Как найти нулевой ток в соединении звездой

Цепи трехфазного переменного тока (соединение потребителей по схеме «звезда»)

Цель работы. Исследовать электрическую цепь трехфазного переменного тока, содержащую приемник электрической энергии, соединенный по схеме «звезда» с нулевым (нейтральным) проводом и без него.

Краткие теоретические сведения

Трехфазная симметричная система ЭДС состоит из трех ЭДС, одинаковых по амплитуде и частоте, но сдвинутых друг относительно друга на 120º.

При соединении «звездой» концы обмоток фаз генератора X, Y, Z соединяют в одну общую точку N , называемую нейтральной или нулевой. К началам фаз генератора А, В, С подключают провода, с помощью которых источник питания (генератор) соединяется с приемником. Эти провода называются линейными, а трехфазная система – трехпроводной (рис.20).

Рис.20. Трехпроводная система трехфазного переменного тока (соединение по схеме «звезда»).

Если нейтральная (нулевая) точка N генератора соединена проводом с нейтральной (нулевой) точкой n приемника, то система называется четырехпроводной с нулевым (нейтральным) проводом (рис.19).

Рис.21. Четырехпроводная система трехфазного переменного тока с нулевым (нейтральным) проводом (соединение по схеме «звезда»).

При соединении «звездой» каждая фаза генератора, линейный провод и фаза нагрузки соединены между собой последовательно и через них проходит один и тот же ток. Следовательно, при соединении «звездой» линейный ток равен фазному, т.е.

Напряжения между началом и концом каждой фазы нагрузки _А, _В, _С, равные (при пренебрежении падением напряжения в проводах) напряжениям на фазах генератора, называются фазными напряжениями. Напряжения между линейными проводами _AB, _BC, _CA называются линейными напряжениями. Токи, протекающие в фазах нагрузки _A, _B, _C, называются фазными токами. Для системы «звезда» линейные токи одни и те же с фазными _Л = _Ф.

По второму закону Кирхгофа можно определить соотношения между фазными и линейными напряжениями

Так как трехфазная система генератора симметрична, то действующие значения ЭДС генератора равны между собой и равны действующим значениям на нагрузке при пренебрежении падением напряжения в линии _A = _B = _C = _A = _B = _C = _Ф .

Исходя из равенства угла сдвига между фазами 120 на генераторе и нагрузке и выведенных из второго закона Кирхгофа уравнений (37), равны между собой и действующие значения линейных напряжений

Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений (рис.20) будет для симметричного генератора и четырехпроводной системы «звезда» неизменна при любой нагрузке. На рис.20а приведена полярная, а на рис. 20б – топографичекая векторная диаграмма.

Рис.22. Полярная и топографическая векторные диаграммы напряжений в четырехпроводной системе «звезда»

Из векторной диаграммы (рис.20а) получим соотношение между линейными и фазными напряжениями.

U_AB = 2U_А ∙ cos 30º = U_А = U_Ф.

В общем случае для четырехпроводной системы «звезда» при любой нагрузке

К симметричному трехфазному генератору с нейтральным проводом может быть присоединена любая симметричная и несимметричная нагрузка. Нагрузка называется симметричной, если сопротивления и углы сдвига фаз между напряжением и током всех ее фаз одинаковы

Несоблюдение любого из условий (39) приведет к нарушению симметричности нагрузки трехфазной системы.

Рассмотрим четырехпроводную трехфазную систему с нагрузкой, соединенной по схеме «звезда».

1) Симметричная активная нагрузка: Z_A = Z_B = Z_C = R_A = R_B = R_C

Так как U_A = U_B = U_C = U_Ф = , то

Топографическая векторная диаграмма токов и напряжений при симметричной активной нагрузке представлена на рис.21.

Рис.23. Топографическая векторная диаграмма четырехпроводной трехфазной системы «звезда» при симметричной активной нагрузке

По первому закону Кирхгофа

Для симметричной нагрузки

2) Несимметричная активная нагрузка: Z_A = R_A ; Z_B = R_B ; Z_C = R_C ; R_A ≠ R_B ≠ R_C ; I_A ≠ I_B ≠ I_C

Топографическая векторная диаграмма токов и напряжений при несимметричной нагрузке представлена на рис.22

Рис.24. Топографическая векторная диаграмма четырехпроводной трехфазной системы «звезда» при несимметричной активной нагрузке

Для нахождения значения тока I_N по выражению (42) необходимо найти геометрическую сумму векторов _A , _B и _C (рис.22). В результате получаем

Общая мощность трехфазной цепи в этом случае будет равна

Трехпроводная трехфазная система с соединением нагрузки по схеме «звезда» без нулевого (нейтрального) провода (рис.20).

Рассмотрим, что произойдет с токами и напряжениями при отключении нейтрального провода (рис.20).

В трехпроводной системе, соединенной по схеме «звезда» между нулевой точкой нагрузки и нулевой точкой генератора возникает напряжение U_nN , величина и направление которого зависят от величины и характера нагрузки.

Согласно методу двух узлов в случае активной нагрузки напряжение U_nN, можно выразить следующим образом

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа

Токи в фазах нагрузки определяются

Проанализируем электрическое состояние трехпроводной трехфазной системы, соединенной по схеме «звезда», при различных значениях нагрузки.

1) Симметричная активная нагрузка: Z_A = Z_B = Z_C = R_A = R_B = R_C

Векторная диаграмма токов и напряжений приведена на рис.25.

Рис.25. Топографическая векторная диаграмма трехпроводной трехфазной системы «звезда» при симметричной активной нагрузке

Векторная диаграмма аналогична диаграмме, построенной для четырехпроводной системы с симметричной активной нагрузкой. Подобным образом аналогична диаграмма для симметричной активно-реактивной нагрузки, поэтому при симметричной нагрузке отпадает необходимость нулевого провода, т.к. ток в нем равен нулю.

2) Несимметричная активная нагрузка: Z_A = R_A ; Z_B = R_B ; Z_C = R_C ; R_A ≠ R_B ≠ R_C ; I_A ≠ I_B ≠ I_C

При отключении нейтрального провода ток I становится равным нулю, следовательно, при несимметричной нагрузке должны измениться и токи I_A , I_B , I_C. изменение же этих токов может произойти только при условии, что изменились напряжения на фазах нагрузки. Следовательно, фазные напряжения нагрузки теперь не будут представлять симметричную систему векторов, т.к. действующие значения этих напряжений не будут равны между собой, а их фазовый сдвиг относительно друг друга будет отличаться от 120º (рис.26).

Рис.26. Топографическая векторная диаграмма трехпроводной трехфазной системы «звезда» при несимметричной активной нагрузке

Нулевая точка нагрузки n смещена относительно нулевой точки генератора N.

Из рис.25 видно, что напряжения на фазах нагрузки определяются как

что соответствует выражению (47)

Проведя геометрическое сложение векторов , , и разделив полученный результат на значение проводимости Y = , в соответствии с выражением (45), получаем вектор _nN.

Вычитая полученный результат из векторов , , и , находим соответственно , и .

В результате получаем выражения для расчета действующих значений фазных напряжений U_A, U_В, U_С и токов I_A, I_В, I_С.

Для измерения мощности в работе используется метод двух ваттметров W₁ и W₂ (рис.27).

Рис.27. Схема измерения мощности методом двух ваттметров

Поясним принцип работы этого метода.

Приборы для измерения активной мощности (ваттметры), включенные в цепь однофазного переменного тока, измеряют величину

Р = U ∙ I ∙ cos (U ^ I) , (50)

где U — напряжение, приложенное к обмотке напряжения ваттметра;

I — ток, протекающий по токовой обмотке ваттметра;

U ^ I = φ — угол сдвига между напряжением и током.

Активная мощность трехфазной цепи при симметричной нагрузке фаз может быть выражена двумя равноценными формулами

Р = 3∙U_Ф ∙ I_Ф ∙ cos φ или

Р = ∙U_Л ∙ I_Ф ∙ cos φ . (51)

Для измерения активной мощности в трехпроводных цепях трехфазного тока как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке фаз (независимо от способа соединения нагрузки «звездой» или «треугольником»), широкое практическое применение получил метод двух ваттметров, включенных как показано на рис.14.

Показания ваттметров W₁ и W₂ можно записать следующим образом

Обозначим через α и β соответственно углы (U_AB ^ I_A) и (U_CB ^ I_C) . Для определения α и β построим векторную диаграмму для случая симметричной активно-индуктивной нагрузки (рис.27). Согласно построению α = 30º + φ, β = 30º – φ.

Учитывая, что при симметричной нагрузке U_АВ = U_СВ = U_Л и I_А = I_С = I_Л, показания ваттметров можно записать следующим образом:

Р = Р₁ + Р₂ = U_Л ∙ I_Л ∙ [cos (30º + φ) + cos (30º – φ)] = U_Л ∙ I_Л ∙ cos φ. (53)

Полученное выражение совпадает с выражением (45). Таким образом доказано, что сумма показаний двух ваттметров будет равна активной мощности трехфазной цепи.

Рис.28. Векторная диаграмма трехпроводной системы трехфазного переменного тока с симметричной активно-индуктивной нагрузкой

Разность показаний двух ваттметров, умноженная на , будет равна реактивной мощности цепи Q.

Q = ( Р₁ – Р₂) = U_Л ∙ I_Л ∙ [cos (30º + φ) – cos (30º – φ)] = U_Л ∙ I_Л ∙sin φ. (54)

Показания каждого из ваттметров в отдельности не имеют никакого физического смысла, за исключением случая симметричной и чисто активной нагрузки, при которой Р₁ = Р₂ и составляет половину измеряемой мощности трехфазной цепи.

ПЛАН РАБОТЫ

Задание 1. Определить электрические параметры четырехпроводной трехфазной цепи при симметричной и несимметричной нагрузке, соединенной по схеме «звезда» с нулевым (нейтральным) проводом.

1. Собрать электрическую схему (рис.29).

Рис.29. Схема лабораторной установки: А-х, В-y, C-z — трехфазный ламповый реостат, установленный на стенде; А₁ — амперметр на ток 1–2 А; А₂, А₃, А — амперметры на ток 0,25–0,5–1 А; V – вольтметр на 75-150-300-600 В.

2. Установить симметричную нагрузку фаз, включив по пять ламп в каждой фазе, и измерить I_A, I_B, I_C, I_N, U_A, U_B, U_C, U_AB, U_BC, U_CA.

3. Установить несимметричную нагрузку фаз, включив 5 ламп в фазе А, 4 лампы в фазе «В» и 3 лампы в фазе «С» и осуществить измерения электрических параметров, указанных в п.2.

4. Вычислить электрические параметры, указанные в табл.7.

5. занести результаты измерений и вычислений в табл.7.

Задание 2. Определить электрические параметры трехпроводной трехфазной цепи при симметричной и несимметричной нагрузке, соединенной по схеме «звезда» без нулевого (нейтрального) провода.

1. Собрать электрическую схему (рис.30).

Рис.30. Схема лабораторной установки: А-х, В-y, C-z — трехфазный ламповый реостат, установленный на стенде; А₁ — амперметр на ток 1–2 А; А₂, А₃ — амперметры на ток 0,25–0,5–1 А; V – вольтметр на 75-150-300-600 В; W₁ и W₂ — ваттметры на напряжение 75−150−300−600 В и ток 1−2,5−5 А.

2. Установить симметричную нагрузку, включив по пять ламп в каждой фазе, и измерить линейные и фазные напряжения, фазные токи, активные мощности.

3. Установить несимметричную нагрузку фаз, включив 5 ламп в фазе А, 4 лампы в фазе «В» и 3 лампы в фазе «С» и измерить электрические параметры, указанные в п.2.

4. Вычислить электрические параметры, указанные в табл.8.

5. Занести результаты измерений и вычислений в табл.8.

1. Схемы измерений (рис.29 и 30) с обозначениями используемых приборов.

2. Расчет электрических параметров.

3. Таблицы 7 и 8 с результатами измерений и вычислений.

4. Построенные в масштабе топографические векторные диаграммы (две к заданию 1 по данным п.1-2 табл.7 в соответствии с рис. 21 и 22 и две к заданию 2 по данным пп.1-2 табл.8 в соответствии с рис. 24 и 25.

Измеренные величины

Вычисленные величины

IA

IВ

IС

I

UA

UВ

UС

UAВ

UВС

UСА

UЛ/ UФ

РА

РВ

РС

Р

А

А

А

А

В

В

В

В

В

В

В

Вт

Вт

Вт

Вт

0,6

0,6

0,6

0,6

0,45

0,35

0,21

Измеренные величины

Вычисленные величины

IA

IВ

IС

UA

UВ

UС

UAВ

UВС

UСА

Р1(W1)

Р2(W2)

UЛ/ UФ

РА

РВ

РС

Ррасч

Р(W1+W2)

А

А

А

В

В

В

В

В

В

Вт

Вт

В

Вт

Вт

Вт

Вт

Вт

0,6

0,6

0,6

0,525

0,475

0,375

1. Как относятся друг с другом ЭДС, составляющие трехфазную систему?

2. Как соединяются обмотки генератора при соединении «звездой»?

3. Чем отличается схема четырехпроводной системы трехфазного тока от схемы трехпроводной системы?

4. Что соединяет нулевой (нейтральный) провод?

5. Что такое линейные и фазные токи и напряжения и каковы соотношения между ними при соединении звездой в векторной форме?

6. Как связаны линейные и фазные напряжения в четырехпроводной системе трехфазного тока?

7. Что такое симметричная и несимметричная нагрузка?

8. Чему равна геометрическая сумма токов в четырехпроводной трехфазной системе при симметричной нагрузке?

9. Чему равен ток в нулевом проводе при симметричной нагрузке?

10. отличаются ли токи и напряжения в четырехпроводной и трехпроводной системах трехфазного тока при одинаковой симметричной нагрузке?

11. При какой нагрузке необходимо включить в трехфазную систему нулевой провод и зачем?

12. Как определить ток в нулевом проводе четырехпроводной системы при несимметричной нагрузке, зная линейные токи?

13. При каких условиях будут равны напряжения на всех фазах нагрузки в трехпроводной трехфазной системе?

14. Каков характер нагрузки в осветительных сетях?

15. Какую систему трехфазного тока нужно использовать в осветительных сетях и почему?

16. какую мощность можно определить методом двух ваттметров?

17. Чему равна активная мощность цепи при применении метода двух ваттметров?

18. В каких системах трехфазного тока может быть применен метод двух ваттметров?

19. Можно ли определить полную мощность трехфазной системы, используя метод двух ваттметров?

20. Можно ли определить коэффициент мощности трехфазной системы, используя метод двух ваттметров?

Источник

Трехфазная нагрузка, соединенная по схеме «звезда»

Трехфазная нагрузка, соединенная по схеме «звезда»

Если нагрузки (приемники) соединены в трехфазную цепь по схеме «звезда» (рис.1), то к сопротивлениям нагрузки приложены фазные напряжения. Линейные токи равны фазным и определяются по закону Ома:

а ток в нейтрали равен векторной сумме этих токов: IN = IA + IB + IC.

При симметричных напряжениях UA, UB, UC и одинаковых сопротивлениях RA= RB = RC = R токи IA, IB, IC также симметричны и их векторная сумма (IN) равна нулю. Тогда

IЛ = IФ = UФ ¤ R; IN = 0.

Если же сопротивления фаз нагрузки неодинаковы, то через нулевой провод протекает некоторый ток IN ¹ 0. Это поясняется на векторных диаграммах (рис.2).

Мощность трёхфазной нагрузки складывается из мощностей фаз: SP = PА + PВ + PС.

Когда нагрузка симметричная и чисто резистивная, имеем

SP = 3 PФ = 3UФ × IФ.

При смешанной (активно-индуктивной или активно-емкостной) нагрузке:

SP = 3 ×UФ ×IФ × cosj = Ö3 × UЛ × IЛ × cosj.

SQ = 3 ×UФ ×IФ × sinj = Ö3 ×UЛ × IЛ × sinj.

SS = 3 ×UФ IФ = Ö3 ×UЛ × IЛ .

Аварийные режимы трёхфазной цепи при соединении нагрузки в звезду

Аварийными являются режимы, возникают при коротких замыканиях в нагрузке или в линиях и обрыве проводов. Остановимся на некоторых типичных аварийных режимах.

Обрыв нейтрального провода при несимметричной нагрузке

В симметричном режиме IN = 0, поэтому обрыв нейтрального провода не приводит к изменению токов и напряжений в цепи и такой режим не является аварийным. Однако, при несимметричной нагрузке IN ¹ 0, поэтому обрыв нейтрали приводит к изменению всех фазных токов и напряжений. На векторной диаграмме напряжений точка «0» нагрузки, совпадающая до этого с точкой «N» генератора, смещается таким образом, чтобы сумма фазных токов оказалась равной нулю (рис.3). Напряжения на отдельных фазах могут существенно превысить номинальное напряжение.

Обрыв фазы при симметричной нагрузке в схеме с нулевым проводом

При обрыве провода, например, в фазе А ток этой фазы становится равным нулю, напряжения и токи в фазах В и С не изменяются, а в нулевом проводе появляется ток

IN = IB + IC. Он равен току, который до обрыва протекал в фазе А (рис. 4).

Обрыв фазы при симметричной нагрузке в схеме без нулевого провода

При обрыве, например, фазы А сопротивления RA и RB оказываются соединёнными последовательно и к ним приложено линейное напряжение UBC. Напряжение на каждом из сопротивлений составляет от фазного напряжения в нормальном режиме. Нулевая точка нагрузки на векторной диаграмме напряжений смещается на линию ВС и при RB = RC находится точно в середине отрезка ВС (рис.5)

Короткое замыкание

При коротком замыкании фазы нагрузки в схеме с нулевым проводом ток в этой фазе становится очень большим (теоретически бесконечно большим) и это приводит к аварийному отключению нагрузки защитой. В схеме без нулевого провода при замыкании, например, фазы А, нулевая точка нагрузки смещается в точку «А» генератора. Тогда к сопротивлениям фаз В и С прикладываются линейные напряжения. Токи в этих фазах возрастают в раз, а ток в фазе А – в 3 раза (рис. 6).

Короткие замыкания между линейными проводами и в той и в другой схеме приводят к аварийному отключению нагрузки.

Лабораторная работа № 13

Трёхфазная нагрузка, соединённая по схеме «ЗВЕЗДА»

Цель работы:

Исследовать трёхфазную цепь, соединённую по схеме «ЗВЕЗДА», в различных

Для трёхфазной цепи с соединением «ЗВЕЗДА» при симметричной и несимметричной нагрузках измерьте с помощью мультиметра действующие значения фазных и линейных напряжений и ток в нейтральном проводе. Вычислите линейные токи и мощности фаз. Постройте в масштабе векторные диаграммы напряжений и токов.

1.Соберите цепь с симметричной нагрузкой (RA= RB= RC=1кОм) согласно схеме.

2.Измерьте действующие значения напряжений и тока в нейтральном проводе согласно табл. 1 и вычислите токи и мощности фаз.

3.Повторите измерения и вычисления для несимметричной нагрузки (RA=1 кОм,

RB=680 Ом, RC=330 Ом).

4.Постройте в масштабе векторные диаграммы напряжений и токов.

Источник

Как найти нулевой ток в соединении звездой

Если нулевой провод в схеме рис. 6.7 обладает весьма малым сопротивлением, то потенциал точки О практически равен потенциалу точки О; точки О и О фактически представляют собой одну точку. При этом в схеме образуются три обособленных контура, через которые проходят токи

По первому закону Кирхгофа ток в нулевом проводе равен геометрической сумме фазовых токов:

Если (такую нагрузку называют равномерной), то ток равен нулю и нулевой провод может быть изъят из схемы без изменения режима ее работы.

При неравномерной нагрузке фаз ток в общем случае не равен нулю.

При наличии в нулевом проводе некоторого сопротивления расчет схемы производят методом узловых потенциалов.

Пример 59. В схеме рис 6.12, а ЭДС каждой фазы трехфазного генератора равна 127 В. Сопротивления фаз нагрузки равны по модулю (6,35 Ом), но имеют различный характер: . Определить ток в нулевом проводе.

Решение. Построим векторную диаграмму рис. 6.12, б. Токи всех фаз по модулю равны . Ток совпадает по фазе с Ток на 90° отстает от Ток опережает Сумма дает вектор тока . По модулю он равен 14,6 А.

Пример 60. Какое значение должно иметь сопротивление в фазе А схемы рис. 6.12, а, чтобы ток в нулевом проводе стал равным нулю?

Решение. Геометрическая сумма токов модулю равна

Ток в нулевом проводе равен нулю, если ток направленный противоположно сумме по модулю равен 20 А. При этом сопротивление фазы .

Пример 61. Определить ток в нулевом проводе схемы рис. 6.12, а, если в фазу А включить активное сопротивление 3,66 Ом, а индуктивность и емкость фаз В и С поменять местами; .

Решение. Векторная диаграмма изображена на рис. 6.13. Из нее следует, что .

Источник

Соединение фаз звездой

На рисунке представлена схема соединения фаз генератора звездой. Условное обозначение этой схемы Y . Концы К всех трех фаз соединяют в общую точку, называемую нулевой. Если отводят только три провода от генератора А, В, С, то такую систему называют трехфазной трехпроводной. Если отводят также четвертый, нейтральный, или «нулевой» провод N (О), то систему называют трехфазной четырехпроводной. Нулевую точку генератора, а следовательно, и нулевой провод надежно заземляют.

Ток в нулевом проводе появится только тогда, когда три фазы будут нагружены неравномерно. Ток, протекающий по нулевому проводу, равен алгебраической сумме токов в трех фазах:

По абсолютной величине in всегда меньше, чем ток в любой из фаз, если нагрузка включена во все фазы. Поэтому сечение нулевого провода принимается меньшим, чем сечение фазных проводов.

Рис. 1. Схема соединения обмоток генератора в звезду.

Только в том случае, если нагрузка включена между одной из фаз и нулевым проводом, а к другим фазам нагрузка не включена, ток в нагруженной фазе равен току в нулевом проводе.

Напряжение между любой из фаз и нулевым проводом называется фазным напряжением и обозначается U ф . Оно равно напряжению между началом каждой из фаз и ее концом (рис. 2).

Напряжение между фазными проводами называется линейным напряжением и обозначается U л . Оно равно геометрической разности двух фазных напряжений (рис. 2), то есть линейные напряжения между фазами А и В, В и С, С и А

Рис. 2. Векторы линейных и фазных напряжений.

Абсолютная величина линейного напряжения может быть определена из треугольника векторов АОВ. Основание этого треугольника АВ равно линейному напряжению:

Таким образом, в трехфазной четырехпроводной системе получают два напряжения: U ф — фазное и U л — линейное. Линейное напряжение больше, чем фазное, в 1,73 раза. Сила тока в линейном проводе I л равна но величине и направлению току в фазной обмотке I ф .

Приняты следующие напряжения для низковольтных сетей (табл. 1).

Таблица 1 Стандартные напряжения в потребительских сетях

Как видно из таблицы 1, напряжение источника электроснабжения (генератора или вторичной стороны трансформатора) берут всегда па 5% больше номинального сетевого напряжения с учетом того обстоятельства, что около 5% напряжения будет потеряно в линии. Это делают для того, чтобы подать потребителям электроэнергию номинального напряжения и обеспечить их удовлетворительную работу.

В сельском хозяйстве наибольшее распространение получила трехфазная четырехпроводная система 380/220 В, то есть система с линейным напряжением в сети Uл =380 В и фазным Uф = 220 В. Три фазы с напряжением между ними 380 В используют для питания электрических двигателей и трехфазных нагревательных приборов, а напряжение между фазой и нулевым проводом 220 В используют для питания источников света и бытовых электроприборов.

Источник

Содержание:

Трехфазные цепи:

Многофазной системой называется совокупность электрических цепей, называемых фазами, в которой действуют синусоидальные напряжения одной частоты, отличающиеся друг от друга по фазе. Чаще всего применяются симметричные многофазные системы, напряжения которых равны по величине и сдвинуты по фазе на угол

Трехфазная система

Наибольшее распространение имеет трехфазная система, созданная русским ученым М. О. Доливо-Добровольским (1891 г.); он изобрел и разработал все звенья этой системы — генераторы, трансформаторы, линии передачи и двигатели трехфазного тока.

Простейший трехфазный генератор (рис. 12.1) подобен рассмотренному в  источнику однофазного напряжения; он состоит из трех одинаковых плоских витков или катушек, называемых фазами генератора, вращающихся в однородном магнитном поле с равномерной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к направлению магнитных линий. В каждой фазе следует различать начало и конец. Считая, что все катушки намотаны в одном направлении, например по часовой стрелке, можно принять за начало начальный зажим катушки или, наоборот, конечный, но принятое условие должно быть одинаковым для всех фаз. Цепи нагрузки подключаются к генератору с помощью щеток, наложенных на кольца, соединенные с катушками аналогично рис. 6.1 (на рис. 12.1 они не показаны).

Три фазы трехфазного генератора расположены под углом друг к другу; первой, или фазой А, можно назвать любую из трех фаз, второй — фазу В, начало которой H_B сдвинуто в пространстве относительно начала первой Н_А на угол против направления вращения, третьей — фазу С, начало которой Н_c сдвинуто относительно начала второй H_B также на в том же направлении.

При вращении в фазах будут индуктироваться э. д. с.; период Т этих э. д. с. обороту. Катушки одинаковы, поэтому (амплитуды) э. д. с. фаз будут также одинаковы. Так как фазы сдвинуты друг относительно друга в пространстве на угол , т. е. на 1/3 полного оборота, их э. д. с. будут сдвинуты во времени на Т/3 — треть периода, что соответствует фазному сдвигу, равному:

Если за начальный взять момент времени, когда плоскость первой катушки перпендикулярна линиям магнитной индукции (см. рис. 12.1), э. д. с. (отсчитываемая, например, от конца к началу)

и э. д. с. двух других катушек (отсчитываемые в том же направлении), отставая по фазе на углы и 2•, будут равны:

Комплексный множитель

является оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении. Тогда

Следовательно,

т. е. сумма векторов симметричной системы равна нулю. Это значит, что равна нулю в любой момент времени и алгебраическая сумма мгновенных значений, что можно видеть и из рис. 12.2, если взять сумму ординат трех синусоид для любой абсциссы.

Если в цепь каждой фазы генератора включить одинаковые по величине и характеру сопротивления (рис. 12.4), то токи фаз будут равны по величине и сдвинуты по фазе относительно своих напряжений на один и тот же угол ϕ:

Они также образуют трехфазную симметричную систему векторов.

При неодинаковой нагрузке фаз максимальные значения токов и фазные сдвиги будут различны, и система токов будет несимметричной.

В электроизмерительной технике и автоматике применяется также двухфазная система, векторная диаграмма э д. с. которой показана на рис. 12.5. Хотя э. д. с. по величине равны, двухфазная система несимметрична, так как сумма

Показанная на рис. 12.4 несвязанная трехфазная система, при которой отдельные фазы не соединены между собой, на практике не применяется — генераторы и приемники связывают или в звезду, или в треугольник.

Соединение звездой

При соединении генератора звездой вместе соединяются концы фаз, образуя нулевую (нейтральную) точку 0. К началам фаз генератора с помощью трехпроводной линии передачи присоединяется приемник. Если последний также соединен звездой, нулевые точки генератора и приемника могут быть соединены нулевым (нейтральным) проводом (рис. 12.6).

Различают величины, относящиеся к фазам генератора и приемника — фазные напряжения и токи, и к линейным проводам — линейные напряжения и токи. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами генератора и приемника, линейные токи в звезде равны соответствующим фазным токам.

Для получения симметричных соотношений между величинами следует выбирать положительные направления токов во всех фазах единообразно; обычно направляют токи от генератора к приемнику (см. рис. 12.6), т. е. в сторону движения энергии. В соответствии с аналогом закона Ома положительные направления фазных напряжений совпадают с направлением токов. Положительные направления линейных напряжений могут быть выбраны произвольно, а также единообразно. Произволен также выбор направления тока на нулевом проводе.

Если выбрать направление тока в нулевом проводе от нулевой очки приемника к нулевой точке генератора (см. рис. 12.6), мгновенное значение i_N и комплекс I_N этого тока в общем случае будут:

На рис. 12.7, а изображена диаграмма фазных напряжений на фиемнике в соответствии с принятым на рис. 12.6 направлением гоков, сходящихся в нулевой точке О’ приемника.

Эта диаграмма называется топографической, так как ее точкам А, В, С, О’ соответствуют одноименные точки цепи. Векторы и комплексные линейные напряжения направлены, как это обычно принято, от точки, соответствующей первому индексу, к точке, соответствующей второму индексу; линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений:

а их мгновенные значения

Из этих соотношений вытекает, что сумма линейных напряжений равна нулю.

Топографическая векторная диаграмма рис. 12.7, а, в которой векторы фазных напряжений сходятся в одной точке, соответствующей нулевой точке приемника, обычно заменяется диаграммой рис. 12.7, б, где эти векторы выходят из этой же точки; так как при этом все векторы фазных и линейных напряжений изменяют свои направления на обратные, приведенные выше соотношения между напряжениями сохраняются.

При симметричной системе фазных напряжений векторы линейных напряжений образуют равносторонний треугольник; нулевая точка совпадает с его центром тяжести (рис. 12.8) и линейное напряжение

г. е. по абсолютной величине линейные напряжения в раз больше разных.

Далее сначала рассматриваются цепи без взаимной индукции между фазами и между фазами и нулевым проводом.

В звезде с нулевым проводом (см. рис. 12.6), если пренебречь его сопротивлением (Z_N = 0), а также сопротивлением, линейных проводов, фазные напряжения приемника будут, очевидно равны фазным напряжениям генератора; их векторные диаграммы совпадут (см. рис. 12.7, б). Следовательно, фазные комплексные токи будут определяться фазными комплексными напряжениями генератора и комплексными сопротивлениями или проводимостями тех же фаз приемника:

т. е. соединение звездой с нулевым проводом без сопротивления обеспечивает независимую работу фаз.

При симметричной системе фазных напряжений и одинаковой нагрузке фаз система фазных токов будет симметричной и ток I_N нулевого провода, равный сумме токов, будет также равен нулю независимо от величины сопротивления этого провода.

В звезде с нулевым проводом, имеющим сопротивление Z_N в общем случае, когда между нулевыми точками генератора и приемника возникает узловое напряжение что вызывает на векторной диаграмме (рис. 12.9) смещение точки О’, соответствующей нулевой точке приемника, относительно точки 0, соответствующей нулевой точке генератора. То, что вектор на рис. 12.9 направлен от 0 к О’, т. е. против направления I_N, объясняется указанным выше изменением направления векторов всех напряжений (см. рис. 12.7, а и б). В соответствии с методом узловых напряжений 

где —фазные напряжения генератора; — проводимости фаз, Y_N — проводимость нулевого провода.

В звезде без нулевого провода Y_N =0 и

Фазные напряжения на приемнике и токи (см. рис. 12.9):

Выражения для узлового напряжения показывают, что будет изменяться при изменении нагрузки в любой фазе; вместе с будут изменяться напряжения всех фаз приемника, а следовательно, и все токи. Таким образом, звезда без нулевого провода, а также звезда с нулевым проводом, имеющим сопротивление, не обеспечивает независимой работы фаз.

В случае звезды без нулевого провода фазные напряжения на приемнике могут быть выражены через линейные напряжения:

Выражения для можно получить, пользуясь круговой перестановкой индексов:

Приведенный вывод выражений для фазных напряжений на приемнике через фазные или линейные напряжения генератора справедлив для общего случая несимметричных систем фазных и линейных напряжений.

Примером неодинаковой нагрузки фаз может служить прибор для определения порядка следования фаз (рис. 12.10). Он представляет собой три одинаковые по величине проводимости, соединенные в звезду, — две лампы накаливания и конденсатор; тогда, считая, что проводимости ламп линейны,

где а — абсолютное значение проводимостей. При симметричной системе фазных напряжений генератора, если вектор U_А направлен по оси вещественных величин (U_A = U), узловое напряжение

Тогда комплексные напряжения на лампах будут:

На рис. 12.9 показана векторная диаграмма для рассматриваемой цепи. Векторы токов совпадают по фазе с напряжениями ток I_B опережает напряжение U_в по фазе на π/2.

Действующие значения напряжений на лампах и их отношение будут:

Поэтому лампа, включенная в фазу С, будет светиться ярче лампы, включенной в фазу А, т. е. фазы следуют друг за другом в следующем порядке: яркая лампа, тусклая лампа, конденсатор.

При индуктивных связях между фазами приемника и между его фазами и нулевым проводом должны быть учтены э. д. с. взаимной индукции. Так, например, для соединения звездой с нулевым проводом или без него по схеме рис. 12.11, а при взаимной индукции только между фазами уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы А приемника будет иметь вид:

уравнения для второй и третьей фаз можно получить путем круговой перестановки индексов А, В, С.

Если нагрузка фаз одинакова, т. е.

(12.1)

Если, кроме того, нулевой провод отсутствует или при его наличии система фазных напряжений симметрична, то сумма токов 1_А + 1_в + 1_С=0, и уравнение (12.1) получит вид:

г. е. в этом случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, б без индуктивных связей, но с индуктивностью фаз приемника, равной L — М.

Для дальнейшего представляет интерес случай, когда есть нулевой провод, а все фазные напряжения генератора равны между собой и совпадают по фазе: (так называемая нулевая система); тогда, очевидно, все токи также будут равны между собой:

и уравнение (12.1) получит вид:

Это значит, что в данном случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, в без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L + 2М. Ток нулевого провода будет, очевидно, равен 3I.

Соединение треугольником

Чтобы соединить генератор в треугольник, нужно связать конец каждой фазы с началом следующей; в результате фазы генератора образуют замкнутый контур. При таком соединении симметричного генератора с отключенной нагрузкой (рис. 12.12) ток внутри него не возникает, так как сумма его э. д. c., образующих симметричную систему, равна нулю.

Соединив приемник также в треугольник (рис. 12.13), можно видеть, что фазные напряжения генератора и приемника одновременно являются и линейными, линейные же токи — отличны от фазных токов Для получения симметричных соотношений между линейными и фазными токами следует выбирать их положительные направления единообразно. Для всех линейных токов обычно выбирается направление от генератора к приемнику, для фазных — по направлению обхода контура, например, против часовой стрелки для приемника (рис. 12.13). Тогда по первому закону Кирхгофа для приемника получаются следующие соотношения для мгно венных значений и комплексных токов:

Для генератора соотношения между линейными и фазными токами аналогичны. Таким образом, линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов.

Из полученных соотношений видно, что сумма линейных токов равна нулю:

Для симметричной системы фазных токов (рис. 12.14)

т. е. по абсолютной величине линейные токи в раз больше фазных.

Токи в фазах приемника будут определяться линейными напряжениями и сопротивлениями или прово-димостями фаз приемника:

По приведенным соотношениям фазных токов могут быть определены линейные токи.

Если пренебречь сопротивлением проводов, напряжения генератора будут равны напряжениям приемника и фазы будут работать независимо друг от друга: всякое изменение сопротивления какой-либо фазы приемника вызовет изменение тока этой фазы и токов двух примыкающих к этой фазе линейных проводов, но никак не отразится на токах других фаз.

Если сопротивление линейных проводов не равно нулю (рис. 12.15, а), то из-за падения напряжения в них треугольник не обеспечивает независимой работы фаз. Изменение, например, сопротивления фазы АВ вызовет изменение фазного тока I_AB, а следовательно, и линейных токов I_А и I_B. При этом изменятся падения напряжения в линейных проводах А и В, что при неизменных линейных напряжениях на зажимах генератора вызовет изменение напряжений на всех трех фазах приемника; следовательно, должны измениться также токи тех фаз, сопротивление которых оставалось неизменным.

Для расчета цепи рис. 12.15, а при заданных линейных напряжениях, помимо методов уравнений Кирхгофа, наложения, контурных токов и узловых напряжений, при отсутствии взаимной индукции можно применить метод преобразования. Треугольник Z_AB, Z_BC. Z_CA преобразуют в эквивалентную звезду Z_A, Z_B, Z_c по формулам, соответствующим (рис. 12.15, б):

Объединяя в каждой фазе сопротивление линии и приемника, приводят схему к звезде (рис. 12.15, в), после определения токов которой возвращаются к цепи рис. 12.15, б, находя фазные и линейные напряжения на звезде Z_A, Z_B, Z_c, а затем — к исходному треугольнику (см. рис. 12.15, а), чтобы найти его фазные токи.

Приведенные выше выражения для расчета соединения треугольником справедливы для общего случая несимметричной системы напряжений генератора.

При наличии взаимной индукции, одинаковой нагрузке фаз и симметричной системе напряжений (рис. 12.16, а) система фазных токов будет также симметричной, тогда

и уравнение по второму закону Кирхгофа примет вид:

т. е. в этом случае цепь рис. 12.16, а эквивалентна схеме рис. 12.16, б без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L – М.

Мощность трехфазных систем и ее измерение

Мгновенная мощность трехфазной системы, как и всякой сложной цепи, равна сумме мощностей отдельных приемников, т. е. сумме мощностей фаз. Мгновенная мощность симметричной и одинакова нагруженной трехфазной системы

Сумма трех косинусоид, сдвинутых по фазе на угол равна нулю, в чем можно убедиться, построив и сложив векторы, изображающие эти функции. Следовательно,

т. е. мгновенная мощность симметричной одинаково нагруженной трехфазной системы постоянна, тогда как мощность однофазной системы изменяется во времени с двойной частотой по сравнению с частотой напряжения и тока.

Многофазная система, мгновенная мощность которой постоянна, называется уравновешенной. Интересно отметить, что несимметричная двухфазная система с равными напряжениями (см. рис. 12.5) в случае одинаковой нагрузки фаз также является уравновешенной:

Из-за уравновешенности трехфазные и двухфазные двигатели имеют постоянный вращающий момент, тогда как момент однофазных двигателей пульсирует с двойной частотой.

Выражение для мощности уравновешенной трехфазной системы может быть преобразовано. В симметричной звезде

В симметричном треугольнике

В обоих случаях выражения для мощности получились одинаковыми.

Для измерения мощности трехфазной симметричной и одинаково нагруженной системы достаточен один ваттметр, включенный в одну из фаз и измеряющий ее мощность. Аналогично включается однофазный счетчик электрической энергии, Для получения мощности и, соответственно, энергии трехфазной системы показания этих приборов следует утроить.

В общем случае несимметричной системы и неодинаковой нагрузки мгновенная мощность р есть величина переменная, т. е. такая система является неуравновешенной. Средняя мощность этой системы равна сумме средних мощностей отдельных фаз:

Следовательно, средняя мощность в данном случае может быть измерена тремя ваттметрами, включенными в каждую фазу, как это показано на рис. 12.17, а, для звезды с нулевым проводом (точками обозначены условные «начала» параллельных и последовательных цепей ваттметров).

В случае трех проводной системы можно ограничиться двумя ваттметрами, включенными так, как показано на рис. 12.17, б для измерения средней мощности трехфазной системы, соединенной треугольником. Мгновенные мощности, усредняемые первым и вторым ваттметрами, соответственно равны:

Так как сумма этих мощностей

При переходе к средним мощностям получается, что сумма показаний ваттметров

т. е. равна мощности системы. Вывод справедлив и для звезды без нулевого провода, так как она может быть заменена эквивалентным треугольником.

Реактивная и полная мощности симметричной и одинаково нагруженной трехфазной системы равны суммам соответствующих мощностей всех фаз:

В общем случае несимметричной и неодинаково нагруженной трехфазной системы суммирование реактивных и полных мощностей фаз не дает величин, характерных для нагрузки генератора в целом, как это было в однофазной цепи с одним источником энергии. Предлагаемые в литературе определения реактивной и полной мощностей трехфазной несимметричной и неодинаково нагруженной системы чисто условны и потому здесь не рассматриваются.

Сравнение трехфазных и однофазной cиcтем

Сопротивление линейных и нулевого проводов, соединяющих генератор и приемник, обычно мало по сравнению с сопротивлением фаз приемника, и выводы, сделанные по поводу независимости работы фаз при соединении звездой и треугольником, можно обобщить следующим образом:

1. в звезде с нулевым проводом и в треугольнике токи фаз практически мало зависят друг от друга и поэтому эти схемы следует применять при неодинаковой нагрузке фаз;
2. звезда без нулевого провода может применяться только при одинаковой нагрузке фаз.

Необходимо отметить, что схема соединений генератора и приемника может быть различной, и один из них может быть соединен треугольником, другой — звездой без нулевого провода.

Представляет интерес сравнение расхода металла с удельным сопротивлением р на провода однофазной и трехфазной линий передачи (рис. 12.18) той же мощности Р на то же расстояние l при одинаковом cosϕ и том же к. п. д., т. е. тех же потерях в линии Р_л = kP, где k — относительная потеря мощности, и одинаковом линейном напряжении U.

Для однофазной двухпроводной линии (рис. 12.18, а) Р = UI₀ cosϕ; отсюда ток I₀, потери Р_л и сопротивление r₀ одного провода:

Следовательно, сечение s₀ и объем V₀ проводов соответственно равны:

Отсюда видно, что формула для сечения двухпроводной линии переменного тока отличается от аналогичной формулы для линии постоянного тока  наличием множителя в знаменателе, приводящему к тем большему увеличению расхода металла, чем ниже коэффициент мощности .

Для трехфазной трехпроводной линии (рис. 12.18, б и в) и аналогично

а сечение s_T и объем V_T проводов:

В знаменателе этих выражений также присутствует множитель .

Из формул для s₀ и s_T видна эффективность высокого напряжения и большого коэффициента мощности — сечения обратно пропорциональны квадратам этих величин. Вместе с тем очевидно, что стоимость изоляции проводов растет с ростом напряжения. В результате экономически оптимальное напряжение U оказывается тем выше, чем больше передаваемая мощность Р и длина l линии.

Соотношение объемов металла линий: однофазной двухпроводной V₀ и трехфазных —- трехпроводной V_r и четырехпроводной с нулевым проводом половинного сечения (рис. 12.18, г) будет

Таким образом, при одинаковом линейном напряжении звезда без нулевого провода и треугольник, очевидно, дают одинаковый расход металла на линию передачи и экономию в 25% по сравнению с однофазной линией, а нулевой провод половинного сечения вызывает перерасход металла, но все же система остается легче однофазной на 12,5%.

Соединение звездой с нулевым проводом имеет важное преимущество: помимо трехфазных приемников, рассчитанных на линейное напряжение, оно позволяет включать однофазные приемники и на линейное, и на фазное напряжение.

Если приемники работают при одинаковом фазном напряжении, линейное напряжение звезды будет в раз больше, чем треугольника, что уменьшит расход металла в 3 раза.

Основным преимуществом трехфазной системы по сравнению с однофазной является возможность легко создавать вращающееся магнитное поле, используемое, в частности, в трехфазных асинхронных двигателях, наиболее простых по конструкции и в эксплуатации.

Пульсирующее и вращающееся магнитные поля

Электрические индуктивные машины переменного тока в большинстве случаев имеют магнитопровод в виде двух коаксиальных цилиндров, набранных из стальных листов и разделенных воздушным зазором (рис. 12 19). Внешний цилиндр S является статором, внутренний R — ротором.

Если по обмотке статора, уложенной в его пазы н распределенной на части, например одной трети его окружности (рис. 12.19), будет проходить постоянный ток, магнитный поток, замыкающийся через статор, воздушный зазор и ротор будет постоянным. Приближенно магнитную индукцию можно считать распределенной по окружности статора по синусоидальному закону (сплошная линия на рис. 12.20); она имеет максимальные значения В_m по оси обмотки и равна нулю на нейтральной линии, перпендикулярной к оси обмотки. Такое синусоидально распределенное в зазоре машины поле можно условно изобразить постоянным вектором В_m (рис. 12.21), аналогично тому, как ранее это было сделано для величин, изменяющихся по синусоиде во времени.

Если по обмотке статора пропускать переменный ток, синусоидальное распределение магнитного поля сохранится, но поле будет пульсирующим, т. е. изменяющимся во времени по синусоидальному закону (см. рис. 12.20). Принимая за начало счета времени момент, когда индукция по оси обмотки максимальна, пульсирующее поле можно условно изобразить вектором Согласно формуле Эйлера,

(12.2)

Это значит, что пульсирующее синусоидально распределенное поле может быть представлено в виде суммы двух также синусоидально распределенных полей , постоянных во времени, но вращающихся с угловой скоростью ω в разные стороны; последнее видно из противоположных знаков показателей степени множителей вращения. Поле , вращающееся в положительном направлении вращения векторов, называется прямым, поле — обратным. Вращающиеся векторы, условно изображающие эти поля, на рис. 12.21 показаны для момента начала счета времени.

Разложение пульсирующего поля на два вращающихся используется, например, в однофазных двигателях, где прямое поле, воздействуя на ротор, приводит его во вращение, а обратное поле экранируется.

В трехфазных машинах на статор наложены три обмотки, показанные в разрезе на рис. 12.22, занимающие каждая треть его окружности; следовательно, эти обмотки и их оси сдвинуты в пространстве на угол 2π/3. Обмотки обтекаются токами, векторы которых образуют симметричную трехфазную систему. Тогда выражение для поля первой фазы А совпадает с выражением (12.2) при том же начале счета времени

Пусть обмотка, обтекаемая током второй фазы В, т. е. током, отстающим от тока первой фазы на угол 2π/3, сдвинута в пространстве вперед по направлению вращения прямого поля на тот же угол, что учитывается множителем . Тогда выражение для поля фазы В получает вид:

Аналогично записывается поле третьей фазы С, но так как она обтекается током, опережающим по фазе ток фазы А на угол 2π/3, и сдвинута в пространстве на тот же угол назад, знаки всех углов 2π/3 изменяются на обратные.

Результирующее поле определяется наложением полей всех трех фаз:

Отсюда видно, что все прямые поля трех обмоток арифметически складываются, тогда как обратные поля в сумме дают нуль и в машине возникает вращающееся поле, постоянное во времени. Амплитуда вращающегося поля в полтора раза превышает амплитуду пульсирующего поля отдельных обмоток, а фаза совпадает с фазой прямого поля обмотки первой фазы А.

В трехфазных двигателях вращающееся поле также используется для приведения во вращение ротора; из-за постоянства мощности в трехфазных системах и, следовательно, вращающего момента, а также отсутствия обратного поля эти двигатели имеют значительное преимущество перед однофазными.

Основы метода симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитывать несимметричные, в частности, аварийные режимы в трехфазных системах и машинах. До предложения этого метода для таких расчетов надо было решать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами или оперировать с сопротивлениями, зависящими от токов.

В общем случае симметричной трехфазной системой векторов называется система, состоящая из трех равных по величине векторов, причем каждый вслед идущий вектор сдвинут относительно предыдущего на угол где k — любое целое число. Система (рис. 12.23, a), у которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов и называется прямой системой.

Симметричные системы линейных и фазных напряжений и токов, рассмотренные выше, были именно прямыми системами. Система (рис. 12.13, в), в которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет обратный порядок следования фаз и называется обратной системой. Система векторов совпадающих по фазе (т. е. β = 0) называется нулевой системой (рис. 12.23, б).

Система векторов, сдвинутых по фазе на угол является также прямой системой и т. д. Таким образом, все многообразие симметричных трехфазных систем сводится к трем системам, изображенным на рис. 12.23.

Пользуясь оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении и приняв за основные вектор A₁ прямой системы, вектор A₂ обратной системы и вектор A₀ нулевой системы, через них можно выразить остальные векторы:

(12.3)

Пусть задана несимметричная система трех векторов А, В, С. Далее доказывается, что каждый вектор этой системы может быть представлен в виде суммы трех векторов, являющихся составляющими прямой, обратной и нулевой систем:

(12.4)

Подстановка уравнений (12.3) в уравнения (12.4) дает:

(12.5)

Система уравнений (12.5) решается относительно А₀, А₁, A₂ однозначно:

(12.6)

Отсюда и следует, что несимметричную систему векторов можно разложить на три симметричные системы.

Из первого уравнения системы (12.6) видно, что если сумма векторов несимметричной системы равна нулю, будут равны нулю и векторы нулевой системы. Следовательно, несимметричные системы линейных напряжений и линейных токов при отсутствии нулевого провода содержат только прямую и обратную составляющие.

Определение симметричных составляющих несимметричной системы векторов по выражениям (12.6) может быть выполнено также графически. Пусть задана несимметричная система векторов фазных напряжений (рис. 12.24, а). Во все три суммы напряжений (см. систему 12.6) вектор U_А входит без изменений, а векторы U_в и U_с во второй и третьей суммах повернуты на угол 2π/3 или 4π/3. Следует начертить вектор U_B, из его конца (т. е. стрелки) — вектор U_A, а из конца U_А — вектор U_с (рис. 12.24, б). Если вектор U в повернуть на угол 2π/3 и 4π/3 вокруг его конца, примыкающего к началу вектора U_А, а вектор U_с — вокруг начала, совпадающего с концом вектора U_А, суммы векторов по выражениям (12.6) будут равны утроенным искомым векторам:

Далее очевидным построением определяются все векторы трех симметричных систем.

Аналогично производится разложение несимметричной системы токов.

Симметричные составляющие несимметричной трехфазной системы напряжений и токов могут быть определены экспериментально. Например, для измерения нулевой составляющей системы фазных напряжений надо однообразно включить на фазные напряжения трансформаторы малой мощности, вторичные обмотки которых и вольтметр соединяются последовательно (рис. 12.25). Тогда, считая для простоты, что у трансформаторов коэффициент трансформации напряжения равен единице, суммарное напряжение, измеряемое вольтметром,

т. е. пропорционально напряжению нулевой системы.

Для измерения напряжения прямой последовательности (рис. 12.26) трансформаторы включаются на одинаковые по величине полные сопротивления z — трансформатор фазы А на активное сопротивление Z_A=r, фазы В на активно-индуктивное сопротивление , фазы С — на активно-емкостное сопротивление . Чтобы вторичные токи трансформаторов В и С были сдвинуты по фазе относительно напряжений на дополнительные до π углы — соответственно , что соответствует умножению на операторы вторичные обмотки этих трансформаторов включаются так, как показано на рис. 12.26.

Цепи нагрузок всех трех трансформаторов соединяются параллельно и замыкаются на амперметр. Последний измеряет суммарный ток

пропорциональный напряжению U₁ системы прямой последовательности.

Если поменять местами нагрузки фаз В и С, суммарный ток

будет пропорционален напряжению U₂ системы обратной последовательности.

Рассмотренные схемы называются фильтрами симметричных составляющих. Они применяются в схемах защиты трехфазных энергетических систем от аварийных режимов, вызывающих несимметрию токов и напряжений отдельных фаз.

Разложение на симметричные составляющие позволяет весьма просто решать задачи на расчет трехфазных цепей при одинаковой нагрузке фаз с взаимной индукцией между ними при несимметричной системе напряжений, что широко используется в теории электрических машин. Система напряжений разлагается на симметричные составляющие, для каждой из них находят токи фаз и применяют метод наложения. При этом сопротивление фаз приемника для каждой составляющей может быть различным. Например, для цепи рис. 12.11, соединенной в звезду с нулевым проводом, сопротивление фаз для нулевой системы напряжений:

а для прямой и обратной составляющих, являющихся симметричными трехфазными системами, сопротивления

только для статических устройств, например для трансформаторов. Во вращающихся машинах прямая система токов создает магнитное поле, вращающееся в одном направлении с ротором, а обратная система токов — в противоположном; это приведет к неравенству . Таким образом, в общем случае

После определения комплексных токов каждой составляющей они пофазно суммируются и дают систему действительных токов фаз.

При неодинаковой нагрузке фаз приемника расчет усложняется, так как тогда каждая из симметричных составляющих системы такое зависит от всех составляющих систем напряжений. Эти задачи рассматриваются в литературе, посвященной расчету аварийных режимов в трехфазных электрических сетях и системах.

Можно показать, что в самом общем случае несимметрии средняя мощность всей цепи равна сумме средних мощностей нулевой, прямой и обратной составляющих:

Трехфазные цепи

Трехфазная система ЭДС:

Производство, передача и распределение электрической энергии осуществляется в основном трехфазным током в трехфазных цепях. Широкое распространение в качестве нагрузки в трехфазных цепях получили трехфазные потребители. В трехфазных цепях используются трехфазные трансформаторы. Электрическую энергию в трехфазных цепях производят трехфазные генераторы, создающие синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, в трехфазных системах.

Трехфазной называется система трех ЭДС одинаковой частоты, Вдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма углов сдвига равна или 360°.

Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если ЭДС трех фаз сдвинуты друг относительно друга на угол и амплитуды этих трех ЭДС одинаковы по величине:

Комплексы этих ЭДС

Получение симметричной трехфазной системы ЭДС осуществляется в трехфазном электромашинном генераторе (рис. 16.1а), в Котором три жестко скрепленные под углом 120° обмотки пересекают магнитное поле с частотой вращаясь (в данном случае) против часовой стрелки.

Начала обмоток трехфазного генератора обозначаются прописными буквами  а концы их соответственно (т.е. в трехфазном генераторе имеется три обмотки: и рис. 16.1а).

Таким образом, при вращении в магнитном поле жестко скрепленных обмоток в них индуктируются одинаковые ЭДС одинаковой частоты и сдвинутые на 120°.

Векторная диаграмма такой симметричной системы ЭДС изображена на рис. 16.1б. Как видно из векторной диаграммы, мгновенное значение ЭДС в обмотке CZ можно записать в виде

а комплекс этой ЭДС

т. е. логично, чтобы начальная фаза превышала

К каждой обмотке трехфазного генератора может быть подключена нагрузка с сопротивлениями

Если при этом три обмотки генератора электрически не соединены (рис. 16.2а), то такая трехфазная система называется несвязанной. Несвязанная трехфазная система практического применения не нашла.

Практическое применение нашла связанная трехфазная система (рис. 16.2б). Эта система экономически и энергетически более рациональна, так как используется три или четыре соединительных провода вместо шести и получить можно два различных напряжения, фазное и линейное, вместо одного.

Каждая обмотка трехфазного генератора со своей нагрузкой и соединительными проводами называется фазой (рис. 16.2). В трехфазной системе различают три фазы А, В и С (международные обозначения — прописные буквы).

Положительное направление ЭДС и токов в каждой фазе на рис. 16.26 указаны стрелками.

В связанных трехфазных системах применяется соединение обмоток генератора и потребителя звездой F или треугольником Е.
 

Соединение обмоток генератора звездой

При соединении обмоток генератора звездой концы обмоток X, Yи Z элeктpичecки соединяются в одну точку 0 (рис. 16.3а), которая называется нулевой, или нейтральной. При этом генератор с потребителем соединяется тремя или четырьмя проводами.

Провода, подключенные к началам обмоток генератора (А, В и С, называют линейными проводами, а провод, подключенный к нулевой точке 0, называется нулевым, или нейтральным.

В связанных трехфазных системах различают фазные и линейные напряжения и токи.

Фазным называется напряжение между началом и концом обмотки генератора или между нулевым и линейным проводом. Обозначаются фазные напряжения прописными буквами с индексами фаз (рис. 16.3а). Так как сопротивление обмоток генератора мало, то фазные напряжения практически не отличаются от ЭДС в обмотках генератора.

Линейным называется напряжение между началами обмоток генератора или между линейными проводами. Обозначаются линейные напряжения (рис. 16.3а).

Можно определить зависимость между линейными и фазными напряжениями при соединении обмоток генератора звездой.

Мгновенные значения фазных напряжений равны разностям потенциалов между началами и концами соответствующих обмоток, т.е:

Мгновенные значения, линейных напряжений равны разностям потенциалов между началами соответствуют:

Потенциалы концов обмоток одинаковы так как все они соединены электрически в одну точку.

Тогда

То есть мгновенное значение линейных напряжений определяется разностью мгновенных значений двух соответствующих фазных напряжений.

При соединении обмоток генератора звездой действующее значение линейного напряжения определяется геометрической разностью двух соответствующих фазных напряжений. На этом основании построена векторная диаграмма напряжений (рис. 16.3б) для соединения обмоток генератора звездой. К такому же результат) приводит определение комплексов линейных напряжений символическим методом:

При симметричной системе ЭДС фазные напряжения равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°. По векторной диаграмме (рис. 16.3б) определяется линейное напряжение (рис. 16.4).

Линейное напряжение при симметричной системе ЭДС трехфазного генератора определяется равенством

Из диаграммы (рис. 16.4) определяется вектор (комплекс)

При симметричной системе ЭДС линейное напряжение трехфазного генератора, обмотки которого соединены звездой, в раза больше фазного напряжения:

Если говорят о напряжении генератора 127/220 В, то имеется в виду, что фазное напряжение в трехфазной цепи 127 В, а линейное — 220 В. В сети с напряжением 220/380 В фазное напряжение 220 В, а линейное — 380 В. Очевидно, что обмотки генератора такой симметричной цепи соединены звездой и отношение напряжений получится равным

В связанных трехфазных системах фазным называется ток, провидящий по обмотке (фазе) генератора а линейным считается ток, проходящий по линейному проводу

Как видно на рис. 16.3а, при соединении обмоток генератора звездой линейный ток равен фазному току

 

Соединение обмоток генератора треугольником

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) конец обмотки фазы А соединяется с началом обмотки фазы В, конец обмотки фазы В соединяется к началом обмотки фазы С, конец обмотки фазы С соединяется с началом обмотки фазы А и к точкам соединения подключаются линейные провода.

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) трехфазная цепь трехпроводная.

Как следует из схемы соединения обмоток треугольником (рис. 16.5а), линейное напряжение равно фазному напряжению

То есть 

Из схемы (рис. 16.5а) следует, что три обмотки генератора, соединенные треугольником, образуют замкнутый контур, ток в котором при отсутствии нагрузки (холостой ход) определяется выражением

где  – комплексы (векторы) ЭДС фаз генератора; — комплексы сопротивлений обмоток генератора т.е. каждая обмотка обладает активным R и индуктивным X сопротивлениями.

Так как сопротивления обмоток малы, падением напряжения на них можно пренебречь и считать, что напряжение на каждой обмотке генератора равно ее ЭДС.

При симметричной системе ЭДС и правильном соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) геометрическая сумма ЭДС (комплексов) обмоток генератора, образующих замкнутый контур, равна нулю (рис. 16.5б). Следовательно, и ток в замкнутом контуре обмоток, соединенных треугольником, также равен нулю при холостом ходе независимо от величины внутреннего сопротивления обмоток

Если обмотки симметричного генератора соединены «неправильным» треугольником, т. е. неправильно подключить начало и конец хотя бы одной из обмоток, например  (рис. 16.5’а), то геометрическая сумма ЭДС в замкнутом контуре обмоток будет равна удвоенному значению ЭДС одной фазы (рис. 1б.5’б). С учетом малого внутреннего сопротивления обмоток генератора ток в замкнутом контуре достигает катастрофической величины даже при отсутствии нагрузки (холостой ход). Таким образом, соединена, обмоток трехфазного генератора «неправильным» треугольником равносильно короткому замыканию в замкнутом контуре обмоток.

 

Соединение потребителей звездой

При соединении звездой потребителя и генератора (рис. 16.6) трехфазная система представляет собой сложную цепь с двумя узловыми точками Точка 0 — нейтральная точка генератора, а 0′ — нейтральная точка потребителя. Напряжение между этими узловыми точками называется напряжением смещения нейтрали.

Соединение генератора и потребителя звездой может быть с нулевым проводом (рис. 16.6б), т.е. четырехпроводная цепь, и без нулевого провода (рис. 16.6а), т.е. трехпроводная цепь.

Величину напряжения смещения нейтрали определяют методом узлового напряжения (см. (4.9)) в символической (геометрической) форме:

где  – комплекс (вектор) напряжения смещения нейтрали; комплексы (векторы) ЭДС в обмотках соответствующих фаз генератора;  – комплексы проводимостей соответствующих фаз:

где  – комплексы сопротивлений фаз потребителя, включая внутреннее сопротивление обмоток генератора и сопротивление соединительных проводов; — комплекс проводимости нулевого провода, a — комплекс его сопротивления.

Напряжение U’ на каждой фазе потребителя, соединенного звездой (рис. 16.6а), с учетом напряжения смещения нейтрали, определяют следующим образом:

где — комплексы (векторы) напряжений на фазах потребителей.

На основании (16.15) строится векторная диаграмма напряжений (рис. 16.7), на которой вектор напряжения смещения нейтрали взят произвольно. Из векторной диаграммы (рис. 16.7) следует, что при наличии напряжения смещения нейтрали напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, различны по величине и по начальной фазе даже при симметричной системе ЭДС в обмотках генератора.

Очевидно (рис. 16.7), что напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, будут одинаковыми по величине  если напряжение смещения нейтрали отсутствует, т.е.   при симметричной системе ЭДС генератора.

Напряжение смещения нейтрали отсутствует, т. е. при равномерной (симметричной) нагрузке фаз или при наличии нулевого провода.

Рассмотрим эти условия:

1. Равномерная нагрузка фаз.

Равномерной называют нагрузку, при которой комплексы сопротивлений фаз равны между собой.

То есть 

или 

Тогда так как при симметричной системе ЭДС сумма (см. рис. 16.5б).

Так как комплекс сопротивления фазы то равномерной считается нагрузка, при которой сопротивления фаз одинаковы по величине по характеру (активный, индуктивный или емкостной) и имеют одинаковый угол сдвига фаз

2. Наличие нулевого провода.

При наличии нулевого провода, соединяющего нейтральные точки 0 и 0′ (рис. 16.6б),

Тогда 

В обоих случаях (1 и 2) напряжения на фазах потребителя, подключенного к трехфазному генератору с симметричной системой ЭДС, одинаковы по величине. При этом величина напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного звездой, в раза меньше линейного напряжения, т. е.

Ток в нулевом проводе (рис. 16.66) при соединении потребителей звездой определяется геометрической суммой токов в фазах потребителя:

Токи в фазах потребителя определяются по формулам

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз токи в фазах равны по величине «сдвинуты, как и напряжения, по фазе на 120°. Следовательно, их геометрическая сумма равна нулю, т.е. (см. рис. 16.5б, где вместо подставить ).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз нулевой провод не нужен.

При неравномерной нагрузке фаз отсутствие нулевого провода приводит к неодинаковым по величине напряжениям на каждой фазе потребителя (рис. 16.7). При этом на фазе с большим сопротивлением Z будет большее напряжение U’.

Так как отсутствие нулевого провода при неравномерной нагрузке фаз потребителя, соединенного звездой, нарушает режим работы потребителей U’, то предохранитель в нулевой провод не ставят.

Следовательно, нулевой провод служит для выравнивания напряжений на фазах потребителя при неравномерной нагрузке фаз.

При соединении потребителей звездой ток каждой фазы потребителя (рис. 16.16) равен линейному току трехфазной цепи 

 

Соединение потребителей треугольником

При соединении потребителя треугольником (рис. 16.8) к каждой фазе потребителя приложено линейное напряжение трехфазной цепи

Так как при симметричной системе ЭДС все линейные напряжения равны по величине и сдвинуты на угол 120° по фазе, то и напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного треугольником, равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°, независимо от характера нагрузки.

При соединении потребителей треугольником линейные токи обозначаются прописными буквами с индексами фаз, т. е. а токи в фазах потребителя

Воспользовавшись первым законом Кирхгофа, линейные токи можно определить выражениями (рис. 16.8)

Линейный ток при соединении потребителей треугольником определяется геометрической разностью двух фазных токов, сходящихся с линейным в одной узловой точке (рис. 16.8).

Фазные токи потребителя, соединенного треугольником, определяются:

При симметричной системе ЭДС генератора и равномерной нагрузке фаз потребителя токи в фазах потребителя равны между собой по величине и, так лее как напряжения на фазах потребителя, сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол 120° (рис. 16.9).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз и симметричной системе ЭДС при соединении потребителей треугольником линейный ток в трехфазной цепи в  раза больше фазного тока:

 

Мощность трехфазного тока

Активная мощность, отдаваемая трехфазным генератором и потребляемая трехфазным потребителем, определяется суммой активных мощностей каждой фазы потребителя:

Аналогичное определение можно отнести и к реактивной мощности трехфазного тока, т. е.

=

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз активная мощность трехфазного тока равна утроенному значению активной мощности каждой фазы

Однако на практике удобней оперировать линейными величинами, так как доступными являются линейные провода, а не обмотки генератора или двигателя.

При соединении потребителя звездой при равномерной нагрузке фаз

Тогда 

При соединении потребителей треугольником при равномерной нагрузке фаз

Тогда 

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз при соединении потребителей звездой и треугольником мощности трехфазного тока определяются выражениями:

При неравномерной нагрузке фаз полная, или кажущаяся, мощность трехфазного тока может быть определена суммой полных мощностей каждой фазы, выраженной в комплексной форме, а именно

Равномерную нагрузку в трехфазных цепях обеспечивают электрические двигатели трехфазного тока, обмотки которых могут гь соединены или звездой, или треугольником.

Топографическая диаграмма

Напряжение между отдельными точками трехфазной цепи можно найти графически путем построения так называемой топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма, поенная так, чтобы каждой точке цепи соответствовала определенная точка на диаграмме и чтобы вектор, проведенный в эту точку из начала координат, выражал по величине и фазе потенциал соответствующей точки цепи. Отрезок, соединяющий любые две точки на этой диаграмме, определяет напряжение между соответствующими точками цепи. Если топографическая диаграмма встроена в определенном масштабе, то по ней можно определить искомое напряжение и ток по величине и по фазе.

При построении топографической диаграммы для трехфазной цепи удобно принять за точку с нулевым потенциалом нулевую, или нейтральную, точку генератора. Этой точке генератора соответствует начало координат топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма для трехфазной цепи, изображенной на рис. 16.6, построена при условии, что точка 0 на диаграмме (рис. 16.10) соответствует нулевой точке генератора, потенциал которой равен нулю, т. е.

Из точки 0 откладываются в определенном масштабе напряжений векторы фазных ЭДС  в результате чего получаются точки А, В и С на топографической диаграмме. Эти точки на диаграмме соответствуют началам обмоток генератора, Соединенного звездой точками А, В и С цепи. 

Отрезок равный разности векторов представляет собой линейное напряжение  (падением напряжения на внутреннем сопротивлении обмотки генератора пренебрегаем, т.е. ). Аналогично отрезки на топографической диаграмме изображают линейные напряжения соответственно.

Отложив из точки 0 (начало координат) вектор напряжения смещения нейтрали (отрезок ), определяют потенциал нулевой точки потребителя 0′ на диаграмме. Тогда отрезки выражают напряжение на фазах потребителя

Если напряжение смешения нейтрали отсутствует то точка 0′ (нулевая точка потребителя) на топографической диаграмме совпадет с точкой 0 (нулевой точкой генератора). Тогда векторы напряжений на фазах потребителя   равны по величине и по фазе векторам ЭДС генератора

Применение топографической диаграммы для расчета трехфазной цепи рассмотрено в примере 16.1 настоящей главы.

Пример 16.1

К трехфазной трехпроводной сети с линейным напряжением 220 В подключен потребитель, соединенный звездой, с сопротивлениями 10 Ом (рис. 16.11).

Определить напряжение и ток каждой фазы потребителя в каждом из трех режимов:

1. Потребители соединены звездой, как показано на рис. 16.11.

2. Обрыв в фазе А, т. е.

3. Короткое замыкание в фазе А, т. е.

Решение

Решение этой задачи производится с помощью построения топографической диаграммы для каждого режима.

1. Так как в данном режиме имеет место равномерная нагрузка фаз следовательно, напряжение смещения нейтрали равно нулю и точка 0′ на топографической диаграмме совпадает с точкой 0 (рис. 16.12). 

Пренебрегая внутренним сопротивлением обмоток генератора определяют напряжение на каждой фазе потребителя при симметричной системе ЭДС:

так как

Toк каждой фазы потребителя будет равен

Линейные токи в каждом линейном проводе также равны между собой и равны фазным токам каждой фазы, т.е.

2. При обрыве в фазе А схема трехфазной цепи обретает следующий вид (рис. 16.13а), а топографическая диаграмма показана на рис. 16.13б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при обрыве в фазе А как бы опустилась на вектор линейного напряжения разделив его величину поровну между т. е.

Напряжение на оборванной фазе А, т. е. напряжение между точками 0′ и А в схеме, как следует из топографической диаграммы рис. 16.13б), будет равно

Токи в фазах:

Токи в линейных проводах:

3. При коротком замыкании фазы А схема трехфазной цепи показана на рис. 16.14а, топографическая диаграмма на рис. 16.14б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при коротком замыкании фазы как бы поднялась в точку А и фазные напряжения совпали с векторами линейных напряжений соответственно и стали равными им по величине, т.е.

Токи в фазах будут равны  
Ток в коротко замкнутой фазе т. е. ток в проводе, соединяющем точку 0′ и А, определяется геометрической суммой токов (рис. 16.14б), т.е.

Напряжение и токи в режимах 2 и 3 легко определить из схем рис. 16.13а и 16.14а, не прибегая к топографическим диаграммам.

Пример 16.2

К соединенному звездой генератору с фазным напряжением 127 В подключен потребитель, соединенный треугольником. Активное сопротивление каждой фазы потребителя R = 8 Ом, индуктивное = 6 Ом (рис. 16.15а).

Определить ток в каждой фазе генератора, отдаваемую им мощность и построить векторную диаграмму.

Решение

Эту задачу можно решить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Напряжение на каждой фазе потребителя равно линейному напряжению генератора

Сопротивление каждой фазы потребителя равно

В каждой фазе генератора проходит линейный ток потребителя, единенного треугольником, т.е. (см. рис. 16.15а)

Отдаваемая генератором мощность (активная мощность) равна

Так как

Угол (Приложение 10).

Таким образом, ток фазы потребителя отстает от напряжения на угол 37°, так как нагрузка индуктивного характера.

Вычисленные величины легли в основу построения векторной диаграммы (рис. 16.15б).

Пример 16.3

Параметры трехфазного потребителя, соединенного звездой, имеют следующие значения: Линейное напряжение сети симметричной системы ЭДС

Определить:

1) напряжение на каждой фазе потребителя;

2) токи каждой фазы потребителя;

3) мощности цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение

Допустим, что обмотки генератора соединены звездой, тогда напряжение каждой фазы генератора (при симметричной системе ЭДС)

Напряжение на каждой обмотке генератора в комплексной форме:

Сопротивление  каждой фазы потребителя:

Проводимости  каждой фазы потребителя:

Напряжение смещения нейтрали при отсутствии нулевого провода, т. е. при будет равно

При вычислении принято: и   Напряжение на каждой фазе потребителя (16.15):

Токи в каждой фазе потребителя:

Мощности каждой фазы потребителя:

Мощность всей трехфазной нагрузки:

Векторная диаграмма рассматриваемой цепи изображена на рис. 16.17.

Пример 16.4

К трехфазной сети с линейным напряжением подключены двигатель Д и однофазные силовые потребители (рис. 16.18).

Обмотки трехфазного двигателя мощностью кВт и = 0,76 соединены треугольником. Однофазные силовые потребители с параметрами: — соединены звездой.

Определить: показания амперметров мощность Р, потребляемую всей нагрузкой; показания вольтметров.

В линейном проводе С сгорел предохранитель (обрыв линейного провода С). Как при этом изменится показание вольтметpa , если оборвется и нулевой провод? Как изменится показание вольтметра

Решение

Расчет трехфазной цепи (рис. 16.18) можно осуществить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Амперметр включен в линейный провод С, подводящий 1ние к двигателю, обмотки которого соединены треугольником и представляют равномерную нагрузку фаз; следовательно (см. (16.29))

Амперметр измеряет ток в фазе В силового потребителя, соединенного звездой. При наличии нулевого провода напряжение на каждой фазе потребителя тогда ток в фазе В будет равен

так как

Показания амперметра включенного в фазу С силового потребителя:

так как

Амперметр включен в нулевой провод, ток в котором определяется геометрической суммой токов в фазах силового потребителя, соединенного звездой (см. (16.19) и рис. 16.19).

Для вычисления геометрической суммы токов фаз необходимо построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

При наличии нулевого провода напряжения на фазах сдвинуты на угол 120°. Угол сдвига фаз между током и напряжением, исходя из условий, для всех трех фаз одинаков (это видно из заданных параметров силового потребителя):

Следовательно, фазные токи сдвинуты так же, как и напряжения, на угол 120°. Величины токов определены: На основании этих данных можно построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

На векторной диаграмме складываются геометрически и получается суммарный ток, равный 14,7 А.

Поскольку этот суммарный ток находится в противофазе с током  то ток в нулевом проводе равен 7,3 А:

Следовательно, амперметр покажет ток 7,3 А.

Для расчета мощности Р, потребляемой всей нагрузкой, вычисляется активная мощность каждого силового потребителя:

Тогда активная мощность, потребляемая всей нагрузкой, будет равна

При обрыве линейного провода С и нулевого провода две фазы силового потребителя А и В кажутся соединенными последовательно и подключенными к личному напряжению =380 В. Так как сопротивления этих фаз равны по величине, то это линейное напряжение распределится между ними поровну, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 220 В, которое он показывал до обрыва.

При обрыве линейного провода С фазы В и С двигателя окажутся соединенными последовательно и подключенными к линейному напряжению Так как сопротивления обмоток двигателя равны между собой, то линейное напряжение распределится поровну между обмотками В и С двигателя, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 380 В, которое он показывал до обрыва.
 

Вращающееся магнитное поле двухфазного тока

Двухфазным током называется совокупность двух однофазных токов, сдвинутых по фазе на угол друг относительно друга (рис. 17.3б):   

Эти токи создают в обмотках переменные магнитные потоки, сдвинутые по фазе также на угол 90°:

Таким образом, если по двум неподвижно скрепленным под углом 90° обмоткам пропустить двухфазный ток, то внутри этих обмоток (рис. 17.3а) создается вращающееся магнитное поле двухфазного тока.

Как видно (рис. 17.3б), постоянный магнитный поток  одной фазы) вращается против часовой стрелки, если при указанном расположении обмоток первый ток опережает второй ток по фазе.

Нетрудно убедиться в том, что если бы второй ток опережал первый то магнитное поле вращалось бы в обратную сторону. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока широко применяется для пуска и работы однофазных машин переменного тока.
 

Пульсирующее магнитное поле

Если по неподвижной катушке (обмотке) машины пропустить синусоидальный ток то внутри этой катушки создается пульсирующее магнитное поле, т. е. поле, изменяющееся по величине и направлению, но расположенное в одной плоскости (рис. 17.4).

Пульсирующее магнитное поле, к видно из рис. 17.4, можно рассматривать как два магнитных поля, вращающихся в разные стогны. Поэтому в машинах, в которых используется пульсирующее магнитное поле, отсутствует пусковой момент. Для работы таких машин его необходимо создать. Пусковой момент в таких машинах создают или механически, или за счет пусковой обмотки, по которой в момент пуска пропускают импульс тока, сдвинутого по фазе относительно основного синусоидального тока, проходящего по катушке (обмотке) машины (аналогично двухфазному току).

Определение трёхфазных цепей

Наряду с однофазными источниками существуют источники энергии, содержащие две, три, четыре и т.д., характеризуемые тем, что их ЭДС, имея одинаковую частоту, сдвинуты друг относительно друга на некоторый угол. Такие генераторы называются многофазными, а электрические цепи с такими источниками – многофазными.

Трёхфазный генератор

Трёхфазные цепи получили наибольшее практическое применение. В связи с этим основные исследования многофазных цепей будем проводить на примере трёхфазных. Рассмотрим вопрос реализации трёхфазного источника, которым является трёхфазный генератор (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Трёхфазный генератор

Для упрощения понимания принципа работы генератора обмотки (фазы) представлены одним витком. В качестве ротора генератора выбран постоянный магнит. Каждая из обмоток имеет начало – клеммы  и конец – Обмотки в пространстве сдвинуты друг относительно друга на 120°, из чего следует, что максимумы ЭДС в них достигаются в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на одну треть периода  где — угловая частота вращения ротора.

Последовательность, в которой ЭДС достигают максимума в соответствующих фазах, носит название порядка чередования фаз. Прямым порядком чередования фаз называют последовательность  при которой фаза  отстает от фазы  на  и фаза  отстает от фазы  на  На рис. 4.2 изображен график мгновенных значений ЭДС для прямого порядка чередования фаз. Изменение направления вращения ротора трёхфазного генератора на противоположное меняет эту последовательность чередования фаз, и она станет уже

Рис. 4.2. Графики мгновенных значений ЭДС фаз 

Запишем мгновенные значения ЭДС, индуктируемые в фазах при вращении ротора генератора:

Поскольку ЭДС каждой фазы генератора синусоидальна, то их можно изобразить на комплексной плоскости в виде векторов соответствующих фазных ЭДС: (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Векторная диаграмма фазных ЭДС

Важным обстоятельством является то, что система векторов фазных ЭДС генератора на комплексной плоскости образует симметричную трехлучевую звезду и сумма этих векторов в любой момент времени равна нулю.

При подключении к каждой из фаз генератора нагрузки по ней будет протекать ток. Таким образом, реализуется трёхфазная система.

Способы соединения фаз генератора и нагрузки

Соединение фаз генератора и нагрузки четырехпроводной звездой:

При соединении фаз генератора звездой все концы или начала соединяют в одну общую точку. На рис. 4.4.а показана несвязанная трёхфазная система, в которой каждая фаза генератора и приемника образует отдельную электрическую цепь и поэтому для связи генератора и приемника требуется 6 проводов.

Рис. 4.4. Соединение звездой а) несвязанная трёхфазная система, b) четырехпроводная звезда

При соединении звездой количество проводов уменьшится до 4-х. Причем провод, соединяющий общие (нейтральные или нулевые) точки фаз генератора и приемника  называется нейтральным или нулевым. Остальные провода, соединяющие фазы генератора и приемника – линейные.

Токи, протекающие по фазам генератора или приемника, называются фазными токами, токи, протекающие по проводам, соединяющим фазы генератора и приемника, – линейными токам, ток, протекающий по нейтральному проводу – нейтральным.

Напряжение между началом и концом фазы генератора или приемника называется фазным, напряжение между двумя фазами или линиями – линейным.

Для этого способа соединения между линейными и фазными параметрами цепи существуют следующие соотношения:

Установим взаимосвязь между комплексами линейных и фазных напряжений источника (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении приёмников звездой при симметричной активной нагрузке

В дальнейших рассуждениях фазные ЭДС заменим напряжениями на фазах источника:

Выберем любой равнобедренный треугольник, образованный двумя фазными и линейным напряжениями и опустим перпендикуляр из вершины на основание. Перпендикуляр является медианой и биссектрисой.

Из любого прямоугольного треугольника получим:

то есть:

Это второе важное соотношение для соединения звездой.

Частным случаем такого соединения является соединение «звезда-звезда» без нулевого провода.

Соединение фаз генератора и нагрузки треугольником

Вторым базовым способом соединения фаз генератора и нагрузки является соединение типа «треугольник-треугольник» (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Соединение «треугольник-треугольник»

При соединении треугольником существует следующее соотношение:

Установим взаимосвязь между фазными и линейными токами:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений приемника (рис. 4.7) для данного способа соединения.

Рис. 4.7. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении

Рассмотрев любой треугольник токов, можно, аналогично напряжениям при соединении звездой, сделать вывод (только для симметричной нагрузки):

Помимо вышеназванных существуют и комбинированные способы соединения: «звезда-треугольник», «треугольник-звезда».

Режимы работы трёхфазных цепей

Различают симметричный и несимметричный режимы работы трехфазной цепи. При. симметричном режиме сопротивления трех фаз одинаковы и ЭДС образуют трехфазную. симметричную систему. В этом случае токи фаз а, в, с будут равны по величине и сдвинуты по угол 120 градусов.

Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода

Поскольку трёхфазные цепи являются совокупностью однофазных цепей, то для их расчета используются все ранее рассмотренные специальные методы, в том числе и комплексный метод расчета. Следовательно, расчет трёхфазных цепей можно иллюстрировать построением векторных диаграмм токов нагрузки и топографических диаграмм напряжений.

Наиболее рациональным методом расчета такой цепи может считаться метод двух узлов. Для выбранных положительных направлений напряжений и токов на схеме (рис. 4.8) составим соответствующую систему уравнений для расчета токов. приемников треугольником и симметричной активной нагрузке

Рис. 4.8. Соединение фаз генератора и приемника по схеме «четырехпроводная звезда»

1. Симметричная нагрузка.

Нагрузка считается симметричной, если комплексные сопротивления ее фаз равны:

Четырехпроводная звезда.

Для простоты в качестве потребителей фаз нагрузки будем рассматривать активные сопротивления  Наличие нулевого провода делает одинаковыми потенциалы узлов  и  если сопротивлением нулевого провода можно пренебречь значит При этом фазные токи равны, а фазные напряжения на нагрузке будут полностью повторять фазные напряжения генератора. Для фазы

Аналогично для фаз  и 

Исходя из сказанного, построим топографическую диаграмму фазных напряжений и векторную диаграмму токов (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Векторно-топографическая диаграмма для симметричной нагрузки в трех- и четырехпроводной системах

Трехпроводная звезда.

При симметричной нагрузке, как и в четырехпроводной схеме, фазы приемника работают независимо друг от друга и нулевой провод не нужен. Диаграмма в данном случае будет абсолютно той же, что и для четырехпроводной звезды.

2. Несимметричная нагрузка.

Четырехпроводная звезда.

Пусть 

На векторно-топографической диаграмме токов и напряжений (рис. 4.10) показано суммирование фазных токов.

Рис. 4.10. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки

Трехпроводная звезда.

Пусть Из-за неравенства проводимостей ветвей  не равно нулю, то есть между точками и появляется разность потенциалов – смещение нейтрали. При этом фазные напряжения на нагрузках уже не будут повторять систему фазных напряжений генератора. Поэтому задача сводится к расчету положения точки на комплексной плоскости относительно  Для его определения можно воспользоваться формулой узлового напряжения и теоретически ее рассчитать. Однако это можно сделать, основываясь на экспериментальных данных, суть которых состоит в следующем: производят измерения напряжений на фазах нагрузки; в выбранном масштабе для напряжений проводят дуги окружностей радиусами, равными измеренным фазным напряжениям из точек Точка пересечения этих трех дуг и даст искомое местоположение точки внутри треугольника, ограниченного линейными напряжениями (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Определение смещения нулевой точки

Соединив точки и  отрезком, получим смещение нейтрали. По найденным фазным напряжениям приемника направляем векторы токов. Должно выполняться равенство:

По результатам выполненных построений можно сделать главный вывод: если заведомо известно, что нагрузка несимметрична или может таковою стать, необходимо использовать четырехпроводную схему.

3. Обрыв фазы.

Четырёхпроводная звезда.

Векторная диаграмма (рис. 4.12) иллюстрирует работу четырехпроводной системы.

Рис. 4.12. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в четырехпроводной системе

Трехпроводная звезда.

Напряжение смещения можно также определить методом засечек, как это показано на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в трехпроводной системе

По первому закону Кирхгофа:

Поскольку то

Токи в фазах  и должны находиться в противофазе.

4. Короткое замыкание фазы.

Четырехпроводная звезда.

В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника.

Трехпроводная звезда:

Фазные напряжения приемника:

т.е. фазные напряжения увеличились до линейных напряжений, соответственно, токи в фазах:

возросли в раз. Ток в закороченной фазе определится по первому закону Кирхгофа:

Построение векторно-топографической диаграммы для короткого замыкания показано на рис. 4.14.

5. Разнородная нагрузка.

Общий принцип построения векторных диаграмм токов и топографических диаграмм напряжений остается тем же. Единственное отличие будет состоять в появлении фазовых сдвигов между токами и напряжениями на фазах нагрузки в зависимости от ее характера.

Рис. 4.14. Векторно-топографическая диаграмма для короткого замыкания фазы в трехпроводной системе

По схеме трехпроводной звезды включают трёхфазные симметричные приемники, например, трёхфазные асинхронные и синхронные двигатели.

Соединение потребителей треугольником

Рассмотрим различные режимы работы приемника при соединении его фаз треугольником (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Соединение фаз приемника треугольником

Вновь будем считать, что в качестве потребителей в фазах включены активные сопротивления (для простоты построений).

Симметричный режим.

На рис. 4.7 построена векторная диаграмма для симметричной нагрузки при соединении фаз приемника треугольником.

Токи равны по модулю и отличаются только по фазе:

Линейные токи:

Несимметричный режим:

Фазы по-прежнему работают независимо друг от друга и поэтому токи будут:

Линейные токи определяются соответственно по формулам (4.9). Векторная диаграмма представлена на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки приемников, соединенных треугольником

Обрыв фазы

На рис. 4.17 построена векторная диаграмма при соединении приемников треугольником для обрыва фазы.

Рис. 4.17. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы при соединении приемников треугольником

Соотношения для токов:

При разнородной нагрузке методика расчета не меняется.

Расчет мощности в трёхфазных цепях

Рассмотрим расчет мощности при соединении приемников по схеме четырехпроводной звезды и допустим, что нагрузка несимметрична. Если учесть, что сопротивление нейтрального провода не равно нулю и активное, имеем:

При симметричной нагрузке для трех- и четырехпроводной системы получим:

При соединении фаз приемника треугольником и несимметричной нагрузке имеем:

При симметричной нагрузке:

При этом необходимо учесть, что одинаковые формулы для расчета мощности при разном способе соединения фаз нагрузки (4.10-4.12) и (4.13- 4.15) не означают одинаковые численные значения.

Пример. Пусть трёхфазный приемник с сопротивлением фазы  соединен «звездой», тогда активная мощность будет:

Теперь фазы того же приемника соединим «треугольником» и подключим к тому же трёхфазному источнику:

Итог очевиден:

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Для измерения активной мощности в симметричной трехфазной цепи достаточно одного ваттметра, включенного на измерение мощности одной из фаз.

Соединение приемников по схеме четырехпроводной звезды

В схеме (рис. 4.18) однофазные ваттметры включаются в каждую фазу, причем через токовые катушки протекают линейные токи, а катушки напряжения ваттметров включены между нулевым проводом и соответствующими линейными проводами.

Рис. 4.18. Схема включения ваттметров для измерения мощности в четырехпроводной системе

Так как активная мощность – это вещественная часть полной мощности:

то суммарная мощность трех ваттметров может быть представлена выражением:

или

В случае симметричной нагрузки для измерения мощности, потребляемой ею, достаточно воспользоваться одним ваттметром, показание которого нужно утроить.

Соединение приемников по схеме трехпроводной звезды или треугольником

В этом случае измерить мощность трёхфазного приемника можно с помощью двух ваттметров (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Схема измерения активной мощности двумя ваттметрами

Покажем это:

Если учесть, что:

получим:

Окончательно имеем:

Оба ваттметра выполняются в одном корпусе, и прибор имеет две пары выводов для токовых катушек и две пары выводов – для катушек напряжения. Включают трёхфазный ваттметр по приведенной на рис. 4.19 схеме или по любой схеме с циклической заменой фаз.

Метод симметричных составляющих

Любую несимметричную трёхфазную систему можно разложить на три симметричные трёхфазные системы: прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз. Такое разложение широко применяется при анализе работы трёхфазных машин и, в особенности, при расчете токов короткого замыкания в трёхфазных системах.

Пусть дана несимметричная трёхфазная система векторов (рис. 4.20).

Рис. 4.20. Несимметричная трёхфазная система векторов

Каждый из векторов этой системы можно представить в виде суммы трех составляющих:

На рис. 4.21 изображены системы указанных выше последовательностей.

Рис. 4.21. Симметричные системы векторов прямой (a), обратной (b) и нулевой (с) последовательностей

Векторы прямой, обратной и нулевой последовательностей подчиняются следующим соотношениям:

где 

Коэффициент называется поворотным множителем

Подставим соотношения (4.19) в систему уравнений (4.18). Тогда получим:

Решение системы уравнений (4.20) относительно дает:

Симметричные составляющие можно определить графически, если на векторной диаграмме несимметричной системы векторов выполнить построения в соответствии с системой уравнений (4.21).

Фильтры симметричных составляющих

Симметричные составляющие несимметричных систем можно определить не только аналитически или графически, но и при помощи электрических схем, называемых фильтрами симметричных составляющих.

Эти фильтры применяются в схемах, защищающих электрические установки. Степень асимметрии системы токов и напряжений не должна превосходить известные пределы, т.е. составляющие нулевой и обратной последовательностей системы напряжений и токов при нормальных режимах должны быть меньше некоторых наперед заданных величин, определяемых для каждой конкретной установки индивидуально.

Возможность выделить при помощи электрических схем отдельные симметричные составляющие позволяет осуществить воздействие любой из них на приборы, защищающие установку, которые, будучи соответствующим образом отрегулированы, отключат или всю установку, или её часть, как только величина соответствующей составляющей превысит допустимый предел.

В качестве примера на рис. 4.22 приведены схемы фильтров нулевой последовательности линейных токов и фазных напряжений.

Рис. 4.22. Схемы фильтров нулевой последовательности

В схеме (рис. 4.22,a) вторичные обмотки трансформаторов напряжения включены последовательно и поэтому вольтметр определяет сумму фазных напряжений, т.е. утроенную составляющую нулевой последовательности системы фазных напряжений.

В схеме (рис. 4.22,b) вторичные обмотки трансформаторов тока включены параллельно и поэтому амперметр измеряет сумму линейных токов, то есть утроенную составляющую нулевой последовательности линейных токов.

Схема «звезда с нулевым проводом».

При соединении фазных обмоток источника трехфазного тока (например, генератора) по схеме «звезда с нулевым проводом» концы его трех обмоток соединяют в общий узел 0, который называется нулевой точкой, или нейтралью источника (рис. 206).

Рис. 206. Схема «звезда с нулевым проводом», направление в ней линейных и фазных токов и напряжений

Приемники электрической энергии объединяют в три группы Z_A, Z_B и Z_c (фазы нагрузки), концы которых также соединяют в общий узел 0′ (нулевая точка, или нейтраль нагрузки). Обмотки источника соединяют с фазами нагрузки четырьмя проводами. Провода 1, 2 и 3, присоединенные к началам фазных обмоток (А, В, С), называют линейными. Провод 4, соединяющий нулевые точки 0 и 0′, называют нулевым, или нейтральным.

Напряжения u_А, u_в и u_с между началами и концами обмоток отдельных фаз источника или фаз нагрузки Z_A, Z_B и Z_c называют фазными. Они равны также напряжениям между каждым из линейных проводов и нулевым проводом. При отсутствии потери напряжения в обмотках источника (при холостом ходе) фазные напряжения равны соответствующим э. д. с. в этих обмотках.

Фазными токами i_A, i_B, i_c называют токи, протекающие по обмоткам источника или фазам нагрузки Z_A, Z_B и Z_c. Напряжения u_AB, u_BC, u_CA между линейными проводами и токи, проходящие по этим проводам, называют линейными.

Примем условно за положительное направление токов i_A, i_B и i_c в фазах источника — от конца соответствующей фазы к ее началу,в фазах нагрузки — от начала к концу, а в линейных проводах — от источника к приемнику.

Будем считать положительными напряжения u_А, u_B и u_C в фазах источника и нагрузки, если они направлены от начала фаз к концам, а линейные напряжения u_АВ, u_BC, u_СА — если они направлены от предыдущей фазы к последующей.

Из рис. 206 следует, что в схеме «звезда» линейные токи равны фазным, т. е. I_л = I_ф, так как при переходе от фазы источника или нагрузки к линейному проводу нет каких-либо ответвлений.

Мгновенные значения напряжений согласно второму закону Кирхгофа:

u_АВ = u_А – u_B; u_BC = u_B – u_С; u_СА = u_С – u_А.

Переходя от мгновенных значений напряжений к их векторам, имеем:

Следовательно, линейное напряжение равно разности векторов соответствующих фазных напряжений.

По полученным векторным уравнениям можно построить векторную диаграмму (рис. 207, а), которую можно преобразовать в диаграмму (рис. 207,б). Из этой диаграммы видно, что в симметричной трехфазной системе векторы линейных напряжений →u_AB, →u_ВС, →u_СА образуют равносторонний треугольник ABC, внутри которого расположена симметричная трехлучевая звезда фазных напряжений →u_А, →u_В, →u_С.

В равнобедренных треугольниках АОВ, ВОС и СОА основание равно U_л две другие стороны — U_ф и острый угол между этими сторонами и основанием составляет 30°.

Рис. 207. Векторные диаграммы напряжений для схемы «звезда с нулевым проводом»

Следовательно,

U_л = 2U_ф cos 30° = 2U_ф (√3)/2 = √3 U_ф

Таким образом, в трехфазной системе, соединенной по схеме «звезда с нулевым проводом», линейное напряжение больше фазного в √З раз. Величина √З = 1,73 положена в основу шкалы номинальных напряжений переменного тока: 127, 220, 380 и 660 В. В этом ряду каждое следующее значение напряжения больше предыдущего в 1,73 раза.

В нулевом проводе проходит ток i0, мгновенное значение которого равно алгебраической сумме мгновенных значений токов, проходящих в отдельных фазах: i0 = iA+iB+iC.

Переходя от мгновенных значений токов к их векторам, имеем:

→i₀=→i_A+→i_B+→i_C.

Векторы токов →i_А, →i_В и →i_С сдвинуты относительно векторов соответствующих напряжений →u_A, →u_B, →u_С на углы →i_A, →i_B, →i_C (рис. 208, а). Значения этих углов зависят от соотношения между активным и реактивным сопротивлениями, включенными в данную фазу.

На этой же диаграмме показано сложение векторов →i_А, →i_В и →i_C для определения вектора тока →i₀. Обычно ток →i₀ меньше токов

Рис. 208. Векторные диаграммы напряжений и токов в отдельных фазах для схемы «звезда с нулевым проводом» при неравномерной (а) и равномерной (б) нагрузках фаз

I_A, 1_В и I_C в линейных проводах, поэтому нулевой провод имеет площадь поперечного сечения, равную или даже несколько меньшую площади сечения линейных проводов.

В схеме «звезда с нулевым проводом» приемники электрической энергии можно включать на два напряжения: линейное U_л (при подключении к двум линейным проводам) и фазное U_Ф (при подключении к нулевому и одному из линейных проводов).

Схема «звезда без нулевого провода».

При равномерной или симметричной нагрузке всех трех фаз, когда во всех фазах включены одинаковые активные и реактивные сопротивления (R_A =R_B = R_C и Х_A=Х_В=Х_С), фазные токи i_A, i_B и i_C будут равны по величине и сдвинуты от соответствующих фазных напряжений на равные углы. В этом случае получаем симметричную систему токов, при которой токи i_A, i_B, i_C будут сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол 120°, а ток i₀ в нулевом проводе в любой момент времени равен нулю (рис. 208,б).

Очевидно, что при равномерной нагрузке можно удалить нулевой провод и передавать электрическую энергию источника к приемнику по трем линейным проводам 1, 2 и 3 (рис. 209).

Рис. 209. Схема «звезда без нулевого провода»

Такая схема называется «звезда без нулевого провода». При трехпроводной системе передачи электрической энергии в каждое мгновение ток по одному (или двум) проводу проходит от источника трехфазного тока к приемнику, а по двум другим (или одному) протекает обратно от приемника к источнику (рис. 210).

Рис 210. Кривые изменения токов в линейных проводах (а) при трехпроводной системе и направление в них токов в различные моменты времени (б в, г)

Векторная диаграмма напряжений для схемы «звезда без нулевого провода» при равномерной нагрузке фаз будет такая же, как и для схемы «звезда с нулевым проводом» (см. рис. 207).

Такими же будут и соотношения между фазными и линейными токами и напряжениями:

I_л = I_Ф и U_л = √3 U_Ф

Следует отметить, что схема «звезда без нулевого провода» может быть применена только при равномерной нагрузке фаз. Практически это имеет место лишь при подключении к источникам трехфазного тока электрических двигателей, так как каждый трехфазный электродвигатель снабжен тремя одинаковыми обмотками, которые равномерно нагружают все три фазы.

При неравномерной нагрузке напряжения на отдельных фазах нагрузки будут различными. На некоторых фазах (с меньшим сопротивлением) напряжение уменьшится, а на других увеличится по сравнению с нормальным, что является недопустимым.

Практически неравномерная нагрузка фаз возникает при питании трехфазным током электрических ламп, так как в этом случае распределение тока между всеми тремя фазами не может быть гарантировано (отдельные лампы могут включаться и выключаться в индивидуальном порядке). Особенно опасны в схеме «звезда без нулевого провода» обрыв или короткое замыкание в одной из фаз.

Можно показать путем построения соответствующих векторных диаграмм, что при обрыве в одной из фаз напряжение в других двух фазах уменьшается до половины линейного, вследствие чего лампы, включенные в эти фазы, будут гореть с недокалом.

При коротком замыкании в одной из фаз напряжение в других фазах увеличивается до линейного, т. е. в √З раз, и все лампы, включенные в этих фазах, перегорят. Поэтому при схеме «звезда с нулевым проводом» во избежание разрыва цепи нулевого провода в ней не устанавливают предохранители и выключатели.

Задание
для расчета:

1. Нарисовать
   схему соединения для своего варианта
   задания.

2. Определить
   фазные напряжения ,
   ,
   .

3. Найти
   полные сопротивления фаз и фазные токи.

4. Рассчитать
   ток в нейтральном проводе.

5. Построить
   (в масштабе) векторную диаграмму (ВД)
   и определить ток в нейтральном проводе
   по ВД.

6. Определить
   активную, реактивную и полную мощность
   каждой фазы и всей трехфазной нагрузки.

Пример
расчета:

Таблица
5 – Исходные данные:

№ вар.	Uл В	Rа Ом	XLa Ом	XCa Ом	Rb Ом	XLb Ом	XCb Ом	Rc Ом	XLc Ом	XCc Ом
0	173	4	3	нет	8	нет	6	10	нет	нет

1. Схема
   соединения в соответствии с исходными
   данными

2.
Фазные напряжения

Будем
считать, что сопротивление нейтрального
провода мало. В этом случае смещение
нейтрали отсутствует независимо от
нагрузки отдельных фаз (.
Тогда действующие значения фазных
напряжений

В

Направим
вектор
по вещественной оси, тогда

,

,

.

3.
Полное сопротивление фазы “а” ,
угол φ_a
и фазный ток

;

;

Аналогично,

4.
Ток в нейтральном проводе

A

;

5.
Построение векторной диаграммы

На
комплексной плоскости строим три вектора
фазных напряжений – от точки “0” вдоль
вещественной положительной полуоси
откладываем вектор

в соответствующем масштабе. Далее от
вектора
под углом -120⁰
(в направлении движения часовой стрелки)
откладываем вектор .
Под углом 120⁰
(в направлении противоположном движению
часовой стрелки) строим вектор .

Относительно
вектора
строим в масштабе вектор фазного тока

по его вещественной и мнимой составляющим.
Аналогично, строим в масштабе фазные
токи
и .

Векторная
сумма фазных токов определяет ток в
нейтральном проводе .

П
ример
построения векторной диаграммы для
данной задачи представлен на рисунке
5.3.

Рисунок
5.3 – Векторная диаграмма

6.
Мощности в отдельных фазах приемника
вычисляются по комплексам напряжений
и токов:

ВА

ВА

ВА

Полная
мощность цепи

Таблица
6 – Варианты заданий для расчета
трехфазной цепи

При соединении нагрузки звездой с нейтральным

проводом
(задание для расчета приведено на стр.
39)

№ вар.	Uл В	Rа Ом	XLa Ом	XCa Ом	Rb Ом	XLb Ом	XCb Ом	Rc Ом	XLc Ом	XCc Ом
1	173	3	4	нет	8	нет	6	4	нет	3
2	173	8	нет	6	3	4	нет	нет	нет	10
3	173	5	нет	нет	6	нет	8	4	3	нет
4	173	нет	10	нет	3	нет	4	нет	нет	5
5	173	нет	нет	5	8	6	нет	3	нет	4
6	173	4	3	нет	нет	10	нет	6	нет	8
7	173	6	нет	8	нет	нет	5	4	3	нет
8	173	10	нет	нет	4	3	нет	6	нет	8
9	173	нет	5	нет	6	8	нет	4	нет	3
10	173	нет	нет	10	4	нет	3	нет	5	нет
11	173	6	8	нет	8	нет	6	нет	10	нет
12	173	4	нет	3	нет	5	нет	6	8	нет
13	173	10	нет	нет	нет	нет	5	3	4	нет
14	173	нет	5	нет	нет	нет	10	8	6	нет
15	173	нет	нет	10	нет	5	нет	4	нет	3
16	173	6	8	нет	нет	10	нет	нет	нет	5
17	173	4	нет	3	6	8	нет	нет	10	нет
18	173	10	нет	нет	4	нет	3	нет	5	нет
19	173	нет	5	нет	6	нет	8	4	3	нет
20	173	нет	нет	10	3	4	нет	5	нет	нет
21	173	8	6	нет	нет	нет	10	3	нет	4
22	173	3	нет	4	8	6	нет	4	нет	3
23	173	10	нет	нет	3	4	нет	нет	нет	5
24	173	нет	5	нет	6	8	нет	нет	нет	10
25	173	нет	нет	10	4	нет	3	6	8	нет
26	173	4	3	нет	6	нет	8	нет	нет	5
27	173	6	нет	8	нет	10	нет	4	нет	3
28	173	10	нет	нет	нет	5	нет	8	нет	6
29	173	нет	5	нет	3	нет	4	10	нет	нет
30	173	нет	нет	10	8	6	нет	3	4	нет

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Понятия «звезда» и «треугольник» неразрывно связаны с системами трёхфазного переменного тока, и начинающие электрики или люди далёкие от электричества не понимают значения этих слов и практического различия этих параметров. В этой статье мы поговорим о том, что такое звезда и треугольник в электродвигателе.

Теория и схемы

Чтобы избежать путаницы давайте рассматривать этот вопрос на примере трёхфазного асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором как самого распространенного из электрических машин в быту и на производстве. Как правило, у такого двигателя 3 обмотки, также встречаются многоскоростные двигатели и там количество обмоток больше трёх, но кратное этому числу.

У каждой обмотки есть начало и конец, а на схеме начало обмотки обычно обозначается точкой.

Но питающих провода в трёхфазной сети у нас 3 или 4. Отсюда возникает вопрос: «Как правильно соединить шесть концов обмоток с тремя питающими проводами?». Вот здесь как раз и всплывают эти «геометрические фигуры» — звезда и треугольник.

Итак, звезда и треугольник – это названия схем соединения потребителей в трёхфазной электросети как обмоток электродвигателей, трансформаторов, так и любой другой нагрузки.

«Звезда»

При соединении обмоток звездой к началам обмоток присоединяют питающие провода (на схемах обозначены цветами), а концы обмоток соединяют между собой в одну точку, при этом подключение нулевого проводника в точку соединения концов обмоток необязательно так как это симметричная нагрузка. В свою очередь, точка соединения концов обмоток также называется нейтралью.

Есть два варианта представления этого соединения на электрических схемах, как в наглядном виде, действительно напоминающем трёхлучевую звезду (А), так и в более классическом для схем представлении (Б). Вас не должно смущать это отличие, когда вы читаете схему.

«Треугольник»

По схеме треугольника начало следующей и конец предыдущей обмотки соединяются между собой, то есть: конец первой обмотки соединяется с началом второй, конец второй обмотки соединяется с началом третьей, а конец третьей с началом первой обмотки, а питающие провода подключаются к точкам соединения обмоток.

Итого у нас получается три точки соединения начал и концов обмоток и, соответственно, возможно подключение только трёх питающих фазных проводов без нулевого.

На схеме такое соединение также может быть нарисовано по-разному — наглядным и похожим на треугольник, или в горизонтальном или вертикальном исполнении.

Если говорить о подключении другой нагрузки, не относящейся к трансформаторам и электроприводу, то понятия «начало» и «конец» там нет, поэтому провода подключаются произвольно, но с сохранением логики соединения этих схем.

Мощность, ток и напряжение

Всем известно, что в электросети есть два напряжения: фазное — 220В и линейное — 380В. Здесь линейное напряжение больше фазного в 1.73 раза (корень квадратный из 3). Дело в том, что вторичная обмотка питающего трансформатора соединяется звездой и между фазой и нейтралью получаются те самые 220В, а между двумя разноименными фазами — 380В.

Но это справедливо не только для питающей сети, но и при распределении напряжения между потребителями. Поэтому давайте рассмотрим подробнее схему соединения обмоток звездой — как в ней распределяются токи и напряжения.

Как мы уже отметили выше в «звезде» есть два напряжения — фазное (Uф) и линейное (Uл), и при этом они соотносятся следующим образом:

Uл=1,73*Uф

Токи также бывают фазными и линейными, и в схеме звезды они равны.

Iл=Iф

В «треугольнике» дела обстоят подобным образом, но здесь, наоборот — линейное (Uл) и фазное (Uф) напряжения равны, но при этом линейный ток превышает фазный в 1,73 раза.

Uл=Uф

Iл=1,73*Iф

На рисунке выше важно выделить, что при соединении обмоток звездой на каждую обмотку приходится напряжение в 1.73 раза меньше линейного напряжения в питающей сети, то есть для 380В – 220, для 220В – 127, для 660 — 380 вольт. Запомните это, чуть позже мы вернемся к этому вопросу.

Формулы мощности для цепей соединенной по схеме звезды и по схеме треугольника не отличаются.

· полная S = 3*Sф = 3*(Uл/√3)*I = √3*Uл*I;

· активная P = √3*Uл*I*cos φ;

· реактивная Q = √3*Uл*I*sin φ.

Практика – для чего нужны эти схемы

Большинство электриков работают с электрическими сетями напряжением 220/380 вольт, поэтому давай рассмотрим, какую схему соединения обмоток выбрать для подключения электродвигателя к такой электросети.

Трёхфазные асинхронные двигатели по способу подключения к электросети условно можно разделить на 2 больших группы: с возможностью изменения схемы соединения обмоток и без неё.

В первом случае на клеммник в брно электродвигателя выведено 6 проводов, и вы можете, в зависимости от напряжения в электросети, к которой подключаете выбрать нужную схему соединения обмоток.

При этом обмотки соединяются в ту или иную схему с помощью медных шинок (или перемычек из провода, если шины потеряли), клеммы расположены таким образом, что с помощью всего трёх перемычек может быть собрана нужная схема (см. рисунок ниже).

Хоть и это должен помнить и знать каждый электрик, тем не менее производители зачастую отливают либо же клеят этикетку с указанием положения перемычек для каждой из схем на крышке брно.

Если же в брно выведено всего 3 провода, то обмотки двигателя уже соединены по какой-то схеме внутри его корпуса, и для переключения звезды и треугольника нужно вскрывать корпус, искать концы обмоток, разъединять их и соединять так, как вам нужно. Но это скорее процедура из «народного хозяйства», нежели часто встречающаяся производственная необходимость.

Какую схему выбрать и какая лучше?

Итак, как соединить обмотки звездой и треугольником мы разобрались, но здесь как раз и начинается «все самые интересные вопросы», причем эти вопросы у людей возникают чаще всего либо при подключении трёхфазного двигателя к однофазной сети, либо при подключении двигателя к частотному преобразователю с однофазным входом и линейными 220В на выходе и в других ситуациях.

Возможность изменения схемы соединения обмоток нужна для того, чтобы один и тот же двигатель мог эксплуатироваться в электросетях с различным напряжением.

Какую схему лучше выбрать? Вопрос не корректный, нужно соединять обмотки в ту схему, номинальное напряжение которой соответствует напряжению в электросети. Эта информация указана на шильдике электродвигателя.

Если на шильдике вашего двигателя указано как на фото выше «Δ/Y 220/380» – это значит что если линейное напряжение в питающей сети 220В – нужно соединять обмотки треугольником, если 380В – звездой. Если вы будете его подключать к однофазной сети 220В с конденсаторами – обмотки также соединяются треугольником.

Если на шильдике указано только одно напряжение и значок схемы (см. рисунок ниже), то возможности изменить схему соединения нет, и в брно, скорее всего, выведено будет 3 провода.

Встречаются и двигатели, которые в сети 380В работают, соединенными по схеме треугольника, схема звезды в этом случае рассчитана на работу в сети 660В, что вы можете наблюдать на следующей фотографии.

Но зачастую такие двигатели используются для пуска с переключением со звезды на треугольник, это делают для понижения пусковых токов.

660В – это линейное напряжение в схеме звезды, а 380В – фазное, то есть каждая из обмоток такого двигателя рассчитана на 380В. Это наглядно показано на рисунке «Распределение токов и напряжений между элементами цепи схемах звезды и треугольника» приведенного в первой половине статьи.

В этом случае напряжение 380В подаётся сначала на обмотки соединенные по схеме звезды, так как номинальное напряжение для этой схемы 660В двигатель в момент пуска питается от пониженного напряжения и к каждой из обмоток прикладывается всего по 220В.

Когда обороты двигателя возрастают, происходит переключение на треугольник. И уже к каждой обмотке прикладываются их номинальные 380В.

Схема подключения электродвигателя с переходом со звезды на треугольник при пуске

Что будет если перепутать звезду и треугольник?

Чтобы ответить на этот вопрос вспомним формулы мощности трёхфазной нагрузки:

· полная S = 3*Sф = 3*(Uл/√3)*I = √3*Uл*I;

· активная P = √3*Uл*I*cos φ;

· реактивная Q = √3*Uл*I*sin φ.

Для упрощения представим, что у нас есть сеть с каким-то определенным напряжением, пусть это будет 220/380 вольт, а также есть 3 лампы накаливания с номинальным напряжением 220В. И еще раз посмотрим на рисунок с распределением напряжений и токов в звезде и треугольнике.

Так как линейное напряжение у нас 380В, а в «звезде» фазное в 1.73 раза ниже линейного, то делаем вывод, что для работы в номинальном режиме нужно подключить эти лампочки звездой, тогда к каждой из них будет приложено 220В.

Теперь соединим их в треугольник, и что получится? Первое что бросается в глаза – к каждой лампе приложено уже 380В вместо 220В номинальных.

Несложно догадаться, что в этом случае наши лампочки просто сгорят, то же самое произойдет и с обмоткой двигателя.

Что при этом происходит с мощностью?

Если питающее напряжение и нагрузка неизменны, то при переключении со звезды на треугольник мощность, выделяемая на этой самой нагрузке, возрастёт в 3 раза. Это происходит потому, что напряжение на каждой лампе увеличилось в 1.73 раза, за ним настолько же вырос и ток.

Формулы для вычисления мощности в обоих случаях одинаковые, но цифры в них различаются, давайте проведем 1 расчет для примера.

Допустим, ток нагрузки в схеме звезды у нас был 1А, тогда полная мощность в звезде равна:

S = √3*Uл*Iл;

S=1.73*380В*1А=657,4 ВА

При этом мощность одной лампы в этом случае равна 220 ВА.

В треугольнике к каждой лампе приложено напряжение в 1.73 раза выше – 380В, соответственно и ток через лампу (фазный ток) возрастет на столько же. При этом не забывайте, что линейный ток в звезде и так будет в 1.73 раза больше, чем фазный. Найдем полную мощность по трём фазам:

S=√3*Uл*Iл=1.73*380В*(1.73А*1.73) = 1.73*380В*3А=1972 ВА

А на одной лампе выделится мощность равная:

W=380В*1.73А=657 ВА

Но это не значит, что при соединении по схеме треугольника двигатель будет выдавать в 3 раза большую мощность, при питании от номинального для этой схемы напряжения двигатель будет выдавать свою номинальную мощность.

Небольшое отступление от автора — я неоднократно сталкивался с фразами на форумах типа «на треугольнике двигатель работает мягче», «на звезде лучше тянет» или подобные. Однако эти фразы не несут за собой подкрепления какими-либо техническими или научными комментариями. И мне так и не удалось найти, откуда это пошло и почему, никто объяснить так и не смог (если вы можете аргументировано ответить о причинах таких высказываний – пишите об этом в комментариях, интересно почитать).

Алексей Бартош специально для ЭТМ