Как найти нормаль графика функции

Как
найти уравнение нормали к графику
функции в заданной точке?

На
данном уроке мы узнаем, как найти
уравнение нормали к графику
функции
 в
точке
 и
разберём многочисленные примеры, которые
касаются этой задачи. Для качественного
усвоения  материала нужно понимать
геометрический
смысл производной
и уметь их находить хотя бы на уровне
следующих статей:

Как
найти производную?
Производная
сложной функции
и
Простейшие
задачи с производными.

Перечисленные
уроки позволят «чайникам» быстро
сориентироваться в теме и поднять свои
навыки дифференцирования практически
с полного нуля. По существу, сейчас
последует развёрнутое продолжение
параграфа об уравнении
касательной
3-й статьи из вышеприведенного списка.
Почему продолжение? Уравнение нормали
тесно связано с уравнением касательной.
Помимо прочего я рассмотрю задачи о
том, как построить уравнения этих линий
в ситуациях, когда функция задана
неявно
либо
параметрически.

Но
сначала освежим воспоминания: если
функция
 дифференцируема
в точке
 (т.е.
если существует конечная
производная
),
то уравнение касательной к графику
функции в точке
 можно
найти по следующей формуле:

Это
самый распространенный случай, с которым
мы уже столкнулись на уроке Простейшие
задачи с производными.
Однако дело этим не ограничивается:
если в точке
 существует
бесконечная производная:
,
то касательная будет параллельна оси
 и
её уравнение примет вид
.
Дежурный пример: функция
 с
производной
,
которая обращается в бесконечность
вблизи критической
точки
.
Соответствующая касательная выразится
уравнением:
 (ось
ординат).

Если
же производной
 не
существует (например,
производной от
 в
точке
),
то, разумеется, не существует и общей
касательной.

Как
различать последние два случая, я
расскажу чуть позже, а пока что вернёмся
в основное русло сегодняшнего урока:

Что
такое нормаль?
Нормалью
к графику функции
 в
точке
 называется
прямая,
проходящая через данную точку
перпендикулярно касательной к графику
функции в этой точке (понятно,
что касательная должна существовать).
Если совсем коротко, нормаль – это
перпендикулярная к касательной прямая,
проходящая через точку касания.

Как
найти уравнение нормали?
Из курса
аналитической геометрии
напрашивается очень простой алгоритм:
находим уравнение
касательной
и представляем его в
общем
виде
.
Далее «снимаем» нормальный
вектор
 и
составляем уравнение нормали по точке
 и
направляющему вектору
.

Этот
способ применять можно, но в математическом
анализе принято пользоваться готовой
формулой, основанной на взаимосвязи
угловых коэффициентов перпендикулярных
прямых.
Если существует конечная
и отличная
от нуля
производная
,
то уравнение нормали к графику функции
 в
точке
 выражается
следующим уравнением:

Особые
случаи, когда
 равна
нулю либо бесконечности мы обязательно
рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Пример
1

Составить
уравнения касательной и нормали к
графику кривой
 в
точке, абсцисса которой равна
.

В
практических заданиях часто требуется
найти и касательную тоже. Впрочем, это
очень только нА руку – лучше будет
«набита рука» =)

Решение:
Первая часть задания хорошо знакома,
уравнение касательной составим по
формуле:

В
данном случае:

Найдём
производную:

Здесь
на первом шаге вынесли
константу за знак производной,
на втором – использовали правило
дифференцирования сложной функции.

Теперь
вычислим производную
в точке
:

Получено
конечное
число
и это радует. Подставим
 и
 в
формулу
:

Перебросим
 наверх
левой части, раскроем скобки и представим
уравнение касательной в общем
виде:


Вторая
часть задания ничуть не сложнее. Уравнение
нормали составим по формуле:

Избавляемся
от трёхэтажности
дроби
и доводим уравнение до ума:

 –
искомое уравнение.

Ответ:

Здесь
можно выполнить частичную проверку.
Во-первых, координаты точки
 должны
удовлетворять каждому уравнению:

 –
верное равенство.

 –
верное равенство.

И,
во-вторых, векторы
нормали
 должны
быть ортогональны. Это элементарно
проверяется с помощью скалярного
произведения:
,
что и требовалось проверить.

Как
вариант, вместо нормальных векторов
можно использовать направляющие
векторы прямых.

!
Данная
проверка оказывается бесполезной, если
неверно найдена производная
 и/или
производная в точке
.
Это «слабое звено» задания – будьте
предельно внимательны!

Чертежа
по условию не требовалось, но полноты
картины ради:

Забавно,
но фактически получилась и полная
проверка, поскольку чертёж выполнен
достаточно точно =) Кстати, функция
 задаёт
верхнюю дугу эллипса.

Следующая
задача для самостоятельного решения:

Пример
2

Составить
уравнения касательной и нормали к
графику функции
 в
точке
.

Примерный
образец чистового оформления задания
в конце урока.

Теперь
разберём два особых случая:

1)
Если производная в точке
 равна
нулю:
,
то уравнение касательной упростится:

То
есть, касательная будет параллельна
оси
.

Соответственно,
нормаль будет проходить через точку
 параллельно
оси
,
а значит её уравнение примет вид
.

2)
Если производная в точке
 существует,
но бесконечна:
,
то, как отмечалось в самом начале статьи,
касательная станет вертикальной:
.
И поскольку нормаль проходит через
точку
 параллельно
оси
,
то её уравнение выразится «зеркальным»
образом:

Всё
просто:

Пример
3

Составить
уравнения касательной и нормали к
параболе
 в
точке
.
Сделать чертёж.

Требование
выполнить чертёж я не добавлял – так
было сформулировано задание в оригинале.
Хотя это редкость.

Решение:
составим уравнение касательной
.
В
данном случае
 

Казалось
бы, расчёты пустяковые, а в знаках
запутаться более чем реально:

Таким
образом:

Поскольку
касательная параллельна оси
 (Случай
№1),
то нормаль, проходящая через ту же точку
,
будет параллельна оси ординат:

Чертёж
– это, конечно же, дополнительные
хлопоты, но зато добротная проверка
аналитического решения:

Ответ:
,

В
школьном курсе математики распространено
упрощённое определение касательной,
которое формулируется примерно так:
«Касательная
к графику функции – это прямая, имеющая
с данным графиком единственную общую
точку».
Как видите, в общем случае это утверждение
некорректно. Согласно геометрическому
смыслу производной,
касательной является именно зелёная,
а не синяя прямая.

Следующий
пример посвящён тому же Случаю №1, когда
:

Пример
4

Написать
уравнение касательной и нормали к кривой
 в
точке
.

Краткое
решение и ответ в конце урока

Случай
№2, в котором
 на
практике встречается редко, поэтому
начинающие могут особо не волноваться
и с лёгким сердцем пропустить пятый
пример. Информация, выделенная курсивом,
предназначена для читателей с высоким
уровнем подготовки, которые хорошо
разобрались с определениями
производной и касательной,
а также имеют опыт нахождения
производной по определению:

Пример
5

Найти
уравнения касательной и нормали к
графику функции
 в
точке

Решение:
в критической
точке
знаменатель
производной
 обращается
в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить
односторонние производные
 с
помощью определения производной (см.
конец статьи Производная
по определению):

Обе
производные бесконечны, следовательно,
в точке
 существует
общая вертикальная касательная:

Ну,
и очевидно, что нормалью является ось
абсцисс. Формально по формуле:

Для
лучшего понимания задачи приведу
чертёж:

Ответ:

Я
рад, что вы не ушли бороздить просторы
Интернета, потому что всё самое интересное
только начинается! Чтобы осилить материал
следующего параграфа, нужно уметь
находить производную
от неявно заданной функции:

Как
найти уравнение касательной и уравнение
нормали,
если функция задана неявно?

Формулы
касательной и нормали остаются прежними,
но меняется техника решения:

Пример
6

Найти
уравнения касательной и нормали к кривой
 в
точке
.

Решение:
судя по уравнению, это какая-то линия
3-го порядка,
какая именно – нас сейчас совершенно
не интересует.

В
уравнении присутствует зловред
,
и поэтому перспектива выразить функция
в явном
виде
 выглядит
весьма туманной.

Но
этого и не требуется! Есть куда более
остроумное решение. Уравнение касательной
составим по той же формуле
.

Из
условия известны значения
,
кстати, не помешает убедиться, что они
действительно удовлетворяют предложенному
уравнению:

Получено
верное равенство, значит, с точкой
 всё
в порядке.

Осталось
вычислить
.
Сначала по стандартной схеме найдём
производную
от функции, заданной неявно:

Перепишем
результат с более подходящим для нашей
задачи обозначением:

На
2-м шаге в найденное выражение производной
подставим
:

Вот
так-то!

Осталось
аккуратно разобраться с уравнением:

Составим
уравнение нормали:

Ответ:

Готово!
А поначалу представлялось всё непросто.
Хотя производная здесь, конечно,  –
место уязвимое. Миниатюра для
самостоятельного решения:

Пример
7

Найти
уравнение нормали к линии
 в
точке

Хватит
уже вымучивать касательную =)

В
данном случае легко выяснить, что это
окружность
 центром
в точке
 радиуса
 и
даже выразить нужную функцию
.
Но зачем?! Ведь найти производную от
неявно
заданной функции
на порядок легче! Она тут чуть ли не
самая примитивная.

Краткое
решение и ответ в конце урока.

Как
найти уравнение касательной и уравнение
нормали,
если функция задана
параметрически?

Ещё
проще. Но для этого нужно потренироваться
в нахождении производной
от параметрически заданной функции.
А так – почти халява:

Пример
8

Составить
уравнения касательной и нормали к
циклоиде
,
проведенные в точке, для которой
.

Чертёж
циклоиды можно найти на странице S
и V,
если линия задана параметрически
(так
получилось, что эта статья была создана
раньше).
Там даже изображена точка касания.

Решение:
абсцисса и ордината точки касания
рассчитываются непосредственно из
параметрических уравнений кривой:

Найдём
1-ую
производную от параметрически заданной
функции:

И
вычислим её значение при 
:

Уравнение
касательной составим по обычной формуле
с поправкой на несколько другие
обозначения:

Уравнение
нормали:

Ответ:

В
заключение предлагаю познакомиться с
ещё одной интересной линией:

Пример
9

Составить
уравнение нормали к полукубической
параболе
,
проведенной в точке, для которой
.

Это
пример для самостоятельного решения.
Напоминаю, что графики параметрически
заданных функций можно построить,
например, с помощью моего расчётного
геометрического макета.

Ну
а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь,
что изложенный материал прошёл для вас
не по касательной, а нормально =)

Спасибо
за внимание и успехов!

Решения
и ответы:

Пример
2: Решение:
уравнение касательной составим по
формуле:

В
данном случае:

Таким
образом:

Уравнение
нормали составим по формуле
:

Ответ:

Пример
4: Решение:
уравнение касательной составим по
формуле:

В
данной задаче:

Таким
образом:

В
точке
 касательная
параллельна оси
,
поэтому соответствующее уравнение
нормали:

Ответ:

Пример
7: Решение:
в данной задаче:
.
Найдём
производную:

Или:

Подставим
в выражение производной
:

Искомое
уравнение нормали:

Ответ:

Пример
9: Решение:
в данном случае:

Найдём
производную и вычислим её значение при
:

Уравнение
нормали:

Ответ:

Взято с
сайта http://www.mathprofi.ru

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вывод уравнения нормали к графику функции

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Замечание 1

Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.

Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:

$k_{норм}=- frac{1}{k_{к}}= -1 frac{1}{f’(x_0)}$.

Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:

$y – y_0 = – frac{1}{f’(x_0)} cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.

Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:

1. Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
2. Затем нужно определить производную.
3. Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
4. Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.

Напомним также как выглядит само уравнение касательной:

$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.

Пример 1

Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.

Решение:

Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.

Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.

Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:

$y-4=-frac{1}{4} cdot (x – 2)$

Уравнение нормали найдено.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная – это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем – уравнение нормали к графику функции.

В нём k – угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль – это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет “холодным душем”.

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример – тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг – приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в “формулу-болванку” и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного “причесать”: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали – не заметить, что функция, данная в примере, – сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры – уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция – сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция – сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Вывод уравнения нормали к графику функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Нормаль — это прямая, которая образует с касательной к графику функции угол в $90°$.

Рисунок 1. Нормальный перпендикуляр к графику касательной. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В связи с тем, что нормаль перпендикулярна к касательной, её угловой коэффициент будет величиной, обратной к угловому коэффициенту касательной:

Пользуясь полученным выводом, запишем уравнение нормали к графику функции:

$y – y_0 = – frac<1> cdot (x – x_0) left(1right) $, здесь $x_0$ и $y_0$ — координаты точки для которой строится искомая линия, при этом производная в этой точке $f’(x_0) ≠ 0$.

Порядок действий при поиске уравнения нормальной прямой если задана координата $x_0$:

1. Вычисляется, чему равен нулевой игрек $y(x_0)$ для функции.
2. Затем нужно определить производную.
3. Нужно высчитать затем, чему равен $f’(x)$ в точке $x_0$, найденное значение — коэффициент касательной.
4. Все найденные значения подставляются в формулу $(1)$.

Напомним также как выглядит само уравнение касательной:

$y – y_0 = f’(x_0) cdot (x – x_0)$.

Найдите уравнение нормали для функции $y=x^2$ в точке $x_0=2$.

Решение:

Производная данной функции составит $y’(x) = 2x$, затем найдём, чему равен наш подопытный кролик-функция в заданной точке $y_0= x^2 = 2^2 = 4$.

Теперь нужно высчитать производную функции в точке $x_0$: $y’(2) = 2 x = 2 cdot 2= 4$.

Все полученные значения расставляем по своим местам в формулу $(1)$:

Уравнение нормали найдено.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07 05 2021

[spoiler title=”источники:”]

http://function-x.ru/derivative_and_tangent.html

http://spravochnick.ru/matematika/vyvod_uravneniya_normali_k_grafiku_funkcii/

[/spoiler]

Функция задана в явном виде

Функция задана в неявном виде

Функция задана в параметрическом виде

Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и
$y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.

Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:

$$begin{array}{c}
left{begin{array}{l}
y_{1}=x^{2}-1 \
y_{2}=x^{3}-1
end{array} Rightarrow x^{2}-1=x^{3}-1 Rightarrow x^{3}-x^{2}=0 Rightarrowright. \
Rightarrow x_{1,2}=0, x_{3}=1
end{array}$$

Таким образом, искомая точка $x=1$.

Далее находим производные заданных функций в найденной точке:

$$begin{array}{c}
y_{1}^{prime}=left(x^{2}-1right)^{prime}=left(x^{2}right)^{prime}-(1)^{prime}=2 x-0=2 x, y_{1}^{prime}(1)=2 \
y_{2}^{prime}=left(x^{3}-1right)^{prime}=left(x^{3}right)^{prime}-(1)^{prime}=3 x^{2}-0=3 x^{2}, y_{2}^{prime}(1)=3
end{array}$$

Итак, искомый тангенс:

$$operatorname{tg} phi=frac{3-2}{1+2 cdot 3}=frac{1}{7}$$

Ответ. $operatorname{tg} phi=frac{1}{7}$