Как найти нормаль поверхности в точке

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Как найти?

Постановка задачи

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ F(x,y,z) = 0 $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Уравнение касательной плоскости к поверхности записывается следующем образом:

$$ F’_x bigg |_M (x-x_0) + F’_y bigg |_M (y-y_0) + F’_z bigg |_M (z-z_0) = 0 $$

Уравнение нормали к поверхности составляется по формуле:

$$ frac{x-x_0}{F’_x Big |_M} = frac{y-y_0}{F’_y Big |_M} = frac{z-z_0}{F’_z Big |_M} $$

1. Находим частные производные $ F’_x, F’_y, F’_z $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $
2. Подставляем найденные значения производных в формулы для составления уравнений

ЗАМЕЧАНИЕ

Если в условии задачи задана точка $ M (x_0,y_0) $ с двумя координатами, то необходимо дополнительно вычислить координату $ z_0 $ из уравнения $ F(x_0,y_0,z_0) = 0 $, подставив в него известные координаты $ x_0 $ и $ y_0 $.

Примеры решений

Пример 1

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = x^2 + y^2 $ в точке $ M(1,-2,5) $

Решение

Переносим $ z $ в правую часть и записываем поверхность в виде: $$ F(x,y,z) = x^2 + y^2 – z $$ Находим частные производные первого порядка функции $ F(x,y,z) $: $$ F’_x = 2x $$ $$ F’_y = 2y $$ $$ F’_z = -1 $$ Вычисляем значения полученных производных в точке $ M(1,-2,5) $: $$ F’_x Big |_M = F’_x(1,-2,5) = 2 cdot 1 = 2 $$ $$ F’_y Big |_M = F’_y (1,-2,5) = 2 cdot (-2) = -4 $$ $$ F’_z Big |_M = F’_z (1,-2,5) = -1 $$ Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости: $$ 2(x-1) + (-4)(y+2) + (-1)(z-5) = 0 $$ Раскрываем скобки и записываем окончательное уравнение плоскости: $$ 2x – 4y – z – 5 = 0 $$ Теперь запишем уравнение нормали к поверхности с помощью второй формулы: $$ frac{x-1}{2} = frac{y+2}{-4} = frac{z-5}{-1} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ 2x – 4y – z – 5 = 0 $$ $$ frac{x-1}{2} = frac{y+2}{-4} = frac{z-5}{-1} $$

Пример 2

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $ z = e^{xcos y} $ в точке $ M(1,pi, frac{1}{e}) $

Решение

Записываем поверхность в виде: $$ F = e^{xcos y} – z $$ Находим частные производные от функции $ F(x,y,z) $: $$ F’_x = e^{xcos y} cdot (xcos y)’_x = cos y e^{xcos y} $$ $$ F’_y = e^{xcos y} cdot (xcos y)’_y = -xsin y e^{xcos y} $$ $$ F’_z = -1 $$ Вычисляем значения производных в точке $ M(1,pi,frac{1}{e}) $: $$ F’_x Big |_M = F’_x (1,pi,frac{1}{e}) = cos pi cdot e^{1 cdot cos pi} = -1 cdot e^{(-1)} = -e^{-1} $$ $$ F’_y Big |_M = F’_y (1,pi, frac{1}{e}) = -1 cdot sin pi cdot e^{1 cdot cos pi} = -1 cdot 0 cdot e^1 = 0 $$ $$ F’_z Big |_M = -1 $$ Подставляем в первую формулу касательной плоскости полученные ранее неизвестные данные: $$ -e^{-1}(x-1) + 0 cdot (y-pi) + (-1) cdot (z-frac{1}{e}) = 0 $$ Раскрываем скобки: $$ -xfrac{1}{e} + frac{1}{e} – z + frac{1}{e} = 0 $$ Домножаем обе части уравнения на $ -e $ и получаем окончательное уравнение плоскости: $$ x + ez – 2 = 0 $$ Используя вторую формулу находим уравнение нормали к поверхности: $$ frac{x-1}{-e^{-1}} = frac{y-pi}{0} = frac{z-e^{-1}}{-1} $$ Умножим уравнение на дробь $ frac{1}{-e} $: $$ frac{x-1}{1} = frac{y-pi}{0} = frac{z-e^{-1}}{e} $$

Ответ

$$ x + ez – 2 = 0 $$ $$ frac{x-1}{1} = frac{y-pi}{0} = frac{z-e^{-1}}{e} $$

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть M₀(x₀;
y₀;
z₀)
– фиксированная точка на поверхности,
заданной функцией z
= f(x;
y)
или уравнением F(x;
y;
z)
= 0.

Касательной
плоскостью к
поверхности в точке M₀
называется плоскость, в которой
расположены касательные к всевозможным
кривым, проведенным на поверхности
через точку M₀.

Нормалью называется
прямая, проходящая через точку M₀
перпендикулярно касательной плоскости.

Из
определений следует, что нормальный
вектор касательной плоскости
и направляющий вектор нормали совпадают.

Если поверхность
задана уравнением z
= f(x;
y),
то уравнение
касательной плоскости в
точке M₀(x₀;
y₀;
z₀)
к данной поверхности имеет вид

(1)

а
канонические
уравнения нормали,
проведенной через точку M₀(x₀;
y₀;
z₀)
поверхности, имеют вид

(2)

В случае, когда
уравнение гладкой поверхности задано
в неявном виде: F(x;
y;
z)
= 0 и F(x₀;
y₀;
z₀)
= 0, то уравнение
касательной плоскости в
точке M₀(x₀;
y₀;
z₀)
имеет вид

(3)

а уравнение
нормали

(4)

Пример 15.Найти уравнение касательной плоскости
и уравнения нормали к поверхностив точкеM₀(1; 2;
–1).

Решение

Вычисляем значения
частных производных в точке M₀(1;
2; –1)

Подставляя их в
уравнения (3) и (4), получаем соответственно
уравнение касательной плоскости:
канонические уравнения нормали:

Тест 11. Уравнение
касательной плоскости к поверхности
в точкеP₀(2;
–3; 2) имеет следующий вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Производная по направлению. Градиент

Частные производные
ипредставляют собой производные от
функцииz
= f(x;
y)
по двум частным направлениям осей Ox
и Oy
(рисунок 43).

Рисунок 43

Пусть функция z
= f(x;
y)
определена в некоторой окрестности
точки М(х;
у),
– некоторое направление, задаваемое
единичным векторомгдеибо(или);cos ,
cos 
– косинусы углов, образуемых вектором
е
с осями координат и называемые
направляющими
косинусами.

При перемещении
в данном направлении
точкиM(x;
y)
в точку M₁(x
+ x;
y
+ y)
функция z
получит приращение
z
= f(x
+ x;
y
+
+ y)
– f(x;
y),
называемое приращением
функции
в данном направлении

Если
то, очевидно, чтоследовательно,

Производной
по направлению
функции двух переменных
z
= f(x;
y)
называется предел отношения приращения
функции в этом направлении к величине
перемещения
при стремлении последней к нулю, т. е.

Производная
характеризует
скорость
изменения функции в направлении

Формула для
производной функции z
= f(x;
y)
по
направлению
имеет вид

Пример 16.
Дана
функция z
= x²
+ y²,
в точке M(1;
1) направление составляет с осью Ox
угол
Найти производную функции по указанному
направлению в этой точке.

Решение

Так как
то уголПо формуле производной функции по
направлению получим

В точке M(1;
1) получаем:

Градиентом grad
z
функции z
= f(x;
y)
называется вектор с координатами

Рассмотрим скалярное
произведение векторов
и единичного вектора

Получим

Итак, производная
по направлению
есть скалярное произведение градиента
grad
z
и единичного вектора, задающего
направление

Градиент функции
grad
z
в данной точке характеризует направление
максимальной скорости изменения функции
в этой точке.

Пример 17.
Найти
градиент функции
в точкеM(0;
1).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть поверхность задана в неявном виде: $F(x,y,z)=0$ и пусть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке $M_0$ таково:

$$
begin{equation}
F_{x}^{‘}(M_0)cdot(x-x_0)+F_{y}^{‘}(M_0)cdot(y-y_0)+F_{z}^{‘}(M_0)cdot(z-z_0)=0
end{equation}
$$

Уравнение нормали имеет вид:

$$
begin{equation}
frac{x-x_0}{F_{x}^{‘}(M_0)}=frac{y-y_0}{F_{y}^{‘}(M_0)}=frac{z-z_0}{F_{z}^{‘}(M_0)}
end{equation}
$$

Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

$$
begin{equation}
f_{x}^{‘}(x_0,y_0)cdot(x-x_0)+f_{y}^{‘}(x_0,y_0)cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0
end{equation}
$$

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:

$$
begin{equation}
frac{x-x_0}{f_{x}^{‘}(x_0,y_0)}=frac{y-y_0}{f_{y}^{‘}(x_0,y_0)}=frac{z-z_0}{-1}
end{equation}
$$

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Пример №1

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$, $y_0$, $z_0$ (координаты точки $M_0$) в нашем случае таковы: $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$. Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в уравнение нашей поверхности и убедимся, что $z_0$ действительно равно 20:

$$
z_0=3x_{0}^{2}y_{0}^{4}-6x_0y_{0}^{3}+5x_0-4y_0+10=3cdot (-2)^2cdot 1^4-6cdot (-2)cdot 1^3-4cdot 1+10=12+12-4=20.
$$

Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_{x}^{‘}$ и $z_{y}^{‘}$:

$$
z_{x}^{‘}=6xy^4-6y^3+5;\
z_{y}^{‘}=12x^2y^3-18xy^2-4.

$$

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в выражения частных производных:

$$
z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=6x_0y_{0}^{4}-6y_{0}^{3}+5=-12-6+5=-13;\
z_{y}^{‘}left(x_0, y_0right)=12x_{0}^{2}y_{0}^{3}-18x_0y_{0}^{2}-4=48-(-36)-4=80.
$$

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=-13$, $z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

$$

-13cdot(x-(-2))+80cdot(y-1)-(z-20)=0;\
-13x+80y-z-86=0.
$$

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=-13$, $z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=80$ в формулу (4) получим уравнение нормали:

$$
frac{x-(-2)}{-13}=frac{y-1}{80}=frac{z-20}{-1}; frac{x+2}{-13}=frac{y-1}{80}=frac{z-20}{-1}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $frac{x+2}{-13}=frac{y-1}{80}=frac{z-20}{-1}$.

Пример №2

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5sqrt{x^2+y^2}-2xy-39$ в точке $M_0(3;-4;z_0)$.

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=3$, $y_0=-4$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

$$
z_0=5sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}-2x_0y_0-39=5sqrt{25}+24-39=10.
$$

Теперь, как и в предыдущем примере, перейдём к нахождению частных производных $z_{x}^{‘}$ и $z_{y}^{‘}$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при $x=x_0$ и $y=y_0$:

$$
z_{x}^{‘}=frac{10x}{sqrt{x^2+y^2}}-2y; z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=frac{10cdot 3}{sqrt{3^2+(-4)^2}}-2cdot(-4)=11;\
z_{y}^{‘}=frac{10y}{sqrt{x^2+y^2}}-2x; z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=frac{10cdot (-4)}{sqrt{3^2+(-4)^2}}-2cdot 3=-10.\
$$

Подставляя $x_0=3$, $y_0=-4$, $z_0=10$, $z_{x}^{‘} left(x_0, y_0right)=11$, $z_{y}^{‘} left(x_0, y_0right)=-10$ в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

$$
11cdot(x-3)+(-10)cdot(y-(-4))-(z-10)=0; 11x-10y-z-63=0; \
frac{x-3}{11}=frac{y-(-4)}{-10}=frac{z-10}{-1}; frac{x-3}{11}=frac{y+4}{-10}=frac{z-10}{-1}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $frac{x-3}{11}=frac{y+4}{-10}=frac{z-10}{-1}$.

Пример №3

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.

Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как $F(x,y,z)$:

$$
3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1=0.
$$
$$F(x,y,z)=3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$$

Используем формулы (1) и (2). Значения $x_0$, $y_0$ и $z_0$ как и ранее обозначают координаты точки $M_0$, т.е. $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$.

Проверим, действительно ли точка $M_0$ лежит на данной поверхности. Для этого подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражение $3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и выясним, равен ли нулю полученный результат:

$$
3x_0y_{0}^{2}z_0+5x_0y_0+z_{0}^{2}-10x_0z_0+2y_0-1=36-10+9-30-4-1=0.
$$

Итак, точка $M_0$ действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти $F_{x}^{‘}$, $F_{y}^{‘}$ и $F_{z}^{‘}$:

begin{aligned}
& F_{x}^{‘}=3y^2z+5y-10z;\
& F_{y}^{‘}=6xyz+5x+2; \
& F_{z}^{‘}=3xy^2+2z-10x. end{aligned}

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражения частных производных:

begin{aligned}
& F_{x}^{‘}(M_0)=3y_{0}^{2}z_0+5y_0-10z_0=-4;\
& F_{y}^{‘}(M_0)=6x_0y_0z_0+5x_0+2=-29; \
& F_{z}^{‘}(M_0)=3x_0y_{0}^{2}+2z_0-10x_0=8. end{aligned}

Подставляя $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$, $F_{x}^{‘} left(M_0right)=-4$, $F_{y}^{‘} left(M_0right)=-29$ и $F_{z}^{‘} left(M_0right)=8$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

$$
-4cdot(x-1)-29cdot(y-(-2))+8(z-3)=0; -4x-29y+8z-78=0.\
frac{x-1}{-4}=frac{y-(-2)}{-29}=frac{z-3}{8}; frac{x-1}{-4}=frac{y+2}{-29}=frac{z-3}{8}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $frac{x-1}{-4}=frac{y+2}{-29}=frac{z-3}{8}$.

Пример №4

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.

Решение

Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=0$, $y_0=-3$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

$$
z_{0}^{3}+4x_0y_0z_0=-3x_{0}^{2}+5y_0+7;\
z_{0}^{3}=-15+7; z_{0}^{3}=-8; z_0=-2.
$$

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

$$
z^3+4xyz+3x^2-5y-7=0.
$$

Обозначим $F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7$ и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка $F_{x}^{‘}$, $F_{y}^{‘}$ и $F_{z}^{‘}$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке $M_0$:

begin{aligned}
& F_{x}^{‘}=4yz+6x; ; F_{x}^{‘}(M_0)=4y_0z_0+6x_0=-24;\
& F_{y}^{‘}=4xz-5; ; F_{y}^{‘}(M_0)=4x_0z_0-5=-5;\
& F_{z}^{‘}=3z^2+4xy; ; F_{z}^{‘}(M_0)=3z_{0}^{2}+4x_0y_0=12.
end{aligned}

Подставляя $x_0=0$, $y_0=-3$, $z_0=-2$, $F_{x}^{‘} left(M_0right)=-24$, $F_{y}^{‘} left(M_0right)=-5$ и $F_{z}^{‘} left(M_0right)=12$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

$$
-24cdot(x-0)-5cdot(y-(-3))+12(z-(-2))=0; -24x-5y+12z+9=0.\
frac{x-0}{-24}=frac{y-(-3)}{-5}=frac{z-(-2)}{12}; frac{x}{-24}=frac{y+3}{-5}=frac{z+2}{12}.
$$

Ответ: Касательная плоскость: $-24x-5y+12z+9=0$; нормаль: $frac{x}{-24}=frac{y+3}{-5}=frac{z+2}{12}$.

Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или плоскости на произвольные гладкие кривые и поверхности.

Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую нормальную плоскость. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью^[1].

Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно^[1].

Понятие нормали может быть легко распространено на многомерные многообразия. Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в теории потенциала и в других естественных науках^[2].

Вектор нормали[править | править код]

Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.

Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.

Нормаль к пространственной кривой[править | править код]

Пусть — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормали^[3] равен .

Векторное уравнение бинормали в точке имеет вид:

Уравнение нормальной плоскости^[3] в точке :

Нормаль к плоской кривой[править | править код]

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке имеет следующий вид.

Способ задания плоской кривой	Уравнение кривой	Уравнение нормали
Параметрическое задание
Явное задание
Неявное задание

Нормаль к поверхности[править | править код]

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
параметрическое задание:
неявное задание:
явное задание:

Здесь . Все производные берутся в точке . Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции совпадает с направлением её градиента.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол . Тогда кривизна кривой связана с кривизной нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье^[4]:

Кривизна нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида и т. п. кривизна постоянна, и все направления — главные^[5].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.

Ссылки[править | править код]

• Нормаль // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.