Нормальное уравнение плоскости
В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.
Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:
xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0, | (1) |
где r− расстояние от начала координат до плоскости Ω, а α,β,γ− это углы между единичным вектором n, ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz, соответственно (Рис.1). (Если r>0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω, если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).
Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную плоскости Ω, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).
Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz, соответственно.
Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:
n=<cosα, cosβ, cosγ>. | (2) |
Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M (x,y, z). Точка M лежит на плоскости Ω тогда и только тогда, когда проекция вектора на прямую R равна r, т.е.
Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:
где − обозначен скалярное произведение векторов n и , а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и .
Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:
Учитывая, что n=<cosα, cosβ, cosγ>, , мы получим:
Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:
xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0. | (7) |
Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω. Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .
Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r, т.е. если |n|=1 и r>0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.
Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:
Определить, является ли уравнение (7) нормальным уравнением плоскости и если да, то определить расстояние данной плоскости от начала координат.
Решение. Нормальный вектор плоскости имеет следующий вид:
Определим длину вектора n:
Ответ: Длина вектора n равна 1, , следовательно уравнение (7) является нормальным уравнением плоскости, а − это расстояние плоскости от начала координат.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи “Общее уравнение плоскости”), то существует такое число t, что
tA=cosα, tB=cosβ, tC=cosγ, tD=−r. | (9) |
Возвышая в квадрат первые три равенства в (9) и складывая их, получим:
(tA) 2 +(tB) 2 +(tС) 2 =cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1. | (10) |
Упростим выражение и найдем t:
t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2 )=1,
Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).
Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до плоскости, то r≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D.
Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD=0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .
Пример 2. Задано общее уравнение плоскости
Построить нормальное уравнение плоскости (12).
Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=6, D=4. Вычислим t из равенства (11):
Так как D>0, то знак t отрицательный:
Умножим уравнение (12) на t:
Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:
Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).
Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач
Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений. Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости – описание и пример
Возьмем прямоугольную систему координат О х у z трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p ≥ 0 в положительном направлении нормального вектора n → . Возьмем за единицу длину вектора n → . Получим, что координатами направляющего косинуса являются n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , тогда n → = cos 2 α , cos 2 β , cos 2 γ = 1 .
Примем обозначение O N за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка O N будет значение p . Представим это на рисунке, изображенном ниже.
Теперь найдем уравнение заданной плоскости.
В трехмерном пространстве обозначим точку M ( x , y , z ) . Отсюда получим, что O M → , являющийся ее радиус вектором, с координатами ( x , y , z ) . Запись примет вид O M → = ( x , y , z ) . Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M ( x , y , z ) , тогда числовая проекция вектора O M → по направлению n → равна значению p . Запись принимает вид n p n → O M → = p . Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.
Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n → = ( cos α , cos β , cos γ ) и O M → = ( x , y , z ) в результате дают равенство
n → , O M → = n → · O M → · cos n ⇀ , O M → ^ = n → · n p n → O M → = 1 · p = p
Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:
n → , O M → = cos α · x + cos β · y + cos γ · z
При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z = p . Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z – p = 0 .
cos α · x + cos β · y + cos γ · z – p = 0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.
Теперь заданное в прямоугольной системе координат О х у z нормальное уравнение принимает вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z – p = 0 . Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) .
Чаще всего косинус не представляется явно в уравнении плоскости, потому как cos α , cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.
Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.
Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат O x y z при помощи уравнения нормального вида, – 1 4 · x – 3 4 · y + 6 4 · z – 7 = 0 .
Отсюда cos α = – 1 4 , cos β = – 3 4 , cos γ = 6 4 .
Из выражения находим, что – 1 4 , – 3 4 , 6 4 – координаты нормального вектора плоскости n → . Его длина вычисляется из формулы n → = – 1 4 2 + – 3 4 2 + 6 4 2 = 1 . Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n → на расстоянии 7 единиц, потому как p = 7 .
Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , где A , B , C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n → = ( A , B , C ) равняется 1 , причем D является неотрицательным числом.
Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 и p ≥ 0 , тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.
Рассмотрим на примере.
Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:
1 7 x – 4 7 y + 4 2 7 – 3 = 0 1 3 x + 7 6 y – 5 6 z + 2 5 = 0 1 3 x + 1 2 y + 1 4 z – 11 = 0
Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n → = 1 7 , – 4 7 , 4 2 7 единице.
Вычисляем длину по формуле и получаем: n → = 1 7 2 + – 4 7 2 + 4 2 7 2 = 1 49 + 16 49 + 32 49 = 1
Необходимо поработать с числом p , так как его значение должно быть положительным. Это верно, так как p = 3 . Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.
Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p ≥ 0 не выполняется, ибо в данном уравнении p = – 2 5 .
Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n → = 1 3 , 1 2 , 1 4 , длина которого не равняется единице из вычислений:
n → = 1 3 2 + 1 2 2 + 1 4 2 = 1 9 + 1 4 + 1 16 = 61 12 ≠ 1
Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в нормальном виде.
Ответ: 1 7 x – 4 7 y + 4 2 7 z – 3 = 0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
Для приведения уравнения плоскости A x + B y + C z + D = 0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ± 1 A 2 + B 2 + C 2 . Знак определятся по числу D , он должен быть противоположным значения числа D .
Когда D = 0 , знак может быть любым.
Нормальным уравнением плоскости считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как длина вектора с кооординатами ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 равна 1 .
Отсюда получаем, что ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 1 .
Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p ≥ 0 .
Привести уравнение 2 x – 3 y + z + 5 = 0 к нормальному виду.
Из условия имеем, что A = 2 , B = – 3 , C = 1 , D = 5 . Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.
– 1 A 2 + B 2 + C 2 = – 1 2 2 + ( – 3 ) 2 + 1 2 = – 1 14
Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:
– 1 14 · 2 x – 3 y + z + 5 = – 1 14 · 0 ⇔ ⇔ – 2 14 x + 3 14 y – 1 14 z – 5 14 = 0
Ответ: – 2 14 x + 3 14 y – 1 14 z – 5 14 = 0 .
Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3 x – 4 z = 0 прямоугольной системы координат O x y z .
Из условия видно, что A = 3 , B = 0 , C = – 4 , D = 0 . Знака перед множителем нет, потому как D = 0 . Значит, возьмем со знаком « + ». Получаем выражение вида:
1 A 2 + B 2 + C 2 = 1 3 2 + 0 2 + ( – 4 ) 2 = 1 5
При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 3 5 x – 4 5 z = 0 .
Ответ: 3 5 x – 4 5 z = 0 .
Нахождение расстояния от точки до плоскости
Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.
При заданной системе координат О х у z трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α · x + cos β · y + cos γ · z – p = 0 , где необходимо определить расстояние от p до точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 – p . Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.
Имеется уравнение плоскости вида – 1 3 x + 2 3 y – 2 3 z – 1 = 0 , которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M 0 ( 1 , – 3 , 0 ) до плоскости.
Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:
– 1 3 · 1 + 2 3 · ( – 3 ) – 2 3 · 0 – 1 = 0
Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p = – 3 1 3 = 3 1 3 .
Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 – p .
Найти расстояние от заданной точки с координатами M 0 ( 5 , – 1 , 2 ) до плоскости x 5 + y – 2 + z 4 = 1 .
По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.
Получаем: x 5 + y – 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 5 x – 1 2 y + 1 4 z – 1 = 0
Для вычисления нормирующего множителя применяем: 1 1 5 2 + – 1 2 2 + 1 4 2 = 1 141 25 · 16 = 20 141
Обе части уравнения 1 5 x – 1 2 y + 1 4 z – 1 = 0 умножаем на нормирующий множитель. Теперь получено нормальное уравнение исходной плоскости вида:
4 141 x – 10 141 y + 5 141 z – 20 141 = 0
Отсюда видно, что cos α = 4 141 , cos β = – 10 141 , cos γ = 5 141 , p = – 20 141 , x 0 = 5 , y 0 = – 1 , z 0 = 2
Все имеющиеся данные помогут использовать формулу для нахождения искомого расстояния от точки до плоскости:
p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 – p = 4 141 · 5 – 10 141 · – 1 + 5 141 · 2 – 20 141 = 20 141
Метод координат в пространстве: формулы и комментарии репетитора
Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.
Угол между прямыми а и b
Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).
Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?
1) Выбираем любые вектора и , имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов и по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
. Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.
Нормаль к плоскости
Нормалью к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов и и требуем выполнения условий и . Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.
Замечание репетитора по математике : Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).
Угол между прямой и плоскостью
Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора и нормали
Угол между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:
Угол между плоскостями
Пусть и — две любые нормали к данным плоскостям. Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:
Уравнение плоскости в пространстве
Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение и найти коэффициент .
Расстояние от точки до плоскости
Для вычисления расстояния от точки до плоскости , заданной уравнением можно использовать следующую формулу:
В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке
Комментарий репетитора по математике :
Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и
1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.
2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).
Для понимания таких формул нужно изучить понятия векторного и смешанного произведения векторов, а также определителя матрицы. В скором времени я сделаю для вычисления объемов соответствующую справочную страничку.
Средства аналитической геометрии репетитор по математике практически не использует в работе со средним и тем более слабым учеником. И очень жаль, что загруженность среднестатистического сильного школьника не позволяет репетитору провести более-менее серьезную работу на уровне определений из высшей математики и с соответствующей практикой решения задач. Поэтому я часто ограничиваюсь простым сообщением формул и демонстрацией одного – двух примеров их использования. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще, однако на ЕГЭ Вы имеете право решать задачу С2 любым из известных науке способов. Отсюда мораль: учите координаты. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст Вам мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2. Пользуйтесь этой страничкой на здоровье!
Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва (Строгино).
Спасибо Вам за этот материал,все наглядно и понятно.
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/normalnoe-uravnenie-ploskosti/
http://ankolpakov.ru/metod-koordinat-v-prostranstve-formuly-i-kommentarii-repetitora/
[/spoiler]
Как нормировать вектор
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.
Количество просмотров этой статьи: 21 763.
Вектор является геометрическим объектом, он характеризуется направлением и величиной. Его можно представить в виде отрезка с начальной точкой на одном конце и стрелкой на втором, при этом длина отрезка соответствует величине вектора, а стрелка указывает на его направление. Нормирование вектора является стандартной операцией в математике, на практике она используется в компьютерной графике.
Вектор нормали: расчет и пример
В нормальный вектор Он определяет направление, перпендикулярное рассматриваемому геометрическому объекту, который может быть, например, кривой, плоскостью или поверхностью.
Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как вектор нормали к произвольной кривой C:
Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.
Обратите внимание, что вектор Т касается C в каждой точке, а вектор N перпендикулярно Т y указывает на центр воображаемого круга, дуга которого является сегментом C. Векторы выделены жирным шрифтом в печатном тексте, чтобы отличать их от других не векторных величин.
Вектор Т он всегда указывает, куда движется частица, следовательно, указывает ее скорость. Вместо вектора N всегда указывает в том направлении, в котором вращается частица, отмечая, таким образом, вогнутость кривой C.
Как получить вектор нормали к плоскости?
Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором с модулем 1, но если это так, он называется нормальный единичный вектор.
Во многих приложениях необходимо знать вектор нормали к плоскости вместо кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим самолет п (желтый) рисунка:
К этой плоскости есть два нормальных вектора: п1 Y п2. Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если вы знаете его уравнение:
ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.
Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:
N = а я + b j + c k
Здесь вектор N Он выражается через единичные векторы и перпендикулярно друг другу. я, j Y k, направленных по трем направлениям, определяющим пространство X и Zсм. рисунок 2 справа.
Вектор нормали из векторного произведения
Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.
Как известно, три разные точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость Р. Теперь можно получить два вектора или Y v которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.
Когда у вас есть векторы, векторный продуктили Икс v — операция, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой или Y v.
Известный этот вектор, он обозначается как N, и из него можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:
N = или Икс v
На следующем рисунке показана описанная процедура:
пример
Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).
Решение
Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB Y AC.
Вектор AB — вектор, начало которого — точка A, а конец — точка B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:
AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k
Таким же образом поступаем и находим вектор AC:
AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k
Расчет векторного произведения AB x AC
Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения между двумя векторами. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для поиска векторных произведений между единичными векторами. я, j Y k:
Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:
я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0
А поскольку векторное произведение — это еще один вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:
я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j
Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):
j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j
Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.
AB Икс AC = (-2я + 0j -2 k) х (2я + j -2 k)= -4(я Икс я) -2(я Икс j)+4 (я Икс k)+0 (j Икс я) + 0 (j Икс j) – 0 (j Икс k) – 4 (k Икс я)-2 (k Икс j) + 4 (k Икс k) = -2k-4j-4j+2я = 2я -8j-2k
Уравнение плоскости
Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:
N = 2я -8j-2k
Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:
ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0
Значение d. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Выбор C, например:
2,4 — 8,2 — 2,1 + d = 0
Вкратце, искомая карта:
Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы такой же результат, если бы вместо выполнения AB Икс AC они бы предпочли произвести AC Икс AB. Ответ: да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.
Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.
Векторы в пространстве и метод координат
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы />и />.
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами />и />. Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами />и />:
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов />и />, а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
То есть A + C + D = 0.
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор />или, еще проще, вектор />.
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Как найти нормаль плоскости
Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это любой направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Дальнейшие выкладки по определении нормали зависят от способа задания плоскости.
Инструкция
Если задано общее уравнение плоскости – AX+BY+CZ+D=0 или его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то можно сразу записать ответ – n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.
Для получения общего ответа, вам понадобится векторное произведение векторов из-за того, что последнее всегда перпендикулярно исходным векторам. Итак, векторным произведением векторов, является некоторый вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом этот вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это главное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки.
[a,b] – одно из общепринятых обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, используется вектор-определитель (см. рис.1)
Для того чтобы не путаться со знаком «-», перепишите результат в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.
Более того, дабы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.
Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость можно задать различными способами. Пусть нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно.
Пусть даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),
nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом,
nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль найдена – n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
Как найти?
Постановка задачи
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ F(x,y,z) = 0 $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
План решения
Уравнение касательной плоскости к поверхности записывается следующем образом:
$$ F’_x bigg |_M (x-x_0) + F’_y bigg |_M (y-y_0) + F’_z bigg |_M (z-z_0) = 0 $$
Уравнение нормали к поверхности составляется по формуле:
$$ frac{x-x_0}{F’_x Big |_M} = frac{y-y_0}{F’_y Big |_M} = frac{z-z_0}{F’_z Big |_M} $$
- Находим частные производные $ F’_x, F’_y, F’_z $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
- Подставляем найденные значения производных в формулы для составления уравнений
ЗАМЕЧАНИЕ
Если в условии задачи задана точка $ M (x_0,y_0) $ с двумя координатами, то необходимо дополнительно вычислить координату $ z_0 $ из уравнения $ F(x_0,y_0,z_0) = 0 $, подставив в него известные координаты $ x_0 $ и $ y_0 $.
Примеры решений
Пример 1 |
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = x^2 + y^2 $ в точке $ M(1,-2,5) $ |
Решение |
Переносим $ z $ в правую часть и записываем поверхность в виде: $$ F(x,y,z) = x^2 + y^2 – z $$ Находим частные производные первого порядка функции $ F(x,y,z) $: $$ F’_x = 2x $$ $$ F’_y = 2y $$ $$ F’_z = -1 $$ Вычисляем значения полученных производных в точке $ M(1,-2,5) $: $$ F’_x Big |_M = F’_x(1,-2,5) = 2 cdot 1 = 2 $$ $$ F’_y Big |_M = F’_y (1,-2,5) = 2 cdot (-2) = -4 $$ $$ F’_z Big |_M = F’_z (1,-2,5) = -1 $$ Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости: $$ 2(x-1) + (-4)(y+2) + (-1)(z-5) = 0 $$ Раскрываем скобки и записываем окончательное уравнение плоскости: $$ 2x – 4y – z – 5 = 0 $$ Теперь запишем уравнение нормали к поверхности с помощью второй формулы: $$ frac{x-1}{2} = frac{y+2}{-4} = frac{z-5}{-1} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ 2x – 4y – z – 5 = 0 $$ $$ frac{x-1}{2} = frac{y+2}{-4} = frac{z-5}{-1} $$ |
Пример 2 |
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = e^{xcos y} $ в точке $ M(1,pi, frac{1}{e}) $ |
Решение |
Записываем поверхность в виде: $$ F = e^{xcos y} – z $$ Находим частные производные от функции $ F(x,y,z) $: $$ F’_x = e^{xcos y} cdot (xcos y)’_x = cos y e^{xcos y} $$ $$ F’_y = e^{xcos y} cdot (xcos y)’_y = -xsin y e^{xcos y} $$ $$ F’_z = -1 $$ Вычисляем значения производных в точке $ M(1,pi,frac{1}{e}) $: $$ F’_x Big |_M = F’_x (1,pi,frac{1}{e}) = cos pi cdot e^{1 cdot cos pi} = -1 cdot e^{(-1)} = -e^{-1} $$ $$ F’_y Big |_M = F’_y (1,pi, frac{1}{e}) = -1 cdot sin pi cdot e^{1 cdot cos pi} = -1 cdot 0 cdot e^1 = 0 $$ $$ F’_z Big |_M = -1 $$ Подставляем в первую формулу касательной плоскости полученные ранее неизвестные данные: $$ -e^{-1}(x-1) + 0 cdot (y-pi) + (-1) cdot (z-frac{1}{e}) = 0 $$ Раскрываем скобки: $$ -xfrac{1}{e} + frac{1}{e} – z + frac{1}{e} = 0 $$ Домножаем обе части уравнения на $ -e $ и получаем окончательное уравнение плоскости: $$ x + ez – 2 = 0 $$ Используя вторую формулу находим уравнение нормали к поверхности: $$ frac{x-1}{-e^{-1}} = frac{y-pi}{0} = frac{z-e^{-1}}{-1} $$ Умножим уравнение на дробь $ frac{1}{-e} $: $$ frac{x-1}{1} = frac{y-pi}{0} = frac{z-e^{-1}}{e} $$ |
Ответ |
$$ x + ez – 2 = 0 $$ $$ frac{x-1}{1} = frac{y-pi}{0} = frac{z-e^{-1}}{e} $$ |
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Графиком функции 2-х переменных z = f(x,y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнением z = f(x,y), где f(x,y) – дифференцируемая функция, и пусть M0(x0,y0,z0) – фиксированная точка на поверхности σ, т.е. z0 = f(x0,y0).
Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Решение оформляется в формате Word. Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Правила ввода функций:
- Все переменные выражаются через x,y,z
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
z – z0 = f’x(x0,y0)(x – x0) + f’y(x0,y0)(y – y0)
Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:
Пример №1. Поверхность задана уравнением x3+5y
. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z0 = f'x(x0,y0,z0)(x - x0) + f'y(x0,y0,z0)(y - y0)
По условию задачи x0 = 0, y0 = 1
, тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y
:
f'x(x,y) = (x3+5•y)'x = 3•x2
f’x(x,y) = (x3+5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f'x(0;1) = 0
f'y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1)
или -5•y+z = 0
Пример №2. Поверхность задана неявным образом y2-1/2*x3-8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1)
значения частных производных:
f'x(1;0;1) = -3/16
f'y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z - 1 = -3/16(x - 1) + 0(y - 0)
или 3/16•x+z-19/16 = 0
Пример. Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x3:
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x3)’x = – y/x2 + y – 15x2;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x3)’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
z= y/x + xy – 5x3
z0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.
В точке М0(–1, 2, 1) значения частных производных:
fx’(М0) = –1/(-1)2 + 2 – 15(–1)2 = –15; fy’(М0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y +4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М0: .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: .
Пример №1. Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z – z0 = f’x(x0,y0,z0)(x – x0) + f’y(x0,y0,z0)(y – y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x2+3•x•y•+y2)’x = 2•x+3•y3
f’x(x,y) = (x2+3•x•y•+y2)’y = 9•x•y2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z – 25 = 26(x – 1) + 36(y – 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x2 + y2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение