Как найти нормальное напряжение в брусе

При растяжении и
сжатии бруса в его поперечных сечениях
возникают только нормальные
напряжения σ.
Для их определения при известной
продольной силе, необходимо установить
закон их распределения по поперечному
сечению бруса.

Эта задача решается
на основе гипотезы
Бернулли:
перпендикулярное
оси недеформированного бруса плоское
сечение остаётся таким же плоским и
перпендикулярным оси и при растяжении
(сжатии) бруса.

При растяжении
бруса, изготовленного для большей
наглядности опыта из резины, на поверхности
которого нанесена система продольных
и поперечных рисок, можно убедиться,
что риски остаются прямолинейными и
взаимно перпендикулярными, изменяются
лишь расстояния: между поперечными –
увеличиваются, а между продольными –
уменьшаются. При этом предполагают, что
внутри бруса деформации имеют тот же
характер, что и на его поверхности.

Брус состоит из
бесконечно большого числа продольных
элементов, имеющих бесконечно малые
поперечные сечения, – волокон.

Их данной гипотезы
следует, что все волокна деформируются
одинаково. При однородном материале
равным деформациям соответствуют
одинаковые напряжения.

Следовательно,
при растяжении
и сжатии бруса нормальные напряжения
распределены по его поперечному сечению
равномерно.

где А – площадь
поперечного сечения, которая является
геометрической характеристикой прочности
бруса при растяжении и сжатии.

Для нормальных
напряжений принимают тоже правило
знаков, что и для продольных сил.

График, показывающий
закон изменения нормальных напряжений
по всей длине бруса, называется эпюрой
нормальных напряжений.

3. Деформации при растяжении и сжатии

При растяжении
бруса его первоначальная длина l
увеличивается на Δl
(абсолютное
удлинение),
а первоначальный поперечный размер d
уменьшается на Δd
(абсолютное
поперечное укорочение);
при сжатии – наоборот.

При растяжении Δ
l
>0, Δ
d
<0.

При сжатии Δ
l
<0; Δ d
>0.

Величина абсолютного
удлинения или укорочения, зависящая от
длины бруса, не даёт общего представления
о значительности деформации.

Деформирование
бруса при растяжении и сжатии характеризуют
величины:

Относительное
удлинение (продольная деформация)
– отношение величины абсолютного
удлинения к первоначальной длине бруса

Относительное
поперечное сужение (расширение)
(поперечная деформация)
– отношение изменения поперечного
размера к его первоначальному значению

Продольная и
поперечная деформации пропорциональны
друг другу, что выражает коэффициент
Пуассона,
характеризующий упругие свойства
материала

ν=0…0,5. Для пробки
ν=0; для стали ν=0,25…0,33; для парафина
ν=0,5.

4. Закон Гука:
В пределах упругих деформаций между
нормальными напряжениями и продольной
деформацией существует прямо
пропорциональная зависимость:

где Е – модуль
продольной упругости (модуль Юнга) –
это физическая постоянная данного
материала, характеризующая его жёсткость.

Чем жёстче материал,
тем меньше он деформируется при данном
напряжении.

Для стали
Е=(1,9…2,15)10⁵МПа.

Изменение длины
бруса равно алгебраической сумме
удлинений (укорочений) его отдельных
участков и вычисляется по формуле
Гука:
абсолютное
удлинение прямо пропорционально
продольной силе, длине и обратно
пропорционально жёсткости сечения
бруса

где N_i,
l_i,
А_i
– соответственно продольная сила, длина
и площадь сечения в пределах каждого
участка бруса;

Произведение АЕ
– условно называется жёсткостью сечения
бруса при растяжении и сжатии.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

iSopromat.ru

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент M_x

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
I_x — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y₁=y₂=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

W_X — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
W_X(1) и W_X(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
M_max — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре M_x;
[ σ], [ σ]_р, [ σ]_с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [ σ]_с>[ σ]_р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

1. Проверка прочности
   
2. Подбор сечений
   
3. Определение максимально допустимой нагрузки
   

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
S_{x отс} — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
b_y — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Q_max:

где [ τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

1. По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
2. По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
3. По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда M_max и Q_max действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Как определить нормальное напряжение?

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 02.02.2016 · Обновлено 28.11.2017

Сегодня будем говорить о том, как определить нормальное напряжение при растяжении (сжатии). Долго говорить не придется, так как определяется оно элементарно.

Формула для нахождения нормального напряжения следующая:

То есть это отношение продольной силы (N) к площади поперечного сечения (A), на которой действует эта сила.

Пример определение нормальных напряжений

Посмотрим, как на практике пользоваться этой формулой. Например, возьмем брус с постоянным поперечным сечением, на который действует кучка внешних сил. Вас просят найти максимальное нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса.

Ваша тактика будет такой: Сначала нужно определить продольные силы и по-хорошему построить эпюру, чтобы видеть наиболее опасное сечение, то есть сечение, в котором внутренняя сила максимальная.

В нашем случае продольную силу берем равной трем килоньютонам и делим на площадь поперечного сечения:

Итого получили максимальное напряжение равное 15 мегапаскалям, что для стального бруса совсем пустяк.

Источник

Как найти нормальное напряжение в сечении для бруса

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):

здесь — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке — площадь поперечного сечения бруса.

Произведение представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.

Величину продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения же величин напряжений а в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой а).

Выражение (1.2) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений а (например, при эпюрах а, изображенных на рис. 4.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо провести эксперимент.

Проведем на боковой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 5.2). Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса. При нагружении бруса осевой силой Р эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 5.2 штриховыми линиями). Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), сформулированную в конце § 6.1.

Представим мысленно брус состоящим из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси.

Два любых поперечных сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой.

Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину а за знак интеграла. Таким образом,

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном, растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

При наличии ослаблений некоторых сечений бруса (например, отверстиями для заклепок), определяя напряжения в этих сечениях, следует учитывать фактическую площадь ослабленного сечения равную полной площади уменьшенной на величину площади ослабления

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений. Построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня рассмотрено в примере 1.2.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.

Обозначим а угол между наклонным сечением и поперечным сечением (рис. 6.2, а). Угол а условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением (рис. 6.2, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила действующая в сечении равна Р. Здесь — площадь наклонного сечения равная (где — площадь поперечного сечения бруса).

(5.2)

где — нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение на два составляющих напряжения: нормальное перпендикулярное к плоскости сечения и касательное та, параллельное этой плоскости (рис. 6.2, в).

Значения и та получим из выражений

(6.2)

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 6.2, в показано положительное касательное напряжение та, а на рис. 6.2, г — отрицательное.

Из формулы (6.2) следует, что нормальные напряжения имеют значения от (при до нуля (при а ). Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Из формулы (7.2) следует, что касательные напряжения имеют значения от до (при ); отрицательный угол а показан на рис. 6.2, г.

Значение та равно нулю при (т. е. в поперечных сечениях бруса) и при Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Определим значение касательных напряжений та, и та, в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 7.2).

Углы наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости

Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку.

Если продольная сила или размеры поперечных сечений бруса переменны по длине его оси, то напряжения и в различных точках наклонного сечения имеют различные значения. Они могут определяться по формулам (6.2) и (7.2), но для каждой точки в эти формулы следует подставлять соответствующее значение а, подсчитанное для поперечного сечения, проходящего через рассматриваемую точку.

Источник

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1)   Выполняется гипотеза плоских сечений.   2)   Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия.  3)   Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.   4)   Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.   5)   Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.   6)   Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде:  (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения. 

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок  длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где  -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

 Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта  формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя. 

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3),т.е.  нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим  (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь  как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение  – это осевой момент инерции сечения относительно оси х  – I_х. Его размерность см⁴, м⁴

Тогда ,откуда (4) ,где – это кривизна изогнутой оси балки, а – жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5) 

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение  (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см³, м³. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения:  (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии. 

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что  этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие  (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у  равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр  прямом изгибе взаимно перпендикулярны. 

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.