Как найти нормальную кривизну

Как найти нормальную кривизну

Макеты страниц

Мы будем рассматривать параметризованную поверхность

и линию, расположенную на ней:

Вектором кривизны всякой линии в том числе и линии, расположенной на поверхности, называется произведение кривизны К этой линии на орт ее главной нормали Как мы знаем (см. (8.35)), это произведение равно производной орта касательной по дуге т. е. производной второго порядка от радиуса-вектора текущей точки линии по дуге:

Определение. Нормальной кривизной линии на поверхности называется проекция вектора кривизны этой линии на нормаль к поверхпости в рассматриваемой точке.

Иначе говоря, нормальная кривизна линии на поверхности есть скалярное произведение вектора кривизны этой линии на орт нормали поверхности:

или

На основании определений квадратичпых форм поверхности имеем

Следовательно,

Итак, нормальная кривизна линии на поверхности равна отношению второй квадратичной формы поверхности к первой, причем значения параметров берутся в рассматриваемой точке, а их дифференциалы вычисляются в этой точке из уравнения линии.

Заменив знаменатель в выражении для нормальной кривизны обратно через мы получим

Мы видим, что нормальная кривизна выражается через коэффициенты которые в рассматриваемой точке однозначно определены, и через отношения являющиеся коэффициентами разложения орта касательной рассматриваемой линии по векторам

Если две линии имеют в рассматриваемой точке общую касательную, то для них отношения будут соответственно совпадать или отличаться только знаком. В обоих случаях нормальная кривизна для этих линий будет одна и та же. Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема. Все линии на поверхности, проходящие через данную точку и обладающие в ней общей касательной, имеют в этой точке одинаковые нормальные кривизны.

Источник

Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны

Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Названа в честь Леонарда Эйлера, который доказал её в 1760 году.

Формулировка[править | править код]

Пусть Phi есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве.
Пусть p — точка Phi , T_{p} — касательная плоскость к Phi в точке p, n — единичная нормаль к Phi в точке p, а pi _{e} — плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в T_{p}.
Кривая gamma_e, получающаяся как пересечение плоскости pi _{e} с поверхностью Phi , называется нормальным сечением поверхности Phi в точке p в направлении e.
Величина

kappa _{e}=kcdot n

где cdot обозначает скалярное произведение, а k — вектор кривизны gamma _{e} в точке p, называется нормальной кривизной поверхности Phi в направлении e.
С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой gamma _{e}.

В касательной плоскости T_{p} существуют два перпендикулярных направления e_{1} и e_{2} такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

kappa _{e}=kappa _{1}cos ^{2}alpha +kappa _{2}sin ^{2}alpha

где alpha — угол между этим направлением и e_{1}, a величины kappa _{1} и kappa _{2} нормальные кривизны в направлениях e_{1} и e_{2}, они называются главными кривизнами, а направления e_{1} и e_{2} — главными направлениями поверхности в точке p.
Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн.
Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

См. также[править | править код]

  • Вторая квадратичная форма
  • Дифференциальная геометрия поверхностей
  • Индикатриса Дюпена
  • Кривизна

Ссылки[править | править код]

  • Euler, Leonhard (1760), Recherches sur la courbure des surfaces, Memoires de l’academie des sciences de Berlin Т. 16: 119–143, 1767, <http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E333.html>.
Источник

Содержание

Вторая квадратичная форма

Краткие теоретические сведения

begin{gather*}
I_2 = -dvec{r}cdot dvec{n}=d^2vec{r}cdot vec{n}.
end{gather*}
Равенство $-dvec{r}cdot dvec{n}=d^2vec{r}cdot vec{n}$ можно доказать:
begin{equation*}
dvec{r}cdot vec{n}=0,, Rightarrow ,, d(dvec{r}cdot vec{n})=(d^2vec{r}cdot vec{n})+(dvec{r}cdot dvec{n})=0
end{equation*}
Так как
begin{equation*}
I_2 = d^2vec{r}cdot vec{n}
end{equation*}
и
begin{equation*}
vec{n}=frac{vec{r}_utimes vec{r}_v}{|vec{r}_utimes vec{r}_v|}, ,, |vec{r}_utimes vec{r}_v|=sqrt{EG-F^2},
end{equation*}
то коэффициенты для второй квадратичной формы можно записать через смешанное произведение:
begin{align*}
I_2&=L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2,\
L&=frac{(vec{r}_{u u},vec{r}_u, vec{r}_v)}{sqrt{EG-F^2}},\
M&=frac{(vec{r}_{u v},vec{r}_u, vec{r}_v)}{sqrt{EG-F^2}},\
N&=frac{(vec{r}_{v v},vec{r}_u, vec{r}_v)}{sqrt{EG-F^2}}.
end{align*}

Решение задач

Задание 1 (Феденко 717)

Найти вторую квадратичную форму сферы:
begin{align*}
x&=R,mbox{cos},u,mbox{cos},v,\
y&=R,mbox{cos},u,mbox{sin},v,\
z&=R,mbox{sin},u.
end{align*}

begin{equation*}
E=R^2, ,, F=0, ,, G= R^2,mbox{cos}^2u.
end{equation*}
begin{equation*}
sqrt{EG-F^2}=R^2mbox{cos},u.
end{equation*}
begin{equation*}
L=R, ,, M=0, ,, N= R,mbox{cos}^2u.
end{equation*}
begin{equation*}
I_2=R,du^2+R,mbox{cos}^2u,dv^2.
end{equation*}

Кривизны

Краткие теоретические сведения

Нормальным сечением поверхности в точке $P$ называют линию пересечения поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в этой точке.

Кривизну нормального сечения поверхности в направлении $du:dv$ называют нормальной кривизной поверхности в данной точке и в данном направлении. Она вычисляется по формуле:
begin{equation*}
k_n=frac{L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2}{E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2}=frac{I_2}{I_1}
end{equation*}

Направление $du:dv$ называется главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения. В каждой точке поверхности имеются два главных направления. Нормальные кривизны соответствующих главных направлений называют главными кривизнами $k_1$ и $k_2$.

Необходимое и достаточное условие, чтобы направление $du:dv$ было главным:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
dv^2 & -du,dv & du^2 \
E & F & G \
L & M & N \
end{array}
right|=0.
end{equation*}

Главные кривизны $k_1$ и $k_2$ можно найти из уравнения:
begin{equation*}
k^2(EG-F^2)-k(LG-2MF+NE)+(LN-M^2)=0.
end{equation*}

Полная (гауссова) кривизна:
begin{equation*}
K=k_1k_2=frac{LN-M^2}{EG-F^2}.
end{equation*}

Средняя кривизна:
begin{equation*}
H=frac{k_1+k_2}{2}=frac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}.
end{equation*}

begin{align*}
& K>0 ,, Rightarrow mbox{ точка поверхности называется эллиптической},\
& K<0 ,, Rightarrow mbox{ точка поверхности называется гиперболической},\
& K=0 ,, Rightarrow mbox{ точка поверхности называется /параболической}.
end{align*}

Решение задач

Задание 1

Записать выражение для нормальной кривизны в случае параметризации поверхности: $z=z(x,y)$.

begin{equation*}
k_n=frac{L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2}{E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2}=frac{I_2}{I_1}.
end{equation*}
begin{align*}
&I_1=(1+z_x^2)dx^2+2z_xz_ydxdy+(1+z_y^2)dy^2,\
&I_2=L,du^2+2M,du,dv+N,dv^2,\
&L=frac{z_{xx}}{sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\
&M=frac{z_{xy}}{sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\
&N=frac{z_{yy}}{sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}.
end{align*}

Задание 2

Найти нормальную кривизну гиперболического параболоида $z=x^2-y^2$ в точке $M(x=0, y=0)$ в направлении $frac{dy}{dx}=frac12$.
begin{align*}
&E=1+4x^2=1, ,, F=-4xy=0, ,, G=1+4y^2=1.\
&L=frac{2}{sqrt{1+4x^2+4y^2}}=2,\
&M=0,\
&N=frac{-2}{sqrt{1+4x^2+4y^2}}=-2.\
end{align*}
Учитывая направление $dx=2dy$, запишем нормальную кривизну:
begin{equation*}
k_n=frac{2dx^2-2dy^2}{dx^2+dy^2}=frac65.
end{equation*}

Задание 3 (Феденко 733)

Найти главные направления и главные кривизны прямого геликоида
begin{equation*}
x=u,mbox{cos}v, ,, y=u,mbox{sin},v, ,, z=av.
end{equation*}

begin{align*}
&E=1, ,, F=0, ,, G=u^2+a^2.\
&L=0, ,, M=frac{-a}{sqrt{u^2+a^2}}, ,, N=0.\
end{align*}
begin{align*}
&EG-F^2=u^2+a^2,\
&LG-2MF+NE=0,\
&LN-M^2=-frac{a^2}{u^2+a^2}.
end{align*}

Получили уравнение для нахождения $k_1$ и $k_2$:
begin{equation*}
(u^2+a^2)k^2-frac{a^2}{u^2+a^2}=0 ,, Rightarrow
end{equation*}
главные кривизны:
begin{equation*}
k_{1,2}=pmfrac{a}{u^2+a^2}.
end{equation*}

Условие для главных направлений:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
dv^2 & -du,dv & du^2 \
1 & 0 & u^2+a^2 \
0 & frac{-a}{sqrt{u^2+a^2}} & 0 \
end{array}
right|=0 ,, Rightarrow
end{equation*}
главные направления:
begin{equation*}
frac{du}{dv}=pmsqrt{u^2+a^2}
end{equation*}

Задание 4 (Феденко 756)

Найти полную и среднюю кривизны прямого геликоида
begin{equation*}
x=u,mbox{cos}v, ,, y=u,mbox{sin},v, ,, z=av.
end{equation*}
На каких линиях полная кривизна постоянна?

Полная кривизна:
begin{equation*}
K=k_1k_2=-frac{a^2}{(u^2+a^2)^2}.
end{equation*}
Средняя кривизна:
begin{equation*}
H=frac{k_1+k_2}{2}=0.
end{equation*}
$K$ постоянна на винтовых линиях:
begin{equation*}
K=mbox{const} ,, Rightarrow ,, u=u_0=mbox{const} ,, Rightarrow ,, x=u_0mbox{cos},v,,, y=u_0mbox{sin},v,,,z=a,v.
end{equation*}

Источник

Вторая
квадратичная форма описывает поверхность
во втором приближении. Она показывает,
как отклоняется поверхность от касательной
плоскости и полностью определяет
кривизну поверхности. Можно было бы
само понятие второй квадратичной формы
ввести, исходя из задачи о вычислении
расстояния от точки поверхности до
касательной плоскости, проведенной
через близкую точку.

Пусть f
– регулярная
поверхность, заданная уравнением

,
а

– линия на этой
поверхности. Имеем

.
Введём вектор нормали

,
тогда единичный вектор нормали в точке
M
к поверхности f
имеет вид

.
Найдём квадратичную форму

.
Так как

,
то скалярное произведение

и, следовательно,

.

Отсюда

(3.11)

Здесь учтено, что

,

,
т.е. отсутствуют слагаемые с этими
произведениями.

Введём
обозначения

или в координатах:

и аналогично,


,



.

Замечание
3.3.
Здесь

– дифференциал второго порядка и

– квадрат дифференциала.

Т

(3.12)

огда равенство (3.11) принимает вид:


.

В формуле (3.12)
правая часть равенства называется
второй
квадратичной формой поверхности.

Замечание
3.4.
В частности,
если поверхность задана явным уравнением

,
то

,

,

.

3.8. Кривизна кривой, лежащей на поверхности

Пусть f
– регулярная
поверхность и

– регулярная кривая на поверхности f,
проходящая через точку M.

Предположим,
что вдоль этой кривой за параметр принята
длина дуги s,
так что текущие координаты u
и v
выражаются
как функции от s
(естественная параметризация кривой):
u=u(s),
v=v(s)
и, следовательно, кривая

может быть представлена в виде

.

Рассмотрим
скалярное произведение

,
где

и

–
единичный вектор нормали к поверхности.
Тогда

,
где

есть угол между главной нормалью

кривой и нормалью

к поверхности.

Так как

,
где k
– кривизна кривой, то имеем

.
С другой стороны, учитывая, что

имеем

=

=
.

Следовательно,
учитывая, что

,
имеем


.

Правая часть
этого равенства зависит только от
направления кривой в точке M(u,
v).
Таким образом,

в точке M(u,
v)
для всех
кривых

,
проходящих через эту точку и имеющую в
ней одну и ту же касательную плоскость.

Величину

называют нормальной
кривизной
линии

в точке M.
Если

–
нормальное
сечение
поверхности, т.е. сечение поверхности
плоскостью, проходящей через нормаль
к поверхности в точке M,
то тогда справедлива следующая теорема.

Теорема
1.1.
Нормальная кривизна любой линии
поверхности, проходящей через точку M,
с точностью до знака равна кривизне
нормального сечения, имеющего с данной
линии общую касательную (знак зависит
от направления векторов

и

).

3.9. Главные направления и кривизны поверхности

Исследуем
теперь вопрос, как меняется нормальная
кривизна в зависимости от направления
её вектора скорости. Как и для всякой
квадратичной формы, для второй квадратичной
формы найдётся ортонормированный базис
в касательной плоскости, в котором форма
имеет диагональный вид

.

Определение
3.5.
 Направления,
задаваемые векторами этого базиса,
называются
главными
направлениями,
а
числа

– главными
кривизнами.

Определение
3.6.
Произведение

называется
гауссовой
или полной кривизной
поверхности
в данной точке,
полусумма

– средней
кривизной.

Знание
главных кривизн и главных направлений
позволяет найти нормальную кривизну в
произвольном направлении по формуле


,

где

– угол между данным направлением и
направлением первого базисного вектора
(формула Эйлера).

Из формулы
Эйлера следует экстремальное свойство
главных направлении: это те направления,
где нормальная кривизна принимает
наибольшее или наименьшее значение.
Это свойство помогает находить главные
направления: вектор с координатами du,
dv
задаёт главное направление, если
выполнено условие:


.

Главные кривизны
ищутся из условия

,
т.е. из уравнения

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Добавить комментарий