Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.
НОД — это наибольший общий делитель.
НОК — это наименьшее общее кратное.
Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.
Наибольший общий делитель
Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.
Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.
Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.
Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.
Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.
12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)
12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)
12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)
12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)
12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)
12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)
12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)
12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)
12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)
12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)
12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)
12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)
Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9
9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)
9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)
9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)
9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)
9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)
9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)
9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)
9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)
9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)
Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:
Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.
Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3
И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:
12 : 3 = 4
9 : 3 = 3
Значит НОД (12 и 9) = 3
Второй способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.
Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18
Сначала разложим оба числа на простые множители:
Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:
Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.
Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.
Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:
Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:
2 × 3 = 6
Значит НОД (24 и 18) = 6
Третий способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.
Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.
В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:
Получили два разложения: 
и 
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:
Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:
Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:
28 : 4 = 7
16 : 4 = 4
НОД (28 и 16) = 4
Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40
Раскладываем на множители число 100
Раскладываем на множители число 40
Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:
100 : 20 = 5
40 : 20 = 2
НОД (100 и 40) = 20.
Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128
Раскладываем на множители число 72
Раскладываем на множители число 128
Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:
72 : 8 = 9
128 : 8 = 16
НОД (72 и 128) = 8
Нахождение НОД для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.
Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36
Разложим на множители число 18
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Получили три разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:
18 : 6 = 3
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
НОД (18, 24 и 36) = 6
Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42
Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.
Разложим на множители число 12
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Разложим на множители число 42
Получили четыре разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:
12 : 6 = 2
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
42 : 6 = 7
НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6
Наименьшее общее кратное
Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.
Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.
Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.
Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.
Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.
В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.
Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:
Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:
Теперь выпишем кратные обоих чисел:
Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:
Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.
Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Второй способ нахождения НОК
Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.
Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.
Разложим на множители число 9
Разложим на множители число 12
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.
Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12
Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180
Разложим на множители число 50
Разложим на множители число 180
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:
900 : 50 = 18
900 : 180 = 5
НОК (50 и 180) = 900
Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33
Разложим на множители число 8
Разложим на множители число 15
Разложим на множители число 33
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:
1320 : 8 = 165
1320 : 15 = 88
1320 : 33 = 40
НОК (8, 15 и 33) = 1320
Третий способ нахождения НОК
Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.
Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.
К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:
Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.
Итак, перемножим числа 24 и 12
Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12
Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24
НОК (24 и 12) = 24
Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48
Найдем НОД чисел 36 и 48
Перемножим числа 36 и 48
Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48
Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144
НОК (36 и 48) = 144
Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144
Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16
Решение:
Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16
Решение:
Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32
Решение:
Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32
Решение:
Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86
Решение:
Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86
Решение:
Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35
Решение:
Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35
Решение:
Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82
Решение:
Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82
Решение:
Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76
Решение:
Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Что такое нок в математике? Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы узнаем, как найти наименьшее общее кратное, какие есть для этого способы для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как находить НОК отрицательного числа. Также разберемся, что такое нок и нод, как найти нок и нод.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже узнали, что такое нок, а также установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем (кратность показывает в расчетах во сколько раз один показатель больше другого). Теперь как настоящие математики научимся определять НОК через НОД (нок и нод чисел натуральных). Сначала разберемся, как найти нок для положительных чисел. Сделать это можно и онлайн или на калькуляторе, но лучше научиться самостоятельно.
Поиск наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель можно по формуле НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Необходимо найти НОК чисел 126 и 70.
Решение
Начнем решать. Примем a=126, b=70. Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Найдем НОД чисел 70 и 126. Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следовательно, NOD(126, 70)=14.
Вычислим НОК: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=126·70:14=630.
Ответ: NOC(126, 70)=630.
Найдите нок чисел 68 и 34.
Решение
Как находить нод? НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34. Вычислим самое маленькое общее кратное по формуле: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=68·34:34=68.
Ответ: НОК(68, 34)=68.
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители. Перед тем, как это узнавать, дадим небольшое определение.
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
- составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
- исключаем их полученных произведений все простые множители;
- полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.
Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.
У нас есть два числа 75 и 210. Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2·3·3·5·5·5·7.
Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5, мы получим произведение следующего вида: 2·3·5·5·7=1050. Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210.
Найдите НОК чисел 441 и 700, разложив оба числа на простые множители.
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
44114749713377
700350175357122557
Получаем две цепочки чисел: 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Найдем общие множители. Это число 7. Исключим его из общего произведения: 2·2·3·3·5·5·7·7. Получается, что НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Ответ: НОК(441, 700)= 44 100.
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
- разложим оба числа на простые множители:
- добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
- получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.
Вернемся к числам 75 и 210, для которых мы уже пробовали искать НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. К произведению множителей 3, 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210. Получаем: 2·3·5·5·7. Это и есть НОК чисел 75 и 210.
Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648.
Решение
Разложим числа из условия на простые множители: 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Добавим к произведению множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2, 3, 3 и
3 числа 648. Получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7=4536. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Ответ: НОК(84, 648)=4 536.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Предположим, что у нас есть целые числа a1, a2, …, ak. НОК mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk−1, ak).
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140, 9, 54 и 250.
Решение задания
Введем обозначения: a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.
Начнем с того, что вычислим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9). Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4. Получаем: НОД(140, 9)=1, НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)=140·9:1=1 260. Следовательно, m2=1 260.
Теперь вычислим по тому е алгоритму m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54). В ходе вычислений получаем m3=3 780.
Нам осталось вычислить m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250). Действуем по тому же алгоритму. Получаем m4=94 500.
НОК четырех чисел из условия примера равно 94500.
Ответ: НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
- раскладываем все числа на простые множители;
- к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
- к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
- полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.
Необходимо найти НОК пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Решение
Разложим все пять чисел на простые множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7, 143=11·13. Простые числа, которым является число 7, на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.
Теперь возьмем произведение простых множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3. Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.
Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48, из произведения простых множителей которого берем 2 и 2. Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2·2·2·2·3·7·11·13=48 048. Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.
Ответ: НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
НОК(54, −34)=НОК(54, 34), а НОК(−622, −46, −54, −888)=НОК(622, 46, 54, 888).
Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и −a – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a.
Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел −145 и −45.
Решение
Произведем замену чисел −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45. Теперь по алгоритму вычислим НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)=145·45:5=1 305, предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.
Получим, что НОК чисел −145 и −45 равно 1 305.
Ответ: НОК(−145, −45)=1 305.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
НОД и НОК чисел – наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел
Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.
Калькулятор для нахождения НОД и НОК
Найти НОД и НОК
Найдено НОД и НОК:
Как пользоваться калькулятором
- Введите числа в поле для ввода
- В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
- нажмите кнопку “Найти НОД и НОК”
Как вводить числа
- Числа вводятся через пробел, точку или запятую
- Длина вводимых чисел не ограничена, так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда
Что такое НОД и НОК?
Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК.
Как проверить, что число делится на другое число без остатка?
Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.
Некоторые признаки делимости чисел
1. Признак делимости числа на 2
Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
Пример: определить, делится ли на 2 число 34938.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число делится на два.
2. Признак делимости числа на 3
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.
3. Признак делимости числа на 5
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число НЕ делится на пять.
4. Признак делимости числа на 9
Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.
Как найти НОД и НОК двух чисел
Как найти НОД двух чисел
Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.
Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):
- Раскладываем оба числа на множители:
28 = 1·2·2·7,36 = 1·2·2·3·3 - Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
- Вычисляем произведение этих множителей:
1·2·2 = 4– это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.
Как найти НОК двух чисел
Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.
Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:
- Находим произведение чисел 28 и 36:
28·36 = 1008 - НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
- НОК(28, 36) =
1008 / 4 = 252.
Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).
Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)
Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.
- Cперва разложим числа на множители:
12 = 1·2·2·3,32 = 1·2·2·2·2·2,36 = 1·2·2·3·3. - Найдём обшие множители:
1, 2 и 2. - Их произведение даст НОД:
1·2·2 = 4 - Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала
НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96. - Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36):
96 = 1·2·2·2·2·2·3,36 = 1·2·2·3·3,НОД = 1·2·2·3 = 12. - НОК(12, 32, 36) =
96·36 / 12 = 288.
Калькулятор НОД и НОК
При помощи данного калькулятора вы можете легко найти наибольший общий делитель НОД и наименьшее общее кратное НОК благодаря подробно расписанному решению. Вы можете найти НОД и НОК для двух, трех и четырех чисел
Выберите количество чисел для НОД и НОК
Наибольший общий делитель НОД
Наибольший общий делитель НОД(a, b) – это наибольшее натуральной число, на которое можно разделить без остатка числа a и b.
Если числа имеют только один общий делитель – единицу, то такие числа называют взаимно простыми.
Наибольший общий делитель НОД обозначают: НОД(a, b), (a, b), gcd(a, b), hcf(a, b).
Свойства НОД
- Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель этих чисел.
Данное свойство означает, что если найти все общие делители чисел a и b, то НОД(a, b) будет делится на любой из этих делителей.
Например, возьмём два числа 15 и 30 и найдем все общие делители этих чисел: 1, 3, 5, 15. Наибольший из этих делителей – число 15. Тогда число 15 делится на 1, 3, 5, 15. - Если число a делится на b, то НОД(a, b) = b.
Например, число 20 делится на число 10, тогда НОД(20, 10) = 10. - При помощи наибольшего общего делителя можно привести дроби к несократимому виду.
Например, дробь 5/30 можно привести к несократимому виду, если найти НОД(30, 5). НОД(30, 5) = 5, следовательно число 5 – самое больше число из возможных делителей числа 30 и 5 на которое можно разделить эти числа, тогда 30:5 = 6, 5:5 = 1. Получаем дробь 5/30 = 1/6.
Любые действия с дробями и развернутое поэтапное решение можно вычислить, используя калькулятор дробей.
Как найти наибольший общий делитель НОД
Чтобы найти наибольший общий делитель НОД двух, трех и более чисел, необходимо:
- Разложить числа на простые множители.
- Найти общие множители чисел – такие числа, которые есть в разложении всех чисел и вычеркнуть их.
- Перемножить оставшиеся множители.
Приведем пример, найдем наибольший общий делитель двух чисел 24 и 58.
Способ №1
- Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).
58 – составное число
Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
24 : 2 = 12 – делится на простое число 2
12 : 2 = 6 – делится на простое число 2
6 : 2 = 3 – делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 3 простое числоРазложим число 58 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
58 : 2 = 29 – делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 29 простое число - Выделим синим цветом и выпишем общие множители.
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
58 = 2 ⋅ 29
У чисел (24, 58) только один общий множитель – 2 и он и будет наибольшим общим делителем этих чиселОтвет: НОД (24, 58) = 2
Способ №2
- Найдем все возможные делители чисел (24, 58). Для этого поочередно разделим число 24 на делители от 1 до 24, число 58 на делители от 1 до 58. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.
Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
24 : 1 = 24;
24 : 2 = 12;
24 : 3 = 8;
24 : 4 = 6;
24 : 6 = 4;
24 : 8 = 3;
24 : 12 = 2;
24 : 24 = 1;Для числа 58 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
58 : 1 = 58;
58 : 2 = 29;
58 : 29 = 2;
58 : 58 = 1; - Выпишем все общие делители чисел (24, 58) и выделим зеленым цветом самый большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (24, 58)
Общие делители чисел (24, 58): 1, 2
Ответ: НОД (24, 58) = 2
Наименьшее общее кратное НОК
Наименьшее общее кратное НОК(a, b) – это наименьшее число, которое можно разделить на числа a и b без остатка.
Наименьшее общее кратное НОК обозначается: НОК(a, b), [a, b], LCM(a, b), lcm(a, b).
Как найти наименьшее общее кратное НОК
Чтобы найти НОК двух, трех и более чисел необходимо:
- Разложить эти числа на простые множители.
- Выписать множители одного из чисел и добавить к ним множители из разложения остальных чисел, которых нет в разложении.
- Умножить получившиеся множители.
Приведем пример, найдем наименьшее общее кратное НОК для чисел 30 и 225.
Способ №1
- Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).
225 – составное число
30 – составное числоРазложим число 225 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
225 : 3 = 75 – делится на простое число 3
75 : 3 = 25 – делится на простое число 3
25 : 5 = 5 – делится на простое число 5.
Завершаем деление, так как 5 простое числоРазложим число 30 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
30 : 2 = 15 – делится на простое число 2
15 : 3 = 5 – делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 5 простое число - Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.
225 = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5
30 = 2 ∙ 3 ∙ 53) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом
НОК (225 ; 30) = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 2 = 450
Способ №2
- Найдем все возможные кратные чисел (225 ; 30). Для этого поочередно умножим число 225 на числа от 1 до 30, число 30 на числа от 1 до 225.
Выделим все кратные числа 225 зеленым цветом:
зеленым цветом:225 ∙ 1 = 225; 225 ∙ 2 = 450; 225 ∙ 3 = 675; 225 ∙ 4 = 900;
225 ∙ 5 = 1125; 225 ∙ 6 = 1350; 225 ∙ 7 = 1575; 225 ∙ 8 = 1800;
225 ∙ 9 = 2025; 225 ∙ 10 = 2250; 225 ∙ 11 = 2475; 225 ∙ 12 = 2700;
225 ∙ 13 = 2925; 225 ∙ 14 = 3150; 225 ∙ 15 = 3375; 225 ∙ 16 = 3600;
225 ∙ 17 = 3825; 225 ∙ 18 = 4050; 225 ∙ 19 = 4275; 225 ∙ 20 = 4500;
225 ∙ 21 = 4725; 225 ∙ 22 = 4950; 225 ∙ 23 = 5175; 225 ∙ 24 = 5400;
225 ∙ 25 = 5625; 225 ∙ 26 = 5850; 225 ∙ 27 = 6075; 225 ∙ 28 = 6300;
225 ∙ 29 = 6525; 225 ∙ 30 = 6750;Выделим все кратные числа 30 зеленым цветом:
30 ∙ 1 = 30; 30 ∙ 2 = 60; 30 ∙ 3 = 90; 30 ∙ 4 = 120;
30 ∙ 5 = 150; 30 ∙ 6 = 180; 30 ∙ 7 = 210; 30 ∙ 8 = 240;
30 ∙ 9 = 270; 30 ∙ 10 = 300; 30 ∙ 11 = 330; 30 ∙ 12 = 360;
30 ∙ 13 = 390; 30 ∙ 14 = 420; 30 ∙ 15 = 450; 30 ∙ 16 = 480;
30 ∙ 17 = 510; 30 ∙ 18 = 540; 30 ∙ 19 = 570; 30 ∙ 20 = 600;
30 ∙ 21 = 630; 30 ∙ 22 = 660; 30 ∙ 23 = 690; 30 ∙ 24 = 720;
30 ∙ 25 = 750; 30 ∙ 26 = 780; 30 ∙ 27 = 810; 30 ∙ 28 = 840;
30 ∙ 29 = 870; 30 ∙ 30 = 900; 30 ∙ 31 = 930; 30 ∙ 32 = 960;
30 ∙ 33 = 990; 30 ∙ 34 = 1020; 30 ∙ 35 = 1050; 30 ∙ 36 = 1080;
30 ∙ 37 = 1110; 30 ∙ 38 = 1140; 30 ∙ 39 = 1170; 30 ∙ 40 = 1200;
30 ∙ 41 = 1230; 30 ∙ 42 = 1260; 30 ∙ 43 = 1290; 30 ∙ 44 = 1320;
30 ∙ 45 = 1350; 30 ∙ 46 = 1380; 30 ∙ 47 = 1410; 30 ∙ 48 = 1440;
30 ∙ 49 = 1470; 30 ∙ 50 = 1500; 30 ∙ 51 = 1530; 30 ∙ 52 = 1560;
30 ∙ 53 = 1590; 30 ∙ 54 = 1620; 30 ∙ 55 = 1650; 30 ∙ 56 = 1680;
30 ∙ 57 = 1710; 30 ∙ 58 = 1740; 30 ∙ 59 = 1770; 30 ∙ 60 = 1800;
30 ∙ 61 = 1830; 30 ∙ 62 = 1860; 30 ∙ 63 = 1890; 30 ∙ 64 = 1920;
30 ∙ 65 = 1950; 30 ∙ 66 = 1980; 30 ∙ 67 = 2010; 30 ∙ 68 = 2040;
30 ∙ 69 = 2070; 30 ∙ 70 = 2100; 30 ∙ 71 = 2130; 30 ∙ 72 = 2160;
30 ∙ 73 = 2190; 30 ∙ 74 = 2220; 30 ∙ 75 = 2250; 30 ∙ 76 = 2280;
30 ∙ 77 = 2310; 30 ∙ 78 = 2340; 30 ∙ 79 = 2370; 30 ∙ 80 = 2400;
30 ∙ 81 = 2430; 30 ∙ 82 = 2460; 30 ∙ 83 = 2490; 30 ∙ 84 = 2520;
30 ∙ 85 = 2550; 30 ∙ 86 = 2580; 30 ∙ 87 = 2610; 30 ∙ 88 = 2640;
30 ∙ 89 = 2670; 30 ∙ 90 = 2700; 30 ∙ 91 = 2730; 30 ∙ 92 = 2760;
30 ∙ 93 = 2790; 30 ∙ 94 = 2820; 30 ∙ 95 = 2850; 30 ∙ 96 = 2880;
30 ∙ 97 = 2910; 30 ∙ 98 = 2940; 30 ∙ 99 = 2970; 30 ∙ 100 = 3000;
30 ∙ 101 = 3030; 30 ∙ 102 = 3060; 30 ∙ 103 = 3090; 30 ∙ 104 = 3120;
30 ∙ 105 = 3150; 30 ∙ 106 = 3180; 30 ∙ 107 = 3210; 30 ∙ 108 = 3240;
30 ∙ 109 = 3270; 30 ∙ 110 = 3300; 30 ∙ 111 = 3330; 30 ∙ 112 = 3360;
30 ∙ 113 = 3390; 30 ∙ 114 = 3420; 30 ∙ 115 = 3450; 30 ∙ 116 = 3480;
30 ∙ 117 = 3510; 30 ∙ 118 = 3540; 30 ∙ 119 = 3570; 30 ∙ 120 = 3600;
30 ∙ 121 = 3630; 30 ∙ 122 = 3660; 30 ∙ 123 = 3690; 30 ∙ 124 = 3720;
30 ∙ 125 = 3750; 30 ∙ 126 = 3780; 30 ∙ 127 = 3810; 30 ∙ 128 = 3840;
30 ∙ 129 = 3870; 30 ∙ 130 = 3900; 30 ∙ 131 = 3930; 30 ∙ 132 = 3960;
30 ∙ 133 = 3990; 30 ∙ 134 = 4020; 30 ∙ 135 = 4050; 30 ∙ 136 = 4080;
30 ∙ 137 = 4110; 30 ∙ 138 = 4140; 30 ∙ 139 = 4170; 30 ∙ 140 = 4200;
30 ∙ 141 = 4230; 30 ∙ 142 = 4260; 30 ∙ 143 = 4290; 30 ∙ 144 = 4320;
30 ∙ 145 = 4350; 30 ∙ 146 = 4380; 30 ∙ 147 = 4410; 30 ∙ 148 = 4440;
30 ∙ 149 = 4470; 30 ∙ 150 = 4500; 30 ∙ 151 = 4530; 30 ∙ 152 = 4560;
30 ∙ 153 = 4590; 30 ∙ 154 = 4620; 30 ∙ 155 = 4650; 30 ∙ 156 = 4680;
30 ∙ 157 = 4710; 30 ∙ 158 = 4740; 30 ∙ 159 = 4770; 30 ∙ 160 = 4800;
30 ∙ 161 = 4830; 30 ∙ 162 = 4860; 30 ∙ 163 = 4890; 30 ∙ 164 = 4920;
30 ∙ 165 = 4950; 30 ∙ 166 = 4980; 30 ∙ 167 = 5010; 30 ∙ 168 = 5040;
30 ∙ 169 = 5070; 30 ∙ 170 = 5100; 30 ∙ 171 = 5130; 30 ∙ 172 = 5160;
30 ∙ 173 = 5190; 30 ∙ 174 = 5220; 30 ∙ 175 = 5250; 30 ∙ 176 = 5280;
30 ∙ 177 = 5310; 30 ∙ 178 = 5340; 30 ∙ 179 = 5370; 30 ∙ 180 = 5400;
30 ∙ 181 = 5430; 30 ∙ 182 = 5460; 30 ∙ 183 = 5490; 30 ∙ 184 = 5520;
30 ∙ 185 = 5550; 30 ∙ 186 = 5580; 30 ∙ 187 = 5610; 30 ∙ 188 = 5640;
30 ∙ 189 = 5670; 30 ∙ 190 = 5700; 30 ∙ 191 = 5730; 30 ∙ 192 = 5760;
30 ∙ 193 = 5790; 30 ∙ 194 = 5820; 30 ∙ 195 = 5850; 30 ∙ 196 = 5880;
30 ∙ 197 = 5910; 30 ∙ 198 = 5940; 30 ∙ 199 = 5970; 30 ∙ 200 = 6000;
30 ∙ 201 = 6030; 30 ∙ 202 = 6060; 30 ∙ 203 = 6090; 30 ∙ 204 = 6120;
30 ∙ 205 = 6150; 30 ∙ 206 = 6180; 30 ∙ 207 = 6210; 30 ∙ 208 = 6240;
30 ∙ 209 = 6270; 30 ∙ 210 = 6300; 30 ∙ 211 = 6330; 30 ∙ 212 = 6360;
30 ∙ 213 = 6390; 30 ∙ 214 = 6420; 30 ∙ 215 = 6450; 30 ∙ 216 = 6480;
30 ∙ 217 = 6510; 30 ∙ 218 = 6540; 30 ∙ 219 = 6570; 30 ∙ 220 = 6600;
30 ∙ 221 = 6630; 30 ∙ 222 = 6660; 30 ∙ 223 = 6690; 30 ∙ 224 = 6720;
30 ∙ 225 = 6750; - Выпишем все общие кратные чисел (225 ; 30) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (225 ; 30).
Общие кратные чисел (225 ; 30): 450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700, 3150, 3600, 4050, 4500, 4950, 5400, 5850, 6300, 6750
Ответ: НОК (225 ; 30) = 450
| Вам могут также быть полезны следующие сервисы |
| Калькуляторы (Теория чисел) |
| Калькулятор выражений |
| Калькулятор упрощения выражений |
| Калькулятор со скобками |
| Калькулятор уравнений |
| Калькулятор суммы |
| Калькулятор пределов функций |
| Калькулятор разложения числа на простые множители |
| Калькулятор НОД и НОК |
| Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида |
| Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел |
| Калькулятор делителей числа |
| Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых |
| Калькулятор деления числа в данном отношении |
| Калькулятор процентов |
| Калькулятор перевода числа с Е в десятичное |
| Калькулятор экспоненциальной записи чисел |
| Калькулятор нахождения факториала числа |
| Калькулятор нахождения логарифма числа |
| Калькулятор квадратных уравнений |
| Калькулятор остатка от деления |
| Калькулятор корней с решением |
| Калькулятор нахождения периода десятичной дроби |
| Калькулятор больших чисел |
| Калькулятор округления числа |
| Калькулятор свойств корней и степеней |
| Калькулятор комплексных чисел |
| Калькулятор среднего арифметического |
| Калькулятор арифметической прогрессии |
| Калькулятор геометрической прогрессии |
| Калькулятор модуля числа |
| Калькулятор абсолютной погрешности приближения |
| Калькулятор абсолютной погрешности |
| Калькулятор относительной погрешности |
| Дроби |
| Калькулятор интервальных повторений |
| Учим дроби наглядно |
| Калькулятор сокращения дробей |
| Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную |
| Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей |
| Калькулятор возведения дроби в степень |
| Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную |
| Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную |
| Калькулятор сравнения дробей |
| Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю |
| Калькуляторы (тригонометрия) |
| Калькулятор синуса угла |
| Калькулятор косинуса угла |
| Калькулятор тангенса угла |
| Калькулятор котангенса угла |
| Калькулятор секанса угла |
| Калькулятор косеканса угла |
| Калькулятор арксинуса угла |
| Калькулятор арккосинуса угла |
| Калькулятор арктангенса угла |
| Калькулятор арккотангенса угла |
| Калькулятор арксеканса угла |
| Калькулятор арккосеканса угла |
| Калькулятор нахождения наименьшего угла |
| Калькулятор определения вида угла |
| Калькулятор смежных углов |
| Калькуляторы систем счисления |
| Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские |
| Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел |
| Системы счисления теория |
| N2 | Двоичная система счисления |
| N3 | Троичная система счисления |
| N4 | Четырехичная система счисления |
| N5 | Пятеричная система счисления |
| N6 | Шестеричная система счисления |
| N7 | Семеричная система счисления |
| N8 | Восьмеричная система счисления |
| N9 | Девятеричная система счисления |
| N11 | Одиннадцатиричная система счисления |
| N12 | Двенадцатеричная система счисления |
| N13 | Тринадцатеричная система счисления |
| N14 | Четырнадцатеричная система счисления |
| N15 | Пятнадцатеричная система счисления |
| N16 | Шестнадцатеричная система счисления |
| N17 | Семнадцатеричная система счисления |
| N18 | Восемнадцатеричная система счисления |
| N19 | Девятнадцатеричная система счисления |
| N20 | Двадцатеричная система счисления |
| N21 | Двадцатиодноричная система счисления |
| N22 | Двадцатидвухричная система счисления |
| N23 | Двадцатитрехричная система счисления |
| N24 | Двадцатичетырехричная система счисления |
| N25 | Двадцатипятеричная система счисления |
| N26 | Двадцатишестеричная система счисления |
| N27 | Двадцатисемеричная система счисления |
| N28 | Двадцативосьмеричная система счисления |
| N29 | Двадцатидевятиричная система счисления |
| N30 | Тридцатиричная система счисления |
| N31 | Тридцатиодноричная система счисления |
| N32 | Тридцатидвухричная система счисления |
| N33 | Тридцатитрехричная система счисления |
| N34 | Тридцатичетырехричная система счисления |
| N35 | Тридцатипятиричная система счисления |
| N36 | Тридцатишестиричная система счисления |
| Калькуляторы площади геометрических фигур |
| Площадь квадрата |
| Площадь прямоугольника |
| КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ |
| Калькуляторы (Комбинаторика) |
| Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов |
| Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия |
| Калькулятор сложения и вычитания матриц |
| Калькулятор умножения матриц |
| Калькулятор транспонирование матрицы |
| Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы |
| Калькулятор нахождения обратной матрицы |
| Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками |
| Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам |
| Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора |
| Калькулятор сложения и вычитания векторов |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор векторного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор смешанного произведения векторов |
| Калькулятор умножения вектора на число |
| Калькулятор нахождения угла между векторами |
| Калькулятор проверки коллинеарности векторов |
| Калькулятор проверки компланарности векторов |
| Генератор Pdf с примерами |
| Тренажёры решения примеров |
| Тренажер по математике |
| Тренажёр таблицы умножения |
| Тренажер счета для дошкольников |
| Тренажер счета на внимательность для дошкольников |
| Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. |
| Тренажер решения примеров с разными действиями |
| Тренажёры решения столбиком |
| Тренажёр сложения столбиком |
| Тренажёр вычитания столбиком |
| Тренажёр умножения столбиком |
| Тренажёр деления столбиком с остатком |
| Калькуляторы решения столбиком |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком |
| Калькулятор деления столбиком с остатком |
| Конвертеры величин |
| Конвертер единиц длины |
| Конвертер единиц скорости |
| Конвертер единиц ускорения |
| Цифры в текст |
| Калькуляторы (физика) |
|
Механика |
| Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния |
| Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения |
| Калькулятор вычисления времени движения |
| Калькулятор времени |
| Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. |
| Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. |
| Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости |
| Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. |
| Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения |
|
Оптика |
| Калькулятор отражения и преломления света |
|
Электричество и магнетизм |
| Калькулятор Закона Ома |
| Калькулятор Закона Кулона |
| Калькулятор напряженности E электрического поля |
| Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q |
| Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q |
| Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля |
| Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы |
|
Конденсаторы |
| Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькуляторы по астрономии |
| Вес тела на других планетах |
| Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках |
| Генераторы |
| Генератор примеров по математике |
| Генератор случайных чисел |
| Генератор паролей |
Делимость
До того как начать разбирать эти две аббревиатуры, рассмотрим сначала понятие делимости. Что значит фраза “число А делится на число Б”? Например, 24 делится на 6. И что значит “не делится”? Например, 27 не делится на 2.
Когда мы говорим о делимости, то речь идет о целочисленном делении целых чисел. И делимость означает, что число делится на делитель нацело, без остатка.
24 делится на 6, частное равно 4, а остаток нулю.
27 не делится на 2, частное равно 13, а остаток равен одному.
Признаки делимости
Проверить, делится ли одно число на заданное, можно просто выполнив деление. Но если число большое, а результат самого деления нам не так чтобы нужен? Можно ли не находя частное, определить, делится ли число?
Существуют несколько признаков делимости, когда по внешнему вида числа мы можем определить, делится ли оно на заданное. Рассмотрим только некоторые из них, те, которые легко проверяются.
По последней цифре
Число делится на 2, если его последняя цифра – четная.
Число делится на 5, если его последняя цифра – 5 или 0.
Число делится на 10, если его последняя цифра – 0.
Например, 234 делится на 2, так как 4 – четная.
235 делится на 5, так как последняя цифра – 5.
190 делится на 10 и на 5, так как последняя цифра – 0.
По сумме цифр числа
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.
Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9.
Например, 393 делится на 3, так как сумма цифр этого числа 3+9+3=15 делится на 3.
180 делится на 9, так как сумма цифр этого числа 1+8+0=9 делится на 9.
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.
Например, 36 делится на 2 (6 четная) и на 3 (3+6=9 – делится на 3), поэтому оно делится на 6.
Простые и составные числа
Среди натуральных чисел выделяют такие числа, которые делятся только на 1 и на самого себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа, имеющие больше двух делителей, называют составными. Отдельно выделяют 1, у нее только один делитель.
Пример простого числа – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. Существуют специальные таблицы простых чисел, но многие проблемы простых чисел до сих пор не решены.
Разложение на простые множители
Для составных чисел можно найти такие множители, которые будут только простыми числами, а произведение этих множителей будет равно исходному числу.
Например, 24=2*2*2*3.
Это произведение и называется разложением на простые множители. Если множители отсортированы по возрастанию, то для каждого конкретного числа это разложение будет единственным.
Для построения такого разложения существует четкий алгоритм.
- Записываем в левый столбец исходное число, проводим вертикальную черту, отделяя правый столбец.
- Проверяем, делится ли число на 2. Если да, то записываем 2 в правый столбец, в левый столбец в следующей строке записываем кратное исходного числа и 2.
- Проверяем, делится ли полученное число на 2, если да, то действуем как в пункте 2.
- Если нет, то проверяем, делится ли наше число на 3. Если да, то 3 записываем в правый столбец, а в левый столбец строчкой ниже пишем кратное от деления на 3 и переходим к пункту 3.
- Если число не делится на 3, то переходим к следующему числу в списке простых чисел – 5.
- Каждый раз начинаем проверку делимости с 2, постепенно переходя к все большим и большим простым числам, если это необходимо.
- Так действуем до тех пор, пока число в левом столбце не станет равно 1. Тогда останавливаемся.
- В правом столбце у нас записаны все простые множители числа.
Наибольший общий делитель
НОД или наибольший общий делитель для нескольких чисел – это такое наибольшее число, на которое делятся все эти числа.
Например, НОД(12, 18)=6.
Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОД. Выписываем совпадающие множители, их произведение и даст нам НОД.
Наименьшее общее кратное
НОК или наименьшее общее кратное нескольких чисел – это такое наименьшее число, которое делится на все эти числа.
Например, НОК(4, 6)=12.
Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОК. К множителям меньшего числа дописываем несовпадающие множители. Это произведение и даст нам НОК.
Взаимно простые числа
Если у двух составных чисел нет общих простых множителей, то такие числа называются взаимно простыми. НОК таких чисел равен их произведению, а НОД равен 1.
