Как найти нормальное напряжение в балке - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент M_x

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
I_x — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y₁=y₂=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

W_X — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
W_X(1) и W_X(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
M_max — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре M_x;
[σ], [σ]_р, [σ]_с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [σ]_с>[σ]_р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

Проверка прочности
Подбор сечений
Определение максимально допустимой нагрузки

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
S_{x отс} — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
b_y — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Другие видео

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Q_max:

где [τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда M_max и Q_max действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Другие видео

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Деформации при изгибе >
Угловые и линейные перемещения в балках >
Примеры решения задач >
Лекции по сопромату >

Источник

Подставляя зависимость (6.6) в формулу (6.5), получаем выраже-

ние для нормальных напряжений в произвольной точке поперечно-

го сечения:

σ =	M y	.	(6.7)

	Jx

Выражение (6.7) определяет закон изменения нормальных напряжений в плоскости сечения – линейная зависимость от координаты у

(рис. 6.6,а).

Рис. 6.6

Максимальные нормальные напряжения в сечении возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии:

σ m ax =	M ym ax	==	M	,	(6.8)

	Jx	W x

где Wx – момент сопротивления сечения при изгибе:

W x =	Jx	.	(6.9)

	ym ax

Условно эпюра σ (y) изображается в плоскости сечения (рис. 6.6,б,в). Знаки напряжений на эпюре ставятся в зависимости от направления изгибающего момента M в сечении (на рис. 6.6,б знаки показаны для момента отрицательного направления). Если сечение несимметричное относительно нейтральной линии, то максимальные растягивающие и сжимающие нормальные напряжения будут различной величины (см. рис. 6.6,в).

Момент сопротивления Wx для сечений различной формы определяется через момент инерции Jx сечений (см. раздел “Геометрические характеристики сечений”). Например, для типовых сечений получим:

• прямоугольное сечение со сторонами b и h:

J =

bh3

; y

;

bh2

;

m ax

• кольцевое сечение (α

Jx = πD 4

(1−− α

4 )≈≈

0,05D 4 (1−−αα

4 );

ym ax =

;

W x = πD 3 (1−− α 4 )≈≈ 0,1D 3(1−− αα 4 );

• сплошное круглое сечение (d=0, α

= 0):

Jx =

πD 4

≈≈

0,05D 4;

W x =

πD 3

≈≈

0,1D 3.

6.4. Рациональные формы сечения балок при изгибе

Напряжения в сечении балки распределяются неравномерно. Поэтому встаёт вопрос о проектировании балок рациональной формы сечения, обеспечивающих наилучшим образом использование материала. Вопрос в том, как обеспечить заданную прочность балки при возможно минимальной ее материалоемкости. А эти факторы зависят от характеристик сечения – Wx и F. Рациональными формами сече-

ний балок при изгибе считаются такие, которые при заданной площади F обеспечивают наибольшую величину момента сопротивления Wx (или при минимальной площади F обеспечивают заданную величину Wx). Качественным показателем рациональности сечения может служить величина Wx/F: чем она больше, тем более рациональное сечение.

Оптимально было бы использование материала только в области наибольших напряжений, т.е. распределять материал подальше от нейтрального слоя. Так как в сечении балки при изгибе возникают напряжения разного знака, то выбор рационального профиля зависит и от материала.

Пластичные материалы чаще всего имеют одинаковые (или близкие по величине) прочностные характеристики на растяжение и сжатие (σ тр≈ σ тс). Поэтому для балок из пластичных материалов рационально использовать сечения, симметричные относительно нейтральной линии. А идея периферийного распределения материала привела на практике к созданию стандартных профилей в виде двутавра и швеллера (рис. 6.7). Наибольшие значения параметра Wx/F у двутав-

ра. Основываясь на таком подходе, можно убедиться, что лучше применять балки не сплошного круглого сечения, а кольцевого; не прямоугольного сечения, а коробчатого.

Рис. 6.7 Рис. 6.8

Для балок из материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие, выгодным является применение сечений, несимметричных относительно нейтральной линии. Причём положение нейтраль-

ной линии	желательно иметь таким, чтобы выполнялось условие
σ pmax/σ cmax	= σ вp/σ вc. При этом важна правильная ориентация сече-

ния в зависимости от положения растянутых и сжатых волокон. Например, для консольной чугунной балки таврового сечения (рис. 6.8) при показанном направлении нагрузки необходимо расположить балку полкой вверх, т. к. в этом случае будет σ cmax > σ pmax, а для чугуна

σвc > σ вp.

6.5.Напряжения при поперечном изгибе

При поперечном изгибе в сечениях балки возникают не только нормальные σ , но и касательные τ напряжения. Поперечная сила Q в сечении является результирующим силовым фактором от действия вертикальной составляющей τ касательных напряжений: Q = ∫ τ dF .

В результате возникающей деформации сдвига γ поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются. Кроме того, действие поперечной нагрузки, в частности распределенной q(z), приводит к взаимодействию продольных слоёв балки. Таким образом, строго говоря,

при поперечном изгибе балки не соблюдаются гипотезы 1 и 2, приня-

тые при чистом изгибе. Однако экспериментальные результаты, а также сопоставление с более строгим решением по теории упругости показывают, что несоблюдение отмеченных гипотез при поперечном изгибе приводит к несущественной погрешности при использовании формул чистого изгиба. Поэтому и при поперечном изгибе используются соотношения (6.6) для кривизны оси изогнутой балки и соотношения (6.7), (6.8) – для нормальных напряжений:

σ	=	M y	; σ	m ax	=	M	.
Jx		W x

Для определения касательных напряжений τ в произвольной точке сечения используется гипотеза 3 (τ = const по ширине сечения) и закон парности касательных напряжений. Выделим элемент балки (рис. 6.9,а) (берётся участок балки, где q = 0, т.к. учёт распределённой нагрузки q приводит к появлению членов второго порядка малости, которыми можно пренебречь) и рассмотрим верхнюю часть этого элемента, отсеченную продольной плоскостью y1 = const (рис. 6.9,б).

Рис. 6.9

На отсечённую часть в поперечных сечениях действуют нормальные напряжения (σ +dσ ), σ и касательные напряжения τ , а в продольном сечении действуют такие же напряжения τ согласно закону парности касательных напряжений (Направление напряжений соответствует положительным направлениям M и Q Напряжения приведём к результирующим силам (рис. 6.9,в):

N * = ∫ σ dF ; N1* =	∫ (σ ++ dσσ )dF ;	dT* = τ bdz,	(6.10)
F*	F *
где F* – площадь отсечённой части поперечного сечения.
Составим уравнение равновесия для отсечённой части балки:
∑ Fz = 0; – N1* + N+ dT = 0 или	dT* = N1* – N*.

После подстановки соотношений (6.10) в это уравнение и преобразований, а также с учетом дифференциального соотношения

dσ =

dM y

из (6.7), можно получить:

τ bdz=

∫ dσσ dF =

∫

dM ydF

∫ ydF или τ =

1 dM

∫ ydF*.

bJx dz

Учитывая, что ∫ ydF = S*x;	dM	= Q ,

F*	dz

окончательно получаем формулу для касательных напряжений в балках, которая носит название формулы Д.И. Журав-

ского:

	τ =	Q S*x	,	(6.11)

Рис. 6.10		Jxb
где τ – вертикальная составляющая каса-
	тельного напряжения; Q –	поперечная

сила в сечении балки; Jx – момент инерции сечения относительно нейтральной линии; b = b(y) – ширина сечения на уровне y, где определяются касательные напряжения (по ширине сечения они постоянны); Sx*=Sx*(y) – статический момент отсеченной части сечения (расположенной выше или ниже уровня y) (рис. 6.10). Направление касательных напряжений τ в поперечном сечении балки соответствует направлению поперечной силы Q в этом сечении.

Для примера рассмотрим балку прямоугольного сечения со сторонами b и h (рис. 6.11,а). В соответствии с формулой (6.11) изменяется только статический момент отсечённой части сечения:

S*x

= F*y

y12); =Jx

bh3

b( −

)

y = )

(−

;

b(y=

) b.

Тогда

Q b h2

6Q h2

ïðè y = 0 τ

m ax 3

3 Q

(

−

y1 )=

(

−

y1 );

bh3

b 2 4

2 bh

2 F

Для круглого сечения радиуса R, выполнив аналогичные преобразования, можно получить:

τ (y ) =	4Q	(R	2− y2); τ m ax=	4Q =	4	Q	.

1	3πR4		1	3πR2	3 F

На рис. 6.11а,б приведены эпюры касательных напряжений τ для прямоугольного и круглого сечений. В обоих случаях напряжения распределяются по высоте сечения по закону квадратичной параболы, максимальные напряжения возникают в точках нейтральной линии.

Рис. 6.11

Некоторые особенности в распределении касательных напряжений имеют место для тонкостенных профилей. Эпюра τ для двутаврового сечения показана на рис. 6.11,в. Вследствие резкого уменьшения ширины сечения возрастает величина касательных напряжений в стенке профиля. Максимальные напряжения равны τ max = QS*x/Jxd, а величины Jx, S*x, d приводятся в соответствующих таблицах ГОСТ сортамента. Приведенная эпюра τ y является приближенной, т. к. не учитывает местного увеличения напряжений вблизи входящего угла сечения, где стенка соединяется с полкой.

Можно сопоставить наибольшие касательные и нормальные напряжения в балках, чтобы выяснить определяющие напряжения при поперечном изгибе балок. Например, для консольной балки прямоугольного сечения (рис. 6.12) эти напря-

жения равны:

σ m ax =

M m ax

6P2l;

Рис. 6.12

W x

/6 bh

τ m ax =

2 F

2 bh

Сопоставляя полученные значения

σ m ax

и учитывая, что

τ m ax

для бруса l/h>10, можно сделать вывод, что для нетонкостенных балок максимальные нормальные напряжения значительно больше, чем касательные напряжения.

Следует отметить, что формула (6.11) позволяет вычислить напряжения не только в поперечных сечениях, но и в продольных (по закону парности касательных напряжений).

6.6. Расчет на прочность при изгибе

Для балок в большинстве практических случаев определяющими являются нормальные напряжения, а касательные напряжения играют второстепенную роль. Поэтому основным принимается условие проч-

ности по нормальным напряжениям, а условие прочности по касательным напряжениям является поверочным.

Для балок из пластичных материалов условия прочности имеют

≤ σ[ ];	σ [ ]=		σ ò	;	(6.12)

			nò
≤ [τ ];	τ[ ]=	τ ò	.	(6.13)

		nò

Для балок несимметричного профиля, выполненных из хрупких материалов, вместо условий (6.12) необходимо составить два условия прочности:

[ ]

≤ σσ

σ Bc

m ax

p , ãäå

[σ

]

; [σ

]

(6.14)

≤ σ[σ

]

m ax

При расчете балок постоянного сечения наибольшие нормальные напряжения возникают в сечении, где действует максимальный изгибающий момент M max. В этом случае условие прочности (6.12) можно записать в виде:

Ì m ax	≤ [σ ].	(6.15)

W x

Условие (6.15) используется для подбора сечения балки при изгибе:

W x ≥	M m ax	.	(6.16)

	[σ ]

При необходимости после этого проводится проверка по условию прочности (6.13) при Q = Qmax.

Для балок переменного сечения (Wx≡Wx(z) условие прочности (6.15) следует записать в таком виде:

Ì			≤ [σ ].
			(6.15*)

W	x	m ax

В некоторых случаях при расчете балок на прочность следует обращать особое внимание на касательные напряжения в поперечных и продольных сечениях балок. В частности, когда рассматриваются:

Рис. 6.14

1) тонкостенные балки;

2)короткие балки из волокнистых ма-

териалов, имеющих малую прочность на скалывание вдоль волокон (например, возможно разрушение деревянного бруска по продольной плоскости, совпадающей с нейтральным слоем (рис. 6.13,а);

3)составные балки (рис. 6.13,б), для ко-

торых возможно разрушение по продольной плоскости контакта частей балки от действия максимальных касательных напряжений.

6.7. Перемещения в балках при изгибе

При расчёте конструкции вычисляются не только напряжения, но и перемещения. Причём методы определения перемещений играют важную роль как в общей оценке жёсткости конструкции, так и при решении многих прикладных задач (расчёт статически неопределимых систем, динамическое нагружение конструкций, колебания упругих систем и др.).

Дадим общие понятия о перемещениях в балках, рассматривая прямой изгиб балки. Для определённости принимается общая система координат Oyz (рис. 6.14), начало которой выбирается в центре площади какого-либо сечения, а ось z направлена по оси балки.

(При этом следует иметь в виду, что с каждым сечением связана местная система центральных осей, параллельных исходным.)

Для поперечных сечений

балок различают два вида перемещений:

1) прогиб v(z) – линейное перемещение сечения (центра площади сечения) в направлении, перпендикулярном оси балки;

2) угол поворота θ (z) – угловое перемещение сечения по отноше-

нию к первоначальному положению (поворот сечения относительно нейтральной линии).

Принимая, что положительное направление жительным направлением изгибающего момента ложительное направление оси Oy – вверх (см.

θ совпадает с поло- M в сечении, а порис.6.14), получим

tgθ = dv. В большинстве практических случаев перемещения в dz

балках относительно малы, так что можно считать tgθ ≈ θ . Поэтому дифференциальное соотношение между прогибом и углом поворота сечения получается в виде:

θ = v′ ; v′ =	dv	.	(6.17)

	dz

Рассмотрим некоторые методы определения перемещений.

6.7.1. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Ось изогнутой балки часто называют упругой линией. В случае прямого изгиба балки, учитывая соотношения (6.3), (6.6) и (6.17), для определения перемещений можно использовать систему дифференциальных уравнений в виде:

dθ			=			M

						EJx .
dz		(6.18)
		dv	= θ

			dz

Исключая второе уравнение из системы (6.18), получаем диффе-
ренциальное уравнение упругой линии балки:
	d2v	=		M	.	(6.19)
	2
	dz					EJx

Уравнение (6.19) (или система уравнений (6.18) может применяться для определения как перемещений отдельных сечений, так и формы оси изогнутой балки. Последовательным интегрированием уравнений в системе (6.18) или уравнения (6.19) получаем:

		M dz			M dz2
θ (z)=	∫		++θθ ο;	v(z)=	∫ ∫	++	θ oz++ vo,	(6.20)
EJx	EJx
	z				z z

где θ o, vo – постоянные интегрирования, имеющие смысл перемещений сечения балки в начале координат (z = 0). Для балки постоянной жесткости EJx = const интегрирование упрощается:

θ (z)=	1	∫	M dz++θθ o; v(z)=	1	∫ ∫	M dz2++ θ o++ vo. (6.21)
EJx	EJx

		z			z z

Постоянные θ o, vo определяются из граничных условий, число которых равно двум (порядку дифференциального уравнения). Граничные условия могут составляться для v и v′ = θ в зависимости от типа закрепления балки. Например, для шарнирно опертой балки (рис. 6.15,а) граничные условия имеют вид: v(0) = 0, v(l) = 0; для консоль-

ной балки (рис. 6.15,б): v(0) = 0, v′(0) = 0.

Рис. 6.15

Пример 6.1. Рассмотрим определение перемещений для консольной балки переменного сечения, нагруженной на свободном конце силой Р (рис. 6.16). Балка имеет постоянную толщину и переменную ширину сечения (h=const, b=var).

Выберем начало координат на свободном конце балки. Тогда:

M(z)=-P z; b(z)=boz/l,

где bo, l – ширина сечения в заделке и длина балки. Момент инерции произвольного сечения балки можно представить в таком виде:

	b(z)h	3		boh	3 z	z
Jx (z) =			==				== Jo	,
12		12
					l	l

ãäå Jo = boh3 .

Подставив полученые выражения в Рис. 6.16 дифференциальные уравнения (6.18) и выполнив интегрирование, получим такие

выражения:

					2
θ (z) = −	P lz+	θθ	o	; v(z) =−	P lz+	θθ + z	v	.
	E Jo		2E Jo	o		o

Граничные условия имеют вид θ (l) = 0, v(l) = 0. Подставив их в полученные выражения, находим константы интегрирования: θ o = Pl2/EJo; vo=-Pl3/2EJo. Тогда для функции прогибов по длине балки и величины максимального прогиба (в сечении z = l) получим следующие выражения:

Plz2

Pl2z

Pl3

v(z)= –

–

= –

– 2

; vm ax =

v(0)=

2EJo

EJo

2EJo

Аналогичным образом нетрудно получить максимальный прогиб для консольной балки постоянного сечения (bo×h): vmax=Pl3/3EJo.

6.7.2. Метод единичной нагрузки. Интеграл Мора

Общие методы определения перемещений в упругих системах основаны на использовании вариационных принципов механики.

Наиболее часто применяется принцип возможных перемещений

(принцип Лагранжа): если упругая система находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю. В математической форме это можно записать так:

∑ Pjδ j + U== 0,	(6.22)
j

где Pj – внешняя сила; δ j – возможное перемещение точки приложения силы Pj; U – возможная работа внутренних сил.

Под возможными понимаются такие перемещения, которые могут быть осуществлены для данной системы в соответствии с имеющимися опорами, не нарушая сплошности системы. Чем меньше перемещения, тем точнее соблюдается принцип Лагранжа. Учитывая

малость перемещений в реальных упругих системах, такие перемеще-

ния можно принимать в качестве возможных. Работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях называется возможной работой.

Пусть криволинейный брус испытывает плоскую деформацию под действием произвольной нагрузки, которую символически обозначим силой Р (рис. 6.17,а). Требуется определить перемещение се-

чения К в заданном i-ом направлении (δ (i)ê ).

Рассмотрим два состояния заданной системы. Исходное состояние системы при действии реальной нагрузки, в котором возникает искомое перемещение, называется действительным или грузовым состоянием. Вспомогательное состояние системы определяется действием соответствующей единичной нагрузки и называется еди-

ничным состоянием (рис.6.17,б). Термин «перемещение» понимается в обобщённом смысле: линейное или угловое перемещение. Вво-

димая единичная нагрузка должна соответствовать искомому перемещению: прикладывается в заданном сечении и в заданном направлении; прикладывается единичная сила (P = 1), если определяется линейное перемещение, или единичный момент (M = 1), если определяется угол поворота.

Рис. 6.17

В рассматриваемом методе принцип возможных перемещений записывается для единичного состояния. При действии единичной нагрузки в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы: нормальная сила N1, изгибающий момент M 1 и поперечная сила Q1. Возможные перемещения определяются дополнительным деформированным состоянием, которое накладывается на упругую систему, до того находившуюся в равновесии под действием приложенной нагрузки. В качестве возможных принимаются реальные перемещения бруса в грузовом состоянии, при котором в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы N, M , Q.

Для единичного состояния внешней силой является только P = 1, которая совершает работу на искомых перемещениях δ (Êi); поэтому

возможная работа внешних сил равна P δ (i)ê . При составлении работы внутренних сил рассматривается деформация элемента бруса длиной ds (см. рис. 6.17). Условно считая левое сечение неподвижным, правое сечение получит такие смещения: при растяжении (сжатии) – осе-

вое перемещение ε ds; при изгибе – поворот dθ =k ds; при сдвиге – поперечное перемещение γds (см. рис. 6.17,а). Работа dU внутренних сил для элемента бруса всегда отрицательная, т.к. эти силы являются силами упругого сопротивления и препятствуют развитию деформации. Поэтому получим:

dU = − N1 ε ds− M 1 kds− Q 1 γ ds.

Перемещения за счёт сдвига записаны при условии равномерного распределения касательных напряжений в сечении. Учитывая неравномерность их распределения при изгибе (см. раздел 6.4), вводится поправочный коэффициент kc – коэффициент формы сечения (для прямоугольного сечения kc = 6/5, для сплошного круглого сечения kc

= 10/9 и т.д.).

Для бруса в целом работа внутренних сил получается интегрированием выражения для dU по длине l. Подстановка полученных выражений в формулу (6.22) даёт уравнение:

l	l	l
1 δ (i)K − ∫ N 1ε ds−−	∫ M 1kds−−	∫ Q 1kcγγ ds= 0.
0	0	0

Откуда выражение для искомого перемещения получается в виде

l	l	l
δ (i)K = ∫ N 1ε ds−	∫ M 1kds−	∫ Q 1kcγγ ds.	(6.23)
0	0	0

Подставляя в выражение (6.23) ранее полученные зависимости для деформаций ε , k, γ через внутренние силовые факторы (ε =N/EF,

k=M /EJx, γ =Q/GF), получаем расчётную формулу для определения перемещений:

N 1 N ds

1M ds

Q 1Q ds

(Ki) = ∫

+ ∫

∫

(6.24)

E F

E Jx

G F

Формула (6.24) носит название интеграла Мора.

В случае расчёта бруса, имеющего несколько участков, формула

(6.24) может быть представлена в следующем виде:

(i) =

N 1iN ids+

M 1iM ids

Q 1iQ ids

δ K

∑

∫

, (6.25)

i 1

E iFi

E iJxi

G iFi

где m – количество участков бруса.

Вклад каждого из интегралов в формулу (6.24) различный, что обычно учитывается при расчёте конкретного бруса. Для бруса при растяжении-сжатии учитывается только первый интеграл. При плос-

ком изгибе прямолинейного бруса обычно учитывается только второй интеграл:

δ	l	M 1M dz
(Ki) = ∫	.	(6.26)

	0	E Jx

Определение перемещений по методу единичной нагрузки проводится в следующем порядке.

1. Брус разбивается на участки в соответствии с действующей нагрузкой и характером изменения жесткости.

2.На каждом участке для грузового состояния составляются выражения для N, Q, M в произвольном сечении бруса.

3.Рассматривается единичное состояние бруса, определяемого действием соответствующей единичной нагрузки: в направлении искомого перемещения при определении линейного перемещения при-

кладывается сила P = 1, при определении углового перемещения момент M = 1.

4.На каждом участке бруса для единичного состояния составляются выражения для N1, M 1, Q1 в произвольном сечении бруса.

5.Вычисляется перемещение по формуле (6.24) (или (6.25),

(6.26).

Положительное значение показывает, что перемещение происходит по направлению приложенной единичной нагрузки, отрицательное – в направлении, противоположном приложенной единичной нагрузки.

6.7.3. Способ Верещагина

Использование формул (6.24) – (6.26) связано с необходимостью вычисления интегралов, иногда – путем численного интегрирования. Существуют различные способы, облегчающие вычисление этих ин-

тегралов. Один из них, графоаналитический способ А.К. Верещагина, применяется для прямолинейного бруса.

Рассмотрим прямолинейную балку постоянной жесткости (EJx=const), и формулу (6.26) представим в виде

δ	=	1	l
∫ M 1M dz.	(6.27)
EJx
		0

Для прямолинейной балки выражение для изгибающего момента M 1 от единичной нагрузки является линейной функцией:

M 1 = a + b z.

(6.28)

Выражение

для изгибающего

момента

грузового состоя-

ния может быть произвольной

функцией (рис. 6.18). После

подстановки

выражения (6.28)

в формулу (6.27) в результате

преобразований получим:

δ =

∫ (a+ bz)M dz=

EJx 0

∫

Рис. 6.18

(a M dz+

b zM dz).

EJx

Введём обозначения (согласно геометрическому смыслу слагае-

мых):

∫ dω = ωω – площадь грузовой эпюры M

(см. рис.6.18);

∫ M dz =

zM dz=

zdω = z ω=

–

статический момент площади эпюры

∫

Тогда получим:

ω (a+ bzc).

δ =

(aωω++ bzcω )==

EJx

Сомножитель в скобках согласно выражения (6.28) является значением момента M 1 в сечении z = zc (см. рис. 6.18). Обозначив η = M 1(zc) = a + bzc, формула для определения перемещений по способу Верещагина примет вид:

δ = ω η .	(6.29)
EJx
Таким образом, вычисление перемещений по способу Верещаги-
на сводится к перемножению площади (ω) грузовой эпюры M на ор-
динату (η) единичной эпюры M 1 под центром площади грузовой
эпюры.
Следует обратить внимание, что эпюры M 1 и M	для вычисления

перемещений по формуле (6.29) должны удовлетворять определённым условиям:

1) грузовая эпюра M непрерывна и сохраняет знак на всем участке интегрирования;

2) площадь и положение центра площади грузовой эпюры M известны или легко определяются;

3) единичная эпюра M 1 является линейной (а не кусочнолинейной).

В том случае, если эпюры M и M 1 не удовлетворяют указанным условиям, грузовая эпюра разбивается на n простых фигур, чтобы удовлетворялись эти условия, и перемещение вычисляется по формуле:

δ =	1	∑n ωω iη i.	(6.30)

	E Jx i= 1

Вспомогательнаяинформациядлянекоторыхфигурприведена в табл. 6.1. Таблица 6.1

Фигуры 3 – 5 получаются для эпюры M , ограниченной квадратичной параболой (при действии распределенной нагрузки q = const),

причем для фигур 3, 4 (параболические треугольники) т.К должна быть точкой экстремума (min или max).

Способ Верещагина применим для вычисления любого из интегралов (6.24) с использованием соответствующих эпюр и жесткостей. Отметим ограничение и дополнительные особенности применения способа Верещагина (на примере формулы (6.29) для балки).

1. Способ Верещагина применим только для прямолинейного бруса.

2. Ступенчатый брус следует разбивать на участки постоянной жёсткости; тогда расчётная формула примет вид:

δ	n	ω η
= ∑	i i	.	(6.31)

	i= 1	E Jxi

3. Для бруса переменной жесткости EJx(z) можно построить приведённую грузовую эпюру Ì = Ì /ÅJx; тогда формула (6.30) преобразуется к виду:

Соседние файлы в папке Книги и методические указания

#
04.03.201414.07 Mб253Кочетов Сопротивление материалов.pdf
#

Источник

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3),т.е. нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение – это осевой момент инерции сечения относительно оси х – I_х. Его размерность см⁴, м⁴

Тогда ,откуда (4) ,где – это кривизна изогнутой оси балки, а – жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5)

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см³, м³. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения: (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр прямом изгибе взаимно перпендикулярны.

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0

Источник

Привет! В этом уроке начнём знакомиться с таким видом деформации, как растяжение (сжатие). Обычно, с этой темы и начинают изучать сопротивление материалов — объясняются основные понятия, которые дальше используются на протяжении всего обучения.

Задание, которое будем рассматривать в этой статье, как правило, дается студентам в первую очередь в качестве домашней работы. После изучения материалов этого урока ты научишься строить следующие эпюры: продольных сил, нормальных напряжений, а также осевых перемещений поперечных сечений. Не пугайся мудрёных названий, на самом деле, все эти эпюры строятся очень просто!

Что же давай приступим к изучению!

Построение эпюры продольных сил

В качестве примера возьмём простенькую расчётную схему стержня (также часто ступенчатый стержень, который работает на растяжение или сжатие, называют брусом). Загрузим наш стержень сосредоточенными силами, вот так:

Теперь наша первостепенная задача – построить эпюру продольных сил. И давай сразу будем разбираться в терминологии.

Что такое эпюра?

Эпюра – это график, который принято строить для визуализации распределения какой-либо величины. В нашем случае, продольной силы.

Построив такой график, мы можем увидеть, где определённая величина достигает максимальных или минимальных значений, что может быть полезно при проведении прочностных расчётов и других. Кроме того, эпюры могут служить вспомогательными инструментами для построения других эпюр, о чём мы будем говорить далее.

Что такое продольная сила?

Продольная сила – это внутренняя сила, которая возникает в сечениях стержня, работающего на растяжение или сжатие под действием внешней нагрузки.

Расчёт эпюры продольных сил

Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить брус на несколько участков, где эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для этого стержня, границами участков служат те точки, где прикладываются сосредоточенные силы.

То есть для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:

Важно! Эпюра продольных сил, никак не зависит от формы бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать.

Правило знаков для продольных сил

Правило знаков для продольных сил следующее:

если внешняя сила (F) растягивает брус, то продольная сила (N) в сечениях будет положительная;
если внешняя сила (F) сжимает брус, то продольная сила (N) в сечениях будет отрицательная.

Расчёт продольных сил на участках

На первом участке сила F₁ растягивает брус на величину 5 кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:

Откладываем это значение на графике — эпюре. Эпюры, принято заштриховывать перпендикулярно к нулевой линии, а также указывать знак продольной силы:

На втором же участке, помимо силы F₁, также действует сила F₂, которая сжимает брус, поэтому в уравнении ее нужно учесть со знаком «минус»:

Откладываем полученное значение на эпюре:

Расчёт реакции в жёсткой заделке

Прежде всего, следует разобраться с тем, что вообще такое реакция. Всё дело в том, что помимо внутренних усилий, возникающих внутри нагруженного элемента конструкции, в том месте, где закреплён этот элемент, также возникают некоторые силы (сила), которые являются реакцией на внешнюю нагрузку и удерживающие эту конструкцию в состоянии статического равновесия.

Например, стул на котором ты сейчас сидишь и давишь на него своим весом, сопротивляется, чтобы удерживать тебя в состоянии равновесия. Если переводить на язык сопромата, твой вес в этом случае это внешняя сила, а сила с которой стул реагирует на твой вес – это реакция опоры, равная по модулю этой силе, но противоположно направленная.

Так и в нашей конструкции, в жёсткой заделке, также возникает реакция! Осталось только научиться — определять эту силу. Так как она должна компенсировать всю нагрузку, которая приложена к стержню, условие равновесия для нашей схемы можно записать так:

То есть, так как система находится в состоянии равновесия, то сумма всех сил, действующих на конструкцию, будет равна нулю.

Из этого условия равновесия и найдём искомую реакцию. Приложим некоторую силу R в месте, где закреплён наш стержень, при этом направить её можно в любую сторону, хоть влево, хоть вправо, главное, чтобы она была направлена горизонтально, так как у нас вся нагрузка, направлена так, то и реакция в заделке будет возникать исключительно — горизонтальная:

Чтобы составить уравнение равновесия, введём продольную ось – x, относительно неё будем составлять это уравнение, при этом силы, которые будут совпадать с положительным направлением оси x, в уравнении будем учитывать с «плюсом», а противоположно направленные с «минусом»:

Находим из этого уравнения реакцию в заделке:

А теперь, давай обсудим, что можем делать с этим теперь. В нашей конкретной задаче реакция может помочь проверить эпюру продольных сил. Если в первом уроке, считали стержень, строго справа налево, то теперь, зная численное значение реакции, можно рассчитать стержень и слева направо. Или как минимум увидеть, что левый участок эпюры, был построен верно.

Да, можно было вполне обойтись, без расчёта этой реакции конкретно в этом случае. Но, чаще всего, решение задач по сопромату начинается как раз с определения реакций, потому что без этого в большинстве случаев, невозможно определить внутренние усилия, а тем самым произвести какие-либо дальнейшие расчёты. Но с этим мы ещё многократно будем сталкиваться в следующих уроках, особенно в задачах на изгиб.

Построение эпюры нормальных напряжений

В отличие от продольных сил, нормальные напряжения уже зависят от формы бруса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений.

Формула для определения нормальных напряжений выглядит так:

Таким образом, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на площадь сечения.

Нормальные напряжения, как и продольные силы, изменяются по одному закону в пределах участков. Однако, так как форма бруса сказывается на распределении нормальных напряжений, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашей расчетной схемы, нужно рассмотреть три участка и вычислить напряжения, соответственно, 3 раза:

Будем считать, что по условию задачи нам известны все параметры бруса, включая площади поперечных сечений: на первом участке площадь поперечного сечения A₁=2 см², а на втором и третьем A₂= A₃= 4 см².

Вычисляем напряжения на каждом участке:

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:

По полученной эпюре нормальных напряжений, можно определить те поперечные сечения, в которых напряжения будут максимальными (все сечения на участке 1), что полезно при проведении прочностного расчёта.

Построение эпюры осевых перемещений поперечных сечений

Под действием внешней нагрузки поперечные сечения бруса перемещаются вдоль продольной оси. Под нагрузкой брус может как удлиниться, так и укоротиться. И в этом разделе будем учиться определять эти перемещения.

Для начала подготовимся к расчету и расставим точки в характерных сечениях. Чтобы потом к ним привязываться по ходу решения:

Если для первых двух эпюр, расчет начинался справа налево, от свободного конца. То здесь нам нужно начать считать с закрепленного конца, с жесткой заделки и так как сечение A, закреплено жестко, то никакие перемещения этого сечения невозможны, поэтому сразу можем записать:

Эпюра перемещений так же, как и остальные эпюры, меняется по одному закону, в пределах участков. Поэтому, чтобы построить эпюру, достаточно определить эти перемещения в характерных точках.

Перемещение точки B будет складываться из перемещения предыдущего расчетного сечения:

А также удлинения (или укорочения) участка между расчетными сечениями:

В свою очередь, удлинение (или укорочение) любого участка, можно определить по следующей формуле:

Поэтому формулу, для нахождения перемещения сечения B, можно записать и в другом виде:

Подставив все численные значения, найдем искомое перемещение:

Откладываем полученное значение на эпюре:

Также важно отметить, что при вычислении удлинения или укорочения участка (Δl), фактически площадь эпюры продольных сил (ω) делится на жесткость при растяжении или сжатии (EA).

Это свойство нам еще пригодится, когда будем рассматривать более сложную задачу.

Для точек C и D перемещения находятся аналогичным способом, так же как и для точки B, поэтому подробно комментировать не буду, приведу решение.

Точка C

Точка D

Откладываем полученные значения на эпюре:

По полученной эпюре, можно увидеть — в какую сторону и насколько переместится любое поперечное сечение стержня. Наиболее интересной характеристикой здесь является перемещение сечения D, то есть перемещение свободного конца бруса или фактическое удлинение. Как видим, сечение D переместится вправо на величину W_D (т. к. значение W_D — положительное). То есть, под действием всей нагрузки брус удлинится на 0.575 мм.

Учёт распределённой нагрузки

А теперь предлагаю рассмотреть немного измененную задачу. Приложим к нашему брусу дополнительно распределенную нагрузку q с интенсивностью равной 2 кН/м. После чего рассчитаем и построим все те же эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Чтобы учесть распределенную нагрузку, необходимо интенсивность нагрузки (q) умножить на длину участка, на котором действует нагрузка. В чистом виде, только от распределенной нагрузки, эпюра продольных сил будет треугольная.

Расчет продольных сил

На первом участке, сила по-прежнему растягивает стержень, записываем ее в уравнение с «плюсом», а распределенная нагрузка сжимает, соответственно, ее учитываем с «минусом»:

Найдем значения продольной силы на границах первого участка:

Откладываем рассчитанные значения:

На втором участке, распределенная нагрузка будет действовать точно так же, как и сосредоточенная сила:

Рассчитываем продольную силу на третьем участке:

Строим окончательную эпюру продольных сил:

Расчет нормальных напряжений

Нормальные напряжения рассчитываются точно так же, как и для первой задачи, единственное отличие только в том, что на первом участке необходимо рассчитать напряжения два раза — на границах участка:

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:

Расчет перемещений

Для точек A, B и С перемещения рассчитываются аналогично, как в первой задаче:

Строим эпюру перемещений на втором и третьем участке:

Чтобы рассчитать удлинение на первом участке, нужно вычислить площадь эпюры продольных сил на этом участке и разделить на жесткость (EA):

Так как на этом участке, эпюра состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, но по разные стороны от нулевой линии, с учетом знаков, ожидаемо, получим, что перемещение точки D, будет равно перемещению точки C.

Однако, необходимо учесть еще одну особенность. На участках, где действуют распределенные нагрузки, эпюры перемещений изменяются не по линейному закону, а по квадратичному.

То есть на участке с распределенной нагрузкой, эпюра перемещений всегда будет иметь либо выпуклость, либо вогнутость:

Чтобы понять, как же будет выглядеть эпюра перемещений, на участке с распределённой нагрузкой, нужно проанализировать эпюру продольных сил.

Как видим, начиная от точки C и до пересечения нулевой линии, эпюра продольных сил – отрицательна, а это значит, что эпюра перемещений, на этом отрезке, также должна убывать, как показано зелёной пунктирной линией. Поэтому изображаем эпюру перемещений следующим образом:

Но чтобы окончательно убедиться в верности наших рассуждений, можно также определить экстремум на эпюре перемещений (там, где эпюра достигает своего максимального значения). Или в той точке, где эпюра продольных сил пересекает нулевую линию: