Как найти нод букв

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

1. разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
2. выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
3. найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1

Мы можем закончить деление тогда, когда rk+1=0, при этом rk=НОД(a, b).

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими в этих двух произведениях будут множители 2,2 и 5. Это значит, что НОД(220, 600)=2·2·5=20.

Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1), где m– любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Независимо  от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk, которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3, НОД(d3, a4)=d4, …, НОД(dk-1, ak)=dk.

А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и -n имеют одинаковые делители.

В данной статье мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя, научимся его находить для двух или нескольких чисел, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.

Определение наибольшего общего делителя

Делитель натурального числа a – это такое натуральное число b, которое делит a нацело (без остатка). Обозначается буквой Д. Например Д(6) означает “делитель числа 6”.

Если у числа больше двух делителей, его называют составным.

Примеры делителей:

• Число 12 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 4, 6.
• Число 15 имеет следующие делители: 1, 3, 5.

В отличие от кратных, количество делителей числа ограничено.

Общий делитель двух натуральных чисел – это такое число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел – наибольшее число из общих делителей данных чисел. Обозначается как НОД.

Например, НОД (12, 24) – это наибольший общий делитель чисел 12 и 24.

Нахождение НОД

Чтобы найти наибольший общий делитель, можно применить один из способов ниже.

Для двух (или небольших) чисел

1. Записываем в ряд все делители для каждого числа (по возрастанию).
2. Находим наибольшее значение, встречающееся в обоих рядах. Это и есть НОД.

Пример
Найдем наибольший делитель чисел 18 и 30.

Решение
Д(18): 1, 2, 3, 6, 9.
Д(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15.

Таким образом, НОД (18, 30) = 6.

Для нескольких (или больших) чисел

Этот метод обычно применяется, если приходится иметь дело с большим числами, или нужно найти НОД для нескольких чисел.

1. Для начала раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число без остатка.
2. Отмечаем одинаковые простые множители, встречающиеся в обоих раскладках.
3. Произведение найденных простых множителей и есть НОД.

Пример
Найдем НОД (16, 24, 40).

Решение
Разложим эти числа на простые множители.

Для всех трех чисел одинаковыми являются три множителя – это три двойки.

Следовательно, НОД (16, 24, 40) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

Натуральные числа

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

1. натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
2. числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
3. ноль – «0« (куда уж без него?)

Множество целых чисел обозначается буквой Z.

«Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа – это числа, которые мы употребляем для счета предметов, и именно на этом основывается их история возникновения – необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

1, 2, 3, 4… n

Множество натуральных чисел обозначается буквой N.

Соответственно, в это определение не входит 0 (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает -1 яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть 1,5 ноутбука», или «я продал 2,5 машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким образом, 14 – это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр 1 и 4.

Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. 

Наибольший общий делитель (НОД)

Наибольший общий делитель (НОД) — нужен для сокращения дробей и быстрых вычислений.

Допустим, у тебя есть два числа: 12 и 8.

На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь 4, потому что знаешь, что:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Какие цифры в разложении общие?

Правильно, 2 * 2 = 4. Вот и твой ответ был 4.

Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД. 

Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на 1, например, 3, 7, 11, 13 и т.д.).
2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
3. Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Найдем НОД числа 290

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на 10, запишем:

290 = 29 * 10

29 больше разделить ни на что нельзя, а вот 10 можно – 5 и 2, получаем:

290 = 29 * 5 * 2

Найдем НОД числа  485.

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на 5, так как на 5 заканчивается. Делим:

485 = 5 * 97

Проанализируем изначальное число.

Значит, число 485 можно разложить только на 5 и 97.

А теперь найдем НОД этих чисел (290 и 485).

Какое это число?

Правильно, 5.

Совет: глядя на числа можно иногда сразу найти хотя бы один общий делитель. Раздели сначала на него, а потом уже раскладывай дальше. При этом, необязательно общий делитель раскладывать на его составляющие – все равно потом ты будешь их снова перемножать.

Найди наименьшее общее кратное (НОК) (6240;6800) и (345;324)

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

НОК(6240;6800)=530400

НОК(345;234)=37260

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК? Мое время – 2 минуты, правда я знаю одну хитрость, которую предлагаю тебе открыть прямо сейчас!

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все.

Посмотри на картинку, возможно, к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

10⋅4⋅2⋅10⋅4⋅2⋅2⋅39⋅5⋅17

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются 6240 и 6800.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК), мы можем найти НОК (или НОД) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

6240⋅6800=42432000

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

42432000:80=530400

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

НОК (????;????)⋅ НОД (????;????)=????⋅????

Попробуй найти НОД, если известно, что:

НОК(345; 234)=26910

Справился? НОД(345; 234)=3.

Отрицательные числа – «лжечисла» и их признание человечеством

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

−1; −2; −3; −4 и т.д.

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить – все как в натуральных.

Казалось бы, что в них такого особенного?

А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание».

Действительно, из 3 вычесть 11 – вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел».

Отрицательные числа долго не признавались людьми.

Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция – светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас 3−11), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии.

Как ты думаешь, с чем связано это признание?

Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе — недостачу).

Считалось, что отрицательные числа – это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие.

Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю — к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи – это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского — Фибоначчи)).

Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что 0−4=0.

Как думаешь, чем он это обосновывал?

Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО».

Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом – минусом «-». И правда: 6−8. Число «8» положительное, которое вычитается из 6, или отрицательное, которое суммируется к 6?… Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция ( displaystyle  frac{1}{-1}=frac{-1}{1})

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе «( displaystyle  1)» больше, чем «( displaystyle  -1)» верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму ( displaystyle  40) (или ( displaystyle  100)) чисел) в 1831 году поставил точку.

Он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют ( displaystyle  1,5) землекопа, нельзя купить ( displaystyle  4,5) билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Возникновение «пустоты» или биография нуля

В математике ( displaystyle  0) – особенное число.

С первого взгляда, это ничто: прибавить ( displaystyle  0), отнять ( displaystyle  0) – ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к «( displaystyle  1)», и полученное число ( displaystyle  10) будет в ( displaystyle  10) раз больше изначального.

Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть ( displaystyle  0), мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная.

След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего».

Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто – ouden. Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа).

Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них «( displaystyle  0)» – составляющая числа ( displaystyle  270).

В Европу ноль также пришел с запозданием — лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф.

Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль — самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Давайте вспомним, что означают эти буквы: аббревиатура “НОД” расшифровывается как “Наибольший Общий Делитель”.

Делитель – это число, на которое другое число делится без остатка.

Обычно необходимо найти НОД для двух чисел. Иногда эту задачу усложняют и ищут НОД для трех, четырех и более чисел.

Например:

Два числа: 9 и 12

Три числа: 9, 12 и 24

Дадим определение:

Наибольший Общий Делитель (НОД) – это такое наибольшее число, на которое исследуемые числа делятся без остатка.

Найдем НОД для чисел 9 и 12

Запишем все делители этих чисел:

12 – ( 1, 2, 3, 4, 6, 12)

9 – ( 1, 3, 9)

Сравним оба ряда. В обоих рядах наибольшим одинаковым числом является 3. Это число и будет НОД для этой пары чисел. Оба этих числа делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9 : 3 = 3

Таким образом, НОД (12 и 9) = 3

Зачем нужен НОД?

Например, чтобы упростить большую дробь.

Вот числа 9 и 12. Наибольший Общий Делитель для них будет число 3.

Если у нас будет дробь 9/12, то её можно упростить, разделив числитель и знаменатель на НОД, т.е. на 3, получим:

9/12 = (9 ∶ 3)/(12 ∶ 3) = 3/4

Согласитесь, что с дробью 3/4 гораздо удобнее проводить дальнейшие вычисления, чем с 9/12 .

Чтобы найти НОД двух чисел, существует несколько способов.

Один мы рассмотрели выше, когда нашли НОД для пары чисел 12 и 9.

Рассмотрим теперь другой, самый наглядный способ. Он подходит для нахождения НОД любых чисел (и маленьких, и больших).

Например, найти НОД для чисел 24 и 18.

Решение:

Разложим эти два числа на простые множители:

24 I 2             18 I 2

12 I 2               9 I 3

  6 I 2               3 I 3

  3 I 3               1 I

  1 I

Итак, получаем разложения:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

Теперь ищем в этих разложениях одинаковые пары чисел, подчеркнем эти пары:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

Получили две пары: (2 и 2) и (3 и 3). Остальные числа в рядах не имеют совпадений.

Получаем, что общими множителями чисел 24 и 18 являются числа 2 и 3.

Чтобы получить НОД этих чисел, мы перемножим эти числа и получим:

2 · 3 = 6

Получаем: НОД (24 и 18) = 6

Именно на это число мы можем разделить 24 и 18 без остатка:

24 : 6 = 4

18 : 6 = 3

Это число является их делителем. И именно это число будет их наибольшим делителем, т.е. НОДом.

Теперь возьмем числа побольше.

Например,

Найти НОД для чисел 72 и 128.

Решение:

Разложим эти два числа на простые множители:

128 I 2                 72 I 2

  64 I 2                 36 I 2

  32 I 2                 18 I 2

  16 I 2                   9 I 3

    8 I 2                   3 I 3

    4 I 2                   1 I

    2 I 2

    1 I

Итак, получаем разложения:

128 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

  72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Теперь ищем в этих разложениях одинаковые пары чисел, выделим эти пары подчеркиванием:

128 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

  72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

Получили три пары: (2 и 2), (2 и 2) и (2 и 2). Остальные числа в рядах не имеют совпадений.

Получаем, что общими множителями чисел 128 и 72 являются числа 2, 2 и 2.

Чтобы получить НОД этих чисел, мы перемножим эти числа и получим:

2 · 2 · 2 = 8

Получаем: НОД (128 и 72) = 8

Именно на это число делятся исследуемые числа без остатка:

128 : 8 = 16

72 : 8 = 9

И именно это число будет их наибольшим делителем, т.е. НОДом.

Немного усложним задачу и найдем НОД для трех чисел.

Например,

Найти НОД для чисел 36, 24 и 18.

Решение:

Разложим эти три числа на простые множители:

24 I 2             18 I 2            36 I 2

12 I 2               9 I 3            18 I 2

  6 I 2               3 I 3              9 I 3

  3 I 3               1 I                 3 I 3

  1 I                                       1 I

Итак, получаем разложения:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

Теперь ищем в этих разложениях одинаковые тройки чисел, выделим эти тройки подчеркиванием:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

Получили две тройки: (2, 2 и 2) и (3, 3 и 3). Остальные числа в рядах не имеют совпадений.

Получаем, что общими множителями чисел 36, 24 и 18 являются числа 2 и 3.

Чтобы получить НОД этих чисел, мы перемножим эти числа и получим:

2 · 3 = 6

Получаем: НОД (36, 24 и 18) = 6

Именно на это число мы можем разделить 36, 24 и 18 без остатка:

24 : 6 = 4

18 : 6 = 3

36 : 6 = 6

Это число является их делителем. И именно это число будет их наибольшим делителем, т.е. НОДом.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.