Как найти нули функции синуса

Как найти нули функции синуса

Содержание:

Рассматривая произвольное действительное число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Таким образом, мы установим соответствие между множеством действительных чисел и множеством значений синусов углов. Каждому действительному числу соответствует единственное значение синуса. Такое соответствие определяет тригонометрическую функцию Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Определение функция y=sin x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений соответствует значение Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений называется функцией Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Рассмотрим свойства функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений и построим ее график:

Область определения функции y=sin x

Областью определения функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является множество всех действительных чисел, так как для любого Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений существует Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Графически это означает, что для любой абсциссы найдется точка графика функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Множеством значений функции y=sin x

Множеством значений функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является промежуток Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений так как ординаты точек единичной окружности (значения синусов чисел) изменяются от -1 до 1.

Графически это означает, что график функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений расположен в полосе между прямыми Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 74).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Периодичность функции y=sin x

Периодичность функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решенийТочки единичной окружности Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решенийФункция y=sin x и её свойства и график с примерами решений совпадают для любого Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 75), значит, значения синусов этих углов также совпадают, т. е. Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Говорят, что число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является периодом функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Определение:

Функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений называется периодической функцией с периодом Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений если для любого значения Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений из области определения функции числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений также принадлежат области определения и при этом верно равенство

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Чтобы определить, является ли функция периодической с периодом Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений необходимо проверить:

  1. принадлежат ли области определения функции числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений если Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принадлежит области определения функции;
  2. выполняется ли равенство Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Определим, верно ли, что число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является периодом функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

  1. Числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принадлежат области определения функции, так как Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений
  2. Проверим, выполняется ли равенство Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений для всех Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пусть Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Значит, число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений не является периодом функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Периодом функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений являются числа вида Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является наименьшим положительным периодом функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является периодической с наименьшим положительным периодом Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 76). Это означает, что ее график состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно его построить на отрезке длиной Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (например, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений а затем повторить построение на каждом следующем отрезке длиной Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Четность (нечетность) функции y=sin x

Четность (нечетность) функции y=sin x Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений — симметрична относительно нуля. Так как точки Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений то ординаты этих точек противоположны, т. е. Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решенийФункция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 77). Значит, функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений нечетная.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений
Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Для построения ее графика достаточно построить его часть для неотрицательных значений аргумента и отобразить эту часть симметрично относительно начала координат.

Нули функции y=sin x

Нули функции. Ординаты точек Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений и Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений равны нулю. Значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений в точка Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 78), т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Промежутки знакопостоянства функции y=sin x

На промежутках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принимает положительные значения, так как ординаты точек единичной окружности положительны в первой и во второй четвертях (рис. 79, а).

На промежутках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принимает отрицательные значения, так как ординаты точек единичной окружности отрицательны в третьей и четвертой четвертях (рис. 79, б).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решенийФункция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Монотонность функции y=sin x

Монотонность функции. Так как ординаты точек единичной окружности увеличиваются от -1 до 1 при изменении угла от Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 80, а) и уменьшаются от 1 до -1 при изменении угла от Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений (рис. 80, б), то с учетом периодичности определим промежутки возрастания функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений и промежутки убывания функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений
Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений возрастает на промежутках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений и убывает на промежутках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений
Наибольшее значение функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений равно 1 и достигается в точках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Наименьшее значение функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений равно Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений и достигается в точках Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

На основании проведенного исследования построим график функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений на отрезке от Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений длина которого равна Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений т. е. длине периода функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

На этом периоде функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

На рисунке 81 изображена часть графика функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений на промежутке от Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Перенесем эту часть на другие периоды и получим график функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений(рис. 82). График функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений называется синусоидой.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Определите, принадлежит ли графику функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений точка: 

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Подставим в формулу Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значение аргумента Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений найдем соответствующее значение функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Полученное значение функции равно ординате точки Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, точка Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принадлежит графику функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

б)    При Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получим Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Точка Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений не принадлежит графику функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

в)    При Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получим Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Точка Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принадлежит графику функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

г)    При Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получим Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Точка Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений не принадлежит графику функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №2

Найдите область определения и множество значений функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Так как область определения функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений все действительные числа, т.еФункция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений   Таким образом, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Множеством значений функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является отрезок Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Тогда по свойству неравенств Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Таким образом, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

б) Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Поскольку Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений то по свойству неравенств

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений т.е. Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №3

Найдите наибольшее значение функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений тогда Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Таким образом, имеем: Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Наибольшее значение функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений равно 7.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №4

Найдите значение выражения, используя свойство периодичности функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как число Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений является наименьшим положительным периодом функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Тогда:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №5

Найдите значение выражения, используя свойство нечетности функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений нечетная, то Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

 Тогда:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №6

Исследуйте функцию на четность (нечетность):

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

a) Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений — область определения симметрична относительно нуля;

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, функция является нечетной.

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений область определения симметрична относительно нуля; 

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решенийФункция y=sin x и её свойства и график с примерами решенийзначит, функция является четной.

Пример №7

Найдите нули функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) Пусть Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Нулями функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений являются числаФункция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Тогда Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Таким тобразом, числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений являются нулями функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

б) Пусть  Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений  Нулями функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений являются числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Тогда Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Таким образом, числа Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений являются нулями функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №8

Определите знак произведения Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

Так как Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений то Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений т. е. угол 4 радиана принадлежит промежутку Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений на котором функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принимает отрицательные значения, значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Углы 2 радиана и 1 радиан принадлежат промежутку Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений на котором функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений принимает положительные значения, т. е. Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений Значит, Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №9

Что больше: Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений или Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение. Так как функция Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений возрастает на промежуткеФункция y=sin x и её свойства и график с примерами решений то из того, что Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решенийследует, что Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Пример №10

Постройте график функции:

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

Решение:

а) График функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получаем из графика функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений сдвигом его вдоль оси абсцисс на Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений влево (рис. 84).

б)    График функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений получаем из графика функции Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх (рис. 85).

Функция y=sin x и её свойства и график с примерами решений

  • Функция y=cos x и её свойства и график
  • Функции y=tg x и y=ctg x – их свойства, графики
  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
  • Тригонометрические уравнения
  • Единичная окружность – в тригонометрии
  • Определение синуса и косинуса произвольного угла
  • Определение тангенса и котангенса произвольного угла
  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
Источник

Как найти нули тригонометрической функции по уравнению

Ключевые слова: тригонометрия, функция, синус, косинус, тангенс, котангенс, область определения, множество значений

D(tg) = R, $$x ne frac<pi><2>+pi n$$

Нули функции

Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15 =0.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5 .

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

3)Найти нули функции

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0, x² ≠ 1,x ≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)

Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.

Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.

функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —

В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Свойства y = sin x
 y = cos x y = tg x y = ctg x
D(f) – область определения функции D(sin) = R – множество всех действительных чисел D(cos) = R – множество всех действительных чисел 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °
sin α 0 1 2 2 2 3 2 1
cos α 1 3 2 2 2 1 2 0
tg α 0 3 3 1 3 нет
ctg α нет 3 1 3 3 0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

[spoiler title=”источники:”]

Нули функции

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

[/spoiler]

Источник

Область определения: (D(x)=R).

(y(-x)=-y(x)) — нечётная.

Построение графика этой функции происходит таким же способом, как и графика функции

y=cosx

, начиная с построения, например,  на отрезке

0;π

.

Но можно упростить, применив формулу

sinx=cosx−π2

, которая показывает, что график функции

y=sinx

 можно получить путём сдвига графика функции  

y=cosx

вдоль оси абсцисс вправо на

π2

.

sinx.png

Кривая, являющаяся графиком функции

y=sinx

, называется синусоидой.

1. Область определения — множество

ℝ

 всех действительных чисел.

2. Множество значений — отрезок

−1;1

.

3. Функция

y=sinx

имеет период (T =)

2π

.

4. Функция

y=sinx

 является нечётной.

5. Нули функции:

x=πn,n∈ℤ

;
наибольшее значение равно (1) при

x=π2+2πn,n∈ℤ

;
наименьшее значение равно (-1) при 

x=−π2+2πn,n∈ℤ

;
значения функции положительны на интервале

0;π

, с учётом периодичности функции на интервалах

2πn;π+2πn,n∈ℤ

;

значения функции отрицательны на интервале

π;2π

, с учётом периодичности функции на интервалах 

π+2πn;2π+2πn,n∈ℤ

.

– возрастает на отрезках 

−π2;π2

, с учётом периодичности функции на отрезках

−π2+2πn;π2+2πn,n∈ℤ

;
– убывает на отрезке 

π2;3π2

, с учётом периодичности функции на отрезках 

π2+2πn;3π2+2πn,n∈ℤ

.

Источник

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

График функции 15 (синусоида)

Свойства функции 15

  1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
  2. Область значений: 3

  3. Функция нечетная:

    (график симметричен относительно начала координат).

  4. Функция периодическая с периодом file.[2]
  5. Точки пересечения с осями координат:  file.[3]
  6. Промежутки знакопостоянства: 
  7. Промежутки возрастания и убывания:   
  8. file.[4]

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции 15 — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции 15 область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции 15 равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при4.

Синус — нечетная функция: file_1, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : 5_1, таким образом, через промежутки длиной вид графика функции 15 повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение 12. Поэтому необходимо найти такие значения , при которых 15, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при 13 (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, 16 при всех 17, а также, учитывая период, при всех 18.

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му 19 при 20.

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции 15 с периодом 21, достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 6, например на промежутке 22. 

Если 23(рис. 3, а), то при увеличении аргумента 24 ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть 25, следовательно, на этом промежутке функция 15 возрас­тает. Учитывая периодичность функции 15, делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 26

27

Рис.2                                                                            Рис.3

Если 28 (рис.3,б), то при увеличении аргумента 29 ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть 30), таким образом, на этом промежутке функция 15 убыва­ет. Учитывая периодичность функции 15, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 31

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции 15. Учитывая периодичность этой функции (с периодом 6), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной 6, на­пример на промежутке 32. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции 15 на промежутке 33. Учитывая нечетность функции 15 (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке 34 отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

35

Рис.4

37

Рис.5

Поскольку мы построили график на промежутке длиной 6, то, учитывая периодичность синуса (с периодом 6), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной 6 (то есть переносим параллельно график вдоль оси на 36, где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

38

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой 39. Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции 39 можно получить из синусоиды 15 сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой 40, где А — амплитуда

колебания, 41— частота, 42 — начальная фаза, 43 — период колебания.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (косинусоида).

Свойства функции 

  1. Область определения: R (x — любое действительное число)11.
  2. Область значений: 3

  3. Функция четная: 4

    (график симметричен относительно оси 8).

  4. Функция периодическая с периодом 21 : 5
  5. Точки пересечения с осями координат 6
  6. Промежутки знакопостоянства: 7
  7. Промежутки возрастания и убывания: 
    8

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции 1 — все действительные числа. Это можно записать так:
11.

10

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке 12 и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка 12оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции 13. Это можно записать так: 3.

Как видим, наибольшее значение функции 16равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при 15.

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при 17.

Косинус — четная функция: 4, поэтому ее график симметричен относительно оси 8.

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом 21: 5. Таким об­разом, через промежутки длиной 6 вид графика функции 16повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси 8значение 9. Тогда соответствующее значение 20. На оси 11 значение 12. Поэтому необходимо найти такие значения 14, при которых 16, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при 22.

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 230 при 24, а также, учитывая период, при всех 25.

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому 26 при 27

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции 28, достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 6, например на промежутке 29.

Если 30 (рис. 9, а), то при увеличении аргумента 31 абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть 36), следовательно, на этом промежутке функция 16убывает. Учитывая периодичность функции 16, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 37.

Если 34 (рис. 9, б), то при увеличении аргумента 31 аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть 36), таким образом, на этом промежутке функция 16 возрастает. Учитывая периодичность функции 16, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков 37. 

38

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции 1аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции 1 можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции 1, используя формулу

40

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки 41а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как 42, то при повороте

прямоугольника 43 около точки 44 на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник 46. Но тогда 48. Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:50.

Тогда,51

Таким образом, 52.

Учитывая, что 53, график функции1 можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси 11 на 54 (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

55

Рис.11

56

Рис.12

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ 1 И ЕЕ ГРАФИК

График функции 1 (тангенсоида) 

Свойства функции 1:

1. Область определения: 

2. Область значений: 

3. Функция нечетная: 

4. Функция периодическая с периодом 

5. Точки пересечения с осями координат:   

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

СВОЙСТВО ФУНКЦИИ  И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

 

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Источник
  1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
  2. Свойства функции y=sinx
  3. Примеры

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.

Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривая продолжится влево.

В результате получаем график y=sinx для любого (xinmathbb{R}).
Синусоида

График y=sinx называют синусоидой.
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды.
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды.

п.2. Свойства функции y=sinx⁡

1. Область определения (xinmathbb{R}) – множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу

$$ -1leq sinxleq 1 $$

Область значений (yin[-1;1])

3. Функция нечётная

$$ sin(-x)=-sinx $$

4. Функция периодическая с периодом 2π

$$ sin(x+2pi k)=sinx $$

5. Максимальные значения (y_{max}=1) достигаются в точках

$$ x=fracpi2+2pi k $$

Минимальные значения (y_{min}=-1) достигаются в точках

$$ x=-fracpi2+2pi k $$

Нули функции (y_{0}=sinx_0=0) достигаются в точках (x_0=pi k)

6. Функция возрастает на отрезках

$$ -fracpi2+2pi kleq xleqfracpi2+2pi k $$

Функция убывает на отрезках

$$ fracpi2+2pi kleq xleqfrac{3pi}{2}+2pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx на отрезке:
Пример 1
a) (left[fracpi6; frac{3pi}{4}right]) $$ y_{min}=sinleft(fracpi6right)=frac12, y_{max}=sinleft(fracpi2right)=1 $$ б) (left[frac{5pi}{6}; frac{5pi}{3}right]) $$ y_{min}=sinleft(frac{3pi}{2}right)=-1, y_{max}=sinleft(frac{5pi}{6}right)=frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) (sinx=3x)
Пример 2a
Один корень: x = 0

б) (sinx=2x-2pi)
Пример 2б
Один корень: x = π

в) (sinx-sqrt{x-pi}=0)
(sinx=sqrt{x-pi})
Пример 2в
Один корень: x = π

г*) (sinx=left(x-fracpi2right)^2-frac{pi^2}{4})
(y=left(x-fracpi2right)^2-frac{pi^2}{4}) – парабола ветками вверх, с осью симметрии (x_0=fracpi2) и вершиной (left(fracpi2; -frac{pi^2}{4}right)) (см. §29 справочника для 8 класса)
Пример 2г
Два корня: (x_1=0, x_2=pi)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx, y=-sinx, y=2sinx, y=sinx+2 $$
Пример 3
(y=-sinx) – отражение исходной функции (y=sinx) относительно оси OX. Область значений (yin[-1;1]).
(y=2sinx) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений (yin[-2;2]).
(y=sinx+2) – исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений (yin[1;3]).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx, y=sin2x, y=sinfrac{x}{2} $$
Пример 4
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений (yin[-1;1]).
Множитель под синусом изменяет период колебаний.
(y=sin2x) – период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок (0leq xleq pi).
(y=sinfrac{x}{2}) – период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок (0leq xleq 4pi).

Источник

Добавить комментарий