НОД – это математический термин, обозначающий наибольший общий делитель, который может идеально разделить два числа. НОД также известен как наибольший общий фактор(HCF).
Например, HCF / GCD двух чисел 54 и 24 равен 6. Поскольку 6 – это наибольший общий делитель, который полностью делит 54 и 24.
Разберемся как найти НОД двух чисел в Python.
НОД с использованием функции gcd()
gcd() в python – это встроенная функция, предлагаемая математическим модулем для поиска наибольшего общего делителя двух чисел.
Синтаксис:
gcd(a, b)
Где a и b – два целых числа, которые передаются в качестве аргумента функции gcd().
Давайте создадим программу для печати НОД двух чисел, используя встроенную функцию math.gcd() в python.
math_fun.py
# create a program to print the gcd of two number in python using the math.gcd() function. import math print(" GCD of two number 0 and 0 is ", math.gcd(0, 0)) #math.gcd(a, b), a and b are the two integer number print(" GCD of two number 0 and 48 is ", math.gcd(0, 48)) a = 60 # assign the number to variable a b = 48 # assign the number to variable b print(" GCD of two number 60 and 48 is ", math.gcd(a, b)) # pass the variable a and b to math.gcd() function. print(" GCD of two number 48 and -12 is ", math.gcd(48, -12)) # pass the integer number print(" GCD of two number -24 and -18 is ", math.gcd(-24, -18)) print(" GCD of two number -60 and 48 is ", math.gcd(-60, 48))
Выход:
В приведенном выше примере функция math.gcd() генерирует НОД двух заданных чисел. В функции gcd() a и b передаются в качестве аргумента, который возвращает наибольший общий делитель двух целых чисел, полностью разделяя числа.
НОД с использованием рекурсии
Рекурсия – это функция, потребляющая память, определенная в Python, которая вызывает себя через самореферентное выражение. Это означает, что функция будет постоянно вызывать и повторять себя до тех пор, пока не будет выполнено определенное условие для возврата наибольшего общего делителя числа.
Псевдокод алгоритма
Шаг 1: Возьмите два входа, x и y, от пользователя.
Шаг 2: Передайте входной номер в качестве аргумента рекурсивной функции.
Шаг 3: Если второе число равно нулю(0), возвращается первое число.
Шаг 4: В противном случае он рекурсивно вызывает функцию со вторым числом в качестве аргумента, пока не получит остаток, который делит второе число на первое число.
Шаг 5: Вызовите или назначьте gcd_fun() переменной.
Шаг 6: Отобразите НОД двух чисел.
Шаг 7: Выйдите из программы.
Разберемся с программой для нахождения НОД двух чисел с помощью рекурсии.
gcdRecur.py
# write a program to understand the GCD of two number in python using the recursion. def gcd_fun(x, y): if(y == 0): # it divide every number return x # return x else: return gcd_fun(y, x % y) x =int(input("Enter the first number: ")) # take first no. y =int(input("Enter the second number: ")) # take second no. num = gcd_fun(x, y) # call the gcd_fun() to find the result print("GCD of two number is: ") print(num) # call num
Выход:
Нахождение НОД с помощью цикла
Давайте создадим программу для нахождения НОД двух чисел в Python с помощью циклов.
gcdFile.py
def GCD_Loop( a, b): if a > b: # define the if condition temp = b else: temp = a for i in range(1, temp + 1): if(( a % i == 0) and(b % i == 0 )): gcd = i return gcd x = int(input(" Enter the first number: ") ) # take first no. y =int(input(" Enter the second number: ")) # take second no. num = GCD_Loop(x, y) # call the gcd_fun() to find the result print("GCD of two number is: ") print(num) # call num
Выход:
Как мы видим в приведенной выше программе, мы берем два значения в качестве входных и передаем эти числа в функцию GCD_Loop(), чтобы вернуть GCD.
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида – эффективный метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Это самый старый алгоритм, который делит большее число на меньшее и берет остаток. Опять же, он делит меньшее число от остатка, и этот алгоритм непрерывно делит число, пока остаток не станет 0.
Например, предположим, что мы хотим вычислить HCF двух чисел, 60 и 48. Затем мы делим 60 на 48; он возвращает остаток 12. Теперь мы снова делим число 24 на 12, а затем он возвращает остаток 0. Таким образом, мы получаем HCF равным 12.
Псевдокод алгоритма Евклида
Шаг 1: Есть два целых числа, например a и b.
Шаг 2: Если a = 0, то НОД(a, b) равен b.
Шаг 3: Если b = 0, НОД(a, b) равен a.
Шаг 4: Найти mod b.
Шаг 5: Предположим, что a = b и b = R.
Шаг 6: Повторяйте шаги 4 и 3, пока mod b не станет равным или большим 0.
Шаг 7: GCD = b и затем распечатайте результат.
Шаг 8: Остановите программу.
Найдем HCF или GCD двух чисел, используя алгоритм Евклида в python.
Euclid.py
# Create a program to find the GCD of two number in python using the Euclid's Algorithm. def find_hcf(a,b): while(b): a, a = b, a % b return a a = int(input(" Enter the first number: ") ) # take first no. b = int(input(" Enter the second number: ")) # take second no. num = find_hcf(a, b) # call the find_hcf() to get the result print(" The HCF of two number a and b is ") print(num) # call num
Выход:
Изучаю Python вместе с вами, читаю, собираю и записываю информацию опытных программистов.
В данном уроке мы узнаем, как найти наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) с помощью языка программирования Python.
Но прежде чем мы начнем, давайте разберем, что обозначает Least Common Multiple (LCM) — наименьшее общее кратное.
НОК: наименьшее общее кратное
Это понятие арифметики и системы счисления. НОК двух целых чисел a и b обозначается НОК(a,b). Это наименьшее натуральное число, которое делится и на «а», и на «b».
Например: у нас есть два целых числа 4 и 6. Найдем НОК:
- Кратные 4:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,... and so on...
- Кратные 6:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,... and so on....
Общие кратные 4 и 6 — это просто числа, которые есть в обоих списках:
12, 24, 36, 48, 60, 72,.... and so on....
НОК — это наименьший общий множитель, поэтому он равен 12.
Поскольку мы поняли основную концепцию НОК, давайте рассмотрим следующую программу для нахождения НОК заданных целых чисел.
Пример:
# defining a function to calculate LCM def calculate_lcm(x, y): # selecting the greater number if x > y: greater = x else: greater = y while(True): if((greater % x == 0) and(greater % y == 0)): lcm = greater break greater += 1 return lcm # taking input from users num1 = int(input("Enter first number: ")) num2 = int(input("Enter second number: ")) # printing the result for the users print("The L.C.M. of", num1,"and", num2,"is", calculate_lcm(num1, num2))
Выход:
Enter first number: 3 Enter second number: 4 The L.C.M. of 3 and 4 is 12
Объяснение:
Эта программа сохраняет два числа в num1 и num2 соответственно. Эти числа передаются в функцию calculate_lcm(). Функция возвращает НОК двух чисел.
Внутри функции мы сначала определили большее из двух чисел, поскольку наименьшее общее кратное может быть больше или равно наибольшему числу. Затем мы используем бесконечный цикл while, чтобы перейти от этого числа и дальше.
На каждой итерации мы проверяли, идеально ли делят оба числа число. Если это так, мы сохранили число как НОК и вышли из цикла. В противном случае число увеличивается на 1, и цикл продолжается.
НОД: наибольший общий делитель
В этом разделе мы разберем, как найти Highest Common Factor (HCF) — наибольший общий делитель (НОД) в языке программирования Python.
Наибольший общий делитель двух или более целых чисел, когда хотя бы одно из них не равно нулю, является наибольшим положительным целым числом, которое без остатка делит целые числа. Например, НОД 8 и 12 равен 4.
Например:
У нас есть два целых числа 8 и 12. Найдем наибольший общий делитель.
- Делители числа 8:
1, 2, 4, 8
- Делители числа 12:
1, 2, 3, 4, 6, 12
НОД 8 и 12 равны 4.
Теперь давайте рассмотрим пример, основанный на нахождении НОД двух заданных чисел.
Пример:
# defining a function to calculate HCF def calculate_hcf(x, y): # selecting the smaller number if x > y: smaller = y else: smaller = x for i in range(1,smaller + 1): if((x % i == 0) and(y % i == 0)): hcf = i return hcf # taking input from users num1 = int(input("Enter first number: ")) num2 = int(input("Enter second number: ")) # printing the result for the users print("The H.C.F. of", num1,"and", num2,"is", calculate_hcf(num1, num2))
Выход:
Enter first number: 8 Enter second number: 12 The H.C.F. of 8 and 12 is 4
Объяснение:
В приведенном выше фрагменте кода два целых числа, хранящиеся в переменных num1 и num2, передаются в функцию calculate_hcf(). Функция вычисляет НОД для этих двух чисел и возвращает его.
Внутри функции мы должны определить меньшее число, поскольку НОД может быть меньше или равен наименьшему числу. Затем мы использовали цикл for, чтобы перейти от 1 к этому числу.
На каждой итерации мы должны проверять, точно ли число делит оба входных числа. Если это так, мы должны сохранить число как НОД. По завершении цикла мы получаем наибольшее число, которое идеально делит оба числа.
1196-1017cookie-checkНахождение НОК и НОД в Python — примеры
The greatest common divisor (GCD) of a and b is the largest number that divides both of them with no remainder.
One way to find the GCD of two numbers is Euclid’s algorithm, which is based on the observation that if r
is the remainder when a
is divided by b
, then gcd(a, b) = gcd(b, r)
. As a base case, we can use gcd(a, 0) = a
.
Write a function called gcd that takes parameters a
and b
and returns their greatest common divisor.
sampathsris
21.4k11 gold badges69 silver badges98 bronze badges
asked Jun 24, 2012 at 5:13
4
It’s in the standard library.
>>> from fractions import gcd
>>> gcd(20,8)
4
Source code from the inspect
module in Python 2.7:
>>> print inspect.getsource(gcd)
def gcd(a, b):
"""Calculate the Greatest Common Divisor of a and b.
Unless b==0, the result will have the same sign as b (so that when
b is divided by it, the result comes out positive).
"""
while b:
a, b = b, a%b
return a
As of Python 3.5, gcd
is in the math
module; the one in fractions
is deprecated. Moreover, inspect.getsource
no longer returns explanatory source code for either method.
answered Jun 24, 2012 at 5:19
user545424user545424
15.6k11 gold badges57 silver badges70 bronze badges
18
The algorithms with m-n can runs awfully long.
This one performs much better:
def gcd(x, y):
while y != 0:
(x, y) = (y, x % y)
return x
answered Sep 22, 2013 at 13:13
netomnetom
3,3122 gold badges21 silver badges21 bronze badges
9
This version of code utilizes Euclid’s Algorithm for finding GCD.
def gcd_recursive(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return gcd_recursive(b, a % b)
answered Feb 20, 2015 at 16:21
AnkushAnkush
4604 silver badges8 bronze badges
3
gcd = lambda m,n: m if not n else gcd(n,m%n)
answered Nov 2, 2015 at 8:48
Jonas ByströmJonas Byström
25k22 gold badges100 silver badges144 bronze badges
0
using recursion,
def gcd(a,b):
return a if not b else gcd(b, a%b)
using while,
def gcd(a,b):
while b:
a,b = b, a%b
return a
using lambda,
gcd = lambda a,b : a if not b else gcd(b, a%b)
>>> gcd(10,20)
>>> 10
answered Jan 31, 2019 at 8:16
1
def gcd(m,n):
return gcd(abs(m-n), min(m, n)) if (m-n) else n
answered Jun 29, 2013 at 5:48
dansalmodansalmo
11.4k5 gold badges58 silver badges52 bronze badges
2
Very concise solution using recursion:
def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
return gcd(b, a%b)
answered May 16, 2018 at 12:02
a=int(raw_input('1st no n'))
b=int(raw_input('2nd no n'))
def gcd(m,n):
z=abs(m-n)
if (m-n)==0:
return n
else:
return gcd(z,min(m,n))
print gcd(a,b)
A different approach based on euclid’s algorithm.
answered Jun 29, 2013 at 4:51
def gcdRecur(a, b):
'''
a, b: positive integers
returns: a positive integer, the greatest common divisor of a & b.
'''
# Base case is when b = 0
if b == 0:
return a
# Recursive case
return gcdRecur(b, a % b)
Marko Gresak
7,9025 gold badges39 silver badges46 bronze badges
answered Nov 15, 2013 at 9:56
SHAMSSHAMS
191 bronze badge
I think another way is to use recursion. Here is my code:
def gcd(a, b):
if a > b:
c = a - b
gcd(b, c)
elif a < b:
c = b - a
gcd(a, c)
else:
return a
answered Oct 27, 2015 at 14:13
dexhunterdexhunter
5778 silver badges23 bronze badges
1
in python with recursion:
def gcd(a, b):
if a%b == 0:
return b
return gcd(b, a%b)
answered Jul 27, 2014 at 20:54
def gcd(a,b):
if b > a:
return gcd(b,a)
r = a%b
if r == 0:
return b
return gcd(r,b)
lennon310
12.4k11 gold badges43 silver badges61 bronze badges
answered Dec 3, 2014 at 19:41
For a>b
:
def gcd(a, b):
if(a<b):
a,b=b,a
while(b!=0):
r,b=b,a%r
a=r
return a
For either a>b
or a<b
:
def gcd(a, b):
t = min(a, b)
# Keep looping until t divides both a & b evenly
while a % t != 0 or b % t != 0:
t -= 1
return t
answered Jan 25, 2015 at 17:55
2
I had to do something like this for a homework assignment using while loops. Not the most efficient way, but if you don’t want to use a function this works:
num1 = 20
num1_list = []
num2 = 40
num2_list = []
x = 1
y = 1
while x <= num1:
if num1 % x == 0:
num1_list.append(x)
x += 1
while y <= num2:
if num2 % y == 0:
num2_list.append(y)
y += 1
xy = list(set(num1_list).intersection(num2_list))
print(xy[-1])
answered Apr 16, 2019 at 16:21
def _grateest_common_devisor_euclid(p, q):
if q==0 :
return p
else:
reminder = p%q
return _grateest_common_devisor_euclid(q, reminder)
print(_grateest_common_devisor_euclid(8,3))
answered Jun 7, 2019 at 16:24
Sai prateekSai prateek
11.7k9 gold badges49 silver badges66 bronze badges
This code calculates the gcd of more than two numbers depending on the choice given by # the user, here user gives the number
numbers = [];
count = input ("HOW MANY NUMBERS YOU WANT TO CALCULATE GCD?n")
for i in range(0, count):
number = input("ENTER THE NUMBER : n")
numbers.append(number)
numbers_sorted = sorted(numbers)
print 'NUMBERS SORTED IN INCREASING ORDERn',numbers_sorted
gcd = numbers_sorted[0]
for i in range(1, count):
divisor = gcd
dividend = numbers_sorted[i]
remainder = dividend % divisor
if remainder == 0 :
gcd = divisor
else :
while not remainder == 0 :
dividend_one = divisor
divisor_one = remainder
remainder = dividend_one % divisor_one
gcd = divisor_one
print 'GCD OF ' ,count,'NUMBERS IS n', gcd
answered Jun 8, 2013 at 0:05
1
The value swapping didn’t work well for me. So I just set up a mirror-like situation for numbers that are entered in either a < b OR a > b:
def gcd(a, b):
if a > b:
r = a % b
if r == 0:
return b
else:
return gcd(b, r)
if a < b:
r = b % a
if r == 0:
return a
else:
return gcd(a, r)
print gcd(18, 2)
Delimitry
2,9474 gold badges29 silver badges39 bronze badges
answered Jun 18, 2013 at 20:03
troychroitroychroi
491 silver badge9 bronze badges
2
#This program will find the hcf of a given list of numbers.
A = [65, 20, 100, 85, 125] #creates and initializes the list of numbers
def greatest_common_divisor(_A):
iterator = 1
factor = 1
a_length = len(_A)
smallest = 99999
#get the smallest number
for number in _A: #iterate through array
if number < smallest: #if current not the smallest number
smallest = number #set to highest
while iterator <= smallest: #iterate from 1 ... smallest number
for index in range(0, a_length): #loop through array
if _A[index] % iterator != 0: #if the element is not equally divisible by 0
break #stop and go to next element
if index == (a_length - 1): #if we reach the last element of array
factor = iterator #it means that all of them are divisibe by 0
iterator += 1 #let's increment to check if array divisible by next iterator
#print the factor
print factor
print "The highest common factor of: ",
for element in A:
print element,
print " is: ",
greatest_common_devisor(A)
answered Mar 25, 2015 at 16:23
def gcdIter(a, b):
gcd= min (a,b)
for i in range(0,min(a,b)):
if (a%gcd==0 and b%gcd==0):
return gcd
break
gcd-=1
answered May 25, 2018 at 12:47
Par basPar bas
2132 silver badges2 bronze badges
3
Here’s the solution implementing the concept of Iteration
:
def gcdIter(a, b):
'''
a, b: positive integers
returns: a positive integer, the greatest common divisor of a & b.
'''
if a > b:
result = b
result = a
if result == 1:
return 1
while result > 0:
if a % result == 0 and b % result == 0:
return result
result -= 1
answered Feb 15, 2019 at 21:40
Давайте рассмотрим библиотеки math
и numpy
для решения математических задач.
Важное уточнение: количество функций и внутренних модулей во многих библиотеках не позволяет рассмотреть их полностью в одной главе. Поэтому при изучении библиотек мы будем рассматривать лишь некоторые их возможности, а более подробную информацию вы сможете найти в документации. Ссылка на документацию будет в конце главы.
Библиотека math
Библиотека math
является стандартной в Python и содержит много полезных математических функций и констант. Официальная документация Python выделяет следующие виды функций этого модуля:
-
Функции теории чисел и функции представления. Рассмотрим некоторые из них:
-
math.comb(n, k)
— возвращает количество сочетаний изn
элементов поk
элементам без повторений и без учёта порядка. Определим, сколькими способами можно выбрать 3 объекта из множества в 12 объектов (порядок не важен):import math print(math.comb(12, 3)) # 220
-
math.factorial(x)
— возвращает факториал целого неотрицательного числаx
:print(math.factorial(5)) # 120
-
math.gcd(*integers)
— возвращает наибольший общий делитель (НОД) для чисел-аргументов. Возможность определения НОДа для более чем двух чисел появилась в Python версии 3.9:print(math.gcd(120, 210, 360)) # 30
-
math.lcm(*integers)
— возвращает наименьшее общее кратное (НОК) для чисел-аргументов. Функция появилась в Python версии 3.9:print(math.lcm(10, 20, 30, 40)) # 120
-
math.perm(n, k=None)
— возвращает количество размещений изn
элементов поk
элементам без повторений и с учётом порядка. Если значение аргументаk
не задано, то возвращается количество перестановок множества изn
элементов:print(math.perm(4, 2)) # 12 print(math.perm(4)) # 24
-
math.prod(iterable, start=1)
— возвращает произведение элементов итерируемого объектаiterable
. Еслиiterable
пустой, то возвращается значение именованного аргументаstart
:print(math.prod(range(10, 21))) # 6704425728000
-
-
Степенные и логарифмические функции. Некоторые из функций:
-
math.exp(x)
— возвращает значение экспоненциальной функции ex:print(math.exp(3.5)) # 33.11545195869231
-
math.log(x, base)
— возвращает значение логарифма отx
по основаниюbase
. Если значение аргументаbase
не задано, то вычисляется натуральный логарифм. Вычисление производится по формулеlog(x) / log(base)
:print(math.log(10)) # 2.302585092994046 print(math.log(10, 2)) # 3.3219280948873626
-
math.pow(x, y)
— возвращает значениеx
в степениy
. В отличие от операции**
, происходит преобразование обоих аргументов в вещественные числа:print(math.pow(2, 10)) # 1024.0 print(math.pow(4.5, 3.7)) # 261.1477575641718
-
-
Тригонометрические функции. Доступны функции синус (
sin(x)
), косинус (cos(x)
), тангенс (tan(x)
), арксинус (asin(x)
), арккосинус (acos(x)
), арктангенс (atan(x)
). Обратите внимание: угол задаётся и возвращается в радианах. Имеются особенные функции:-
math.dist(p, q)
— возвращает Евклидово расстояние между точкамиp
иq
, заданными как итерируемые объекты одной длины:print(math.dist((0, 0, 0), (1, 1, 1))) # 1.7320508075688772
-
math.hypot(*coordinates)
— возвращает длину многомерного вектора с координатами, заданными в позиционных аргументахcoordinates
, и началом в центре системы координат. Для двумерной системы координат функция возвращает длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:print(math.hypot(1, 1, 1)) # 1.7320508075688772 print(math.hypot(3, 4)) # 5.0
-
-
Функции преобразования угла. Доступны функции:
-
math.degrees(x)
— преобразует угол из радианов в градусы:print(round(math.sin(math.radians(30)), 1)) # 0.5
-
math.radians(x)
— преобразует угол из градусов в радианы.print(round(math.degrees(math.asin(0.5)), 1)) # 30.0
-
-
Гиперболические функции. Доступны функции
acosh(x)
,asinh(x)
,atanh(x)
,cosh(x)
,sinh(x)
,tanh(x)
. -
Специальные функции. Среди специальных функций интерес представляет Гамма-функция. Она описывает гладкую непрерывную функцию f(x) = (x – 1)!, график которой проходит через точки, соответствующие значениям функции факториала для целых чисел. Другими словами, гамма-функция интерполирует значения факториала для вещественных чисел:
print(math.gamma(3)) # 2.0 print(math.gamma(3.5)) # 3.323350970447842 print(math.gamma(4)) # 6.0
В библиотеке math
можно воспользоваться значениями числа пи (math.pi
) и экспоненты (math.e
).
Библиотека numpy
Язык программирования Python удобен для быстрого создания программ с целью проверки какой-либо идеи. Однако зачастую его используют и в решении научных задач, а также при анализе больших данных и машинном обучении.
Возникает вопрос: каким образом может быстро обрабатывать много данных интерпретируемая, а не скомпилированная программа?
Оказывается, что в решении некоторых математических задач программы на Python могут быть такими же быстрыми, как и программы, созданные на компилируемых языках.
Существенную прибавку в скорости обеспечивает библиотека numpy
(Numerical Python, читается как «нампАй»). Библиотека numpy
частично написана на языках С и «Фортран», благодаря чему и работает быстро. Таким образом, numpy
сочетает в себе вычислительную мощность языков С и «Фортран» и простоту синтаксиса Python.
Библиотека numpy
является нестандартной библиотекой.
Нестандартные модули можно установить в Python несколькими способами. Мы рассмотрим самый простой — установку из репозитория PyPI (Python Package Index). Репозиторий — коллекция дополнительных библиотек для Python, хранящаяся на сервере. В настоящий момент количество библиотек в репозитории составляет более 400 тысяч.
Для установки библиотек из репозитория необходимо подключение к сети Интернет, а далее нужно выполнить команду в консоли (терминале):
pip install <название библиотеки>
Установим библиотеку numpy
командой:
pip install numpy
После ввода команды начнётся загрузка установочного пакета и дополнительных библиотек, от которых зависит numpy
. Затем начнётся процесс установки. Если установка пройдёт успешно, то вы увидите вывод в командной строке:
Successfully installed numpy
Для импорта numpy
обычно используют следующий код:
import numpy as np
В программе мы сможем обращаться к numpy
по новому имени — np
. Это упростит чтение кода. Такой импорт широко используется сообществом программистов, поэтому стоит его придерживаться, чтобы ваш код был понятен каждому.
Библиотека numpy
работает с объектами-массивами, которые способны хранить много значений и быть многомерными. При этом, в отличие от списков, массивы могут хранить только значения одного типа. За счёт этого массивы в numpy
занимают меньше памяти и работают быстрее, чем списки.
Создать массив можно разными способами. Один из них — использовать функцию array()
для преобразования списка в массив. Для доступа к элементам массива необходимо указать индекс элемента в квадратных скобках. Индексация начинается с нуля:
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8]])
print(f"a[0] = {a[0]}")
print(f"b[0] = {b[0]}")
Вывод программы:
a[0] = 1 b[0] = [1 2]
В нашем примере массив a
имеет размерность, равную 1. Размерность массива b
равна 2. В терминологии numpy
массив a
имеет одну ось (термин «axis» из документации) длиной четыре элемента, а массив b
имеет две оси: первая имеет длину 4, а длина второй оси равна 2.
Массивы numpy
являются объектами класса ndarray
. Наиболее важными атрибутами класса ndarray
являются:
ndarray.ndim
— размерность (количество осей) массива;ndarray.shape
— кортеж, значения которого содержат количество элементов по каждой из осей массива;ndarray.size
— общее количество элементов массива;ndarray.dtype
— объект, описывающий тип данных элементов массива;ndarray.itemsize
— размер памяти в байтах, занимаемый одним элементом массива.
import numpy as np
a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8]])
print(f"a.ndim = {a.ndim}, a.shape = {a.shape}, a.size = {a.size}, a.dtype = {a.dtype}")
Вывод программы:
a.ndim = 2, a.shape = (4, 2), a.size = 8, a.dtype = int32
Встроенные в numpy
типы данных аналогичны типам данных в языке программирования С. Например, в предыдущем примере мы создали массив со значениями типа int32
, то есть целые числа со знаком (отрицательные и положительные) и размером занимаемой памяти 32 бита. Из ограничения в размере памяти для типов данных в numpy
следует то, что массивы каждого типа данных могут хранить значения из определённого диапазона. Например, для int32
этот числовой диапазон составляет от -2 147 483 648 до 2 147 483 647.
Покажем на примере, что произойдёт, если попытаться записать значение не из диапазона для типа данных. Для этого создадим массив типа uint8
— целые числа без знака размером 8 бит. Диапазон значений для этого типа от 0 до 255. Тип данных можно указать через именованный аргумент dtype
при создании массива:
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3], dtype="uint8")
a[0] = 256
print(a)
Вывод программы:
[0 2 3]
Значение элемента не вышло за пределы диапазона, а было взято с его начала.
В numpy
существуют и другие встроенные типы данных. С ними можно ознакомиться в документации.
При создании массива без указания его типа в аргументе dtype
библиотека numpy
попытается привести его к тому типу данных, который сможет хранить все значения исходной коллекции.
Рассмотрим пример:
import numpy as np
a = np.array([1, 2.5, 3])
print(a)
print(a.dtype)
b = np.array(['text', 1, 2.5])
print(b)
print(b.dtype)
Вывод программы:
[1. 2.5 3. ] float64 ['text' '1' '2.5'] <U32
В примере для массива a
был выбран тип данных float64
, так как исходный список содержит вещественное число. Для массива b
был выбран тип данных <U32
, который может хранить строки в кодировке Unicode длиной 32 символа. Такой тип данных был выбран, поскольку в исходной коллекции есть элемент-строка.
Для создания массива из нулей используется функция np.zeros()
, которая принимает кортеж с количеством чисел, соответствующим количеству осей массива, а значения в кортеже — количество элементов по каждой из осей.
import numpy as np
a = np.zeros((4, 3))
print(a)
print()
a = np.zeros((4, 3), dtype="int32")
print(a)
Вывод программы:
[[0. 0. 0.] [0. 0. 0.] [0. 0. 0.] [0. 0. 0.]] [[0 0 0] [0 0 0] [0 0 0] [0 0 0]]
Функция np.ones()
создаёт массив аналогично функции np.zeros()
, только из элементов-единиц.
import numpy as np
a = np.ones((4, 3))
print(a)
Вывод программы:
[[1. 1. 1.] [1. 1. 1.] [1. 1. 1.] [1. 1. 1.]]
Функция np.eye()
создаёт единичную матрицу, то есть массив с единицами на главной диагонали и нулевыми остальными элементами:
import numpy as np
a = np.eye(5, 5, dtype="int8")
print(a)
Вывод программы:
[[1 0 0 0 0] [0 1 0 0 0] [0 0 1 0 0] [0 0 0 1 0] [0 0 0 0 1]]
Для создания массива, заполненного значениями из диапазона, используется функция np.arange()
. Эта функция похожа на стандартную функцию range()
, но возвращает массив и может создавать диапазон значений из вещественных чисел.
import numpy as np
a = np.arange(1, 10)
print(a)
print()
a = np.arange(1, 5, 0.4)
print(a)
Вывод программы:
[1 2 3 4 5 6 7 8 9] [1. 1.4 1.8 2.2 2.6 3. 3.4 3.8 4.2 4.6]
Функция np.linspace()
создаёт массив из заданного количества вещественных равномерно распределённых значений из указанного диапазона.
import numpy as np
a = np.linspace(1, 5, 10) # задаётся начало, конец диапазона и количество значений
print(a)
Вывод программы:
[1. 1.44444444 1.88888889 2.33333333 2.77777778 3.22222222 3.66666667 4.11111111 4.55555556 5. ]
Для изменения размерности массива используется функция reshape()
. Она принимает кортеж, значения которого задают новые размеры массива по осям. Функция reshape()
возвращает новый массив. Обратите внимание: при изменении размерности количество элементов в массиве не должно измениться.
import numpy as np
a = np.zeros((4, 3), dtype="uint8")
print(a)
print()
a = a.reshape((2, 6))
print(a)
Вывод программы:
[[0 0 0] [0 0 0] [0 0 0] [0 0 0]] [[0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0]]
Метод resize()
меняет размерность исходного массива:
import numpy as np
a = np.zeros((4, 3), dtype="uint8")
print(a)
print()
a.resize((2, 2, 3))
print(a)
Вывод программы:
[[0 0 0] [0 0 0] [0 0 0] [0 0 0]] [[[0 0 0] [0 0 0]] [[0 0 0] [0 0 0]]]
Если при изменении размерности в функции reshape()
указать значение -1 по одной или нескольким осям, то значения размерности рассчитаются автоматически:
import numpy as np
a = np.zeros((4, 3), dtype="uint8")
print(a)
print()
a = a.reshape((2, 3, -1))
print(a)
Вывод программы:
[[0 0 0] [0 0 0] [0 0 0] [0 0 0]] [[[0 0] [0 0] [0 0]] [[0 0] [0 0] [0 0]]]
Для работы с массивами доступны все стандартные арифметические операции, а также тригонометрические, экспоненциальная и другие функции. Выполнение математических операций над массивами происходит поэлементно. Размерность массивов должна совпадать при выполнении этих операций. Применение некоторых из операций приведено в примере:
import numpy as np
a = np.array([9, 8, 7])
b = np.array([1, 2, 3])
print(a + b)
print(a - b)
print(a * b)
print(a / b)
Вывод программы:
[10 10 10] [8 6 4] [ 9 16 21] [9. 4. 2.33333333]
Для умножения матриц используется операция @
или функция dot
:
import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
b = np.array([[0, 0, 1],
[0, 1, 0],
[1, 0, 0]])
print(a @ b)
Вывод программы:
[[3 2 1] [6 5 4] [9 8 7]]
Матрицы можно транспонировать функцией transpose()
и поворачивать функцией rot90()
. При повороте можно указать направление поворота вторым аргументом:
import numpy as np
a = np.arange(1, 13).reshape(4, 3)
print(a)
print("Транспонирование")
print(a.transpose())
print("Поворот вправо")
print(np.rot90(a))
print("Поворот влево")
print(np.rot90(a, -1))
Вывод программы:
[[ 1 2 3] [ 4 5 6] [ 7 8 9] [10 11 12]] Транспонирование [[ 1 4 7 10] [ 2 5 8 11] [ 3 6 9 12]] Поворот вправо [[ 3 6 9 12] [ 2 5 8 11] [ 1 4 7 10]] Поворот влево [[10 7 4 1] [11 8 5 2] [12 9 6 3]]
Функции вычисления суммы элементов массива, поиска минимального и максимального элементов и многие другие по умолчанию работают для всех элементов массива, не учитывая размерность:
import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
print(a.sum())
print(a.min())
print(a.max())
Вывод программы:
45 1 9
Дополнительно в указанных функциях можно указать номер оси (индексация с 0), на которой будет работать функция:
import numpy as np
a = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
print(a.sum(axis=0)) # сумма чисел в каждом столбце
print(a.sum(axis=1)) # сумма чисел в каждой строке
print(a.min(axis=0)) # минимум по столбцам
print(a.max(axis=1)) # максимум по строкам
Вывод программы:
[12 15 18] [ 6 15 24] [1 2 3] [3 6 9]
В массивах можно брать срез. Для одномерных массивов эта операция аналогична стандартному срезу в Python. Для многомерного массива можно задавать диапазон среза отдельно для каждой оси. Таким образом, можно взять срез отдельной части матрицы, указав, какие строки и столбцы должны попасть в срез:
import numpy as np
a = np.arange(1, 13).reshape(3, 4)
print(a)
print()
print(a[:2, 2:])
print()
print(a[:, ::2])
Вывод программы:
[[ 1 2 3 4] [ 5 6 7 8] [ 9 10 11 12]] [[3 4] [7 8]] [[ 1 3] [ 5 7] [ 9 11]]
В цикле for
можно пройти по элементам первой оси массива:
import numpy as np
a = np.arange(1, 13).reshape(3, 4)
print(a)
for row in a:
print(row)
Вывод программы:
[[ 1 2 3 4] [ 5 6 7 8] [ 9 10 11 12]] [1 2 3 4] [5 6 7 8] [ 9 10 11 12]
Для линеаризации многомерного массива можно использовать атрибут flat
, который является итератором, возвращающим последовательно значения массива:
import numpy as np
a = np.arange(1, 13).reshape(3, 4)
print(a)
print()
print("; ".join(str(el) for el in a.flat))
Вывод программы:
[[ 1 2 3 4] [ 5 6 7 8] [ 9 10 11 12]] 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
Покажем на примере различие в скорости работы массивов и списков. Посчитаем сумму квадратных корней первых 107 чисел.
import numpy as np
from time import time
t = time()
print(f"Результат итератора: {sum(x ** 0.5 for x in range(10 ** 7))}.")
print(f"{time() - t} с.")
t = time()
print(f"Результат numpy: {np.sqrt(np.arange(10 ** 7)).sum()}.")
print(f"{time() - t} с.")
Вывод программы:
Результат итератора: 21081849486.439312. 1.7823209762573242 с. Результат numpy: 21081849486.442448. 0.05197310447692871 с.
Библиотека numpy
решила задачу в 30 раз быстрее, чем итератор.
За счёт скорости работы и удобной обработки массивов библиотека numpy
используется для расчётов во многих других библиотеках. С одной из них мы поработаем в следующей главе.
Ещё по теме
Для более детального изучения библиотеки numpy
рекомендуем почитать документацию.
Курс по Python: https://stepik.org/course/100707
На этом занятии я
хочу показать вам пример использования функций для решения одной частной задачи
– нахождения наибольшего общего делителя (НОД) для двух натуральных чисел a и b. Причем, мы не
просто напишем алгоритм, а еще выполним его тестирование с применением
тестирующей функции. То есть, это будет полноценный пример, показывающий
принцип разработки программ с использованием функций и тестов.
Но, вначале пару
слов о самом алгоритме Евклида, о принципе его работы. Сначала рассмотрим его
медленный, но простой вариант.
Например, пусть
даны два натуральных числа: a = 18 и b = 24. Чтобы
определить для них НОД, будем действовать, следующим образом. Из большего
значения вычтем меньшее и результат сохраним в переменной с большим значением,
то есть, в b. Фактически,
это означает, что мы выполняем операцию: b = b – a. Теперь у нас
два значения a = 18, b = 6. Для них
повторяем тот же самый процесс. Здесь большее уже переменная a, поэтому,
корректируем ее значение, вычитая меньшее. Получаем новую пару a = 12, b = 6. Опять
повторяем этот процесс и видим, что a = 6, b = 6 –
переменные равны. В этом случае останавливаем алгоритм и получаем, что НОД(18,
24) = 6, что, в общем то, верно.
Весь этот
алгоритм можно представить следующим псевдокодом:
пока
a != b
находим большее среди a и b
уменьшаем большее на величину меньшего
выводим
полученное значение величины a (или b)
Давайте его
опишем с помощью, следующей функции:
def get_nod(a, b): """Вычисляется НОД для натуральных чисел a и b по алгоритму Евклида. Возвращает вычисленный НОД. """ while a != b: if a > b: a -= b else: b -= a return a
Смотрите, здесь
вначале идет многострочная строка с описанием работы функции. Так рекомендуется
делать для ключевых функций программы, чтобы другие программисты могли быстро
понимать, как их применять на практике. А, далее, после описания следует сам
алгоритм Евклида.
Выполним эту
функцию со значениями аргументов 18 и 24:
res = get_nod(18, 24) print(res)
Видим в консоли верное
значение 6. Вот пример правильного оформления ключевых функций программы. Мало
того, встроенная функция:
позволяет
выводить описание указанных функций. И мы видим в консоли наше сформированное сообщение.
Это очень удобно, особенно при групповой работе над проектом.
После того, как
функция определена, ее следует протестировать и убедиться в корректности
возвращаемых результатов. Для этого тестировщик создает свою вспомогательную
функцию. Используя наши текущие знания, мы ее опишем, следующим образом:
def test_nod(func): # -- тест №1 ------------------------------- a = 28 b = 35 res = func(a, b) if res == 7: print("#test1 - ok") else: print("#test1 - fail") # -- тест №2 ------------------------------- a = 100 b = 1 res = func(a, b) if res == 1: print("#test2 - ok") else: print("#test2 - fail") # -- тест №3 ------------------------------- a = 2 b = 10000000 st = time.time() res = func(a, b) et = time.time() dt = et - st if res == 2 and dt < 1: print("#test3 - ok") else: print("#test3 - fail")
В первых двух
тестах мы проверяем корректность вычислений, а в третьем – еще и скорость
работы. Конечно, это довольно примитивное тестирование, показывающее лишь
принцип разработки программы, но для учебных целей вполне достаточно.
Далее, выполним
импорт нужного нам модуля time для вызова
функции time():
и в конце вызовем
тестирующую функцию для тестирования get_nod:
Смотрите, у нас
первые два теста прошли, а третий – не прошел, так как функция слишком долго
вычисляла результат.
Давайте поправим
ее и ускорим алгоритм Евклида. Как это можно сделать? Смотрите, если взять два
числа a = 2 и b = 100, то по
изначальному алгоритму мы будем делать многочисленные вычитания из b a, пока значения
не сравняются. То есть, мы здесь, фактически, вычисляем остаток от вхождения
двойки в сотню, а это есть не что иное, как операция:
b = b % a = 0
И никаких
циклических вычитаний! Это, очевидно, будет работать много быстрее. При этом,
как только получаем остаток равный нулю, то НОД – это значение меньшей
переменной, то есть, в нашем примере – a = 2.
То же самое для
предыдущих значений a = 18, b = 24. Получаем серию таких
вычислений:
b = 24 % 18 = 6
a = 18 % 6 = 0
Значит, НОД(18,
24) = 6. Видите, как это быстро и просто! На уровне псевдокода быстрый алгоритм
Евклида можно описать так:
пока
меньшее число больше 0
большему числу присваиваем остаток от деления на меньшее число
выводим большее
число
Реализуем его в
виде функции:
def get_fast_nod(a, b): """Вычисляется НОД для натуральных чисел a и b по быстрому алгоритму Евклида. Возвращает вычисленный НОД. """ if a < b: a, b = b, a while b != 0: a, b = b, a % b return a
Предлагаю, в
качестве самостоятельного задания, вам самим в деталях разобраться, как она
работает. А мы ее сразу протестируем:
Как видите, она
проходит все три наших теста.
Надеюсь, из
этого занятия мне удалось донести до вас общий принцип разработки и
тестирования ключевых программных функций. А также объяснить работу алгоритма
Евклида. Если все это понятно, то смело переходите к следующему уроку.
Курс по Python: https://stepik.org/course/100707