Как найти нормирующую константу

Понятие нормирующей константы возникает в теории вероятностей и во множестве других областей математики . Нормализующая константа используется для сведения любой функции вероятности к функции плотности вероятности с полной вероятностью, равной единице.

Определение

В теории вероятностей , нормализующая константа является константой , с помощью которого всюду неотрицательная функция должна быть умножена так что площадь под графиком 1, например, чтобы сделать его функцию плотности вероятности или функцию вероятности массы .

Примеры

Если мы начнем с простой функции Гаусса

имеем соответствующий гауссов интеграл

Теперь, если мы используем обратное значение последнего как нормирующую константу для первого, определяя функцию как

так что его интеграл равен единице

тогда функция является функцией плотности вероятности. Это плотность стандартного нормального распределения . ( Стандарт в данном случае означает, что ожидаемое значение равно 0, а дисперсия – 1.)

Константа – нормирующая постоянная функции .

Сходным образом,

и следовательно

является функцией массы вероятности на множестве всех неотрицательных целых чисел. Это функция массы вероятности распределения Пуассона с математическим ожиданием λ.

Обратите внимание, что если функция плотности вероятности является функцией различных параметров, то это также будет ее нормирующая константа. Параметризованная нормирующая постоянная для распределения Больцмана играет центральную роль в статистической механике . В этом контексте нормализующая константа называется статистической суммой .

Теорема Байеса

Теорема Байеса гласит, что апостериорная вероятностная мера пропорциональна произведению априорной вероятностной меры и функции правдоподобия . Пропорциональность к подразумевает, что нужно умножить или разделить на нормирующую константу, чтобы присвоить меру 1 всему пространству, т. Е. Получить вероятностную меру. В простом дискретном случае имеем

где P (H ₀ ) – априорная вероятность того, что гипотеза верна; P (D | H ₀ ) – это условная вероятность данных с учетом того, что гипотеза верна, но с учетом того, что данные известны, это вероятность гипотезы (или ее параметров) с учетом данных; P (H ₀ | D) – апостериорная вероятность того, что гипотеза верна с учетом данных. P (D) должно быть вероятностью получения данных, но само по себе его сложно вычислить, поэтому альтернативный способ описать эту взаимосвязь как один из пропорциональных:

Поскольку P (H | D) является вероятностью, сумма по всем возможным (взаимоисключающим) гипотезам должна быть равна 1, что приводит к выводу, что

В этом случае величина , обратная величине

– нормирующая постоянная . Его можно расширить от счетного числа гипотез до несчетного числа, заменив сумму интегралом.

Для конкретности существует множество методов оценки нормирующей постоянной для практических целей. Методы включают метод промежуточной выборки, наивную оценку Монте-Карло, оценку обобщенного гармонического среднего и выборку по важности.

Невозможно использовать

Эти многочлены Лежандра характеризуется ортогональностью относительно равномерной меры на интервале [- 1, 1] , и тот факт , что они нормированные так , что их значение в 1 равно 1. Константе , с помощью которого умножить многочлен так ее значение в 1 = 1 – нормализующая константа.

Ортонормированные функции нормализованы так, что

относительно некоторого внутреннего произведения < f ,  g >.

Константа 1 / √ 2 используется для определения гиперболических функций ch и sinh из длин смежных и противоположных сторон гиперболического треугольника .

Смотрите также

• Нормализация (статистика)

Примечания

использованная литература

• Непрерывные распределения в Департаменте математических наук: Университет Алабамы в Хантсвилле
• Феллер, Уильям (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения (том I) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-25708-7.

Константа a такая, что af (x) является мерой вероятности

Понятие нормализующей константы возникает в теории вероятностей и множестве других областей математики. Нормализующая константа используется для сведения любой функции вероятности к функции плотности вероятности с полной вероятностью, равной единице.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Теорема Байеса
• 4 Невероятностные применения
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Определение

В теории вероятностей, нормализующая константа – это константа, на которую везде неотрицательная функция должна быть умножена так, чтобы площадь под ее графиком была равна 1, например, чтобы сделать его функцией плотности вероятности или функцией массы вероятности.

Примеры

Если мы начнем с простой функции Гаусса

p (x) = e – Икс 2/2, Икс ∈ (- ∞, ∞) { Displaystyle р (х) = е ^ {- х ^ {2} / 2}, х in (- infty, infty)}

у нас есть соответствующий интеграл Гаусса

∫ – ∞ ∞ p (x) dx = ∫ – ∞ ∞ e – x 2/2 dx = 2 π, { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} p (x) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2} / 2} , dx = { sqrt {2 pi ,} },}

Теперь, если мы используем обратное значение последнего в качестве нормализующей константы для первого, определяя функцию φ (x) { displaystyle varphi (x)}как

φ ( Икс) знак равно 1 2 π п (Икс) знак равно 1 2 π е – Икс 2/2 { Displaystyle varphi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} p (х) = { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}}

, так что его интеграл равен единице

∫ – ∞ ∞ φ (x) dx знак равно ∫ – ∞ ∞ 1 2 π e – x 2/2 dx = 1 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} varphi (x) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} e ^ {- x ^ {2} / 2} , dx = 1 }

, тогда функция φ (x) { displaystyle varphi (x)}является функцией плотности вероятности. Это плотность стандартного нормального распределения. (Стандарт в данном случае означает, что ожидаемое значение равно 0, а отклонение равно 1.)

И константа 1 2 π { displaystyle { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}}}– нормирующая константа функции p (x) { displaystyle p (x) }.

Аналогично,

∑ n = 0 ∞ λ nn! = е λ, { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { lambda ^ {n}} {n!}} = e ^ { lambda},}

и, следовательно,

f (n) = λ ne – λ n! { displaystyle f (n) = { frac { lambda ^ {n} e ^ {- lambda}} {n!}}}

– функция массы вероятности на множестве всех неотрицательных целых чисел. Это функция массы вероятности распределения Пуассона с ожидаемым значением λ.

Обратите внимание, что если функция плотности вероятности является функцией различных параметров, то также будет и ее нормализующая константа. Параметризованная нормализующая постоянная для распределения Больцмана играет центральную роль в статистической механике. В этом контексте нормализующая константа называется статистической суммой..

Теорема Байеса

Теорема Байеса гласит, что апостериорная вероятностная мера пропорциональна произведению априорной вероятностной меры и функция правдоподобия. Пропорционально подразумевает, что нужно умножить или разделить на нормирующую константу, чтобы присвоить меру 1 всему пространству, то есть получить вероятностную меру. В простом дискретном случае мы имеем

P (H 0 | D) = P (D | H 0) P (H 0) P (D) { displaystyle P (H_ {0} | D) = { frac {P (D | H_ {0}) P (H_ {0})} {P (D)}}}

где P (H 0) – априорная вероятность того, что гипотеза верна ; P (D | H 0) – это условная вероятность данных при условии, что гипотеза верна, но учитывая, что данные известны, это вероятность гипотезы (или ее параметров) с учетом данных; P (H 0 | D) – апостериорная вероятность того, что гипотеза верна с учетом данных. P (D) должно быть вероятностью получения данных, но само по себе его трудно вычислить, поэтому альтернативный способ описать это отношение как один из пропорциональных:

P (H 0 | D) ∝ P (D | H 0) P (H 0). { displaystyle P (H_ {0} | D) propto P (D | H_ {0}) P (H_ {0}).}

Поскольку P (H | D) является вероятностью, сумма по всем возможных (взаимоисключающих) гипотез должно быть 1, что приводит к выводу, что

P (H 0 | D) = P (D | H 0) P (H 0) ∑ i P (D | H i) P (H я). { Displaystyle P (H_ {0} | D) = { frac {P (D | H_ {0}) P (H_ {0})} { displaystyle sum _ {i} P (D | H_ {i }) P (H_ {i})}}.}

В этом случае обратное значения

P (D) = ∑ i P (D | H i) P ( H i) { displaystyle P (D) = sum _ {i} P (D | H_ {i}) P (H_ {i}) ;}

– нормализующая константа. Его можно расширить от счетного числа гипотез до несчетного числа, заменив сумму интегралом.

Невероятностные применения

Многочлены Лежандра характеризуются ортогональностью по отношению к равномерной мере на интервале [- 1, 1] и тот факт, что они нормализованы так, что их значение в 1 равно 1. Константа, на которую умножают многочлен, чтобы его значение в 1 было 1, является нормализующей константой.

Ортонормированные функции нормализованы так, что

⟨fi, fj⟩ = δ i, j { displaystyle langle f_ {i}, , f_ {j} rangle = , delta _ { i, j}}

по отношению к некоторому внутреннему произведению .

Константа 1 / √2 используется для установления гиперболических функций ch и sh на основе длин смежных и противоположных сторон гиперболический треугольник.

См. Также

• Нормализация (статистика)

Примечания

Ссылки

• Непрерывные распределения в Департаменте математических наук: Университет Алабамы в Хантсвилле
• Феллер, Уильям (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения (том I). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-25708-7.

Понятие нормирующей константы возникает в теории вероятностей и во множестве других областей математики . Нормализующая константа используется для сведения любой функции вероятности к функции плотности вероятности с полной вероятностью, равной единице.

В теории вероятностей , нормализующая константа является константой , с помощью которого всюду неотрицательная функция должна быть умножена так что площадь под графиком 1, например, чтобы сделать его функцию плотности вероятности или функцию вероятности массы . ^{[1] [2]}

Теперь, если мы используем обратное значение последнего как нормирующую константу для первого, определяя функцию как

тогда функция является функцией плотности вероятности. ^[3] Это плотность стандартного нормального распределения . ( Стандарт в данном случае означает, что ожидаемое значение равно 0, а дисперсия – 1.)

Константа – нормирующая постоянная функции .

является функцией массы вероятности на множестве всех неотрицательных целых чисел. ^[4] Это функция массы вероятности распределения Пуассона с математическим ожиданием λ.

Нормировочная константа

Cтраница 1

Нормировочная константа А не может быть определена из уравнения, а задается дополнительным условием нормировки L J ( 0) Гу Оп.
 [1]

Нормировочная константа с в ( 18) будет определена ниже.
 [2]

С – нормировочная константа, а ( 62 / 4 ю2) / – [ – Ь / 2, q – gc, a переменная.
 [3]

А содержит нормировочные константы.
 [4]

С – нормировочная константа; F ( и) – оо / ( и) – нелинейная восстанавливающая сила.
 [5]

А – нормировочная константа; т – масса частиц; Т – температура; к – постоянная Больцмана.
 [6]

Следует отметить, что асимптотическая нормировочная константа связанного состояния Л формально аналогична константе связи.
 [7]

Остальные волновые ф-ции, для к-рых нормировочные константы остаются неизменными, несколько трансформируются, но сильно не смещаются.
 [8]

Клебша – Гордана с точностью до нормировочных констант.
 [9]

Очевидно, что с точностью до нормировочных констант функции ( 18) и ( 19) должны быть тождественны. Это и есть то самое условие, которое определяет уровни энергии.
 [10]

В симметричной относительно своего центра яме уровни и без нормировочных констант составляют полный набор спектральных данных. Но, как и в случае непрерывной координаты, см. [18], рис. 3.19 – 3.20, можно рассмотреть сдвиги уровней и с помощью несимметричных относительно середины ямы потенциальных возмущений.
 [12]

При заданной поверхности Z произвол в выборе пА сводится к общей нормировочной константе.
 [14]

Спектральная функция р ( Е) однозначно определяется, если известны нормировочные константы волновых функций связанных состояний и так называемая функция Иоста, определяемая через фазовые сдвиги и энергии связанных состояний.
 [15]

Страницы:  

   1

   2