Как найти нормаль для плоскости - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Определение 1

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n→ , расположенном в плоскости γ, вектор t·n→, имея ненулевое значение параметра t, также нормальный вектор плоскости γ. Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат Охуz в трехмерном пространстве. Координатные векторы i→, j→, k→ считаются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy. Это суждение верно, так как i→, j→, k→ ненулевые и расположены на координатных прямых Ox, Oy и Oz. Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат Охуz. Для определения нормального вектора n→=(A, B, C) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0. То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Пример 1

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2x-3y+7z-11=0.

Решение

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n→=(2, -3, 7) – это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t·n→=2·t, -3·t, 7·t, t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n→=(2, -3, 7).

Пример 2

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x+2z-7=0.

Решение

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x+2z-7=0 к виду 1·x+0·y+2z-7=0. Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны (1, 0, 2). Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи (t, 0, 2·t), t∈R, t≠0.

Ответ: (t, 0, 2·t), t∈R, t≠0.

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид xa+yb+zc=1, и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1a, 1b, 1c.

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Как найти нормаль плоскости

Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это любой направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Дальнейшие выкладки по определении нормали зависят от способа задания плоскости.

Инструкция

Если задано общее уравнение плоскости – AX+BY+CZ+D=0 или его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то можно сразу записать ответ – n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.

Для получения общего ответа, вам понадобится векторное произведение векторов из-за того, что последнее всегда перпендикулярно исходным векторам. Итак, векторным произведением векторов, является некоторый вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом этот вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это главное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки.
[a,b] – одно из общепринятых обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, используется вектор-определитель (см. рис.1)

Для того чтобы не путаться со знаком «-», перепишите результат в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.
Более того, дабы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.

Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость можно задать различными способами. Пусть нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно.
Пусть даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),
nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом,
nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль найдена – n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов.

Но для решения задач нам будет хватать и одного: если плоскость задана общим уравнением в прямоугольной (!) системе координат, то вектор является нормальным вектором данной плоскости.

Просто до безобразия! – всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. И чтобы хоть как-то усложнить практику рассмотрим тоже простую, но очень важную задачу, которая часто встречается, причём, не только в геометрии:

Задача 134

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение: принципиально ситуация выглядит так:

Сначала из уравнения плоскости «снимем» вектор нормали: .

И эту задачку мы уже решали: для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Вычислим длину вектора нормали:

Таким образом:

Контроль:, ОК

Ответ:

Вспоминаем, что координаты этого вектора – есть в точности направляющие косинусы вектора : .

И, как говорится, обещанного три страницы ждут 🙂 – вернёмся к Задаче 130, чтобы выполнить её проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке и двум векторам , и в результате решения мы получили уравнение .

Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки в полученное уравнение:

– получено верное равенство, значит, точка лежит в данной плоскости.

На втором шаге из уравнения плоскости «снимаем» вектор нормали: . Поскольку векторы параллельны плоскости, а вектор ей перпендикулярен, то должны иметь место следующие факты: . Ортогональность векторов элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор параллелен плоскости в том и только том случае, когда .

Итак, с «выуживанием» нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически^[1].

Некоторые характеристические свойства плоскости[править | править код]

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Плоскость и два её нормальных вектора: n₁ и n₂

Уравнения плоскости[править | править код]

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Общее уравнение (полное) плоскости

где A,B,C и — постоянные, причём A,B и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

$cos alpha ={frac {A}{{sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},$

$cos beta ={frac {B}{{sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}},$

$cos gamma ={frac {C}{{sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}.$

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При D=0 плоскость проходит через начало координат, при A=0 (или , C=0 ) плоскость параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости Oxy (соответственно или ).

Уравнение плоскости в отрезках:

${frac {x}{a}}+{frac {y}{b}}+{frac {z}{c}}=1,$

где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

${displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$

в векторной форме:

$(({mathbf {r}}-{mathbf {r_{0}}}),{mathbf {N}})=0.$

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ${displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$ , не лежащие на одной прямой:

$(({mathbf {r}}-{mathbf {r_{1}}}),({mathbf {r_{2}}}-{mathbf {r_{1}}}),({mathbf {r_{3}}}-{mathbf {r_{1}}}))=0$

(смешанное произведение векторов), иначе

$left|{begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{matrix}}right|=0.$

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

xcos alpha +ycos beta +zcos gamma -p=0qquad (2)

в векторной форме:

$({mathbf {r}},{mathbf {N^{0}}}){mathbf {-p}}=0,$

где ${mathbf {N^{0}}}$ – единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$mu =pm {frac {1}{{sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

(знаки и противоположны).

Определение по точке и вектору нормали[править | править код]

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, $r_{0}$ является радиусом-вектором точки P_0 , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от P_0 к , перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

${displaystyle mathbf {n} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _{0})=0.}$

(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

${displaystyle n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,}$

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например:
Дано: точка на плоскости и вектор нормали .

Уравнение плоскости записывается так:

Расстояние от точки до плоскости[править | править код]

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

${displaystyle delta =x_{1}cos alpha +y_{1}cos beta +z_{1}cos gamma -p;}$

,если $M_{1}$

и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае

. Расстояние от точки до плоскости равно

$rho ={frac {mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+dmid }{{sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Расстояние между параллельными плоскостями[править | править код]

$d={frac {mid D_{2}-D_{1}mid }{{sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

$d={frac {mid [{bar r}_{2}-{bar r}_{1},{bar n}]mid }{mid {bar n}mid }}$

Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E₃ проходит через линию пересечения плоскостей E₁ и E₂, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия[править | править код]

Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

$cos varphi ={frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}}};$

Если в векторной форме, то

$cos varphi ={frac {({mathbf {N_{1}}},{mathbf {N_{2}}})}{|{mathbf {N_{1}}}||{mathbf {N_{2}}}|}}.$

Плоскости параллельны, если

${frac {A_{1}}{A_{2}}}={frac {B_{1}}{B_{2}}}={frac {C_{1}}{C_{2}}}$

или $[{mathbf {N_{1}}},{mathbf {N_{2}}}]=0.$

(Векторное произведение)

Плоскости перпендикулярны, если

${displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0}$

или $({mathbf {N_{1}}},{mathbf {N_{2}}})=0$

. (Скалярное произведение)

Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид^[2]^:222:

${displaystyle alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,}$

где

— любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей^[2]^:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

${displaystyle alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,}$

где

— любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения[править | править код]

Плоскости в неевклидовом пространстве[править | править код]

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости^[1].

Многомерные плоскости[править | править код]

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство $K^{n}(V,P)$ , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат $O,{vec {e_{1}}},...,{vec {e_{n}}}$ . m-плоскостью называется множество точек alpha , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению ${displaystyle alpha ={xmid x=A_{nm}{vec {t_{m}}}+{vec {d}}}.}$ $A_{{nm}}$ — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, — вектор переменных, — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
${displaystyle x={vec {a_{1}}}t_{1}+ldots +{vec {a_{m}}}t_{m}+d,{vec {a_{i}}}in V}$ — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора ${vec {a_{i}}}$ образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть — нормальный вектор плоскости, ${vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ — вектор переменных, ${vec {r_{0}}}$ — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
$({vec {r}}-{vec {r_{0}}},{vec {n}})=0$ — общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: ${displaystyle det({vec {r}}-{vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0}$ , или:
${begin{vmatrix}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n-1}}^{1}\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n-1}}^{2}\...&...&...&...\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}end{vmatrix}}=0$ .
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: $alpha ={a_{x},a_{y},a_{z}}t+{b_{x},b_{y},b_{z}}$ . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также[править | править код]

Сагиттальная плоскость
Полуплоскость
Пространство

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Математическая энциклопедия, 1984.
↑ ¹ ² Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Литература[править | править код]

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 318—319.

Ссылки[править | править код]

На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость

Источник

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.

Угол между прямыми а и b

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

1) Выбираем любые вектора и , имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов $overrightarrow{AB}(x_1;y_1)$ и $overrightarrow{CD}(x_2;y_2)$ по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
$Cos (widehat{AB,CD}) =left vert Cos(widehat{ overrightarrow{AB},overrightarrow{CD}}) right vert =left vert dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{sqrt{x_1^2+y_1^2} cdot sqrt{x_2^2+y_2^2}} right vert$ . Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Нормаль к плоскости

Нормалью vec{n} к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов и и требуем выполнения условий и . Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

Замечание репетитора по математике: Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

Угол между прямой и плоскостью

Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора $overrightarrow{AB}(x_1;y_1)$ и нормали $overrightarrow{n}(x_2;y_2)$
Угол psi между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:
$Sin psi = left vert Cos(widehat{ overrightarrow{n},overrightarrow{AB}}) right vert = left vert dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{sqrt{x_1^2+y_1^2} cdot sqrt{x_2^2+y_2^2}} right vert$

Угол между плоскостями

Пусть $overrightarrow{n_1} (x_1;y_1)$ и $overrightarrow{n_1} (x_1;y_1)$ — две любые нормали к данным плоскостям. Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

$Cos psi = left vert Cos(widehat{ overrightarrow{n_1},overrightarrow{n_2}}) right vert =left vert dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{sqrt{x_1^2+y_1^2} cdot sqrt{x_2^2+y_2^2}} right vert$

Уравнение плоскости в пространстве

Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение и найти коэффициент .

Расстояние от точки до плоскости

Для вычисления расстояния от точки до плоскости alpha , заданной уравнением можно использовать следующую формулу:

$rho(M;alpha)=dfrac{|A cdot x_0 + B cdot y_0 + C cdot z_0 + D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке

Комментарий репетитора по математике:

Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и
1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.
2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).

Для понимания таких формул нужно изучить понятия векторного и смешанного произведения векторов, а также определителя матрицы. В скором времени я сделаю для вычисления объемов соответствующую справочную страничку.

Средства аналитической геометрии репетитор по математике практически не использует в работе со средним и тем более слабым учеником. И очень жаль, что загруженность среднестатистического сильного школьника не позволяет репетитору провести более-менее серьезную работу на уровне определений из высшей математики и с соответствующей практикой решения задач. Поэтому я часто ограничиваюсь простым сообщением формул и демонстрацией одного – двух примеров их использования. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще, однако на ЕГЭ Вы имеете право решать задачу С2 любым из известных науке способов. Отсюда мораль: учите координаты. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст Вам мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2. Пользуйтесь этой страничкой на здоровье!

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва (Строгино).

Источник

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Как найти нормаль плоскости

5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Некоторые характеристические свойства плоскости[править | править код]

Уравнения плоскости[править | править код]

Определение по точке и вектору нормали[править | править код]

Расстояние от точки до плоскости[править | править код]

Расстояние между параллельными плоскостями[править | править код]

Связанные понятия[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Плоскости в неевклидовом пространстве[править | править код]

Многомерные плоскости[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Угол между прямыми а и b

Нормаль к плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Угол между плоскостями

Уравнение плоскости в пространстве

Расстояние от точки до плоскости

Комментарий репетитора по математике:

Вам также может понравиться

Как найти количество теплоты при движении

Зарплата по тарифу как найти

Как составить доп соглашение на смену адреса

Добавить комментарий Отменить ответ