Как найти ном двух чисел

Нахождение НОД и НОК чисел

Онлайн-калькулятор “Нахождение НОД и НОК чисел“. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку “Вычислить” и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:

2 числа    
3 числа    
4 числа

Первое число	Второе число

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

Это следует знать!
Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7

Наименьшее общее кратное (НОМ): знать определение, свойства и как найти НОМ на примерах!

LCM означает Наименьшее общее кратное, а HCF — Наибольший общий фактор. Наименьшее общее кратное (LCM) также называют наименьшим общим кратным (LCM) и наименьшим общим делителем (LCD). Для двух целых чисел a и b, обозначаемых LCM (a,b), LCM — это наименьшее положительное целое число, которое равномерно делится на a и b. Наибольший общий множитель — это наибольшее число, которое делит каждое из двух или более чисел. HCF также называют Наибольшей общей мерой (GCM) и Наибольшим общим делителем (GCD).

В этой статье мы рассмотрим, что такое LCM, как найти его с помощью метода прайм-фактора, метода деления и метода перечисления кратных, разницу между GCD, HCF и LCM, а также свойства LCM вместе с решенными примерами и часто задаваемыми вопросами.

Узнайте больше о линиях регрессии здесь.

Наименьшее общее кратное

Полная форма LCM — наименьшее общее кратное. Наименьшее ненулевое общее число», которое кратно обоим числам, является «наименьшим общим кратным двух чисел». Кратное число — это число, которое можно разделить на другое число без остатка. Например,

30 кратно 3

Как найти LCM?

Теперь, когда мы узнали значение LCM. Теперь мы перейдем к методам нахождения LCM.

Существует три метода нахождения LCM. Они перечислены ниже:

• LCM по методу главных факторов
• LCM по методу деления
• LCM по методу перечисления кратных

Давайте рассмотрим каждый из этих методов по очереди.

LCM по методу главных факторов

Прайм-факторизация — это техника выражения числа в виде произведения простых чисел. Простые числа — это числа, состоящие только из одного элемента, единицы и самого числа. Число может быть выражено как произведение его простых факторов с помощью метода прайм-факторизации. Простое число — это число, которое имеет только два фактора: единицу и само число.

Шаги для нахождения LCM методом прайм-факторизации

Чтобы получить LCM чисел методом простой факторизации, выполните указанные ниже действия:

Шаг 1: Определите простые множители каждого данного целого числа и выразите их в виде экспоненты.

Шаг 2: Найдите произведение всех коэффициентов, которые встречаются в любом из данных чисел в их наибольших степенях.

Шаг 3: Искомым наименьшим общим кратным является результат, полученный на шаге 2.

Рассмотрим пример нахождения LCM чисел 9 и 15 с помощью метода простой факторизации.

Определение простых факторов каждого заданного целого числа и выражение факторов в виде экспоненты.

Нахождение произведения всех коэффициентов, которые встречаются в любом из данных чисел в их наибольших степенях.

= (3^2) × 5 = 3 × 3 × 5 = 45.

LCM по методу деления

Мы делим большее число

Шаг 2: Разделите данные числа на наименьшее простое число, которое может точно разделить хотя бы два из данных чисел.

Шаг 3: Запишите коэффициенты и неразделенные числа в строку под первым.

Шаг 4: Повторяйте процесс до тех пор, пока не достигнем стадии, когда ни один простой множитель не является общим для любых двух чисел в строке.

Шаг 5: LCM = произведение всех делителей и чисел в последней строке.

Например, чтобы узнать LCM чисел 8 и 14. Мы следуем шагам, рассмотренным выше.

LCM методом перечисления кратных

Это особый метод, который используется в некоторых особых случаях и требует знания таблиц.

Шаги для нахождения LCM методом перечисления кратных чисел

LCM по методу перечисления кратных

Шаг 1 : Перечислите несколько первых кратных каждого числа.

Шаг 2 : Найдите кратные числа, которые являются общими в списках обоих чисел.

Шаг 3: Если в списках нет общих кратных, выпишите дополнительные кратные для каждого числа.

Шаг 4 : Снова найдите наименьшее число, которое является общим для обоих списков. Это число и есть LCM.

Допустим, мы ищем общие кратные 10 и 25. Можно перечислить несколько первых кратных каждого числа. Затем мы ищем кратные, которые встречаются в обоих списках; они известны как общие кратные.

10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110 и т.д.

25: 25, 50, 75, 100, 125, 150 и т. д.

В обоих списках числа 50 и 100 являются общими. Они оба кратны 10 и 25. Если бы мы расширили список кратных для каждого из них, то нашли бы дополнительные общие кратные.

Наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое кратно двум числам (LCM). В результате наименьшее общее кратное 10 и 25 равно 50.

Формула LCM

Эта формула полезна, если заданные два числа — дробь и целые числа.

Свойства наименьшего общего кратного

Свойства LCM заключаются в следующем:

LCM двух или более чисел не может быть меньше любого из них.

In the case of Integers LCM is given by: (LCM=over>>)

LCM двух или более чисел равно произведению каждого фактора на максимальное количество раз, которое он встречается в простой факторизации этих чисел.

Взаимосвязь между LCM и HCF

• Наименьшее положительное целое число, которое кратно обоим, является наименьшим общим кратным (НОМ) двух целых чисел. Наибольшее положительное целое число, которое делит два целых числа, называется наибольшим общим делителем (GCD). Его также называют наибольшим общим делителем (Highest Common Factor или HCF). Произведение двух чисел равно произведению LCM и GCD.
• Разница между LCM и HCF

Как мы уже знаем, HCF означает Наибольший общий коэффициент, а LCM — Наименьшее общее кратное. HCF также называют Наибольшей общей мерой (GCM) и Наибольшим общим делителем (GCD). Теперь давайте посмотрим, в чем разница между LCM и HCF.

Наименьшее общее кратное (LCM)

Наибольший общий множитель (HCF)

LCM означает наименьшее общее кратное.

HCF означает Наименьшее общее кратное.	Кратное целое число (целое число) — это любое целое число, которое встречается в его таблице времен.
Коэффициент целого числа — это любое целое число, которое делится на t	Факторизация простых чисел 8, 12 и 18 такова:
12 = 2 × 2 × 3 = (2^2 × 3)	18 = 2 × 3 × 3 = 2 × (3^2)
LCM задается произведением всех простых чисел в простой факторизации с наибольшей мощностью.	LCM из 8, 12 и 18 = 2 3 × 3 2 = 72

Решенный пример: Найдите LCM чисел 4 и 6 с помощью GCD.

Решение:

GCD из 4 и 6 равно 2. Используя приведенное выше уравнение, находим

Решенный пример: Найдите LCM 4, 6 и 12, используя метод кратных чисел.

Решение:

Сначала напишите общие кратные всех трех чисел.

Общие кратные 4: 4,8,12,16,20,24,28,…..

Общие кратные 6: 6,12,18,24,30,36,42…..

Общие кратные 12: 12,24,36,48,60,72,….

Из приведенных выше кратных чисел 4, 6 и 12 видно, что 12 — наименьшее общее кратное. Следовательно, LCM. из 4, 6 и 12 равно 12.

Решенный пример: Найдите LCM 4, 6 и 12, используя метод кратных чисел.

The LCM of two numbers can be found more easily by first finding their greatest common divisor (GCD). Once the GCD is known, the LCM is calculated by the following equation (LCM=over>>)

Если вы просматриваете статью Наименьшее общее кратное (НОМ), ознакомьтесь также со смежными статьями по математике в таблице ниже:

Сложение на числовой прямой

Решенный пример: Найдите LCM 4, 6 и 12, используя метод кратных чисел.

Ассоциативное свойство сложения

Факторы

Подобные дроби и непохожие дроби

Система счисления

Вопросы и ответы по наименьшему общему кратному

Анс.1 Существует три метода определения LCM. Это метод LCM по первому фактору, метод LCM по делению и метод LCM по кратным.

Ans.2 Наименьшее ненулевое общее число, которое кратно обоим числам, является «наименьшим общим кратным двух чисел». Кратное число — это число, которое можно разделить на другое число без остатка. Например, 30 кратно 3. Или, 3 × 10 = 30. И, 30 ÷ 3 = 10.
Ans.3 Самый простой способ найти LCM — это метод прайм-факторизации. Выполните указанные ниже действия, чтобы получить LCM чисел методом простой факторизации: Шаг 1: Определите простые множители каждого данного целого числа и выразите их в виде экспоненты. Шаг 2: Найдите произведение всех коэффициентов, которые встречаются в любом из данных чисел в их наибольших степенях. Шаг 3: Искомое наименьшее общее кратное — это результат, полученный на шаге 2.	Ans.4 Наименьшее общее кратное (LCM) также называют LCM и наименьшим общим делителем (LCD). Для двух целых чисел a и b, обозначаемых LCM (a,b), LCM — это наименьшее положительное целое число, которое равномерно делится на a и b. Наименьшее ненулевое общее число, которое кратно обоим числам, является «наименьшим общим кратным двух чисел».
Ans.5 HCF означает Наибольший общий фактор, а LCM — Наименьшее общее кратное. Наибольший общий фактор — это наибольшее число, которое делит каждое из двух или более чисел. HCF также называют Наибольшей Общей Мерой (GCM) и Наибольшим Общим Делителем (GCD). Наименьшее общее кратное (LCM) также называют наименьшим общим кратным (LCM) и наименьшим общим делителем (LCD). Для двух целых чисел a и b, обозначаемых LCM (a,b), LCM — это наименьшее положительное целое число, которое равномерно делится на a и b.	Ans.6 LCM методом кратных: Мы перечисляем первые несколько кратных каждого числа. Затем ищем кратные, которые являются общими в списках обоих чисел. В случае, если в списках нет общих кратных, выписываем дополнительные кратные для каждого числа. Снова ищем наименьшее число, которое является общим для обоих списков. Это число и есть LCM.
верхний баннер сообщения

Онлайн калькулятор НОД и НОК двух чисел

Наибольший общий делитель (НОД)

Определение НОД

НОД двух или более целых чисел — это наибольшее целое число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Если натуральное число a делится на натуральное число bb, то bb называют делителем числа aa, а число aa называют кратным числа bb. aa и bb являются натуральными числами. Число gg называют общим делителем и для aa и для bb. Множество общих делителей чисел aa и bb конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем aa. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел aa и bb и для его обозначения используют записи: НОД (a;b)(a;b) или D(a;b)(a;b)

Пример
Наибольший общий делитель (НОД) чисел 1818 и 2424 — это 66.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Существует несколько способов нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух или более целых чисел:

• Алгоритм Евклида: НОД(a,b)=(a, b) = НОД (b,a(b, a mod b)b), где «mod» – это операция взятия остатка от деления большего числа на меньшее. Этот алгоритм можно продолжать до тех пор, пока одно из чисел не станет равно нулю. В этом случае НОД равен ненулевому числу.

Пример
НОД(18,24)=НОД(24,18)=НОД(18,6)=НОД(6,0)=6НОД(18, 24) = НОД(24, 18) = НОД(18, 6) = НОД(6, 0) = 6

• Разложение на простые множители: Найти все простые множители каждого из чисел и их степени. НОД будет равен произведению всех общих простых множителей в минимальной степени.

Пример
НОД(60,84)=22⋅31=12(60, 84) = 2^{2} cdot 3^{1} = 12, так как общие простые множители −2- 2 и 33, их минимальные степени −2- 2 и 11 соответственно.

• Таблица делителей: Составить таблицы всех делителей каждого числа и найти наибольшее общее число, которое является делителем обоих чисел. Этот метод не рекомендуется для больших чисел, так как он требует много времени и усилий.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение НОК

НОК двух или более целых чисел — это наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка. Например для чисел 2525 и 5050 общими кратными будут числа 50,100,150,20050,100,150,200 и т.д Наименьшее из общих кратных будет называться НОК и обозначается НОК(a;b)(a;b) или K(a;b).(a;b).

Пример
Наименьшее общее кратное чисел 88 и 1212 – это 2424. Т.е. НОК (8,12)=24(8, 12) = 24.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители;
2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным.

Пример
Рассмотрим два числа: 88 и 1212. Найдем их НОКНОК:

• Разложим 88 и 1212 на простые множители: 8=23,12=22⋅38 = 2^3, 12 = 2^2 cdot 3.
• Выпишем все простые множители: 23⋅32^3 cdot 3.
• Для каждого простого множителя выберем наибольшую кратность: 232^3 и 33.
• Умножим выбранные простые множители между собой: 23⋅3=242^3 cdot 3 = 24.

Таким образом, НОК чисел 88 и 1212 равен 2424.

Свойства НОД и НОК

• Любое общее кратное чисел aa и bb делится на K(a;b)(a;b);
• Если a⋮bavdots b , то К(a;b)=a(a;b)=a;
• Если К(a;b)=k(a;b)=k и mm-натуральное число, то К(am;bm)=km(am;bm)=km. Если dd-общий делитель для aa и bb,то К(ad;bdfrac{a}{d};frac{b}{d})= kd frac{k}{d}
• Если a⋮cavdots c и b⋮cbvdots c ,то abcfrac{ab}{c} – общее кратное чисел aa и bb;
• Для любых натуральных чисел aa и bb выполняется равенство D(a;b)⋅К(a;b)=abD(a;b)cdot К(a;b)=ab;
• Любой общий делитель чисел aa и bb является делителем числа D(a;b)D(a;b).

Как найти НОД и НОК

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) двух чисел воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

Просто введите числа и получите результат.

Как найти НОК двух чисел

Как найти НОД двух чисел

См. также

Нахождение НОК и НОД двух натуральных чисел

Содержание:

• Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
• Особенности вычисления, алгоритм Евклида
• Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
• Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)

Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел

Натуральными числами называют числа, которые используются при счете – 1, 2, 3, 16, 25, 101, 2560 и далее до бесконечности. Ноль, отрицательные и дробные или нецелые числа не относятся к натуральным.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел a и b – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из рассматриваемых чисел.

Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел a и b – это наибольшее число, на которое делится без остатка каждое рассматриваемое число.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свойства НОК и НОД для натуральных чисел a и b

• (НОД (a, b) = НОД (b, a);)
• (НОК (a, b) = НОК (b, a);)
• (НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.)

Особенности вычисления, алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа определения НОД и НОК с помощью алгоритма Евклида:

• Способ деления.

При делении целых чисел с остатком, где a – делимое, b – делитель (b не равно 0) находят целые числа q и r согласно равенству (a=btimes) q+r, в котором q – неполное частное, r – остаток при делении (не отрицательное, по модулю меньше делителя).

Чтобы вычислить НОД, первоначально нужно выбрать наибольшее из двух чисел и поделить его на меньшее. Пока остаток не станет равным нулю, повторяется цикл деления делителя на остаток от деления в соответствии с формулой.

Пример №1

Вычислим НОД для чисел 12 и 20. Делим 20 на 12 и получаем 1 и 8 в остатке. Запишем иначе:

(20=12times1+8), так как остаток не равняется нулю, продолжаем деление. Делим 12 на 8 и получаем 1 и 4 в остатке. Записываем: (12=8times1+4) и по аналогии делим 8 на 4 и получаем 2 и 0 в остатке. НОД равен остатку, предшествующему нулю.

НОД (12;20) = 4

НОК получаем согласно свойству (НОК (a, b) = НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.) Подставляем числовые значения:

НОК (12; 20) = (12times20div4=60)

НОК (12;20) = 60

• Способ вычитания.

Здесь повторяется цикл вычитания из наибольшего числа меньшего числа до момента, пока разность не станет равна нулю. НОД равен предшествующей нулю разности.

Пример №2

Вычислим НОД для тех же чисел, 12 и 20.

20 – 12 = 8 (разность не равна нулю, продолжаем)

12 – 8 = 4

8 – 4 = 4

4 – 4 = 0

НОД (12;20) = 4

НОК находим также, как и при методе деления.

Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

Для нахождения наибольшего общего делителя воспользуемся пошаговым алгоритмом:

1. Разложить числа на простые множители.
2. Найти общий множитель одного и другого числа.
3. Перемножить общие множители, если их несколько, и их произведение будет НОД.

Пример №3

Возьмем натуральные числа 24 и 36.

(24=2times2times2times3)

(36=2times2times3times3)

Правильно записать следующим образом:

(НОД (24;36)=2times3=6)

Примечание

В случае, когда одно или оба числа относятся к простым, т.е. делятся только на единицу и на само себя, то их НОД равняется 1.

Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)

Для нахождения наименьшего общего кратного воспользуемся подробным алгоритмом:

1. Наибольшее из чисел, а затем остальные разложить на простые множители.
2. Выделить те множители, которые отсутствуют у наибольшего.
3. Перемножить множители п. 2 и множители наибольшего числа, получить НОК.

Пример №4

Возьмем натуральные числа 9 и 12.

(12=2times2times3)

(9=3times3) (видим, что у числа 12 отсутствует одна тройка)

Правильно записать следующим образом:

(НОК (9;12)=2times2times3times3=36)

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так