Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.
Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации
Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.
Нормальным вектором прямой называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.
Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а1 параллельные, а n→ считается нормальным вектором прямой a, также считается нормальным вектором для прямой a1. Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t·n→ является ненулевым при любом значении параметра t, причем также является нормальным для прямой a.
Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.
Если задана плоскость Оху, то множеством векторов для Ох является координатный вектор j→. Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси Оу, перпендикулярной Ох. Все множество нормальных векторов относительно Ох можно записать, как t·j→, t∈R, t≠0.
Прямоугольная система Oxyz имеет нормальный вектор i→, относящийся к прямой Оz. Вектор j→ также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный Оz, считается нормальным для Oz.
Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой
При рассмотрении прямоугольной системы координат Оху выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения Ax+By+C=0 выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.
Задана прямая вида 2x+7y-4=0_, найти координаты нормального вектора.
Решение
По условию имеем, что прямая была задана общим уравнением, значит необходимо выписать коэффициенты , которые и являются координатами нормального вектора. Значит, координаты вектора имеют значение 2, 7.
Ответ: 2, 7.
Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.
Указать нормальный вектор для заданной прямой y-3=0.
Решение
По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0·x+1·y-3=0. Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0, 1.
Ответ: 0, 1.
Если дано уравнение в отрезках вида xa+yb=1 или уравнение с угловым коэффициентом y=k·x+b, тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.
Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x13-y=1.
Решение
Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x13-y=1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x13-y=1 ⇔3·x-1·y-1=0.
Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3, -1.
Ответ: 3, -1.
Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x-x1ax=y-y1ay или параметрическим x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a→=(ax, ay). Возможность нахождения координат нормального вектора n→ возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n→ и a→.
Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:
x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0
Для решения можно выбирать любой удобный способ.
Найти нормальный вектор заданной прямой x-27=y+3-2.
Решение
Из прямой x-27=y+3-2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a→=(7, -2). Нормальный вектор n→=(nx, ny) заданной прямой является перпендикулярным a→=(7, -2).
Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a→=(7, -2) и n→=(nx, ny) запишем a→, n→=7·nx-2·ny=0.
Значение nx – произвольное , следует найти ny. Если nx=1, отсюда получаем, что 7·1-2·ny=0⇔ny=72.
Значит, нормальный вектор имеет координаты 1, 72.
Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем
x-27=y+3-2⇔7·(y+3)=-2·(x-2)⇔2x+7y-4+73=0
Полученный результат координат нормального вектора равен 2, 7.
Ответ: 2, 7 или 1, 72.
Указать координаты нормального вектора прямой x=1y=2-3·λ.
Решение
Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:
x=1y=2-3·λ⇔x=1+0·λy=2-3·λ⇔λ=x-10λ=y-2-3⇔x-10=y-2-3⇔⇔-3·(x-1)=0·(y-2)⇔-3·x+0·y+3=0
Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны -3, 0.
Ответ: -3, 0.
Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат Охуz.
Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда нормальный вектор плоскости относится к A2x+B2y+C2z+D2=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда получаем запись векторов в виде n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2).
Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или параметрического, имеющего вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, отсюда ax, ay и az считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a→=(ax, ay, az). Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a→=(ax, ay, az).
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.
Замечание 1
Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.
Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.
Можно выразить уравнение прямой и другим способом:
$y = kx + b$.
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ – в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.
Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:
$x cdot cos{alpha} + y cdot sin{alpha} – p = 0$
где $alpha$ – угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.
Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:
- когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
- когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
- когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
- для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.
«Нормальный вектор прямой» 👇
Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.
Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:
$y – y_0 = k cdot (x – x_0)$
Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой – самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.
Определение 1
Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.
Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.
Обозначив нормальный вектор прямой как $vec{n}(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как
$n_1 cdot (x – x_n) + n_2 cdot (y – y_0) = 0$
Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат
$Ax + By + C = 0$,
то нормальный вектор описывается формулой:
$bar{n}(A; B)$.
При этом говорят, что координаты нормального вектора “снимаются” с уравнения прямой.
Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $bar{p}(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $bar{p}(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:
$frac{x – x_0}{p_1} = frac{y – y_0}{p_2}$
В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:
$bar{p} cdot bar{n} = -B cdot A + A cdot B = 0 implies bar{p} perp bar{n}$
Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $bar{n}(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:
$A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0$
Пример 1
Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.
Для решения задействуем формулу $A cdot (x – x_0) + B cdot (y – y_0) = 0$
Подставив значения, получаем:
$3 cdot (x – (-1)) – (-1) cdot (y – (-3)) = 0$
$3 cdot (x + 1) – (y + 3) = 0$
$3x + 3 – y – 3 = 0$
$3x – y = 0$
Проверить правильность общего уравнения прямой можно “сняв” из него координаты для нормального вектора:
$3x – y = 0 implies A = 3; B = -1 implies bar{n}(A; B) = bar{n}(3; -1),$
Что соответствует числам исходных данных.
Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x – y = 0$:
$3 cdot (-1) – (-3) = 0$
Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:
$bar{p}(-B; A) implies bar{p}(1; 3)$
Ответ: $3x – y = 0; bar{p}(1; 3).$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
1. Общее уравнение прямой.
Прямая в пространстве
может быть задана как пересечение двух
плоскостей:
.
(1)
О1.
Геометрическое место точек пространства,
удовлетворяющих системе уравнений (1),
называется
прямой
в пространстве,
а
система уравнений (1) называется общим
уравнением прямой.
З1. Для того чтобы
система уравнений (1) определяла прямую
в пространстве необходимо и достаточно,
чтобы нормальные вектора плоскостей,
определяющих
прямую,
ибыли неколлинеарными, т.е. выполняется
одно из неравенств:или.
Пусть прямая
проходит через точку
параллельно вектору
,
который называется направляющим
вектором прямой
(см. Лекцию
№ 7),
тогда ее уравнение называется каноническим
и имеет вид:
.
(2)
З2. Если в уравнении
(2) одна из проекций направляющего вектора
равна 0, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей
координатной оси.
Пример 1.
Как расположена прямая
относительно координатных осей.
Согласно замечанию
2 эта прямая будет перпендикулярна осям
абсцисс и ординат (параллельна оси
аппликат) и будет проходить через точку
.
Приравняв каждую
дробь уравнения (2) параметру
,
получимпараметрическое
уравнение прямой:
Пример 2.
Записать уравнение прямой
в параметрическом виде.
Приравняем каждую
дробь к параметру
:.
Если пря-
мая проходит через
две известные точки
и,
то ее уравнение имеет вид (см.Лекцию
№ 7):
и назы-ваетсяуравнением
прямой,
проходящей
через две заданные точки.
2. Основные задачи.
а) Переход
от общего уравнения прямой к каноническому.
Пусть прямая задана общим уравнением
.
Для того, чтобы перейти от этого уравнения
прямой к каноническому, поступают
следующим образом:
– находят
координаты любой точки, удовлетворяющие
приведенной системе, для чего одну из
переменных величин, например
,
полагают равной нулю и решают систему
линейных алгебраических уравнений
относительно оставшихся переменных
величин;
– направляющий
вектор
прямой находят как векторное произведение
нормальных векторов
и
:
;
– зная
точку, через которую проходит прямая,
и направляющий вектор прямой записывают
каноническое уравнение прямой.
Пример 3.
Записать уравнение прямой
в каноническом и параметрическом виде.
Положив
,
получим СЛАУСкладывая уравнения, найдем.
Подставив это значение переменнойво второе уравнение системы, по-лучим.
Таким образом, прямая проходит через
точку
.
Найдем направляющий вектор прямой как
векторное произведение нормальных
векторов заданных плоскостей:
б)
Угол
между пересекающимися прямыми.
Угол
между двумя пересека-ющимися прямыми
определяется как угол между их
направляющими векторами.
Если прямые
иимеют направляющие вектора
и
,
соответственно,
то угол между прямыми определяется по
формуле:
.
Сл1.
Если
прямые перпендикулярны (),
тоусловием
перпен-дикулярности
прямых является
равенство:
.
Сл2.
Если прямые параллельны, то направляющие
вектора коллинеарны, следовательно,
условие
параллельности прямых:
.
в)
Координаты
точки пересечения прямой и плоскости.
Пусть прямая
задана общим уравнением,
а плоскостьуравнением.Так
как точка пересечения прямой и плоскости
принадлежит одновременно обоим этим
объектам, то ее координаты находят из
решения системы уравнений:
.
Если прямая
задана
каноническим уравнением,
а плоскость
уравнением,
то поступают по следующей
схеме:
– переходят
от канонического уравнения прямой к
параметрическому, т.е. записывают
уравнение прямой в виде
;
– полученные
выражения подставляют в уравнение
заданной плоскости
и
находят параметр
:.
Рассмотрим возможные
случаи:
1) если
выполняются условия
,
то прямая не пересекает плоскость
(прямая параллельна плоскости);
2) при
условиях
прямая лежит на плоскости;
3) если
,
прямая пересекает плоскость в одной
точке.
– вычисляют
координаты точки пересечения, подставив
найденное значение
в параметрическое уравнение прямой
.
г)
Угол
между прямой и плоскостью.
Пусть дана плоскость
с нормальным вектороми пересекающая ее прямаяс направляющим вектором
(Рис.
53).
Рис.
53.
Угол между
прямой
и
плоскостью.
Угол
является углом между прямойи плоскостью.
Угол между нормальным вектором плоскости
и прямой обозначим через.
Из рисунка видно, что.
Следовательно,
.
Сл1.
Если прямая
перпендикулярна плоскости (),
тоусловие
перпендикулярности прямой и плоскости
имеет вид:
.
Сл2.
Если прямая
параллельна плоскости (),
то направляющий вектор прямой и нормальный
вектор плоскости перпендикулярны (),
следовательно,условие
параллельности прямой и плоскости:
.
21
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
2.2.5. Нормальный вектор прямой
Или вектор нормали.
Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), но нам хватит одного:
Если прямая задана общим уравнением в декартовой системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.
Обратите внимание, что это утверждение справедливо лишь для «школьной» системы координат; все предыдущие выкладки п. 2.2 работают и в общем аффинном случае.
Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:
И тут всё ещё проще: если координаты направляющего вектора приходилось аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».
Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:
Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Ведь вектор нормали ортогонален направляющему вектору и образует с ним «жесткую конструкцию».
2.2.6. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?
2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Добрый день.
Подскажите пожалуйста. Допустим, две точки A(4, 2, 7) и B(3, 6, 5). Как найти нормаль к прямой, образуемой ими? Я правильно понимаю, ведь нормаль всегда перпендикулярна этой прямой?
1
Нормалей к прямой в пространстве имеется бесконечно много. Вас устраивает любая из них, или надо описать, как выглядят все?
Мне хотелось бы понять, они все перпендикулярны направлению прямой или я неправильно представляю?)
Нормаль — это и есть перпендикуляр. Это слова-синонимы.
Я просто хочу понять) В двух измерениях допустим у формулы Ax+By+C=0 нормаль N(A,B), то есть A – x нормали, B – y. В пространстве Ax+By+Cz+D=0. Нормаль N(A,B,C) – или нет?
Причем я не пойму, как получить общее уравнение из симметричного (хотя из общего симметрич. умею получать). Для примера x-4/3-4 = y-2/6-2 = z-7/5-7 а как получить общее уравнение из этого не знаю. Чтобы потом получить перпендикуляр.
1
@Neumann: конечно, для уравнения плоскости в пространстве вида Ax+By+Cz+D=0, вектор (A,B,C) будет нормалью к этой плоскости. А нахождение нормали к прямой естественно для плоского, а не пространственного случая. У Вас в примере рассматривается каноническое уравнение прямой. Какое общее уравнение Вы хотите получить? Ответ на Ваш вопрос наверняка очень прост, но я пока не могу осознать, чего именно Вы хотите. Осознаёте ли Вы, что у прямой в пространстве нет какой-то одной “выделенной” нормали? Если в пространстве дана прямая, естественной будет задача нахождения нормальной плоскости к ней.
Осознаю) пускай их много, мне нужна любая. Представьте, что вы смотрите, как в теннис играют два ваших друга. Вы хотите подбодрить одного из них большим пальцем вверх. Вы вытягиваете руку в его направлении (это будет прямая), сжимаете 4 пальца вместе и поднимаете большой палец вверх (он перпендикулярен движению прямой). Потом другой рукой – другому игроку. Тот палец уже перпендикулярен той руке(прямой). http://s.fishki.net/upload/users/2015/11/26/365176/c391014cbc5a19630abd4a1d6f0bfc48.jpg
1
@Neumann: если нужна какая-нибудь прямая, то это тривиально. У Вас есть вектор с координатами (u,v,w). Вам нужен перпендикулярный с координатами (a,b,c). Это значит, что au+bv+cw=0. Годятся, например, числа a=v, b=-u, c=0. Или a=w, b=0, c=-u. Вообще, если w не равно нулю, то a,b задаём как угодно, а c выражаем из уравнения. У Вас есть вектор BA с координатами (u,v,w)=(1,-4,2). Поэтому годятся любые три числа, для которых a-4b+2c=0. Задайте b,c как угодно, и пусть a=4b-2c. Это даст бесконечно много направлений, перпендикулярных прямой AB.