Как найти нули функции параболы квадратичной функции

Как найти нули функции параболы квадратичной функции

Определение

Функция вида y=ax2+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Рисунок №1.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:

х0=−b2a

для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax2+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х2 – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х0:

х0=−b2a=82∙2=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у0=2∙22 – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х2 +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х2 +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b2 – 4ac=42 – 4∙1∙(−5)=36

x=−b±√D2a

x=−4±√362; х1=–5; х2=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

C:UsersУчительDesktopgfhf, 1.jpg

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х0. C:UsersУчительDesktop76.jpg

Итак, найдем х0 для формулы «Б»:

х0=−b2a=−42∙2=−44=−1

Видим, что х0 отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Задание 11OM21R

На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) a>0, с >0              Б) а<0; с>0        В) а>0, с<0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:

Решение

На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).

Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.

C:UsersУчительDesktopграфик 1.jpg

Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:

А) a>0, с >0 – это график №1

Б) а<0; с>0  – это график №3

В) а>0, с<0 – это график №2

Ответ: 132

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1105o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) у=–х2–4х–3                    Б) у=–х2+4х–3                    В) у=х2+4х+3

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.

Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x0 отрицателен, значит, А-1, а Б-2.

Ответ: 123

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1101o

На рисунках изображены графики функций вида

y = ax² + bx + c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты:

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики:

Графики функций огэ по математике 5 задание

Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида

y = ax² + bx + c

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если  a < 0, то ветви направлены вниз.

Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.

У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x

Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

А) 3

Б) 2

В) 1

Ответ: 321

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 10.4k

Источник

В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

Как найти нули квадратичной функции

Запомните!
!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно
в исходную функцию подставить вместо «y» число
ноль.

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной
функции «y = x2 − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.

0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0

x1;2 =

0 ±
√02 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 = ±√3

Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :
    

x1 = √3;
    

x2 = −√3 .

Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение

Запомните!
!

Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение,
нужно:

  • вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
  • решить полученное квадратное уравнение относительно «x».

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция
«y = x2 − x − 3» принимает значение
«−3».

Подставим в исходную функцию
«y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».

y = x2 − x − 3

−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =

1 ±
√12 − 4 · 1 · 0
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = 0

Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x2 − x − 3»
принимает значение «y = −3».

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните!
!

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

  • приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
  • решить полученное уравнение относительно «x»;
  • подставить полученные числовые значения «x»
    в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x».

Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».

x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0

x1;2 =

−2 ±
√22 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = −3

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.


1)   x = −3
y = 3 − 2x
y(−3) = 3 − 2 · (−3) = 3 − (−6) = 3 + 6 = 9
(·) A (−3; 9) — первая точка пересечения.


2)   x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы
«y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните!
!

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка
    не принадлежит графику функции.

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),    
(·) B(−1; 1).

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) А(2; 6).


y = x2
6 = 22
6 = 4


(неверно)

Значит, точка (·) А(2; 6)
не принадлежит графику функции
«y = x2».

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) B(−1; 1).


y = x2
1 = (−)12
1 = 1


(верно)

Значит, точка (·) B(−1; 1)
принадлежит графику функции
«y = x2».

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x2 −3x + 2» с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:

точки пересечения с осью Ox

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x2 −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».

0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0

x1;2 =

3 ±
√32 − 4 · 1 · 2
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 2 x2 = 1

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

точки пересечения с осью Oy

Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x2 −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».

y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).

Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.

Запомните!
!

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

  • провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
  • определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
  • записать ответ для каждого промежутка относительно «x».

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

положительные и отрицательные значения функциии

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

положительные и отрицательные значения функциии с доп. прямыми

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

положительные и отрицательные значения на графике

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.

положительные и отрицательные значения на графике c подписью относительно x

Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.

Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Источник

Эта статья — о числовой функции одной переменной. О функции второй степени с несколькими переменными см. Квадратичная форма; о геометрическом месте точек см. Парабола.

График функции {displaystyle f(x)=x^{2}-x-2}

Квадратичная функция — целая рациональная функция второй степени вида {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, где a neq 0 и a,b,cin mathbb {R} . Уравнение квадратичной функции содержит квадратный трёхчлен. Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая во многом определяет положение и внешний вид графика.

Обзор основных свойств[править | править код]

Многие свойства квадратичной функции {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} зависят от значения коэффициента a. В следующей таблице приводится обзор основных свойств квадратичной функции[1]. Их доказательство рассматривается в статье в соответствующих разделах.

Свойство a>0 a<0
Область определения функции {displaystyle D(f)=mathbb {R} }
Множество значений функции {displaystyle E(f)=left[-{frac {b^{2}-4ac}{4a}};+infty right)} {displaystyle E(f)=left(-infty ;-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}right]}
Чётность функции Чётная функция при b=0; ни чётная, ни нечётная при bneq 0
Периодичность функции Непериодическая функция
Непрерывность функции Всюду непрерывная функция, точек разрыва нет
Нули функции {displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {D}}}{2a}}}, если {displaystyle D=b^{2}-4acgeq 0}
нет действительных нулей, если {displaystyle D=b^{2}-4ac<0}
Предел функции при {displaystyle xto pm infty } {displaystyle f(x)to +infty } при {displaystyle xto pm infty } {displaystyle f(x)to -infty } при {displaystyle xto pm infty }
Дифференцируемость функции Всюду многократно дифференцируема:
{displaystyle f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0}
Точки экстремума (абсолютный экстремум) {displaystyle x_{min}={frac {-b}{2a}}} (минимум) {displaystyle x_{max}={frac {-b}{2a}}} (максимум)
Интервалы строгой монотонности убывает на {displaystyle left(-infty ;-{frac {b}{2a}}right]}
возрастает на {displaystyle left[-{frac {b}{2a}};+infty right)} 		возрастает на {displaystyle left(-infty ;-{frac {b}{2a}}right]}
убывает на {displaystyle left[-{frac {b}{2a}};+infty right)}
Выпуклость функции Всюду выпуклая вниз функция Всюду выпуклая вверх функция
Точки перегиба Точки перегиба отсутствуют
Ограниченность функции Ограничена снизу Ограничена сверху
Наибольшее значение функции Отсутствует (неограничена сверху) {displaystyle y_{max}=-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
Наименьшее значение функции {displaystyle y_{min}=-{frac {b^{2}-4ac}{4a}}} Отсутствует (неограничена снизу)
Положительные значения функции {displaystyle (-infty ;x_{1})cup (x_{2};+infty )} {displaystyle (x_{1};x_{2})}
Отрицательные значения функции {displaystyle (x_{1};x_{2})} {displaystyle (-infty ;x_{1})cup (x_{2};+infty )}

Влияние коэффициентов на трансформацию графика[править | править код]

Стандартная запись уравнения квадратичной функции[править | править код]

Влияние коэффициентов a, b и c на параболу

Действительные числа a, b и c в общей записи квадратичной функции называются её коэффициентами. При этом коэффициент a принято называть старшим, а коэффициент c — свободным. Изменение каждого из коэффициентов приводит к определённым трансформациям параболы.

По значению коэффициента a можно судить о том, в какую сторону направлены её ветви (вверх или вниз) и оценить степень её растяжения или сжатия относительно оси ординат:

  • Если a>0, то ветви параболы направлены вверх, то есть её вершина расположена снизу.
  • Если a<0, то ветви параболы направлены вниз, то есть её вершина расположена сверху.
  • Если {displaystyle |a|<1}, то парабола сжата по оси ординат, то есть кажется более широкой и плоской.
  • Если {displaystyle |a|>1}, то парабола растянута по оси ординат, то есть кажется более узкой и крутой.

Влияние значения коэффициента a наиболее просто позволяет проиллюстрировать квадратичная функция вида {displaystyle f(x)=ax^{2}}, то есть в случае b=0 и c=0. В случае a=0 квадратичная функция превращается в линейную.

Изменение коэффициента b повлечёт за собой сдвиг параболы как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. При увеличении значения b на 1 произойдёт сдвиг параболы на {displaystyle 1/2a} влево и одновременно на {displaystyle (2b+1)/4a} вниз. При уменьшении b на 1 произойдёт сдвиг параболы на {displaystyle 1/2a} вправо и одновременно на {displaystyle (2b-1)/4a} вверх. Такие трансформации объясняются тем, что коэффициент b характеризует угловой коэффициент касательной к параболе в точке пересечения с осью ординат (то есть при x=0).

Коэффициент c характеризует параллельный перенос параболы относительно оси ординат (то есть вверх или вниз). При увеличении значения этого коэффициента на 1, парабола переместится на 1 вверх. Соответственно, если уменьшить коэффициент c на 1, то и парабола сместится на 1 вниз. Так как коэффициент b также влияет на положение вершины параболы, то по одному лишь значению коэффициента c нельзя судить о том, расположена ли вершина выше оси абсцисс или ниже неё.

Запись квадратичной функции через координаты вершины параболы[править | править код]

Любая квадратичная функция {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} может быть получена с помощью растяжения/сжатия и параллельного переноса простейшей квадратичной функции f(x)=x^{2}. Так, график функции вида {displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}} получается путём сжатия (при a<0) или растяжения (при a>0) графика функции f(x)=x^{2} в a раз с последующем его параллельным переносом на x_{0} единиц вправо и y_0 единиц вверх (если эти значения являются отрицательными числами тогда, соответственно, влево и вниз). Очевидно, что при проделанной трансформации вершина параболы функции f(x)=x^{2} переместится из точки (0;0) в точку (x_{0};y_{0}). Этот факт даёт ещё один способ вычисления координат вершины параболы произвольной квадратичной функции путём приведения её уравнения к виду {displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}, позволяющему сразу увидеть координаты вершины параболы — (x_{0};y_{0}).

Влияние коэффициентов в записи вида {displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}} на параболу

Преобразовать произвольную квадратичную функцию вида {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} к форме {displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}} позволяет метод выделения полного квадрата, использующий формулы сокращённого умножения биномов:

{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

{displaystyle =acdot left(x^{2}+{frac {b}{a}}cdot xright)+c}
{displaystyle =acdot left(x^{2}+{frac {b}{a}}cdot x+{frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{frac {b^{2}}{4a^{2}}}right)+c}
{displaystyle =acdot left(x^{2}+2cdot xcdot {frac {b}{2a}}+{frac {b^{2}}{4a^{2}}}right)-{frac {b^{2}}{4a}}+c}
{displaystyle =acdot left(x+{frac {b}{2a}}right)^{2}+{frac {-b^{2}}{4a}}+{frac {4ac}{4a}}}
{displaystyle =acdot left(x-{frac {-b}{2a}}right)^{2}+{frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
{displaystyle =acdot left(x-x_{0}right)^{2}+y_{0}}, где {displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}} и {displaystyle y_{0}={frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}

Сравнивая значения для x_{0} и y_0, вычисленные дифференциальным методом (см. соответствующий раздел статьи), можно также убедиться, что они являются координатами вершины параболы. В конкретных случаях вовсе не требуется запоминать приведённые громоздкие формулы, удобней всякий раз выполнять преобразования многочлена к желаему виду непосредственно. На конкретном примере этот метод выглядит так:

{displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5=2cdot left(x^{2}+4cdot xright)+5}

{displaystyle =2cdot left(x^{2}+4cdot x+4-4right)+5}
{displaystyle =2cdot left(left(x+2right)^{2}-4right)+5}
{displaystyle =2cdot left(x+2right)^{2}-8+5}
{displaystyle =2cdot left(x+2right)^{2}-3Rightarrow S(-2;-3)}

Недостатком данного метода является его громоздкость, особенно в случае, когда в результате вынесения за скобки приходится работать с дробями. Также он требует определённого навыка в обращении с формулами сокращённого умножения.

Однако, рассмотренное выше доказательство в общем виде приводит к более простому способу вычисления координат вершины параболы с помощью формул {displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}} и {displaystyle y_{0}=f(x_{0})}. Например, для той же функции {displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5} имеем:

{displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}={frac {-8}{2cdot 2}}=-2}
{displaystyle y_{0}=f(-2)=2cdot (-2)^{2}+8cdot (-2)+5=-3Rightarrow S(-2;-3)}.

Таким образом, {displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5=2cdot left(x+2right)^{2}-3}.

Нули функции[править | править код]

Число нулей квадратичной функции[править | править код]

Число действительных нулей квадратичной функции в случае a>0

Квадратичная функция является целой рациональной функцией второй степени, поэтому она может иметь не более двух нулей в действительной области. В случае расширения на комплексную область можно говорить о том, что квадратичная функция в любом случае имеет ровно два комплексных нуля, которые могут быть строго действительными числами или содержать мнимую единицу.

Определить число нулей квадратичной функции без решения соответствующего квадратного уравнения можно с помощью вычисления дискриминанта. При этом имеются различные вариации его вычисления: обычный (применим всегда), сокращённый (удобен в случае чётного коэффициента b) и приведённый (применим только для приведённого многочлена). При этом числовые значения в каждом случае будут отличаться, однако знак дискриминанта будет совпадать независимо от вариации.

Полный дискриминант Сокращённый дискриминант Приведённый дискриминант
{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} {displaystyle f(x)=x^{2}+px+q}
{displaystyle D=b^{2}-4ac} {displaystyle D=left({frac {b}{2}}right)^{2}-ac} {displaystyle D=left({frac {p}{2}}right)^{2}-q}

Независимо от вычисления дискриминанта будут справедливы следующие утверждения:

Например, для функции {displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5} с использованием стандартной формулы для дискриминанта получаем:

{displaystyle D=b^{2}-4ac=8^{2}-4cdot 2cdot 5=64-40=24>0}.

Это означает, что данная функция имеет два действительных нуля, то есть её парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

Методы вычисления нулей квадратичной функции[править | править код]

Нахождение нулей квадратичной функции сводится к решению квадратного уравнения {displaystyle ax^{2}+bx+c=0}, где a neq 0. Конкретный метод, наиболее подходящий для конкретной квадратичной функции, во многом зависит от его коэффициентов. Во всех специальных случаях кроме специальных формул и методов всегда применима также и универсальная формула. Во всех перечисленных формулах, содержащих квадратный корень, следует учитывать, что если подкоренное выражение является отрицательным числом, то квадратичная функция не имеет нулей в действительной области, а обладает двумя комплексными нулями.

  • В наиболее общем случае применяется универсальная формула:
{displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
{displaystyle x_{1,2}=-{frac {p}{2}}pm {sqrt {left({frac {p}{2}}right)^{2}-q}}}
Получить приведённую форму из общей можно, поделив исходное уравнение {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} на a. При этом, очевидно, {displaystyle p=b/a} и {displaystyle q=c/a}.
{displaystyle x_{1,2}=pm {sqrt {frac {-c}{a}}}}
{displaystyle x_{1}=0}
{displaystyle x_{2}={frac {-b}{a}}}

Чётность и симметрия квадратичной функции[править | править код]

Симметрия относительно оси ординат[править | править код]

График функции f(x)=x^{2} (b=0 и c=0) симметричен относительно оси ординат

Квадратичная функция {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} является целой рациональной функцией второй степени, поэтому для неё справедливы все соответствующие свойства целой рациональной функции. В частности, она является чётной только тогда, когда в записи её многочлена присутствуют лишь чётные показатели степени, и нечётной — если она содержит только нечётные показатели. Из этого следует, что никакая квадратичная функция не может быть нечётной ввиду того, что на неё изначально накладывается условие aneq 0, а следовательно она всегда будет содержать чётный показатель 2.

Кроме того, очевидно, что квадратичная функция является чётной только при отсутствии показателя 1, что означает b=0. Этот факт легко доказывается и непосредственно. Так, очевидно, что функция {displaystyle f(x)=ax^{2}+c} является чётной, так как справедливо:

{displaystyle f(-x)=acdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)}, то есть {displaystyle f(-x)=f(x)}.

Таким образом, квадратичная функция является симметричной относительно оси ординат только тогда, когда b=0. Конкретные значения коэффициентов a и c на этот факт абсолютно не влияют. В частности, c может быть также равно нулю, то есть отсутствовать в записи формулы. В этом случае вершина параболы будет совпадать с началом системы координат.

Во всех других случаях квадратичная функция не будет ни чётной, ни нечётной, то есть является функцией общего вида. Это также легко можно показать с помощью определения чётности функции:

{displaystyle f(-x)=acdot (-x)^{2}+bcdot (-x)+c=ax^{2}-bx+cneq f(x)}, то есть {displaystyle f(-x)neq f(x)}.
{displaystyle f(-x)=acdot (-x)^{2}+bcdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+bx-c)neq -f(x)}, то есть {displaystyle f(-x)neq -f(x)}.

Осевая симметрия в общем случае[править | править код]

Осью симметрии любой параболы является прямая, проходящая через её вершину параллельно оси ординат

В то же время график любой квадратичной функции обладает осевой симметрией. Как известно, если для некоторой функции f(x) для некоторого числа {displaystyle x_{0}in mathbb {R} } справедливо равенство {displaystyle f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)}, то график этой функции f(x) обладает осевой симметрией по отношению к прямой x = x_0. В отношении квадратичной функции таким числом x_{0} является абсцисса вершины её параболы. Таким образом, график любой квадратичной функции симметричен по отношению к оси, параллельной оси ординат и проходящей через вершину параболы, а осью симметрии функции {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} является прямая {displaystyle x=-b/2a}.

Доказательство этого факта также не является сложным:

{displaystyle f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=fleft(x-{frac {b}{2a}}right)=aleft(x-{frac {b}{2a}}right)^{2}+bleft(x-{frac {b}{2a}}right)+c}

{displaystyle =aleft(x^{2}-2cdot xcdot {frac {b}{2a}}+{frac {b^{2}}{4a^{2}}}right)+bleft(x-{frac {b}{2a}}right)+c}
{displaystyle =ax^{2}-bx+{frac {b^{2}}{4a}}+bx-{frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2}-{frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

К аналогичному результату приводит и преобразование:

{displaystyle f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=fleft(-x-{frac {b}{2a}}right)=dotsb =ax^{2}+{frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

Таким образом, {displaystyle fleft({frac {-b}{2a}}+xright)=fleft({frac {-b}{2a}}-xright)}, поэтому график функции симметричен относительно прямой {displaystyle x={frac {-b}{2a}}}.

Вычисление вершины параболы с помощью нулей функции[править | править код]

Нули функции расположены симметрично к оси, проходящей через вершину параболы параллельно оси ординат

Так как ось симметрии параболы всегда проходит через её вершину, то, очевидно, что нули квадратичной функции также всегда симметричны относительно абсциссы вершины параболы. Этот факт позволяет легко вычислить координаты вершины параболы с помощью известных нулей функции. В поле действительных чисел этот способ действует только тогда, когда парабола пересекает ось абсцисс или касается её, то есть имеет нули из действительной области.

В случае, когда квадратичная функция имеет лишь один нуль (кратности 2), то он, очевидно, сам и является вершиной параболы. Если же парабола имеет нули x_{1} и x_{2}, то абсцисса x_{0} её вершины легко вычисляется как среднее арифметическое нулей функции. Ордината вершины вычисляется путём подстановки её абсциссы в исходное уравнение функции:

{displaystyle x_{0}={frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}
{displaystyle y_{0}=f(x_{0})}

Особенно удобным этот способ будет в случае, когда квадратичная функция заданна в её факторизированном виде. Так, например, парабола функции {displaystyle f(x)=2(x-1)(x+3)} будет иметь вершину со следующими координатами:

{displaystyle x_{0}={frac {1+(-3)}{2}}=-1}
{displaystyle y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8}

При этом даже не требуется преобразовывать уравнение функции к общему виду.

Исследование методами дифференциального и интегрального анализа[править | править код]

Производная и первообразная[править | править код]

Квадратичная функция (красный график), её производная (синий) и первообразная (чёрный)

Угловой коэффициент касательной параболы в точке x=0 равен коэффициенту b в записи уравнения квадратичной функции; в данном случае b=1

Как и любая целая рациональная функция квадратичная функция {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} дифференцируема во всей своей области определения. Её производная легко находится с помощью элементарных правил дифференцирования: {displaystyle f'(x)=2ax+b}. Таким образом, видим, что производной квадратичной функции является линейная функция, которая либо строго монотонно возрастает (если a>0), либо строго монотонно убывает (если a<0) на всей области определения. При этом также нетрудно заметить, что {displaystyle f'(0)=b}, что означает, что коэффициент {displaystyle f'(0)=b} в уравнении исходной функции равен угловому коэффициенту параболы в начале координат.

Квадратичная функция как и любая целая рациональная функция также и интегрируема во всей своей области определения. Её первообразная, очевидно, является кубической функцией:

{displaystyle F(x)=int (ax^{2}+bx+c)dx={frac {a}{3}}x^{3}+{frac {b}{2}}x^{2}+cx+d}, где {displaystyle din mathbb {R} }.

Монотонность и точки экстремума[править | править код]

Очевидно, что вершина параболы является её наивысшей или наинизшей точкой, то есть абсолютным экстремумом квадратичной функции (минимумом при a>0 и максимумом при a<0). Поэтому абсцисса вершины параболы разбивает область определения функции на два монотонных интервала, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает. Воспользовавшись методами дифференциального исчисления, с помощью этого факта можно легко вывести простую формулу для вычисления координат вершины параболы, заданной общим уравнением {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, через его коэффициенты.

Согласно необходимому и достаточному условию для существования экстремума, получаем: {displaystyle f'(x)=2ax+b}. При этом f'(x)=0, если {displaystyle x=-b/2a}. Функция {displaystyle f''(x)=2a} является константной функцией, при этом {displaystyle f''>0} при a>0 и {displaystyle f''<0} при a<0. Таким образом, необходимый и достаточный критерий существования экстремума выполняется в точке {displaystyle x_{0}=-b/2a}. Следовательно, имеем координаты вершины:

{displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}}
{displaystyle y_{0}=f(x_{0})=aleft({frac {-b}{2a}}right)^{2}+bleft({frac {-b}{2a}}right)+c={frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

Вершина параболы разбивает область определения квадратичной функции на два монотонных интервала: {displaystyle left(-infty ;{frac {-b}{2a}}right)} и {displaystyle left({frac {-b}{2a}};+infty right)}. При a>0 функция на первом из них является строго монотонно убывающей, а на втором — строго монотонно возрастающей. В случае a<0 — в точности наоборот.

При этом можно вовсе не запоминать данные формулы, а просто каждый раз пользоваться критериями существования экстремума для каждой конкретной квадратичной функции. Или же рекомендуется запоминать только формулу {displaystyle x_{0}=-b/2a} для вычисления абсциссы вершины параболы. Её ордината легко вычисляется в результате подстановки вычисленной абсциссы в конкретное уравнение функции.

Например, для функции {displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5} получаем:

{displaystyle x_{0}={frac {-b}{2a}}={frac {-8}{2cdot 2}}=-2}
{displaystyle y_{0}=f(-2)=2cdot (-2)^{2}+8cdot (-2)+5=-3Rightarrow S(-2;-3)}.

Таким образом, вершина параболы данной функции имеет координаты {displaystyle (-2;-3)}. При этом функция строго монотонно убывает на интервале {displaystyle (-infty ;-2)} и строго монотонно возрастает на интервале {displaystyle (-2;+infty )}

Выпуклость и точки перегиба[править | править код]

Так как вторая производная квадратичной функции {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} является константной линейной функцией {displaystyle f''(x)=2a}, то она не имеет точек перегиба, так как её значение постоянно, а соответственно достаточный критерий не будет выполняться ни для какой её точки. Более того, очевидно, что при a>0 исходная квадратичная функция будет всюду выпуклой вниз (ввиду того, что её вторая производная всюду положительна), а при a<0 — всюду выпуклой вверх (её вторая производная будет всюду отрицательной).

Обратимость квадратичной функции[править | править код]

Функция f(x)=x^{2} и обратная ей {displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {x}}} на интервале [0, +infty)

Так как квадратичная функция не является строго монотонной функцией, то она является необратимой. Так как любую непрерывную функцию, однако, можно обратить на её интервалах строгой монотонности, то для любой квадратичной функции существуют две обратные функции, соответствующие двум её интервалам монотонности. Обратными для квадратичной функции на каждом из её интервалов монотонности являются функции арифметического квадратного корня[2].

Так, функция арифметического квадратного корня {displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {x}}} является обратной к квадратной функции f(x)=x^{2} на интервале [0, +infty). Соответственно, функция {displaystyle f^{-1}(x)=-{sqrt {x}}} является обратной к функции f(x)=x^{2} на интервале {displaystyle (-infty ;0]}. Графики функций f(x) и {displaystyle f^{-1}(x)} будут симметричными друг другу относительно прямой y=x.

Функция {displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5} и обратная к ней на интервале {displaystyle [-2;+infty )} функция {displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {frac {x+3}{2}}}-2}

Для нахождения обратных функций для произвольной квадратичной функции {displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} удобнее представить её в форме {displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}, где (x_{0};y_{0}) — вершина её параболы. Далее воспользуемся известным методом для нахождения обратных функций — поменяем местами переменные x и y и снова выразим y через x:

{displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}
{displaystyle x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0}}
{displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2}}
{displaystyle {frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}}
{displaystyle pm {sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}}
{displaystyle pm {sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y}

Таким образом, обратной к f(x) на интервале {displaystyle [x_{0};+infty )} является функция {displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}}.

На интервале {displaystyle (-infty ;x_{0}]} обратной к f(x) является функция {displaystyle f^{-1}(x)=-{sqrt {frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}}.

Например, для функции {displaystyle f(x)=2x^{2}+8x+5=2cdot left(x+2right)^{2}-3} с вершиной {displaystyle (-2;-3)} получаем:

{displaystyle f^{-1}(x)={sqrt {frac {x+3}{2}}}-2} на интервале {displaystyle [-2;+infty )}.
{displaystyle f^{-1}(x)=-{sqrt {frac {x+3}{2}}}-2} на интервале {displaystyle (-infty ;-2]}.

Примеры появления на практике[править | править код]

  • Зависимость высоты свободно падающего тела от времени.
  • Зависимость площади круга от её линейных размеров (например, радиуса).
  • Зависимость расстояния от времени при равноускоренном движении.
  • Зависимость напора от расхода (напорная характеристика центробежного насоса).

Обобщение[править | править код]

Обобщение на случай многих переменных служат поверхности второго порядка, в общем виде такое уравнение можно записать, как:

f({vec {x}})={vec {x}}^{T}A{vec {x}}+{vec {b}}cdot {vec {x}}+c.

Здесь: A — матрица квадратичной формы, {vec {b}} — постоянный вектор, c — константа.
Свойства функции, так же как и в одномерном случае, определяются главным коэффициентом — матрицей A.

См. также[править | править код]

  • Аффинно-квадратичная функция

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М. : «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.
  2. ↑ Rolf Baumann. Quadratwutzelfunktion // Algebra: Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusgleichungen, Stochastik : [нем.]. — München : Mentor, 1999. — Т. 9. — С. 17—19. — 167 с. — ISBN 3-580-63631-6.

Литература[править | править код]

  • Сканави М.И. График квадратного трёхчлена // Элементарная математика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1974. — С. 130—133. — 592 с.
  • Каплан И.А. Тридцать третье практическое занятие (экстремум квадратичной функции) // Практические занятия по высшей математике. — 3-е изд. — Харьков, 1974. — С. 449—451.
Источник

Свойства квадратичной функции

1) Область определения квадратичной функции (значения которые может принимать “

х

“)

D(f)=(-∞;+∞)

Область значений квадратичной функции (значения которые может принимать “у“)

Е(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции

Для того чтобы найти нули функции необходимо “y” прировнять к нулю. Получим квадратное уравнение стандартного вида, следовательно количество точек пересечения графика с осью ОХ зависит от дискриминанта:

  • Если D<0, то уравнение не имеет корней и график не имеет точек пересечения с осью ОХ, то есть находится выше оси ОХ при a>0 и ниже оси ОХ при a<0
  • Если D=0, то уравнение имеет один корень и одну точку пересечения с ОХ, исходя из этого делаем вывод о том, что вершина параболы находится на оси ОХ
  • Если D<0, то уравнение имеет 2 корня и соответственно 2 точки пересечения с ОХ

3) Промежутки знакопостоянства квадратичной функции

Рассмотрим несколько случаев, которые зависят от знаков коэффициентов и количества нулей функции:

1 случай

a) a>0, D<0

Ветви параболы направлены вверх, точек пересечения с ОХ нет, следовательно f(x) >0, при любых “х”, таким образом f(x) >0 при х ∈ (-∞;+∞)

б) a>0, D=0

Ветви параболы направлены вверх, одна точка пересечения с ОХ , следовательно f(x) >0, при любых “х”, кроме вершины параболы, где f(x)=0, таким образом f(x) >0 при х ∈ (-∞;хв) U (хв;+∞)
в) a>0, D>0
Ветви параболы направлены вверх, две точки пересечения с ОХ, следовательно
f(x) >0, при х ∈ (-∞;х1) U (х2;+∞)
f(x) <0, при х ∈ (х1;х2)
На рисунке красным цветом выделены положительные части графика, синим отрицательные

Источник

Home » 8 класс » Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax2+bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax2+bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

парабола

парабола

2 ) Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;

Вершина параболы

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax2+bx+c=0;

   Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax2+bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

Как решать квадратные уравнения посмотреть тут.

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x2+4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2)2+4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x2+4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
y=x^2+4x+3 парабола
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x2+4x+3 значения
y=(-4)2+4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2+4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x2+4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1<0.
a=-1 b=4 c=0 x=(-b)/2a=(-4)/(2*(-1))=2 y=-(2)2+4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x2+4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
y=-x^2+4x
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x2+4x значения
y=02+4*0=0
y=-(1)2+4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2+4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x2-4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0)2-4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x2-4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x2=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x2-4 значения
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Источник

Добавить комментарий