Как найти нод числа со степенью

Как найти нод числа со степенью

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Одночлен

Определение 1

Выражения, являющиеся произведением чисел, переменных и их степеней, называются одночленами. Например, ${6х}^2,-11 sqrt{у, }{34a}^5b^4$. Также одночленами являются и сами числа, например $-243$, и переменные, например, y и их степени, например $x^{23}$.

Стандартным видом записи одночлен является такая, в которой на первом месте произведения стоит число, далее в произведении записаны переменные по их следовании в алфавите.

Например, одночлен ${34a}^5b^4$ записан в стандартном виде, а одночлен ${b^434a}^5$ — нет.

Число, стоящее на первом месте при стандартной записи одночлена, называется коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена ${34a}^5b^4$ равен $34$, а у одночлена $,-11 sqrt{y }$ равен $-11$.

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:

1) разложить числа на простые множители

2) выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

3) найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. разложить числа на простые множители

    $242=2cdot 11cdot 11$

    $132=2cdot 2cdot 3cdot 11$

  2. Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

    $242=2cdot 11cdot 11$

    $132=2cdot 2cdot 3cdot 11$

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=2cdot 11=22$

Наибольший общий делитель одночленов

«Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов» 👇

Определение 2

Одночлен, на который делится каждый из исходных одночленов, называется общим одночленом.

Например, для одночленов $a^2b^3$ и abc общим одночленом будет одночлен $ab$.

Наибольшим общим делителем одночленов будет являться одночлен, содержащий общие переменные с наибольшими показателями степеней.

Например, для одночленов $a^4b^3$ и $a^2b^5c^3$ наибольшим общим делителем будет $a^2b^3$.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух одночленов, необходимо:

1) найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов;

3) найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов.

Пример 2

Найти НОД одночленов ${ 63a}^2b^6c^{11} $ и ${81a}^3b^4c^9$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. найти переменные, входящие в состав исходных одночленов

    ${a}^2b^6c^{11} $ и $a^3b^4c^9$

  2. выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов

    ${a}^2b^6c^{11} $ и $a^3b^4c^9$

    Найдем НОД коэффициентов одночленов, т.е. чисел $63$ и $81$

    Разложим числа на простые множители

    $63=3cdot 3cdot 7$

    $81=3cdot 3cdot 3cdot 3$

    Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

    $63=3cdot 3cdot 7$

    $81=3cdot 3cdot 3cdot 3$

    Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=3cdot 3=9$

  3. Найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов

    $НОД({63a}^2b^6c^{11} $ и ${81a}^3b^4c^9)=9a^2b^4c^9$

Наименьшее общее кратное двух чисел

Определение 3

Общими кратными чисел называются числа, которые делятся на исходные без остатка. Например, для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д.

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители

  2. Выписать множители, входящие в состав первого числа, и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

Пример 3

Найти НОК чисел $9$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. Разложить числа на простые множители:

    $99=3cdot 3cdot 11$

    $77=7cdot 11$

  2. Выписать множители, входящие в состав первого:

    $3,3,11 $

    Добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого:

    $7$

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

    $НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$

Наименьшее общее кратное двух одночленов

Определение 4

Общим кратным двух одночленов называется одночлен, который делится на исходные без остатка. Например, для одночленов $b^6c^{11}$ и ${ b}^4c^9$ общими кратными будут одночлены $b^6c^{11}$, $b^7c^{22}$ и т.д. Наименьший из них и будет наименьшим общим кратным двух одночленов.

Чтобы найти НОК двух одночленов, необходимо:

1) Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

3) Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом.

Пример 4

Найти НОК${3a}^4b^7c^{12}d $ и ${8a}^3b^5c^9d^{12}$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов

    ${a}^4b^7c^{12}d $ и $a^3b^5c^9d^{12}$

  2. Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

    ${a}^4b^7c^{12}d $ и $a^3b^5c^9d^{12}$

  3. Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом

    $НОК{3a}^4b^7c^{12}d $;${8a}^3b^5c^9d^{12}= {a}^4b^7c^{12}d^{12}$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
с натуральными показателями и нулём.
Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках
для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют
упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!
!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений,
а показатели степеней складываются.

am · an = am + n, где
«a» — любое
число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

  • Упростить выражение.

    b · b2 · b3 · b4 · b5 =
    b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
  • Представить в виде степени.


    615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 =
    617
  • Представить в виде степени.


    (0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15

Важно!
Галка

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении
степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму
(33 + 32) на 35. Это понятно, если
посчитать
(33 + 32) = (27 + 9) = 36 , а
35 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!
!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений,
а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

=
am − n, где
«a» — любое
число, не равное нулю, а «m», «n» — любые
натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

  • Записать частное в виде степени

    (2b)5 : (2b)3 = (2b)5 − 3 = (2b)2
  • Вычислить.

    =
    113 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.


    38 : t = 34

    t = 38 : 34

    t = 38 − 4

    t = 34


    Ответ: t = 34 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

  • Пример. Упростить выражение.


    45m + 6 · 4m + 2 : 44m + 3 =
    45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 =
    46m + 8 − 4m − 3 = 42m + 5
  • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    =
    =

    =

    =

    =

    211 − 5 = 2 6 = 64

Важно!
Галка

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только
о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность
(43 −42) на 41. Это понятно, если посчитать
(43 −42) = (64 − 16) = 48, а
41 = 4

Будьте внимательны!

Свойство № 3
Возведение степени в степень

Запомните!
!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней
перемножаются.

(an)m = an · m, где
«a» — любое
число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a4)6 = a4 · 6 = a24
  • Пример. Представить 320 в виде степени с основанием
    32.

    По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении
    в степень показатели перемножаются, значит:

    свойства степени на примере

Свойства 4
Степень произведения

Запомните!
!

При возведении в степень произведения каждый из множителей
возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn, где
«a», «b» — любые рациональные
числа; «n» — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a2 · b3 · c )2 =
    62 · a2 · 2 · b3 · 2
    · с 1 · 2 = 36 a4 · b6
    · с 2
  • Пример 2.

    (−x2 · y)6 =

    ( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) =

    x12 · y6

Важно!
Галка

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней,
применяют и в обратном порядке.

(an · bn)=
(a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми
показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    24 · 54 = (2 · 5)4 =
    104 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,516 · 216 = (0,5 · 2)16 =
    1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление
надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями.
В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например,

45 · 32 = 43 ·
42 · 32 = 43 · (4 · 3)2 =

64 · 122 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

421 · (−0,25)20 = 4 · 4 20 ·
(−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25))20 = 4 · (−1)20 =
4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Запомните!
!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель,
и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn, где
«a», «b» — любые рациональные
числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.

    (5 : 3)12 = 512 : 312

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому
на теме
возведение дроби в степень
мы остановимся более подробно на следующей странице.

Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

24 апреля 2023 в 13:57

София Елизарьева
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
София Елизарьева
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

ЛяяялДляля

0
Спасибоthanks
Ответить

24 апреля 2023 в 13:57

София Елизарьева
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
София Елизарьева
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

0
Спасибоthanks
Ответить

Источник

Ответы 1

a) 2 в 32  степени * З в 4степени * 11 в 31 степени  и 2 в 23 степени * З в 7 степени *  11 в 14 степени

Нод: 2^23 * 3^4 * 11^14

Нок: 2^9 * 3^3 * 11^17

б) 4 в 24 степени * 6 в 14 степени * 9 в 8 степени  и 8 в 18  степени  * 10 в 17 степени *  12 в 16 степени

4 в 24 степени * 6 в 14 степени * 9 в 8 степени = 2^48 * 2^14 * 3^14 * 3^16 = 2^62 * 3^30

8 в 18  степени  * 10 в 17 степени *  12 в 16 степени = 2^54 * 2^17 * 5^17 * 3^16 * 2^32 = 2^103 * 3^16 * 5^17

Нод: 2^54 * 3^16

Нок: 2^8 * 3^14 * 5^17

  • Автор:

    valeriano

  • Оценить ответ:

    0

Знаешь ответ? Добавь его сюда!

Источник
  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Обыкновенные дроби
  5. Наибольший общий делитель

Число 36 имеет такие делители: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Число 126 имеет такие делители: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.

Синим цветом мы выделили числа 1, 2, 6, 9, 18, которые являются общими делителями чисел 36 и 126. Наибольшим из данных множителей является 18.

Наибольший общий делитель чисел и обозначают так: НОД(; ), то есть мы можем записать НОД(36; 126) = 18.

Предварительно разложив числа на простые множители, мы упростим нахождение наибольшего общего делителя многозначных чисел.

Найдем НОД(240; 165).

                                                

240 = 222235                       165 = 3511.

Синим мы выделили все общие простые делители рассматриваемых чисел, это 3 и 5. Значит, оба данных числа делятся и на произведение данных чисел, то есть на 35 = 15, оно и будет являться наибольшим общим делителем чисел 240 и 165, то есть НОД(240; 165) = 35 = 15.

Найдем НОД(2520; 4620).

                                               

2 520 = 2223357                 4 620 = 2235711.

Рассмотрев разложения данных чисел, мы можем заметить, что некоторые простые множители повторяются, например, число 2 в разложении числа 2520 повторяется трижды, а в разложении числа 4620 – дважды. Заметим, что число 4 = 22 является делителем и числа 2520, и числа 4620, а число 8 = 222, является делителем только числа 2520. Так же число 3 является множителем рассматриваемых чисел, а число 9 = 33 является только делителем числа 2520. Кроме чисел 4 и 3, общими делителями данных чисел являются числа 5 и 7.

Мы получили, что числа 2520 и 4620 делятся без остатка на каждое из чисел 4, 3, 5, 7, на их произведение 4357  рассматриваемые числа тоже делятся без остатка, то есть мы получили, что НОД(2520; 4620) = 4357 = 420.

Таким образом, можно найти НОД, разложив числа на простые множители и выписав те, что входят в разложение обоих чисел (или можно просто зачеркнуть те множители, которые есть только в разложении одного числа, например, в разложении числа 2520 нам надо вычеркнуть одну 2 и одну 3, а в разложении числа 4620 число 11).

Таким же образом можно найти НОД трех и более чисел.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

  1. разложить их на простые множители;
  2. из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
  3. найти произведение оставшихся множителей.

Заметим, что если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является НОД данных чисел.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Нам известно, что разложение на простые множители, мы можем записать в виде произведения степеней, то есть в последнем примере мы можем записать, что:

2 520 = 23325171

4 620 = 22315171111.

Тогда НОД мы можем найти по следующему правилу:

  1. Определить степени, основания которых являются общими простыми делителями данных чисел.
  2. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с меньшим показателем.
  3. Перемножить выбранные степени. Полученное произведение является искомым наибольшим общим делителем.

 Найдем НОД(2520; 4620):

  1.  Выписываем общие основания: 2, 3, 5, 7.
  2. Выбираем наименьшие показатели данных степеней: 22, 31, 51, 71.
  3. Находим произведение данных степеней, то есть искомый наибольший общий делитель: НОД(2520; 4620) = 22315171 = 420.

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби


Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 143,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 166,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 171,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 239,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 249,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 259,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 153,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 191,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1473,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 351,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

Найдите НОД и НОК (a , b) , если а = 2 в 3 степени * 3 во 2 степени * 7 , b = 2 в 4 степени * 3 в 3 степени * 5 во 2 степени.

На этой странице находится ответ на вопрос Найдите НОД и НОК (a , b) , если а = 2 в 3 степени * 3 во 2 степени * 7 , b = 2 в 4 степени * 3 в 3 степени * 5 во 2 степени?, из категории
Математика, соответствующий программе для 1 – 4 классов. Чтобы посмотреть
другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов
подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью
соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого
интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе.
Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не
только просмотреть, но и прокомментировать.

Источник

Добавить комментарий