Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.
Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.
Нормальным вектором прямой называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.
Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а1 параллельные, а n→ считается нормальным вектором прямой a, также считается нормальным вектором для прямой a1. Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t·n→ является ненулевым при любом значении параметра t, причем также является нормальным для прямой a.
Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.
Если задана плоскость Оху, то множеством векторов для Ох является координатный вектор j→. Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси Оу, перпендикулярной Ох. Все множество нормальных векторов относительно Ох можно записать, как t·j→, t∈R, t≠0.
Прямоугольная система Oxyz имеет нормальный вектор i→, относящийся к прямой Оz. Вектор j→ также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный Оz, считается нормальным для Oz.
Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой
При рассмотрении прямоугольной системы координат Оху выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения Ax+By+C=0 выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.
Задана прямая вида 2x+7y-4=0_, найти координаты нормального вектора.
Решение
По условию имеем, что прямая была задана общим уравнением, значит необходимо выписать коэффициенты , которые и являются координатами нормального вектора. Значит, координаты вектора имеют значение 2, 7.
Ответ: 2, 7.
Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.
Указать нормальный вектор для заданной прямой y-3=0.
Решение
По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0·x+1·y-3=0. Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0, 1.
Ответ: 0, 1.
Если дано уравнение в отрезках вида xa+yb=1 или уравнение с угловым коэффициентом y=k·x+b, тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.
Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x13-y=1.
Решение
Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x13-y=1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x13-y=1 ⇔3·x-1·y-1=0.
Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3, -1.
Ответ: 3, -1.
Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x-x1ax=y-y1ay или параметрическим x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a→=(ax, ay). Возможность нахождения координат нормального вектора n→ возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n→ и a→.
Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:
x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0
Для решения можно выбирать любой удобный способ.
Найти нормальный вектор заданной прямой x-27=y+3-2.
Решение
Из прямой x-27=y+3-2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a→=(7, -2). Нормальный вектор n→=(nx, ny) заданной прямой является перпендикулярным a→=(7, -2).
Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a→=(7, -2) и n→=(nx, ny) запишем a→, n→=7·nx-2·ny=0.
Значение nx – произвольное , следует найти ny. Если nx=1, отсюда получаем, что 7·1-2·ny=0⇔ny=72.
Значит, нормальный вектор имеет координаты 1, 72.
Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем
x-27=y+3-2⇔7·(y+3)=-2·(x-2)⇔2x+7y-4+73=0
Полученный результат координат нормального вектора равен 2, 7.
Ответ: 2, 7 или 1, 72.
Указать координаты нормального вектора прямой x=1y=2-3·λ.
Решение
Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:
x=1y=2-3·λ⇔x=1+0·λy=2-3·λ⇔λ=x-10λ=y-2-3⇔x-10=y-2-3⇔⇔-3·(x-1)=0·(y-2)⇔-3·x+0·y+3=0
Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны -3, 0.
Ответ: -3, 0.
Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат Охуz.
Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда нормальный вектор плоскости относится к A2x+B2y+C2z+D2=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда получаем запись векторов в виде n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2).
Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или параметрического, имеющего вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, отсюда ax, ay и az считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a→=(ax, ay, az). Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a→=(ax, ay, az).
Как вычислить нормальный вектор отрезка?
предположим,что у меня есть отрезок линии,идущий от (x1, y1) до (x2, y2). Как вычислить нормальный вектор, перпендикулярный линии?
Я могу найти много вещей о том, как это сделать для самолетов в 3D,но не 2D.
пожалуйста, полегче с математикой (ссылки на отработанные примеры, диаграммы или алгоритмы приветствуются), я программист больше, чем математик;)
4 ответов
Если мы определим dx=x2-x1 и dy=y2-y1, то нормали будут (- dy, dx) и (dy, – dx).
обратите внимание, что деление не требуется, и поэтому вы не рискуете делением на ноль.
другой способ подумать об этом-вычислить единичный вектор для данного направления, а затем применить 90-градусное вращение против часовой стрелки, чтобы получить нормальный вектор.
матричное представление общего 2D-преобразования выглядит следующим образом:
x' = x cos(t) - y sin(t)
y' = x sin(t) + y cos(t)
где (x,y) – компоненты исходного вектора и (x’, y’) – преобразованные компоненты.
Если t = 90 градусов, то cos (90) = 0 и sin(90) = 1. Подстановка и умножение дает:
x' = -y
y' = +x
тот же результат, что и ранее, но с немного большим объяснением того, откуда он берется.
этот вопрос был размещен давно, но я нашел альтернативный способ ответить на него. Поэтому я решил поделиться им здесь.
Во-первых, надо знать, что: если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Нормальный вектор (x',y') перпендикулярно линии, соединяющей (x1,y1) и (x2,y2). Эта линия имеет направление (x2-x1,y2-y1) или (dx,dy).
Итак,
(x',y').(dx,dy) = 0
x'.dx + y'.dy = 0
множество пар (x’, y’), удовлетворяющих приведенному выше уравнению. Но лучше пара, которая всегда удовлетворяет, либо (dy,-dx) или (-dy,dx)
m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Если перпендикулярно две строки:
m1*m2 = -1
затем
m2 = -1 / m1 //if (m1 == 0, then your line should have an equation like x = b)
y = m2*x + b //b is offset of new perpendicular line..
b-это что-то, если вы хотите передать его из точки, которую вы определили
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.
Замечание 1
Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.
Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.
Можно выразить уравнение прямой и другим способом:
$y = kx + b$.
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ – в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.
Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:
$x cdot cos{alpha} + y cdot sin{alpha} – p = 0$
где $alpha$ – угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.
Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:
- когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
- когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
- когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
- для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.
«Нормальный вектор прямой» 👇
Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.
Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:
$y – y_0 = k cdot (x – x_0)$
Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой – самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.
Определение 1
Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.
Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.
Обозначив нормальный вектор прямой как $vec{n}(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как
$n_1 cdot (x – x_n) + n_2 cdot (y – y_0) = 0$
Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат
$Ax + By + C = 0$,
то нормальный вектор описывается формулой:
$bar{n}(A; B)$.
При этом говорят, что координаты нормального вектора “снимаются” с уравнения прямой.
Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $bar{p}(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $bar{p}(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:
$frac{x – x_0}{p_1} = frac{y – y_0}{p_2}$
В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:
$bar{p} cdot bar{n} = -B cdot A + A cdot B = 0 implies bar{p} perp bar{n}$
Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $bar{n}(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:
$A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0$
Пример 1
Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.
Для решения задействуем формулу $A cdot (x – x_0) + B cdot (y – y_0) = 0$
Подставив значения, получаем:
$3 cdot (x – (-1)) – (-1) cdot (y – (-3)) = 0$
$3 cdot (x + 1) – (y + 3) = 0$
$3x + 3 – y – 3 = 0$
$3x – y = 0$
Проверить правильность общего уравнения прямой можно “сняв” из него координаты для нормального вектора:
$3x – y = 0 implies A = 3; B = -1 implies bar{n}(A; B) = bar{n}(3; -1),$
Что соответствует числам исходных данных.
Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x – y = 0$:
$3 cdot (-1) – (-3) = 0$
Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:
$bar{p}(-B; A) implies bar{p}(1; 3)$
Ответ: $3x – y = 0; bar{p}(1; 3).$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или плоскости на произвольные гладкие кривые и поверхности.
В точке кривой построены векторы касательной (T), главной нормали (N) и бинормали (B). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.
Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую нормальную плоскость. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью[1].
Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно[1].
Понятие нормали может быть легко распространено на многомерные многообразия. Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в теории потенциала и в других естественных науках[2].
Вектор нормали[править | править код]
Векторы нормали в точках поверхности
Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.
Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.
Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.
Нормаль к пространственной кривой[править | править код]
Пусть 
— векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: ![{displaystyle [[mathbf {r} ', mathbf {r} ''], mathbf {r} '].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee7697e2619ae6eceeffeda8525c1fd2068d8ea)
В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормали[3] равен 
.
Векторное уравнение бинормали в точке 
имеет вид:
![{boldsymbol {r}}(lambda )={boldsymbol {r}}(t_{0})+lambda [{boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{boldsymbol {r}}''(t_{0})].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b484d034092a7ddfd4f6cea0efa4b3f9f0cac69f)
Уравнение нормальной плоскости[3] в точке 
:
Нормаль к плоской кривой[править | править код]
Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке 
имеет следующий вид.
| Способ задания плоской кривой |
Уравнение кривой | Уравнение нормали |
|---|---|---|
| Параметрическое задание | |
|
| Явное задание |  |
|
| Неявное задание |  |
|
Нормаль к поверхности[править | править код]
В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.
Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:
| Координаты нормали в точке поверхности | |
|---|---|
параметрическое задание: 
|
|
неявное задание: 
|
|
явное задание: 
|
|
Здесь 
. Все производные берутся в точке 
. Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции 
совпадает с направлением её градиента.
Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).
Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол 
. Тогда кривизна 
кривой связана с кривизной 
нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье[4]:
Кривизна нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида и т. п. кривизна постоянна, и все направления — главные[5].
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1982, с. 1049—1050.
- ↑ Нормаль // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 416. — 847 с.
- ↑ 1 2 Рашевский, 1956, с. 146.
- ↑ Погорелов, 1974, с. 125—126.
- ↑ Погорелов, 1974, с. 132—133.
Литература[править | править код]
- Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.
Ссылки[править | править код]
- Нормаль // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
