Как найти нод какие - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Для этого термина существует аббревиатура «НОД», которая имеет и другие значения, см. Нод.

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел и называется наибольший из их общих делителей^[1]. Пример: для чисел 54 и 24 наибольший общий делитель равен 6.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел или не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел и :

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.

Связанные определения[править | править код]

Наименьшее общее кратное[править | править код]

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел и — это наименьшее натуральное число, которое делится на и (без остатка). Обозначается НОК(m,n) или [m,n] , а в английской литературе .

НОК для ненулевых чисел и всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

Это частный случай более общей теоремы: если $a_{1},a_{2},dots ,a_{n}$ — ненулевые числа, — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

$D=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n}]cdot left({frac {D}{a_{1}}},{frac {D}{a_{2}}},dots ,{frac {D}{a_{n}}}right)$

Взаимно простые числа[править | править код]

Числа и называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме pm 1 . Для таких чисел НОД. Обратно, если НОД то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа $a_{1},a_{2},dots a_{k}$ , где kgeq 2 , называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД(6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Способы вычисления[править | править код]

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД(m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел и на простые множители:

$n=p_{1}^{{d_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{d_{k}}},$

$m=p_{1}^{{e_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{e_{k}}},$

где $p_{1},dots ,p_{k}$ — различные простые числа, а $d_{1},dots ,d_{k}$ и $e_{1},dots ,e_{k}$ — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД(n,m) и НОК[n,m] выражаются формулами:

$(n,m)=p_{1}^{{min(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{min(d_{k},e_{k})}},$

$[n,m]=p_{1}^{{max(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{max(d_{k},e_{k})}}.$

Если чисел более двух: $a_{1},a_{2},dots a_{n}$ , их НОД находится по следующему алгоритму:

$d_{2}=(a_{1},a_{2})$

$d_{3}=(d_{2},a_{3})$

………

$d_{n}=(d_{{n-1}},a_{n})$

— это и есть искомый НОД.

Свойства[править | править код]

Основное свойство: наибольший общий делитель и делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Если делится на , то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
. В общем случае, если , где – целые числа, то .
— общий множитель можно выносить за знак НОД.
Если , то после деления на числа становятся взаимно простыми, то есть, $left({{frac {m}{D}},{frac {n}{D}}}right)=1$ . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
Мультипликативность: если $a_{1},a_{2}$ взаимно просты, то:

$(a_{1}cdot a_{2},b)=(a_{1},b)cdot (a_{2},b)$

left{acdot m+bcdot nmid a,bin mathbb{Z } right}

и поэтому

представим в виде линейной комбинации чисел

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты

— коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы

, порождённая набором ${a_{1},a_{2},dots ,a_{n}}$

, — циклическая и порождается одним элементом: НОД(a₁, a₂, … , a_n).

Вариации и обобщения[править | править код]

Понятие делимости целых чисел естественно обобщается на произвольные коммутативные кольца, такие, как кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Однако, определить НОД(a, b) как наибольший из общих делителей , нельзя, так как в таких кольцах, вообще говоря, не определено отношение порядка. Поэтому в качестве определения НОД берётся его основное свойство:

Наибольшим общим делителем НОД(a, b) называется тот общий делитель, который делится на все остальные общие делители

Для натуральных чисел новое определение эквивалентно старому. Для целых чисел НОД в новом смысле уже не однозначен: противоположное ему число тоже будет НОД. Для гауссовых чисел число различных НОД возрастает до 4.

НОД двух элементов коммутативного кольца, вообще говоря, не обязан существовать. Например, для нижеследующих элементов и кольца не существует наибольшего общего делителя:

a=4=2cdot 2=left(1+{sqrt {-3}}right)left(1-{sqrt {-3}}right),qquad b=left(1+{sqrt {-3}}right)cdot 2.

В евклидовых кольцах наибольший общий делитель всегда существует и определён с точностью до делителей единицы, то есть количество НОД равно числу делителей единицы в кольце.

См. также[править | править код]

Бинарный алгоритм вычисления НОД
Делимость
Алгоритм Евклида
Наименьшее общее кратное

Литература[править | править код]

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.

Примечания[править | править код]

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. страница 857

Источник

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Источник

Делимость

До того как начать разбирать эти две аббревиатуры, рассмотрим сначала понятие делимости. Что значит фраза “число А делится на число Б”? Например, 24 делится на 6. И что значит “не делится”? Например, 27 не делится на 2.

Когда мы говорим о делимости, то речь идет о целочисленном делении целых чисел. И делимость означает, что число делится на делитель нацело, без остатка.

24 делится на 6, частное равно 4, а остаток нулю.

27 не делится на 2, частное равно 13, а остаток равен одному.

Апельсин делится по количеству его долек

Признаки делимости

Проверить, делится ли одно число на заданное, можно просто выполнив деление. Но если число большое, а результат самого деления нам не так чтобы нужен? Можно ли не находя частное, определить, делится ли число?

Существуют несколько признаков делимости, когда по внешнему вида числа мы можем определить, делится ли оно на заданное. Рассмотрим только некоторые из них, те, которые легко проверяются.

По последней цифре

Число делится на 2, если его последняя цифра – четная.

Число делится на 5, если его последняя цифра – 5 или 0.

Число делится на 10, если его последняя цифра – 0.

Например, 234 делится на 2, так как 4 – четная.

235 делится на 5, так как последняя цифра – 5.

190 делится на 10 и на 5, так как последняя цифра – 0.

По сумме цифр числа

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9.

Например, 393 делится на 3, так как сумма цифр этого числа 3+9+3=15 делится на 3.

180 делится на 9, так как сумма цифр этого числа 1+8+0=9 делится на 9.

Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.

Например, 36 делится на 2 (6 четная) и на 3 (3+6=9 – делится на 3), поэтому оно делится на 6.

Простые и составные числа

Среди натуральных чисел выделяют такие числа, которые делятся только на 1 и на самого себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа, имеющие больше двух делителей, называют составными. Отдельно выделяют 1, у нее только один делитель.

Пример простого числа – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. Существуют специальные таблицы простых чисел, но многие проблемы простых чисел до сих пор не решены.

Разложение на простые множители

Для составных чисел можно найти такие множители, которые будут только простыми числами, а произведение этих множителей будет равно исходному числу.

Например, 24=2*2*2*3.

Это произведение и называется разложением на простые множители. Если множители отсортированы по возрастанию, то для каждого конкретного числа это разложение будет единственным.

Для построения такого разложения существует четкий алгоритм.

Записываем в левый столбец исходное число, проводим вертикальную черту, отделяя правый столбец.
Проверяем, делится ли число на 2. Если да, то записываем 2 в правый столбец, в левый столбец в следующей строке записываем кратное исходного числа и 2.
Проверяем, делится ли полученное число на 2, если да, то действуем как в пункте 2.
Если нет, то проверяем, делится ли наше число на 3. Если да, то 3 записываем в правый столбец, а в левый столбец строчкой ниже пишем кратное от деления на 3 и переходим к пункту 3.
Если число не делится на 3, то переходим к следующему числу в списке простых чисел – 5.
Каждый раз начинаем проверку делимости с 2, постепенно переходя к все большим и большим простым числам, если это необходимо.
Так действуем до тех пор, пока число в левом столбце не станет равно 1. Тогда останавливаемся.
В правом столбце у нас записаны все простые множители числа.

Наибольший общий делитель

НОД или наибольший общий делитель для нескольких чисел – это такое наибольшее число, на которое делятся все эти числа.

Например, НОД(12, 18)=6.

Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОД. Выписываем совпадающие множители, их произведение и даст нам НОД.

Наименьшее общее кратное

НОК или наименьшее общее кратное нескольких чисел – это такое наименьшее число, которое делится на все эти числа.

Например, НОК(4, 6)=12.

Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОК. К множителям меньшего числа дописываем несовпадающие множители. Это произведение и даст нам НОК.

Найдем НОД и НОК для 60 и 75, зная их разложение на множители

Взаимно простые числа

Если у двух составных чисел нет общих простых множителей, то такие числа называются взаимно простыми. НОК таких чисел равен их произведению, а НОД равен 1.

Источник

Загрузить PDF

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) для определенного количества чисел может быть легкой задачей, если вы умеете это делать.

1

Найдите делители чисел. Начните с поиска всех делителей первого и второго числа.
2

Сравните делители обоих чисел и найдите самое большое число, которое есть в списке делителей как первого, так и второго числа. Это число равно НОД.

Реклама

1

Разложите каждое число на простые множители. Простое число – это число, большее 1 и которое делится только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 5, 17, 97, 331.
2

Найдите общие простые множители. Общий простой множитель может быть только один, или их может быть несколько.
3

Если у двух чисел есть только один общий простой множитель, то он равен НОД. Если у двух чисел есть несколько общих простых множителей, то их произведение равно НОД.
4

Изучите пример. Чтобы продемонстрировать этот метод, изучите пример, приведенный на рисунке.

Реклама

Советы

Простое число – это число, которое делится только на 1 и на само себя.
Знаете ли вы, что в третьем веке до н.э. математик Евклид создал алгоритм для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и двух многочленов?

Об этой статье

Эту страницу просматривали 7382 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как найти НОД

Нахождение путём разложения на множители
Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:

2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:

Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:

НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит:

НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:

48 : 4 = 12

48 делится на 4 без остатка. Таким образом:

НОД (140, 96, 48) = 4.

Источник

Связанные определения[править | править код]

Наименьшее общее кратное[править | править код]

Взаимно простые числа[править | править код]

Способы вычисления[править | править код]

Свойства[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

Как найти НОД?

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Частный случай или взаимно простые числа

Делимость

Признаки делимости

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Как найти НОД

Нахождение путём разложения на множители

Алгоритм Евклида

Вам также может понравиться

Как найти плей маркет на huawei

Что такое хост как его найти

Как составить энергетический баланс предприятия

Добавить комментарий Отменить ответ