пределы существуют и конечны, тогда, как и раньше, интеграл является сходящимся, а в противном случае – расходящимся. Приведем пример:

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен вычислить очень многие типы несобственных интегралов. При этом, если интеграл расходится, калькулятор выдает сообщение:
integral does not converge.

Несобственный интеграл

Примеры несобственных интегралов

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

– умножение

3/x

– деление

x^2

– возведение в квадрат

x^3

– возведение в куб

x^5

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

– число Пи

e

– основание натурального логарифма

i

– комплексное число

oo

– символ бесконечности

int sinx/x dx, x=0..infinity

Ниже пример расходящегося несобственного интеграла первого рода:

int sinx dx, x=0..infinity

Вы получите сообщение – “integral does not converge” – интеграл расходится.

А теперь приведем пример несобственного интеграла от неограниченной функции (несобственный интеграл второго рода). Тут все сложнее. Границы как в обычном определенном интеграле, но в какой-то точке интервала интегрирования функция терпит разрыв (не существует). Вот такой пример (точка разрыва x=0 содержится внутри интервала интегрирования):

int 1/x^3 dx, x=-1..1

Похожие публикации

2016-03-09 • Просмотров [ 51891 ]