Равенство дробей.
Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.
Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.
На окружности видно, что 4 части или доли закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь (frac{4}{8})
На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь (frac{1}{2})
Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны (frac{4}{8} = frac{1}{2}), то есть это одно и тоже число.
Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.
(frac{4}{8} = frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}} = frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}} =frac{1}{2} cdot color{red}{1} = frac{1}{2})
Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители (frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}}), а потом разделили дроби (frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}}). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей.
Посмотрим еще один пример и сократим дробь.
(frac{6}{10} = frac{3 cdot color{red} {2}}{5 cdot color{red} {2}} = frac{3}{5} cdot color{red} {frac{2}{2}} =frac{3}{5} cdot color{red}{1} = frac{3}{5})
Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.
Основное свойство дроби.
Отсюда следует основное свойство дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
(bf frac{a}{b} = frac{a cdot n}{b cdot n})
Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:
(frac{6}{8} = frac{6 div color{red} {2}}{8 div color{red} {2}} = frac{3}{4})
Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
(bf frac{a}{b} = frac{a div n}{b div n})
Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями.
Пример сократимой дроби: (frac{2}{4}, frac{6}{10}, frac{9}{15}, frac{10}{5}, …)
Так же есть и несократимые дроби.
Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.
Пример несократимой дроби: (frac{1}{2}, frac{3}{5}, frac{5}{7}, frac{13}{5}, …)
Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:
(7 = frac{7}{1})
Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.
Проверьте справедливо ли равенство: (frac{7}{11} = frac{14}{22})?
Ответ: распишем дробь (frac{14}{22} = frac{7 cdot 2}{11 cdot 2} = frac{7}{11}), да справедливо.
Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби (frac{2}{3}).
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби (frac{1}{5}).
Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{2}{3}) на 5.
(frac{2}{3} = frac{2 cdot 5}{3 cdot 5} = frac{10}{15})
б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{1}{5}) на 8. Получим:
(frac{1}{5} = frac{1 cdot 8}{5 cdot 8} = frac{8}{40})
Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)(frac{16}{36}), б) (frac{10}{25}).
Решение:
а) (frac{16}{36} = frac{4 cdot 4}{9 cdot 4} = frac{4}{9})
б) (frac{10}{25} = frac{2 cdot 5}{5 cdot 5} = frac{2}{5})
Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123
Решение:
а) (13 = frac{13} {1})
б) (123 = frac{123} {1})
Математика
5 класс
Урок № 48
Равенство дробей
Перечень рассматриваемых вопросов:
– обыкновенная дробь;
– числитель, знаменатель обыкновенной дроби;
– сократимая, несократимая дробь;
– равные дроби;
– основное свойство дроби.
Тезаурус
Дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.
Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя.
Несократимая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1).
Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным», – сказал Михаил Васильевич Ломоносов.
Эти слова как нельзя кстати походят к теме нашего занятия, на котором мы будем устанавливать между, казалось бы, разными дробями равенство, хоть и не вполне очевидное с первого взгляда.
Итак, выясним, какие дроби можно назвать равными.
Для начала нарисуем отрезок. Далее разделим его на две части. Затем каждую из половинок разделим ещё на две части.
Получается, что весь отрезок поделён на четыре части. Если теперь сложить две части из четырёх, то получится ровно половина отрезка, которая в виде обыкновенной дроби будет записана как одна вторая.
Получается, что одна вторая это тоже самое, что и две четвёртых, т. е. это равные дроби.
Возьмём торт и разделим его на 10 частей.
Половина торта – это 5 частей. В виде обыкновенной дроби получается, что частям торта. Отсюда получается так называемое основное свойство дроби, которое заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
С помощью этого свойства всегда получаются равные дроби. Например,
Аналогично, представим семь в виде дроби:
Если возьмём число один, представим его в виде дроби, то получим:
Получается, что две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
Это свойство можно применить и в обратном порядке, в этом случае говорят, что дробь можно сократить. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него числитель и знаменатель.
В этом случае тоже получается равная дробь. Такие дроби называются сократимыми.
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице. Например,
Или возьмём дробь :
Рассмотрим ещё один пример, возьмём дробь :
Стоит отметить, что общий множитель числителя и знаменателя можно найти как их НОД. Например,
Стоит отметить, что сокращать дроби можно постепенно, эти действия всё равно приведут к нужному результату.
Но дроби не всегда можно сократить.
Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1), то такая дробь называется несократимой.
Например, ; – несократимые дроби.
Стоит отметить, что для любой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь. Например, дробь равна несократимой дроби , а дробь равна несократимой дроби .
Отметим ещё одно свойство: если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. Например, возьмём дробь . Мы знаем, что 45 делится на девять, значит, .
Решим задание, связанное с сокращением дробей.
Укажите все общие делители, НОД числителя и знаменателя дроби и сократите дробь.
Решение: начнём с того, что определим общие делители числителя и знаменателя дроби, разложив их на множители:
Общие делители у 66 и 90 – это числа 1, 2, 3, 6.
НОД (66; 90) = 6
Сократим дробь. Так как НОД (66; 90) = 6, то разделим числитель и знаменатель на 6 и получим:
Ответ: общие делители – это числа 1, 2, 3, 6.
НОД (66; 90) = 6, .
Тренировочные задания
№ 1. Сократите дробь .
Решение: для решения этой задачи достаточно определить НОД (15; 20) = 3, это и есть число, на которое будем делить и числитель, и знаменатель, поэтому .
Ответ: .
№ 2. На полке лежат 20 книг. Взяли 4 книги. Какой дробью можно выразить взятую часть книг?
Варианты ответа: ; ; .
Решение: для решения этой задачи сначала найдём дробь, равную взятой части. Это будет дробь . Далее посмотрим на варианты ответов – такой дроби нет, следовательно, нужно сократить полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4, поэтому получаем .
Ответ: .
- Подробности
- Категория: Математика 5-6 классы
Равенство дробей
Для любой дроби можно указать сколько угодно ей равных дробей.
Например, или
Это можно объяснить так: если отрезок разделить пополам, а половину также пополам, то ясно, что половина отрезка равна двум его четвертям, т. е. Также можно показать, что половина равна трем шестым и т. д. (рис. 4.4).
Можно еще сказать, что дроби и
определяют одно и то же число; записанное в разных формах. Дроби
и
так же определяют одно и то же число, записанное в разных формах, и т. д.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной, т. е. выполняется равенство
Это свойство называют основным, свойством дроби. С его помощью можно получать дроби, равные данной дроби.
Например,
Равенство (1) можно записать и в обратном порядке:
В таком виде левая часть равенства есть дробь числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.
Если n > 1, то говорят, что можно дробь сократить на n и получить дробь
. Говорят еще, что можно разделить числитель и знаменатель на общий множитель n.
Поэтому основное свойство дробей можно сформулировать по-другому:
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, отличный от 1, то дробь можно сократить на этот множитель. При этом получится дробь, равная данной.
Пример. Сократить дроби
Решение.
Если р—натуральное число, то справедливо равенство
Действительно,
Дробь называется несократимой, если ее числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей.
Например, дроби несократимые дроби, так как числа 1 и 2, 3 и 4, б и 7, 11 и 8 не имеют общих простых делителей.
Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь.
Например,
Левые части равенств—данные дроби, а правые равные им несократимые дроби.
Чтобы получить несократимую дробь, равную данной дроби, надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Часто наибольший общий делитель числителя и знаменателя указать трудно. В этом случае сокращение дроби выполняют постепенно.
Пример. Сократить дробь
Решение.
В данной публикации мы рассмотрим, какие дроби являются равными, а также как сравнить две дроби с одинаковыми числителями/знаменателями или с разными знаменателями.
- Равные дроби
-
Сравнение простых дробей
- С одинаковыми знаменателями
-
С одинаковыми числителями
- С разными знаменателями
- Другие правила сравнения дробей
Равные дроби
Две дроби являются равными, если их числители и знаменатели соответственно равны (пропорционально равны).
Пример: дроби
4/5
и
8/10
равны, т.к. числитель и знаменатель первой дроби в два раза меньше числителя и знаменателя второй дроби.
Равные дроби соответствует:
- одной и той же точке на числовой оси;
- одной и той же десятичной дроби, которая вычисляется путем деления числителя на знаменатель. В нашем случае 4/5 = 8/10 = 0,8.
Сравнение простых дробей
С одинаковыми знаменателями
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, больше та, у которой числитель больше.
Пример:
5/7
>
3/7
, т.к. 5>3.
С одинаковыми числителями
Из двух дробей с одинаковыми числителями, больше та, у которой знаменатель меньше.
Пример:
6/4
>
6/11
, т.к. 4<11.
С разными знаменателями
Для того, чтобы иметь возможность сравнить дроби с разными знаменателями, для начала их нужно привести к общему знаменателю, после чего их уже можно сравнить по одинаковому знаменателю.
Пример: сравним дроби
3/8
и
2/16
.
В данном случае нам нужно представить первую дробь со знаменателем 16 путем умножения числителя и знаменателя на число 2.
Теперь у нас имеются две дроби с одинаковыми знаменателями, которые мы можем сравнить по соответствующему правилу, рассмотренному выше.
Другие правила сравнения дробей
1. Любая правильная дробь меньше 1.
2. Любая неправильная дробь больше 1.
Пример:
8/3
>1, т.к.
8/3
=2
2/3
>1.
3. Любая неправильная дробь всегда больше правильной, что следует из правил 1 и 2 выше.
Калькулятор для сравнения дробей
Онлайн-калькулятор для сравнения дробей позволяет сравнить две дроби и определить какая из них меньше или больше другой. Чтобы сравнить дроби введите значения числителей и знаменателей обоих дробей в соответствующие поля и нажмите кнопку “Сравнить дроби”, после чего на месте знака “?” появится результат сравнения. В нашем калькуляторе Вы можете задавать также и отрицательные дроби. Для того чтобы сменить знак дроби на противоположный – необходимо нажать кнопку “+/-” под соответствующей дробью.
| Дробь 1 | Дробь 2 | |||||
|
? |
||||||
| +/- | +/- |
Сравнить дроби
