Как найти нули функции неравенства

Рациональным называется неравенство, в левой и правой частях которого — рациональные выражения.

Содержание:

Задача:

Лодка прошла по течению реки 5 км и вернулась обратно, затратив на весь путь не больше 1 ч. Какова наименьшая возможная скорость лодки, если скорость течения реки равна

Решение:

Обозначим через

По условию задачи на весь путь лодка затратила не больше 1 ч. Составим математическую модель:

Полученное в ходе решения задачи неравенство является рациональным.

Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств

Рассмотрим один из методов решения рациональных неравенств — метод интервалов. Этот метод основан на использовании графика функции.

Предположим, что нужно решить неравенство где — функция, график которой изображен на рисунке 80. Тогда для решения неравенства достаточно указать значения аргумента, при которых значения функции неотрицательны, т. е. при которых график функции лежит не ниже оси абсцисс. Это промежутки [-6; -2] и [2; 8]. Следовательно, все решения неравенства — это все

Рис. 80

Рис. 81

значения переменной принадлежащие объединению множеств

Заметим, что такие же решения имеет неравенство — функция, график которой изображен на рисунке 81, так как значения функции неотрицательны при тех же значениях переменной, что у функции .

Таким образом, для применения метода интервалов к решению неравенства достаточно построить схему графика функции, на которой отражены только некоторые (необходимые для решения неравенства) свойства функции, а именно ее область определения, нули и промежутки знакопостоянства.

Примеры с решением

Пример №1

Решите неравенство

Решение:

Рассмотрим функцию Построим схему графика этой функции, по которой определим ее промежутки знакопостоянства. Для этого найдем точки пересечения графика с осью абсцисс, т. е. нули этой функции: при

Отметим нули функции на оси абсцисс (рис. 82). Так как данное неравенство строгое, то нули функции отметим на оси пустыми точками.

Нули функции разбили ось на четыре промежутка. Определим, выше или ниже оси абсцисс расположен график функции в каждом из полученных промежутков.

Поскольку правее точки 4 каждый из трех множителей произведения принимает положительные значения, то при график функции расположен выше оси абсцисс.

При переходе через каждую из отмеченных точек знак функции а значит, и положение графика относительно оси абсцисс меняется, так как меняется знак одного из множителей.

Построим схему графика функции (рис. 83).

Рис. 83

При построенная кривая лежит ниже оси абсцисс. Это объединение интервалов является множеством решений данного неравенства.

Ответ:

Пример №2

Решите неравенство

Решение:

Рассмотрим функцию Найдем ее нули: при Так как неравенство нестрогое, то нули функции являются решениями данного неравенства, поэтому включим их во множество решений неравенства и отметим на оси абсцисс закрашенными точками (рис. 84).

Затем определим положение графика функции в каждом из четырех полученных промежутков. Правее точки 3 каждый из трех множителей произведения принимает положительные значения, значит, график функции расположен выше оси абсцисс. При переходе через точки 3 и 2 положение графика меняется, так как меняется знак одного из множителей или При переходе через точку -9 положение графика не меняется, так как множитель принимает неотрицательные значения при всех

Рис. 84

Построим схему графика функции (см. рис. 84) и запишем решение неравенства в соответствии с его знаком:

Ответ:

Если во множителе число — четное, то при переходе через точку а положение графика относительно оси абсцисс не меняется, а если число — нечетное, то меняется.

Пример №3

Решите неравенство

Решение:

Рассмотрим функцию

Отметим на оси абсцисс нули этой функции (числа -3 и 1) и те значения переменной, которые не входят в область определения функции (это числа -2 и 4 – значения переменной, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (нули знаменателя) (рис. 85).

Рис. 85

Рис. 86

Так как неравенство нестрогое, то нули функции являются решениями неравенства (на оси абсцисс — закрашенные точки -3 и 1). Нули знаменателя не являются решениями неравенства (на оси абсцисс — пустые точки -2 и 4).

Построим схему графика (рис. 86). Положение графика относительно оси абсцисс меняется при переходе через каждую точку. По схеме графика в соответствии со знаком неравенства запишем его решение:

Ответ:

Для того чтобы решить рациональное неравенство методом интервалов, нужно:

1. Привести неравенство к виду или
2. Найти и отметить на оси абсцисс нули функции и те значения переменной, при которых значения функции не существуют (нули знаменателя).
3. Построить схему графика функции.
4. Записать ответ в соответствии со знаком неравенства.

Решите неравенство

Решение:

(1) Неравенство имеет вид где

(2)

(3)

(4) Ответ:

Пример №4

Решите неравенство

Решение:

(1) Неравенство имеет вид где

(2) Найдем нули функции (числа 0; 2) и, поскольку знак неравенства строгий, отметим их на оси абсцисс пустыми точками. Найдем значение переменной, при котором значения функции не существуют, — нуль знаменателя (число -1) и отметим его на оси абсцисс пустой точкой (рис. 87).

(3) Построим схему графика функции, при этом учтем, что при переходе через точку -1 положение графика относительно оси не меняется, а при переходе через точки 0 и 2 меняется (рис. 88).

(4) Ответ:

Для того чтобы положение графика в первом правом промежутке было выше оси абсцисс, нужно умножением обеих частей неравенства на -1 добиться положительных коэффициентов перед переменной в линейных множителях.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Решите неравенство

Решение:

Для того чтобы все коэффициенты перед переменными в линейных множителях были положительными, умножим обе части неравенства на -1 и получим неравенство

(1) Неравенство имеем вид где

(2) Найдем нули функции (числа 3 и 4) и, поскольку знак неравенства нестрогий, отметим их на оси абсцисс закрашенными точками. Найдем значение переменной, при котором значение функции не существует (число -1), и отметим его на оси абсцисс пустой точкой (рис. 89).

Рис. 89

Рис. 90

(3) Построим схему графика функции, при этом учтем, что при переходе через точку 4 положение графика относительно оси не меняется, а при переходе через точки -1 и 3 меняется (рис. 90).

(4) Ответ:

Пример №6

Какие из следующих неравенств являются рациональными:

а)

б)

в)

г)

Решение:

Неравенства а), б), г) — рациональные, так как в левой и правой частях этих неравенств — рациональные выражения. Неравенство в) не является рациональным, так как содержит иррациональные выражения с переменной.

Пример №7

Решите неравенство:

а)

б)

Решение:

а) (1) Неравенство имеет вид , где

(2) Нулями функции являются числа -8; —1 и 2. Поскольку знак неравенства строгий, отметим их на оси абсцисс пустыми точками.

(3) Построим схему графика функции. При переходе через каждую из точек -8; -1 и 2 положение графика относительно оси меняется.

(4) Ответ:

б) Умножим обе части данного неравенства на -1 и получим неравенство которое запишем в виде Нулями функции являются числа -3; 1 и 3. Так как знак неравенства нестрогий, то на оси абсцисс числа -3; 1 и 3 отметим закрашенными точками. Построим схему графика функции.

При переходе через точку 1 положение графика относительно оси не меняется, а при переходе через точки -3 и 3 — меняется.

Ответ:

Пример №8

Решите неравенство:

а)

б)

Решение:

а) Нулями функции являются числа -2,5 и 7. Так как знак неравенства нестрогий, то отметим их на оси абсцисс закрашенными точками. Нулем знаменателя является число -4. Отметим его пустой точкой. Построим схему графика функции.

Ответ:

б) Умножим обе части неравенства на и получим неравенство Нулями функции являются числа 1 и 4. Так как знак неравенства нестрогий, то отметим их на оси абсцисс закрашенными точками. Нулем знаменателя является число -2. Отметим его пустой точкой. Построим схему графика функции. При переходе через точку 4 положение графика относительно оси не меняется.

Ответ:

Пример №9

Решите неравенство

Решение:

Запишем неравенство в виде:

Нулем функции является число -2,75. Так как знак неравенства строгий, то отметим его на оси абсцисс пустой точкой. Нулем знаменателя является число 2. Отметим его на оси абсцисс пустой точкой. Построим схему графика функции.

Ответ:

Пример №10

Решите неравенство

Решение:

Приведем неравенство к виду:

Отметим на оси абсцисс нуль функции

т. е. и те значения переменной, при которых значения функции не существуют: х = 2 и х = 3. Построим схему графика функции.

Ответ:

Пример №11

Найдите область определения функции

Решение:

Так как функция определена для , то решим неравенство Данное неравенство равносильно неравенству

Для нахождения нулей функции используем условие равенства дроби нулю:

При значение функции не существует. Построим схему графика функции. При переходе через точку 4 положение графика относительно оси не меняется, так как множитель входит и в числитель, и в знаменатель, а при переходе через точки 0 и 3 положение графика меняется.

Пример №12

Решите систему неравенств

Решение:

Отметим на оси абсцисс множество решений первого неравенства системы.

Отметим на этой же оси множество решений второго неравенства системы.

Найдем пересечение множеств решений.

Ответ:

Пример №13

Найдите решение совокупности неравенств

Решение:

Отметим на оси абсцисс множество решений первого неравенства совокупности.

Отметим на этой же оси множество решений второго неравенства совокупности.

Найдем объединение множеств решений.

Ответ:

Прежде чем перейти к изучению темы «Нули функции»
внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

В заданиях «Найдите нули функции» чаще всего сама функция задана через формулу

(аналитически). Разберем алгоритм решения

подобных задач.

Как найти нули функции, заданной формулой

По традиции разберемся на примере.

Разбор примера

Найдите нули функции:

Подставим вместо значения функции « f(x) » ноль.

0 = 0,2x + 3

Решаем полученное линейное уравнение
и записываем полученный ответ
для « x ».

Перенесем неизвестное « 0,2x » из правой части уравнения в левую с
противоположным
знаком.

Переведем десятичную дробь «0,2» в
обыкновненную для упрощения дальнейших расчетов.

Ответ: x = −15 является нулем
функции    f(x) = 0,2x + 3

Разбор примера

Найдите нули функции:

Вместо « f(x) » подставим ноль.

Вынесем общий множитель
« x » за скобки.

В левой части полученного уравнения у нас два множителя:
« x »
и «(x ² − 4)». Результат их умножения равен нулю.

Это возможно, когда любой
из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим оба варианта: когда множитель
« x » равен нулю и когда множитель «(x ² − 4)»
равен нулю.

Решаем квадратное уравнение
«x ² − 4 = 0».
Используем формулу
для решения квадратного уравнения с дискриминантом.

Запишем все полученные корни уравнений в ответ в порядке возрастания. Они будут являться нулями функции.

Ответ: x = −2; x = 0; x = 2 являются нулями функции
   f(x) = x ³ − 4x

Разбор примера

Найдите нули функции:

Подставим вместо « h(x) » ноль.

Перенесем правую часть

в левую, изменив ее знак на минус.

Единственный вариант, когда дробь будет равна нулю, только если
ее числитель
«x ² − x − 6» будет равен нулю. Знаменатель
«x + 3» не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Решим полученное квадратное уравнение через формулу с дискриминантом.

Ответ: x = −2; x = 3 являются нулями функции   

h(x) =

Разбор примера

Найдите нули функции:

Заменим «f(x)» на ноль.

Единственное число, квадратный корень которого равен нулю — это сам ноль.
Поэтому, квадратный корень
«√ x ² − 4 = 0 »

будет равен нулю, когда его подкоренное выражение
« x ² − 4 »
будет равно нулю.

Осталось решить полученное квадратное уравнение, чтобы найти нули функции
«f(x) = √x ² − 4».

Ответ: x = −2; x = 2 являются нулями
функции   f(x) = √x ² − 4

Как найти нули функции на графике функции

По определению
нули функции — это значения « x »,
при которых
« y = 0 ». Другими словами, у точек
графика функции, которые являются нулями функции,
координата « x » равна нулю.

Чтобы найти нули функции на графике
нам остается, только найти, какая у них
координата
по оси « Ox ».

Рассмотрим на примере.

Разбор примера

На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график,
найдите нули функции.

Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».

Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B».
В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает
ось

« Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B»
по оси « Oy »
равны нулю.

Точки «(·)А» и «(·)B»
— нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».

На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна
« 0 », а у точки «(·)B» координата « x » равна
« 2 ».

Запишем полученные значения координат « x » в ответ.

Ответ: x = 0; x = 2 являются нулями функции.

Как найти нули функции, заданной таблицей

В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы,
а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.

Разбор примера

Найдите нули функции, заданной таблицей.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−3	−1,5	0	2	1	0

Вспомним определение нулей функции.

Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице,
где
« y = 0 ». Выделим их цветом.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−3	−1,5	0	2	1	0

Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.

Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Метод интервалов, примеры, решения

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f ( x ) 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , > или ≥ ). Здесь f ( x ) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

• произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х ;
• произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

( x + 3 ) · ( x 2 − x + 1 ) · ( x + 2 ) 3 ≥ 0 ,

( x – 2 ) · ( x + 5 ) x + 3 > 0 ,

( x − 5 ) · ( x + 5 ) ≤ 0 ,

( x 2 + 2 · x + 7 ) · ( x – 1 ) 2 ( x 2 – 7 ) 5 · ( x – 1 ) · ( x – 3 ) 7 ≤ 0 .

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

• находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
• определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
• определяем знаки выражения f ( x ) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
• наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или ≥ , то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком « + ».

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале ( a , b ) , на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей ( − ∞ , a ) и ( a , + ∞ ) .

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x – 5 x + 1 > 0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: ( − ∞ , − 1 ) , ( − 1 , 5 ) и ( 5 , + ∞ ) .

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток ( − ∞ , − 1 ) . Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t − 1 , и так как − 1 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t 5 .

Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t + 1 0 и t − 5 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке ( − ∞ , − 1 ) .

Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t – 5 t + 1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x – 5 x + 1 будет положительным при любом значении x из промежутка ( − ∞ , − 1 ) . Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак « + ».

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.

Рассмотрим дробь x · ( x – 0 , 6 ) x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 . Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x · ( x − 0 , 6 ) = 0 и x 7 · ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 · ( x + 5 ) 3 = 0 .

В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x = 0 и x − 0 , 6 = 0 , что дает нам два корня 0 и 0 , 6 . Это нули числителя.

Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x 7 = 0 , ( x 2 + 2 · x + 7 ) 2 = 0 , ( x + 5 ) 3 = 0 . Проводим ряд преобразований и получаем x = 0 , x 2 + 2 · x + 7 = 0 , x + 5 = 0 . Корень первого уравнения 0 , у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения – 5 . Это нули знаменателя.

0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.

Определение знаков на интервалах

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Возьмем неравенство x 2 – x + 4 x + 3 ≥ 0 . Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число – 3 . Получаем два промежутка на числовой прямой ( − ∞ , − 3 ) и ( − 3 , + ∞ ) .

Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x 2 – x + 4 x + 3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.

Из первого промежутка ( − ∞ , − 3 ) возьмем − 4 . При x = − 4 имеем ( – 4 ) 2 – ( – 4 ) + 4 ( – 4 ) + 3 = – 24 . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком « – ».

Для промежутка ( − 3 , + ∞ ) проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При x = 0 имеем 0 2 – 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак « + ».

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак « + ».

Теперь обратимся к примерам.

Возьмем неравенство ( x – 2 ) · ( x – 3 ) 3 · ( x – 4 ) 2 ( x – 1 ) 4 · ( x – 3 ) 5 · ( x – 4 ) ≥ 0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2 , 3 , 4 , знаменателя точки 1 , 3 , 4 . Отметим их на оси координат черточками.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток ( 4 , + ∞ ) будет знак + .

Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4 . Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения ( x − 4 ) 2 и x − 4 . Сложим их степени 2 + 1 = 3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале ( 3 , 4 ) будет знак минус.

Переходим к интервалу ( 2 , 3 ) через точку с координатой 3 . Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям ( x − 3 ) 3 и ( x − 3 ) 5 , сумма степеней которых равна 3 + 5 = 8 . Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.

Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х – 2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.

У нас остался последний интервал ( − ∞ , 1 ) . Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения ( x − 1 ) 4 , с четной степенью 4 . Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:

Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения

x + 3 – 3 4 3 · x 2 + 6 · x + 11 2 · x + 2 – 3 4 ( x – 1 ) 2 · x – 2 3 5 · ( x – 12 )

в любой точке интервала 3 – 3 4 , 3 – 2 4 .

Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.

Метод интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида .

, где и — корни квадратного уравнения .

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и – выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и – закрашены, так как неравенство нестрогое. При и наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось на промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным – либо “плюс”, либо “минус”.

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из “скобок” отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

. Возьмем . При выражение положительно – следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При левая часть неравенства отрицательна.

И, наконец, 7′ alt=’x>7′ /> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая “скобочка” положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

(в левой части – дробно-рациональная функция, в правой – нуль).

Затем – отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого – записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

Снова расставляем точки на оси . Точки и – выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка – тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при 3′ alt=’x>3′ /> все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку “ответственный” за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю – следовательно, эта точка является решением.

В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Квадратный трехчлен на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно – положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

– которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание – мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину – знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

И после этого – применим метод интервалов.

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/metod-intervalov/

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/metod-intervalov/

[/spoiler]

Цели:

1. Обобщить использование метода интервалов для решения неравенств,
2. Показать широкие возможности этого метода для решения неравенств, содержащих переменные под знаком log, , и тригонометрические функции.

Мы будем рассматривать неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций.

Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей.

Рис.1

Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при переходе через нуль функции, причём справа от нуля знак функции совпадает со знаком углового коэффициента.

Рис.2

Квадратный трёхчлен с D>0 при переходе через каждый нуль функции меняет свой знак, причём правее большего корня знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента. [1]

Эти соображения приводят к следующей схеме решения неравенства:

Пример 1:[1]

1. Найдём нули числителя: , , .
2. Найдём нули знаменателя: .
3. Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:

Рис. 3

На самом правом из них знак каждого сомножителя совпадает со знаком его старшего коэффициента:

Следовательно, дробь на этом промежутке тоже отрицательна.

1. При переходе через каждый из отмеченных нулей, один и только один из сомножителей меняет знак, и поэтому каждый раз меняется знак дроби. Учитывая это, расставляем в интервалах знаки (как показано на Рис.3).
2. Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна.
3. Записываем ответ: .

В рассмотренном примере 1, знаки в промежутках знакопостоянства функции чередуются. Однако делать обобщение, что так будет происходить всегда, разумеется, не следует.

Пример 2:

1. нули числителя:
   

   -2 – нуль второй кратности

2. нули знаменателя:
   
3. наносим найденные нули на числовую ось, т.к. неравенство не строгое, то нули числителя изображаем заштрихованными точками, а нуль знаменателя мы выкалываем, т.к. это число не входит в область определения неравенства:

Рис.4

Обозначим нуль второй кратности галочкой, чтобы не забыть. Т.к. числитель всегда принимает положительные значения, то на правом крайнем промежутке знак будет зависеть от знака старшего коэффициента знаменателя, т.е. «+». Левее «1» знаменатель будет отрицательным, а числитель положительным, поэтому при переходе через число -2 знак не меняется:

Рис.5

Это поможет понять следующая геометрическая картинка (Рис.6):

Рис.6

1. Для записи ответа выбираем промежуток, где стоит знак «+» и заштрихованную точку , при которой дробь обращается в нуль.
   Ответ:

Вывод: при переходе через нуль чётной кратности, знак не меняется.

Решить по вариантам, с последующим обсуждением у доски.

I вариант

Пример 3:

1. нули числителя:
   
   ;

1. нули знаменателя:
   
   ;
   – нуль второй кратности

Рис.7

Ответ:

II вариант

Пример 4:

1. нули числителя:
   – нуль второй кратности
2. нули знаменателя:
   
   ;
   – нуль третьей кратности

Рис.8

Ответ:

Применение метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.

Универсальность метода основана на достаточно наглядном свойстве непрерывных функций: «Если на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».

Пример 5: [1] ,

Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всей оси, а на области определения логарифмической функции, т.е. на промежутке (*):

1. нули числителя:
   
   ; – не входит в (*)
2. нули знаменателя:
   
   ;

Рис. 9

1. на самом правом промежутке
   , ,

Следовательно на этом промежутке левая часть неравенства отрицательна

1. при переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках.

Ответ: .

Пример 6:

1. нули числителя:
   
   
   корней нет
   
2. нули знаменателя:
   
3. решение изображаем на рис. 10:

Рис.10

Квадратный трёхчлен в числителе не имеет корней и не меняет свой знак. Его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, т.е. «+».

Ответ:.

Пример 7: ОДЗ:

Приведём неравенство к такому виду, чтобы в правой части был «0»:

1. нули числителя:
   
   

;;;

1. нули знаменателя:
   
2. решение изображаем на рис. 11:

Рис.11

Ответ:.

Пример 8:

ОДЗ:

Рис.12

1. нули числителя:
   
2. нули знаменателя:
   

, но ОДЗ удовлетворяет только

1. решение изображаем на рис. 13:

Рис.13

Ответ:.

Задание на дом: (Решение предоставлено в Приложении1)

1. Ответ:.
2. Ответ:.
3. Ответ:.
4. Ответ: .
5. Ответ:.

Задания для факультативный занятий предоставлены в Приложении2.

Вывод: Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, а так же их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в своей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять при решении практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения.

Список литературы:

[1] “Метод интервалов” //Журнал “Квант” No12, 1985 г.

Определение

Методом интервалов решают неравенства вида:

(х – х₁)(х – х₂)….(х – х_n)>0 или (х – х₁)(х – х₂)….(х – х_n)<0,

где х₁, х₂, …, х_n – не равные друг другу числа, х – переменная. Также в неравенствах могут быть использованы знаки  ≤ или ≥. Данный вид записи неравенства будем называть – стандартный.

Для решения данного вида неравенств используется свойство чередования знаков функции f(x)=(х – х₁)(х – х₂)….(х – х_n), где числа х₁, х₂, …, х_n называются нулями функции. Эти нули функции разбивают область определения (она представляет собой любое число, т.е. промежуток чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности) на промежутки, в каждом из которых знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется. Данные промежутки называют интервалами, а решение неравенств данным способом – методом интервалов.

Для начала решения неравенство должно быть представлено в стандартном виде. Рассмотрим решение такого вида неравенств методом интервалов на примерах.

Пример №1. Решить неравенство:

(х–1)(х+5)(х–8)>0

Найдем нули функции: для этого возьмем из каждой скобки данные числа с противоположными знаками, поэтому имеем х₁=1, х₂=–5, х₃=8. Данные числа разбивают область определения на промежутки (−∞;−5);(−5;1);(1;8);(8;+∞). Удобно показать их на координатном луче, помня о том, что неравенство по условию строгое, значит, точки будут «выколотые»:

Теперь посмотрим, как расставить знаки в промежутках. Начнем справа, возьмем из этого промежутка любое число, например, 9 и подставим его в наше неравенство:

(9–1)(9+5)(9–8)=8×14×1>0,

то есть получили, что произведение – положительное число, поэтому ставим знак «плюс»; теперь берем число из промежутка (1;8), например, 5 и также подставим в неравенство для определения знака произведения:

(5–1)(5+5)(5–8)=4×10×(–3)<0

Значит, ставим в данном промежутке знак «минус». Также поступаем со следующим промежутком, возьмем число 0, подставим и получим, что произведение будет положительным, ставим знак «плюс». И аналогично ищем знак последнего промежутка, он будет «минус». Из рисунка видно, что знаки чередуются, поэтому надо запомнить, чтобы не проверять знак каждого промежутка, можно просто справа налево расставить знаки чередованием, начиная со знака «плюс». Для записи ответа возьмем промежутки, в которых стоит знак «плюс», так как в условии стоит знак «>».

Ответ: (−5;1)∪(8;+∞).

Пример №2. Решить неравенство:

х(х – 6)≤0

В данном случае мы видим, что есть отличие от неравенства стандартного вида. Но помним, что в случае сложения или вычитания переменной х и нуля мы получим переменную х, т.е. неравенство могло выглядеть так:

(х±0)(х – 6)≤0

Значит, одним из нулей функции будет число нуль. Итак, имеем нули функции 0 и 6. Ставим их на числовом луче, помня о том, что точки будут «приколотые», расставляем знаки путем чередования справа налево:

Записываем ответ в соответствии с условием (знак ≤), т.е. выбираем промежуток со знаком «минус».

Ответ: [0; 6]

Пример №3. Решить неравенство:

(х+11)(4 – х)(x+2)<0

В данном случаем мы видим отличие от записи неравенства стандартного вида во втором произведении, т.е. в (4 – х). Поэтому для начала надо привести неравенство к стандартному виду, для этого вынесем за скобки минус единицу –1(х+11)(х – 4)(x+2)<0, а теперь разделим обе части неравенства на эту минус 1, поменяв знак неравенства на противоположный:

(х+11)(х – 4)(x+2)>0

Именно это неравенство будем решать. Итак, нули функции – это –11, 4 и –2. Расставляем их на числовом луче и расставляем знаки путем чередования, получим:

Ищем промежутки, соответствующие неравенству стандартного вида, к которому мы привели, т.е. для (х+11)(х – 4)(x+2)>0.

Ответ: (–11; –2)∪(4;+∞)

Даниил Романович | Просмотров: 3.7k