Как найти нули функции с дробью

Анализ дробно-рациональной функции. Асимптоты, экстремум

Функция      $y=frac{k}{x}$ .     Гипербола.   Свойства.

Пример 1:          Построить   график   для   функции    $y=frac{1}{x}$,      $fleft(xright)=frac{1}{x}$

• Вычислим значения функции   в   разнознаковых   точках   и   нанесем точки с вычисленными координатами в системе   $XOY$.
• $fleft(1right)=1$             $fleft(frac{1}{2}right)=2$                 $fleft(-1right)=-1$                $x=-frac{1}{2}$           $fleft(-frac{1}{2}right)=-2$       $fleft(2right)=frac{1}{2}$                   $fleft(frac{1}{4}right)=4$                          $fleft(-frac{1}{4}right)=-4$       $fleft(4right)=frac{1}{4}$                   $fleft(1right)=8$                $fleft(-4right)=-frac{1}{4}$                      $fleft(-frac{1}{8}right)=-8$        .
• Точки Графика $(1;1)$,   $(2;1/2)$,   $(4;1/4)$,   $(1/2;2)$,   $(1/4;4)$,   $(1/8;8)$,    $(-1;-1)$,   $(-2;-1/2)$,   Еще точки:   $(-4;-1/4)$,   $(-1/2;-2)$,     $(-1/4;-4)$,   $(-1/8;-8)$ . По всем   точкам построим   кривые   –   график функции   $y=frac{1}{x}$
• График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$.    Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.

Графиком функции       $y=frac{k}{x}$       $kne0$      является   гипербола ,   ветви прижимаются к асимптотическим линиям.

• если коэффициент   $k > 0$ ,    в   I   и    III   координатных четвертях.   Точка   $(0;0)$   –   центр симметрии.
• если   $k < 0$ ,    то   во   II    и   IV   координатных четвертях. Точка   $(0;0)$   –   центр симметрии.
• Асимптоты:         Вертикальная асимптота,   линия   $x=0$,               Горизонтальная   асимптота,    линия    $y=0$               

Cвойства   функции      $y=frac{k}{x}$    при    $k > 0$        ( ветви   гиперболы   расположены   в   первом   и   третьем   координатных   углах) .

Свойство 1:     Область   Определения   Функции – вся   числовая   прямая , кроме    $x=0$.     Свойство 2:     $y > 0$   при   $x > 0$;      $y < 0$   при    $x < 0$.    Свойство 3:     Функция   убывает на    промежутках      $( – ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$       Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху. Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений   $у$    у функций   нет.     Свойство 6:     Функция   непрерывна   на    $( – ∞ ; 0 )$    и    $( 0 ; + ∞)$. Свойство 7:     Область   значений функции   –    $( – ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$.    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Cвойства   функции      $y=frac{k}{x}$    при      $k < 0$        (ветви гиперболы расположены   во   втором   и   четвертом   координатных   углах).

Свойство 1:     Область   Определения   Функции   –   вся   числовая   прямая ,    кроме    $x=0$. Свойство 2:     $y > 0$    при    $x < 0$ ;        $y < 0$   при    $x > 0$. Свойство 3:     Функция   возрастает   на   промежутках     $( – ∞ ; 0 )$      и     $( 0 ; + ∞)$ Свойство 4:     Функция   не   ограничена   ни   снизу,   ни   сверху. Свойство 5:     Ни   наименьшего,   ни   наибольшего   значений    $у$    у функций   нет. Свойство 6:     Функция   непрерывна   на   $( – ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 7:     Область   значений   функции   –   объединение     $( – ∞ ; 0 )$   U   $( 0 ; + ∞)$ .    имеет   разрыв   в   точке     $x=0$.

Метод Замены для построения Графика Функции.

Мысль: Умеем строить график функции попроще … используем его для построения функции при “сдвинутых” аргументах и значениях.

Как   построить   график   функции    $y=kcdot fleft(xright)$,    если   известен   график   функции     $y=fleft(xright)$.

• График   $y=5cdot fleft(xright)$:     Расстянуть вертикально вверх по оси   $OY$   5 раз все, что над $OX$ графика   $y=fleft(xright)$    ,    $k$ раза.
• График   $y=5cdot fleft(xright)$:     Расстянуть вертикально вниз по оси   $OY$   5 раз все, что под $OX$ графика   $y=fleft(xright)$    ,    $k$ раза.
• График   $y=frac{1}{3}cdot fleft(xright)$: Сжать по вертикали, оси   $OY$   график   $y=fleft(xright)$     3 раза.
• Еще способ: Перемасштабирование.     Для   $y=5cdot fleft(xright)$ … построить    $y=fleft(xright)$, изменить масштаб: “1” станет “5”, “-2” станет “-10”, и т.д.

Как   построить   график   функции    $y=-fleft(xright)$,    если   известен   график   функции     $y=fleft(xright)$.

• Эти функции принимают ровно противоположные значения. Значит: график $y=fleft(xright)$   надо отразить по оси $OX$, “перевернуть”.

Как   построить   график   функции    $y=fleft(x+lright)$,    если   известен   график   функции     $y=fleft(xright)$.

• Построить график   $y=fleft(x+lright)$,    где     $l > 0$?      Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$    вдоль оси   $OX$    на   $l$   единиц масштаба влево.
• Построить график   $y=fleft(x-lright)$,    где     $l < 0$?     Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$    вдоль оси   $OX$   на   $l$   единиц масштаба вправо.

Как построить график функции    $y=fleft(xright)+m$,    если известен график функции    $y=fleft(xright)$.

• Построить график   $y=fleft(xright)+m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$ вдоль оси   $OY$ на   $m$   единиц масштаба вверх;
• Построить график   $y=fleft(xright)-m$,   где   $m > 0$?   Сдвинуть график   $y=fleft(xright)$   вдоль оси   $OY$   на   $m$   единиц масштаба вниз.

Как построить график функции   $y=fleft(x+lright)+m$,   если известен график функции    $y=fleft(xright)$.

• График функции    $y=fleft(x+lright)+m$   можно получить из графика    $y=fleft(xright)$ параллельными   сдвигами по осям    $OX$ и   $OY$.

График Дробной Функции.    

Пример 2:                Построить график функции     $y=-frac{5}{x+3}$ .

• сначала построим график функции       $y=-frac{5}{x}$ … от графика $y=frac{1}{x}$ … отразим от   $OX$ и растянем по вертикали 5 раз.
• сдвинем получившуюся гиперболу вдоль оси   $OX$    на   $3$   единицы влево, получится   требуемый   график.
• это   гипербола   с асимптотами $x=-3$;     $y=0$.     “почему   так?”   –   как   мы   строим графики?
• берем   несколько    $x$ – точек   и   находим   для   каждого   свои   $y$ – значения   в   соответствии “с   формулой функции”.
• По точкам   проводим   график. Очевидно,   если, скажем,      $x=0,52$      функция   $y=-frac{5}{x+3}$       дает   какое-то   значение,
• … то,   конечно   для    $x=3,52$     другая   функция,      $y=-frac{5}{x}$    дает   ровно   такое же   значение.
• значит,   точки   графиков   будут различаться на   $3$   единицы    по   $x$ – координате   и совпадать по $y$ – координате.
• Ровно   так   и   для   всех   точек.   “Сравни две функции и вообрази их графики: каковы различия и что общего? “

Пример 3:                Построить график функции     $y=frac{4}{x}-5$ .

• Сначала   надо   построить   график   функции       $y=frac{4}{x}$ .   Гиперболу   $y=frac{1}{x}$ “растянем” четыре раза.
• Сдвинуть   получившуюся   гиперболу   вдоль   оси     $OY$    на   $5$ клеточек   вниз.   Т.к. каждое значение должно отличаться на 5 единиц.
• получится   требуемый   график.    Это   гипербола   с   асимптотами     $x=0$;     $y=-5$.
• Важно знать где пересекается с нулем.   Решение, корень      $frac{4}{x}-5=0$ дает абсциссу $x=0.8$. Точка графика $left(0,8;0right)$.
• Исследование:     Найдем производное: $left(frac{4}{x}-5right)’=-frac{4}{x^2}$. Нигде не = 0, Экстремума нет!
• Производная для всех $x$   (кроме $0$) отрицательна – значит всюду убывает.
• Область Определения:    $D_f=left(-infty;0right)+left(0;+inftyright)$                          Область значений $E_f=left(-infty; -5right)+left(-5;+inftyright)$
• Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-infty;0,8right)$ – функция   отрицательна,                $-Z_f=left(0,8;+inftyright)$   – функция   положительна.
• Монотонность:    $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ – возрастает         $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$   – функция убывает

Вертикальная асимптота ( $x=0$,) проходит в полюсе, точке разрыва функции.   Точка обнуления знаменателя.   Параллельно $OY$.

Горизонтальная асисмптота ( $y=-5$ ), линия, на которую “ложится” график при значениях $х$    около   $+-infty$. Параллельно $OX$.

Гипербола – график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы “зажаты – прижаты” к асимптотическим линиям .

Наклонная асимптота – линия типа $y=2x+3$, к которой    “прижимаются”   ветви графика   “на” или   “около”   + – бесконечнoсти.

Пример 4:                Построить график функции     $y=frac{x-5}{x^2-25}$

• Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
• Тождественное преобразование, сокращение       $frac{x-5}{x^2-25}=frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=frac{1}{x+5}$. Так, что график $y=frac{1}{x+5}$ ?
• Не спеши!   Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З – в исходной функции нет места $x=5$.
• Значит: можем строить гиперболу $y=frac{1}{x+5}$ взамен нашей $y=frac{x-5}{x^2-25}$, но “без точки $x=5$”.
• Точка $x=5$ разрывает “гладкий” график гиперболы. Она называется “выколотая точка с координатами $left(5;0,1right)$”.

Важно уметь исследовать функцию – график около точек разрыва.        + / – поблизости.    Куда тянется?

• Исследуем около   $x=-5$.        Возьмем “близкие” точки $-5,01$ и   $-4,99$.     Вычислим приближенные значения.
• Чуть левее … $fleft(-5,01right)=frac{-5,01-5}{(-5,01)^2-5^2}approx -100$.         Чуть правее … $fleft(-4,99right)=frac{-4,99-5}{(-4,99)^2-5^2}approx 100$.
• Прямая   $x=-5$ – вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается “вниз”, к     $-infty$ . А справа поднимается вверх к     $+infty$.
• Около   $x=5$.    Чуть левее   $fleft(4,99right)=frac{4,99-5}{4,99^2-5^2}approx0,101$.   $fleft(5,01right)=frac{5,01-5}{5,01^2-5^2}approx0,099$.
• Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике   выколотая точка    $left(5;0,1right)$.        Т.к. в ней   $y=frac{1}{5+5}=0,1$.
• “О нулях”:   при   $x=0$    $y=0,2$ .   Но функция нигде не обнуляется, $yne0$. Прямая   $y=0$ – горизонтальная асимптота.
• Анализ:    Найдем производное: $left(frac{x-5}{x^2-25}right)’=left(frac{1}{x+5}right)’=-frac{1}{left(x+5right)^2}$
• Производная не равна нулю нигде и всюду отрицательна. Экстремума нет, Всюду убывающая функция.
• Область Определения функции:    $D_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$   .
• Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ – функция положительна.                $-Z_f=left(-infty;-5right)$   – функция отрицательна
• Монотонность:    $+M_f=varnothing $ – нет роста.         $-M_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$   – функция убывает
• Область значений $E_f=left(-infty;0right)+left(0;0,8right)+left(0,8;inftyright)$

Пример 5:                Построить график функции     $y=frac{x^2-16}{x+4}$

• О.Д.З   функции    $xne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим   $y=frac{x^2-16}{x+4}=x-4$.
• График нашей функции     –     прямая линия       $y=x-4$       с выколотой точкой       $left(-4;-8right)$      при   $x=-4$.
• “Близко чуть левее”:    $x=-4,01$   значение      $fleft(-4,01right)=frac{(-4,01)^2-16}{-4,01+4}=-8,01$.         Ближе?    …     Предел    $approx-8$.
• “О нулях”.      при   $x=0$    $y=-4$ .    Обнуление функции $y=0$    при    $x=4$ – пересечение с   $x$ – осью.
• Анализ: Найдем производное: $left(frac{x^2-16}{x+4}right)’=left(x-4right)’=1$
• Производное всюду равно 1. Постоянный рост. Кроме разрыва, конечно. Нет точки Экстремума.
• Область Определения:    $D_f=left(-infty;-4right)+left(4;+inftyright)$          Область значений $E_f=left(-infty;-8right)+left(-8;inftyright)$
• Знакопостоянство:    $+Z_f=left(4;+inftyright)$ – функция положительна.                $-Z_f=left(-infty;4right)$   – функция отрицательна
• Монотонность:    $+M_f=left(-infty;-4right)+left(-4;inftyright)$ – возрастает

График Дробно – Рациональной Функции.

Определение:     дробно-рациональной порядка     $left(n;mright)$     называется функция вида      $y=frac{acdot x^n+5x^3-x+c}{bcdot x^m-4x^2-7x+d}$   

Числитель – многочлен степени   $n$     , знаменатель – многочлен степени    $m$ .       Общий вид:   $y=frac{Pleft(xright)}{Qleft(xright)}$

Нули функции – корни числителя $Pleft(xright)=0$ , Асимптоты (полюсы) – корни знаменателя $Qleft(xright)=0$.

Пример 6:                  Построить график функции        $y=frac{x^2}{x^2-9}$.

• Функция    $fleft(xright)=frac{x^2}{x^2-9}$ – четная:    $fleft(xright)=fleft(xright)$      $fleft(8right)=fleft(-8right)$   – Слева и справа от $OY$ симметрично.
• Вычисления: $fleft(-4right)=frac{left(-4right)^2}{left(-4right)^2-9}=frac{16}{7}approx2,3$           $fleft(-10right)=frac{100}{91}approx 1,1$           $fleft(-5right)=frac{25}{16}approx 1,6$            $fleft(-3,5right)=frac{12.25}{3,25}approx 3,8$
• $fleft(-2right)=fleft(2right)=frac{4}{-5}approx -0,8$          $fleft(-1right)=fleft(1right)approx -0,1$             $fleft(3,5right)approx 3,8$ $fleft(4right)approx 2,3$          $fleft(5right)approx 1,6$          $fleft(10right)approx 1,1$
• Наша функция имеет нули в точке    $x=0$ , а вертикальные асимтоты – линии    $x=-3$   ,      $x=3$
• Асимптота – прямая линия, к которой “прижимается” график функции, “подходя” к ней бесконечно близко.
• Чему равно     $frac{x^2}{x^2-9}$      при очень больших   $x$ ?         $xapproxpm1000$ ? Конечно,    $yapprox1$                горизонтальная асимптота      $y=1$ .
• Анализ графика:      1)       Обнуляется   при   $x=0$ . 2) Значение       в нуле :     $y=frac{x^2}{x^2-9}$     в     $x=0$     равно      $y=0$.
• 3) Поведение в разрывах:    “чуть левее”    полюса      $xapprox-3-0,01$     значение     $y > 0$   – “большое    положительное”.
• “чуть правее”    разрыва      $xapprox-3+0,01$     значение   функции    “большое отрицательное”.
• Поведение около другого разрыва:   когда    $x$     “чуть левее” ,   например      $xapprox3-0,01$   ,     то        $y < 0$     ;
• когда    $x$      “чуть правее” ,    например       $xapprox3+0,01$     , то        $y > 0$.
• 4) Поведение на бесконечности: при        $xapproxpminfty$         значение    “ложится”    около       $yapprox1$.
• 5) Область определения функции – все точки оси     $x$ ,     кроме        $x=pm3$
• 6) Функция положительна      $y > 0$   на интервалах      $x < -3$    ,       $x > 3$.
• 7) Функция отрицательна      $y < 0$   на интервалах     $-3 < x < 0$     ,       $0 < x < 3$.

Исследование Функции:

• Найдем производное:   $left(frac{x^2}{x^2-9}right)’=frac{2xleft(x^2-9right)-x^2cdot2x}{left(x^2-9right)^2}=frac{-18x}{left(x^2-9right)^2}$
• Производное равно нулю дает точку Экстремума:    $x=0$.   Точка Максимума.
• Производная отрицательна – значит убывает   $x > 0$. Производная положительна, значит возрастает:   $x < 0$
• Область Определения:     $D_f=left(-infty;-3right)+left(-3;3right)+left(3;+infty8right)$   – область определения функции.
• Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-infty;-3right)+left(3;+inftyright)$ – функция положительна.                $-Z_f=left(-3;3right)$   – функция отрицательна
• Монотонность:    $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ – возрастает         $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$   – функция убывает
• Область значений                   $E_f=left(-infty;0right)+left(1;inftyright)$

пробaп                   

Пример 7:                  Анализ графика функции      $y=frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}$

• нули – точки обнуления числителя         $4x^2-5x-6=0$         $x=2$         $x=-frac{3}{4}$
• Представление:     $frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}=frac{2cdot left(2x^2-3x+1right)+x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{left(2x-1right)left(x-1right)}=2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}$
• разрыв (полюс):             $2x^2-3x+1=0$        вертикальные асимптоты   –     $x=1$       и       $x=0,5$.
• при       $xapproxpm infty$      значение   “ложится”   около        $yapprox2$.        $-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}$        $x=0,75$     $x=15,24$
• Производное:        $left(2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}right)’=-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x-1right)^2cdotleft(x-1right)^2}$
• Или так:   $left(frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}right)’=frac{left(4x^2-5x-6right)’cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(2x^2-3x+1right)’}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{left(8x-5right)cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(4x-3right)}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}$
• Уравнение Экстремумов:          $frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}=0$.                 $-2x^2+32x-23=0$.                  $x=8pm0,5sqrt{210}$     
• Производная отрицательна на интервалах       $-M_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;8-0,5sqrt{210}right)+left(8+0,5sqrt{210};inftyright)$.    Убывает.
• Производная положительна на интервалах       $+M_f=left(8-0,5sqrt{210};1right)+left(1;8+0,5sqrt{210}right)$.         Возрастает.
• Точка Минимума:    $x=8-0,5sqrt{210}$       $xapprox0,75$ .                             Точка Максимума:        $x=8+0,5sqrt{210}$    $xapprox15,25$
• Область Определения:    $D_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;1right)+left(1;+inftyright)$   .
• Знакопостоянство:    $+Z_f=left(-infty;-0,75right)+left(0,5;1right)+left(2;+inftyright)$ – положительна.                $-Z_f=left(-0,75;0right)+left(1;2right)$   – отрицательна.
• Область значений (приближенно!)               $E_fapproxleft(-infty;2,001right)+left(60;inftyright)$

Пример 8:                  Анализ графика функции      $y=frac{3x^2-5x-8}{x-2}$

• нули – точки обнуления числителя         $3x^2-5x+8=0$         $x=-1$         $x=frac{8}{3}approx2,7$
• разрыв (полюс):             $x-2=0$        вертикальные асимптоты   –     $x=2$   .
• “чуть левее”:    $fleft(2-10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2-10^{-7}right)^2-5left(2-10^{-7}right)-8}{2-10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8-12cdot10^{-7}+5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{-10^{-7}}approx6cdot10^7$       Значит, уходит к $+infty$
• Чуть правее:    $fleft(2+10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2+10^{-7}right)^2-5left(2+10^{-7}right)-8}{2+10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8+12cdot10^{-7}-5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{10^{-7}}approx-6cdot10^7$    …. бежит к   $-infty$
• Представим нашу функцию по-другому :       $frac{3x^2-5x-8}{x-2}=frac{3x^2-6x+x-2-6}{x-2}=3x+1-frac{6}{x-2}$
• Видно, что при больших   $x=2$     она     “почти совпадает” с линейной функцией   $3x+1$. “прижимается к ней”.
• $y=3x+1$ – наклонная асимптота нашей функции.
• Найдем производное: $left(frac{3x^2-5x-8}{x-2}right)’=frac{left(6x-5right)left(x-2right)-1cdotleft(3x^2-5x-8right)}{(x-2)^2}=frac{3x^2-12x+18}{(x-2)^2}=frac{3left(x^2-4x+6right)}{(x-2)^2}$
• Производное нигде не равно нулю, нет Экстремума:    Производное   всюду положительно, значит, возрастает.
• Область Определения:    $D_f=left(-infty;2right)+left(2;+inftyright)$ .       Полюс в     $x=2$ .
• Знакопостоянство:     $+Z_f=left(-1;2right)+left(frac{8}{3};+inftyright)$ – функция положительна.                $-Z_f=left(-infty;-1right)+left(-1;frac{8}{3}right)$   – функция отрицательна
• Монотонность:                   $+M_f=left(-infty;2right)+left(2;inftyright)$    –   всюду возрастает
• Область значений                        $E_f=left(-infty;+inftyright)$

Графический способ решения уравнений

Пример 9:                Решить уравнение         $frac{2}{x}=x^2+1$       графическим   способом.

• Построим   гиперболу      $y=frac{2}{x}$      и   параболу      $y=x^2+1$ . Равенство означает пересечение.
• Левая функция   и   правая   функция приобретают   одинаковые значения    …    графики   этих   функций пересекаются.
• По чертежу   видно,   что   графики   пересекаются   в   точке    с   координатами    $left(1;2right)$.     ответ:      $x=1$.

Пример 10:                Решить уравнение                            $frac{5}{x}=x-4$.

• Построим   их   графики:   гиперболу    $y=frac{5}{x}$    и   прямую   $y=x-4$.    пересекаются ?
• Гипербола   и   прямая   пересекаются    в   точках   $(-1;-5)$    и    $(5;1)$.    ответ:       $x_1=-1$;      $x_2=5$.

Пример 11:                  Найти наименьшее и наибольшее значения функции    $y=frac{1}{x}$     на отрезках   а)    $left[frac{1}{3};5right]$      и    б)   $left[-7;-1right]$.

• Построим график функции   $y=frac{1}{x}$ .
• Выделим   часть   графика,    соответствующую   значениям   переменной   $x$    на отрезке    $left[frac{1}{3};5right]$.
• Для   выделенной   части графика   находим:   наименьшее   значение   $y=frac{1}{5}$     при     $x=5$ ,     наибольшее      $y=3$    при     $x=frac{1}{3}$.
• Выделим   часть   графика,   соответствующую   значениям   переменной    $x$   на   отрезке    $left[-7;-1right]$.
• Для   выделенной части   графика   находим:   наименьшее   значение   $y=-frac{1}{7}$ при $x=-7$ наибольшее   $y=-1$    при    $x=-1$.     

Упражнения

как найти нули функции по уравнению с дробью?
у= дробь в числителе х^2 – 6х + 5 ; в знаменателе х – 5

Объясните пожалуйста!!!