Нахождение НОД и НОК чисел
Онлайн-калькулятор “Нахождение НОД и НОК чисел“. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку “Вычислить” и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.
Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:
2 числа
3 числа
4 числа
| Первое число | Второе число |
Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6
Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144
Это следует знать!
Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7
Как найти НОД
- Нахождение путём разложения на множители
- Алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:
Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:
2 · 3 = 6.
Таким образом, НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:
Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.
НОД (15, 28) = 1.
Алгоритм Евклида
Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.
Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:
НОД (27, 9) = 9.
В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:
- Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
- Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
- Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
- Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
- Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)
2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)
3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)
4) 8 : 4 = 2
Последний делитель равен 4 — это значит:
НОД (140, 96) = 4.
Последовательное деление так же можно записывать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:
- Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
- Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
- Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.
Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:
48 : 4 = 12
48 делится на 4 без остатка. Таким образом:
НОД (140, 96, 48) = 4.
НОД чисел онлайн
Наибольшим общим делителем нескольких натуральных чисел называется наибольшее натуральное число на которое делятся эти числа без остатка
Выберите количество чисел для нахождения НОД
2 числа3 числа4 числа5 чисел6 чисел
Введите числа
Нахождение НОД с помощью разложения на простые множители
1) Для начала нужно каждое число разложить на простые множители
2) Потом подчеркнуть общие множители
3) Перемножить все общие множители
4) Результатом умножения общих множителей будет НОД
Разберём пример
Найдём НОД(8,16)
Разложим числа
8 = 2 × 2 × 2
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Подчеркнём общие множители
8 = 2 × 2 × 2
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Перемножим общие множители
НОД(8, 16) = 2 × 2 × 2 = 8
Нод 3 чисел и более
Всё по аналогии с 2 числами
Разберём пример
Найдём НОД(8,16,32)
Разложим числа
8 = 2 × 2 × 2
16 = 2 × 2 × 2 × 2
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Подчеркнём общие множители
8 = 2 × 2 × 2
16 = 2 × 2 × 2 × 2
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Перемножим общие множители
НОД(8, 16, 32) = 2 × 2 × 2 = 8
Что может калькулятор ?
Находить НОД 2 чисел
Находить НОД 3 чисел
Находить НОД 4 чисел
Находить НОД 5 чисел
Находить НОД 6 чисел
Отображает алгоритм нахождения НОД
Похожие калькуляторы
Калькулятор НОД и НОК
При помощи данного калькулятора вы можете легко найти наибольший общий делитель НОД и наименьшее общее кратное НОК благодаря подробно расписанному решению. Вы можете найти НОД и НОК для двух, трех и четырех чисел
Выберите количество чисел для НОД и НОК
Наибольший общий делитель НОД
Наибольший общий делитель НОД(a, b) – это наибольшее натуральной число, на которое можно разделить без остатка числа a и b.
Если числа имеют только один общий делитель – единицу, то такие числа называют взаимно простыми.
Наибольший общий делитель НОД обозначают: НОД(a, b), (a, b), gcd(a, b), hcf(a, b).
Свойства НОД
- Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель этих чисел.
Данное свойство означает, что если найти все общие делители чисел a и b, то НОД(a, b) будет делится на любой из этих делителей.
Например, возьмём два числа 15 и 30 и найдем все общие делители этих чисел: 1, 3, 5, 15. Наибольший из этих делителей – число 15. Тогда число 15 делится на 1, 3, 5, 15. - Если число a делится на b, то НОД(a, b) = b.
Например, число 20 делится на число 10, тогда НОД(20, 10) = 10. - При помощи наибольшего общего делителя можно привести дроби к несократимому виду.
Например, дробь 5/30 можно привести к несократимому виду, если найти НОД(30, 5). НОД(30, 5) = 5, следовательно число 5 – самое больше число из возможных делителей числа 30 и 5 на которое можно разделить эти числа, тогда 30:5 = 6, 5:5 = 1. Получаем дробь 5/30 = 1/6.
Любые действия с дробями и развернутое поэтапное решение можно вычислить, используя калькулятор дробей.
Как найти наибольший общий делитель НОД
Чтобы найти наибольший общий делитель НОД двух, трех и более чисел, необходимо:
- Разложить числа на простые множители.
- Найти общие множители чисел – такие числа, которые есть в разложении всех чисел и вычеркнуть их.
- Перемножить оставшиеся множители.
Приведем пример, найдем наибольший общий делитель двух чисел 24 и 58.
Способ №1
- Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).
58 – составное число
Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
24 : 2 = 12 – делится на простое число 2
12 : 2 = 6 – делится на простое число 2
6 : 2 = 3 – делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 3 простое числоРазложим число 58 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
58 : 2 = 29 – делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 29 простое число - Выделим синим цветом и выпишем общие множители.
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
58 = 2 ⋅ 29
У чисел (24, 58) только один общий множитель – 2 и он и будет наибольшим общим делителем этих чиселОтвет: НОД (24, 58) = 2
Способ №2
- Найдем все возможные делители чисел (24, 58). Для этого поочередно разделим число 24 на делители от 1 до 24, число 58 на делители от 1 до 58. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.
Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
24 : 1 = 24;
24 : 2 = 12;
24 : 3 = 8;
24 : 4 = 6;
24 : 6 = 4;
24 : 8 = 3;
24 : 12 = 2;
24 : 24 = 1;Для числа 58 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
58 : 1 = 58;
58 : 2 = 29;
58 : 29 = 2;
58 : 58 = 1; - Выпишем все общие делители чисел (24, 58) и выделим зеленым цветом самый большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (24, 58)
Общие делители чисел (24, 58): 1, 2
Ответ: НОД (24, 58) = 2
Наименьшее общее кратное НОК
Наименьшее общее кратное НОК(a, b) – это наименьшее число, которое можно разделить на числа a и b без остатка.
Наименьшее общее кратное НОК обозначается: НОК(a, b), [a, b], LCM(a, b), lcm(a, b).
Как найти наименьшее общее кратное НОК
Чтобы найти НОК двух, трех и более чисел необходимо:
- Разложить эти числа на простые множители.
- Выписать множители одного из чисел и добавить к ним множители из разложения остальных чисел, которых нет в разложении.
- Умножить получившиеся множители.
Приведем пример, найдем наименьшее общее кратное НОК для чисел 30 и 225.
Способ №1
- Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).
225 – составное число
30 – составное числоРазложим число 225 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
225 : 3 = 75 – делится на простое число 3
75 : 3 = 25 – делится на простое число 3
25 : 5 = 5 – делится на простое число 5.
Завершаем деление, так как 5 простое числоРазложим число 30 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
30 : 2 = 15 – делится на простое число 2
15 : 3 = 5 – делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 5 простое число - Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.
225 = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5
30 = 2 ∙ 3 ∙ 53) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом
НОК (225 ; 30) = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 2 = 450
Способ №2
- Найдем все возможные кратные чисел (225 ; 30). Для этого поочередно умножим число 225 на числа от 1 до 30, число 30 на числа от 1 до 225.
Выделим все кратные числа 225 зеленым цветом:
зеленым цветом:225 ∙ 1 = 225; 225 ∙ 2 = 450; 225 ∙ 3 = 675; 225 ∙ 4 = 900;
225 ∙ 5 = 1125; 225 ∙ 6 = 1350; 225 ∙ 7 = 1575; 225 ∙ 8 = 1800;
225 ∙ 9 = 2025; 225 ∙ 10 = 2250; 225 ∙ 11 = 2475; 225 ∙ 12 = 2700;
225 ∙ 13 = 2925; 225 ∙ 14 = 3150; 225 ∙ 15 = 3375; 225 ∙ 16 = 3600;
225 ∙ 17 = 3825; 225 ∙ 18 = 4050; 225 ∙ 19 = 4275; 225 ∙ 20 = 4500;
225 ∙ 21 = 4725; 225 ∙ 22 = 4950; 225 ∙ 23 = 5175; 225 ∙ 24 = 5400;
225 ∙ 25 = 5625; 225 ∙ 26 = 5850; 225 ∙ 27 = 6075; 225 ∙ 28 = 6300;
225 ∙ 29 = 6525; 225 ∙ 30 = 6750;Выделим все кратные числа 30 зеленым цветом:
30 ∙ 1 = 30; 30 ∙ 2 = 60; 30 ∙ 3 = 90; 30 ∙ 4 = 120;
30 ∙ 5 = 150; 30 ∙ 6 = 180; 30 ∙ 7 = 210; 30 ∙ 8 = 240;
30 ∙ 9 = 270; 30 ∙ 10 = 300; 30 ∙ 11 = 330; 30 ∙ 12 = 360;
30 ∙ 13 = 390; 30 ∙ 14 = 420; 30 ∙ 15 = 450; 30 ∙ 16 = 480;
30 ∙ 17 = 510; 30 ∙ 18 = 540; 30 ∙ 19 = 570; 30 ∙ 20 = 600;
30 ∙ 21 = 630; 30 ∙ 22 = 660; 30 ∙ 23 = 690; 30 ∙ 24 = 720;
30 ∙ 25 = 750; 30 ∙ 26 = 780; 30 ∙ 27 = 810; 30 ∙ 28 = 840;
30 ∙ 29 = 870; 30 ∙ 30 = 900; 30 ∙ 31 = 930; 30 ∙ 32 = 960;
30 ∙ 33 = 990; 30 ∙ 34 = 1020; 30 ∙ 35 = 1050; 30 ∙ 36 = 1080;
30 ∙ 37 = 1110; 30 ∙ 38 = 1140; 30 ∙ 39 = 1170; 30 ∙ 40 = 1200;
30 ∙ 41 = 1230; 30 ∙ 42 = 1260; 30 ∙ 43 = 1290; 30 ∙ 44 = 1320;
30 ∙ 45 = 1350; 30 ∙ 46 = 1380; 30 ∙ 47 = 1410; 30 ∙ 48 = 1440;
30 ∙ 49 = 1470; 30 ∙ 50 = 1500; 30 ∙ 51 = 1530; 30 ∙ 52 = 1560;
30 ∙ 53 = 1590; 30 ∙ 54 = 1620; 30 ∙ 55 = 1650; 30 ∙ 56 = 1680;
30 ∙ 57 = 1710; 30 ∙ 58 = 1740; 30 ∙ 59 = 1770; 30 ∙ 60 = 1800;
30 ∙ 61 = 1830; 30 ∙ 62 = 1860; 30 ∙ 63 = 1890; 30 ∙ 64 = 1920;
30 ∙ 65 = 1950; 30 ∙ 66 = 1980; 30 ∙ 67 = 2010; 30 ∙ 68 = 2040;
30 ∙ 69 = 2070; 30 ∙ 70 = 2100; 30 ∙ 71 = 2130; 30 ∙ 72 = 2160;
30 ∙ 73 = 2190; 30 ∙ 74 = 2220; 30 ∙ 75 = 2250; 30 ∙ 76 = 2280;
30 ∙ 77 = 2310; 30 ∙ 78 = 2340; 30 ∙ 79 = 2370; 30 ∙ 80 = 2400;
30 ∙ 81 = 2430; 30 ∙ 82 = 2460; 30 ∙ 83 = 2490; 30 ∙ 84 = 2520;
30 ∙ 85 = 2550; 30 ∙ 86 = 2580; 30 ∙ 87 = 2610; 30 ∙ 88 = 2640;
30 ∙ 89 = 2670; 30 ∙ 90 = 2700; 30 ∙ 91 = 2730; 30 ∙ 92 = 2760;
30 ∙ 93 = 2790; 30 ∙ 94 = 2820; 30 ∙ 95 = 2850; 30 ∙ 96 = 2880;
30 ∙ 97 = 2910; 30 ∙ 98 = 2940; 30 ∙ 99 = 2970; 30 ∙ 100 = 3000;
30 ∙ 101 = 3030; 30 ∙ 102 = 3060; 30 ∙ 103 = 3090; 30 ∙ 104 = 3120;
30 ∙ 105 = 3150; 30 ∙ 106 = 3180; 30 ∙ 107 = 3210; 30 ∙ 108 = 3240;
30 ∙ 109 = 3270; 30 ∙ 110 = 3300; 30 ∙ 111 = 3330; 30 ∙ 112 = 3360;
30 ∙ 113 = 3390; 30 ∙ 114 = 3420; 30 ∙ 115 = 3450; 30 ∙ 116 = 3480;
30 ∙ 117 = 3510; 30 ∙ 118 = 3540; 30 ∙ 119 = 3570; 30 ∙ 120 = 3600;
30 ∙ 121 = 3630; 30 ∙ 122 = 3660; 30 ∙ 123 = 3690; 30 ∙ 124 = 3720;
30 ∙ 125 = 3750; 30 ∙ 126 = 3780; 30 ∙ 127 = 3810; 30 ∙ 128 = 3840;
30 ∙ 129 = 3870; 30 ∙ 130 = 3900; 30 ∙ 131 = 3930; 30 ∙ 132 = 3960;
30 ∙ 133 = 3990; 30 ∙ 134 = 4020; 30 ∙ 135 = 4050; 30 ∙ 136 = 4080;
30 ∙ 137 = 4110; 30 ∙ 138 = 4140; 30 ∙ 139 = 4170; 30 ∙ 140 = 4200;
30 ∙ 141 = 4230; 30 ∙ 142 = 4260; 30 ∙ 143 = 4290; 30 ∙ 144 = 4320;
30 ∙ 145 = 4350; 30 ∙ 146 = 4380; 30 ∙ 147 = 4410; 30 ∙ 148 = 4440;
30 ∙ 149 = 4470; 30 ∙ 150 = 4500; 30 ∙ 151 = 4530; 30 ∙ 152 = 4560;
30 ∙ 153 = 4590; 30 ∙ 154 = 4620; 30 ∙ 155 = 4650; 30 ∙ 156 = 4680;
30 ∙ 157 = 4710; 30 ∙ 158 = 4740; 30 ∙ 159 = 4770; 30 ∙ 160 = 4800;
30 ∙ 161 = 4830; 30 ∙ 162 = 4860; 30 ∙ 163 = 4890; 30 ∙ 164 = 4920;
30 ∙ 165 = 4950; 30 ∙ 166 = 4980; 30 ∙ 167 = 5010; 30 ∙ 168 = 5040;
30 ∙ 169 = 5070; 30 ∙ 170 = 5100; 30 ∙ 171 = 5130; 30 ∙ 172 = 5160;
30 ∙ 173 = 5190; 30 ∙ 174 = 5220; 30 ∙ 175 = 5250; 30 ∙ 176 = 5280;
30 ∙ 177 = 5310; 30 ∙ 178 = 5340; 30 ∙ 179 = 5370; 30 ∙ 180 = 5400;
30 ∙ 181 = 5430; 30 ∙ 182 = 5460; 30 ∙ 183 = 5490; 30 ∙ 184 = 5520;
30 ∙ 185 = 5550; 30 ∙ 186 = 5580; 30 ∙ 187 = 5610; 30 ∙ 188 = 5640;
30 ∙ 189 = 5670; 30 ∙ 190 = 5700; 30 ∙ 191 = 5730; 30 ∙ 192 = 5760;
30 ∙ 193 = 5790; 30 ∙ 194 = 5820; 30 ∙ 195 = 5850; 30 ∙ 196 = 5880;
30 ∙ 197 = 5910; 30 ∙ 198 = 5940; 30 ∙ 199 = 5970; 30 ∙ 200 = 6000;
30 ∙ 201 = 6030; 30 ∙ 202 = 6060; 30 ∙ 203 = 6090; 30 ∙ 204 = 6120;
30 ∙ 205 = 6150; 30 ∙ 206 = 6180; 30 ∙ 207 = 6210; 30 ∙ 208 = 6240;
30 ∙ 209 = 6270; 30 ∙ 210 = 6300; 30 ∙ 211 = 6330; 30 ∙ 212 = 6360;
30 ∙ 213 = 6390; 30 ∙ 214 = 6420; 30 ∙ 215 = 6450; 30 ∙ 216 = 6480;
30 ∙ 217 = 6510; 30 ∙ 218 = 6540; 30 ∙ 219 = 6570; 30 ∙ 220 = 6600;
30 ∙ 221 = 6630; 30 ∙ 222 = 6660; 30 ∙ 223 = 6690; 30 ∙ 224 = 6720;
30 ∙ 225 = 6750; - Выпишем все общие кратные чисел (225 ; 30) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (225 ; 30).
Общие кратные чисел (225 ; 30): 450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700, 3150, 3600, 4050, 4500, 4950, 5400, 5850, 6300, 6750
Ответ: НОК (225 ; 30) = 450
| Вам могут также быть полезны следующие сервисы |
| Калькуляторы (Теория чисел) |
| Калькулятор выражений |
| Калькулятор упрощения выражений |
| Калькулятор со скобками |
| Калькулятор уравнений |
| Калькулятор суммы |
| Калькулятор пределов функций |
| Калькулятор разложения числа на простые множители |
| Калькулятор НОД и НОК |
| Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида |
| Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел |
| Калькулятор делителей числа |
| Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых |
| Калькулятор деления числа в данном отношении |
| Калькулятор процентов |
| Калькулятор перевода числа с Е в десятичное |
| Калькулятор экспоненциальной записи чисел |
| Калькулятор нахождения факториала числа |
| Калькулятор нахождения логарифма числа |
| Калькулятор квадратных уравнений |
| Калькулятор остатка от деления |
| Калькулятор корней с решением |
| Калькулятор нахождения периода десятичной дроби |
| Калькулятор больших чисел |
| Калькулятор округления числа |
| Калькулятор свойств корней и степеней |
| Калькулятор комплексных чисел |
| Калькулятор среднего арифметического |
| Калькулятор арифметической прогрессии |
| Калькулятор геометрической прогрессии |
| Калькулятор модуля числа |
| Калькулятор абсолютной погрешности приближения |
| Калькулятор абсолютной погрешности |
| Калькулятор относительной погрешности |
| Дроби |
| Калькулятор интервальных повторений |
| Учим дроби наглядно |
| Калькулятор сокращения дробей |
| Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную |
| Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей |
| Калькулятор возведения дроби в степень |
| Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную |
| Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную |
| Калькулятор сравнения дробей |
| Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю |
| Калькуляторы (тригонометрия) |
| Калькулятор синуса угла |
| Калькулятор косинуса угла |
| Калькулятор тангенса угла |
| Калькулятор котангенса угла |
| Калькулятор секанса угла |
| Калькулятор косеканса угла |
| Калькулятор арксинуса угла |
| Калькулятор арккосинуса угла |
| Калькулятор арктангенса угла |
| Калькулятор арккотангенса угла |
| Калькулятор арксеканса угла |
| Калькулятор арккосеканса угла |
| Калькулятор нахождения наименьшего угла |
| Калькулятор определения вида угла |
| Калькулятор смежных углов |
| Калькуляторы систем счисления |
| Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские |
| Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел |
| Системы счисления теория |
| N2 | Двоичная система счисления |
| N3 | Троичная система счисления |
| N4 | Четырехичная система счисления |
| N5 | Пятеричная система счисления |
| N6 | Шестеричная система счисления |
| N7 | Семеричная система счисления |
| N8 | Восьмеричная система счисления |
| N9 | Девятеричная система счисления |
| N11 | Одиннадцатиричная система счисления |
| N12 | Двенадцатеричная система счисления |
| N13 | Тринадцатеричная система счисления |
| N14 | Четырнадцатеричная система счисления |
| N15 | Пятнадцатеричная система счисления |
| N16 | Шестнадцатеричная система счисления |
| N17 | Семнадцатеричная система счисления |
| N18 | Восемнадцатеричная система счисления |
| N19 | Девятнадцатеричная система счисления |
| N20 | Двадцатеричная система счисления |
| N21 | Двадцатиодноричная система счисления |
| N22 | Двадцатидвухричная система счисления |
| N23 | Двадцатитрехричная система счисления |
| N24 | Двадцатичетырехричная система счисления |
| N25 | Двадцатипятеричная система счисления |
| N26 | Двадцатишестеричная система счисления |
| N27 | Двадцатисемеричная система счисления |
| N28 | Двадцативосьмеричная система счисления |
| N29 | Двадцатидевятиричная система счисления |
| N30 | Тридцатиричная система счисления |
| N31 | Тридцатиодноричная система счисления |
| N32 | Тридцатидвухричная система счисления |
| N33 | Тридцатитрехричная система счисления |
| N34 | Тридцатичетырехричная система счисления |
| N35 | Тридцатипятиричная система счисления |
| N36 | Тридцатишестиричная система счисления |
| Калькуляторы площади геометрических фигур |
| Площадь квадрата |
| Площадь прямоугольника |
| КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ |
| Калькуляторы (Комбинаторика) |
| Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов |
| Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия |
| Калькулятор сложения и вычитания матриц |
| Калькулятор умножения матриц |
| Калькулятор транспонирование матрицы |
| Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы |
| Калькулятор нахождения обратной матрицы |
| Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками |
| Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам |
| Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора |
| Калькулятор сложения и вычитания векторов |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор векторного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор смешанного произведения векторов |
| Калькулятор умножения вектора на число |
| Калькулятор нахождения угла между векторами |
| Калькулятор проверки коллинеарности векторов |
| Калькулятор проверки компланарности векторов |
| Генератор Pdf с примерами |
| Тренажёры решения примеров |
| Тренажер по математике |
| Тренажёр таблицы умножения |
| Тренажер счета для дошкольников |
| Тренажер счета на внимательность для дошкольников |
| Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. |
| Тренажер решения примеров с разными действиями |
| Тренажёры решения столбиком |
| Тренажёр сложения столбиком |
| Тренажёр вычитания столбиком |
| Тренажёр умножения столбиком |
| Тренажёр деления столбиком с остатком |
| Калькуляторы решения столбиком |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком |
| Калькулятор деления столбиком с остатком |
| Конвертеры величин |
| Конвертер единиц длины |
| Конвертер единиц скорости |
| Конвертер единиц ускорения |
| Цифры в текст |
| Калькуляторы (физика) |
|
Механика |
| Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния |
| Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения |
| Калькулятор вычисления времени движения |
| Калькулятор времени |
| Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. |
| Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. |
| Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости |
| Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. |
| Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения |
|
Оптика |
| Калькулятор отражения и преломления света |
|
Электричество и магнетизм |
| Калькулятор Закона Ома |
| Калькулятор Закона Кулона |
| Калькулятор напряженности E электрического поля |
| Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q |
| Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q |
| Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля |
| Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы |
|
Конденсаторы |
| Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькуляторы по астрономии |
| Вес тела на других планетах |
| Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках |
| Генераторы |
| Генератор примеров по математике |
| Генератор случайных чисел |
| Генератор паролей |
Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».
Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:
a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1
Мы можем закончить деление тогда, когда rk+1=0, при этом rk=НОД(a, b).
Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48.
Решение
Введем обозначения: a=64, b=48.
На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48.
Получим 1 и остаток 16. Получается, что q1=1, r1=16.
Вторым шагом разделим 48 на 16, получим 3. То есть q2=3, а r2=0. Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.
Ответ: НОД(64, 48)=16.
Чему равен НОД чисел 111 и 432?
Решение
Делим 432 на 111. Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432=111·3+99, 111=99·1+12, 99=12·8+3, 12=3·4.
Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3.
Ответ: НОД(111, 432)=3.
Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113.
Решение
Проведем последовательно деление чисел и получим НОД(661, 113)=1. Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.
Ответ: НОД(661, 113)=1.
Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители
Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.
Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими в этих двух произведениях будут множители 2,2 и 5. Это значит, что НОД(220, 600)=2·2·5=20.
Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.
Решение
Найдем все простые множители чисел 72 и 96:
72361893122233
96482412631222223
Общими для двух чисел простые множители: 2, 2, 2 и 3. Это значит, что НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.
Ответ: НОД(72, 96)=24.
Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1), где m– любое целое положительное число.
Нахождение НОД трех и большего количества чисел
Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk, которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3, НОД(d3, a4)=d4, …, НОД(dk-1, ak)=dk.
Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78, 294, 570 и 36.
Решение
Введем обозначения: a1=78, a2=294, a3=570, a4=36.
Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d2=НОД(78, 294)=6.
Теперь приступим к нахождению d3=НОД(d2, a3)=НОД(6, 570). Согласно алгоритму Евклида 570=6·95. Это значит, что d3=НОД(6, 570)=6.
Найдем d4=НОД(d3, a4)=НОД(6, 36). 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d4=НОД(6, 36)=6.
d4=6, то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6.
Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.
А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.
Вычислите НОД чисел 78, 294, 570 и 36.
Решение
Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2·3·3.
Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3.
Получается, что НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.
Нахождение НОД отрицательных чисел
Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и -n имеют одинаковые делители.
Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.
Решение
Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140. Запишем это кратко: НОД(−231, −140)=НОД(231, 140). Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231=140·1+91; 140=91·1+49; 91=49·1+42; 49=42·1+7 и 42=7·6. Получаем, что НОД(231, 140)=7.
А так как НОД(−231, −140)=НОД(231, 140), то НОД чисел −231 и −140 равен 7.
Ответ: НОД(−231, −140)=7.
Определите НОД трех чисел −585, 81 и −189.
Решение
Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189). Затем разложим все данные числа на простые множители: 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7. Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3. Получается , что НОД(585, 81, 189)=НОД(−585, 81, −189)=9.
Ответ: НОД(−585, 81, −189)=9.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
