Как найти нули логарифмической функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Логарифмической функцией называется функция, задаваемая формулой:

где

Теорема 7.

Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел, а областью значений — множество всех действительных чисел.

Доказательство:

Пусть . Тогда выражение , в соответствии с определением логарифма числа, имеет значение, если значение аргумента — положительное действительное число, т. е. областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел.

Любое действительное число может быть значением выражения , так как уравнение имеет корень при любом действительном . Значит, областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел.

Теорема 8.

Логарифмическая функция на множестве всех положительных действительных чисел является возрастающей при и убывающей при , а ее график проходит через точку (1; 0).

Доказательство:

Пусть . Если допустить, что , то, с учетом возрастания показательной функции с большим единицы основанием (см. теорему 2 из параграфа 11 и следствие из нее), получим, что , или , что противоречит условию . Потому остается признать, что .

Пусть, тогда . Если , то по доказанному . После перехода к основанию получим, что , или .

Поскольку , то точка (1; 0) принадлежит графику логарифмической функции.

Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующие утверждения.

Следствие 2.

Значения логарифмической функции с основанием, большим единицы, на промежутке (0; 1) отрицательны, а на промежутке положительны.

Следствие 3.

Значения логарифмической функции с положительным и меньшим единицы основанием на промежутке (0; 1) положительны, а на промежутке отрицательны.

Построим график функции . Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции.

Используя построенные точки и установленные свойства логарифмической функции, получим график функции , который представлен на рисунке 167.

Для построения графика функции учтем равенство и используем то, что график функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси абсцисс. Указанное преобразование проведено на рисунке 168.

Теорема 9.

График функции симметричен графику функции относительно прямой .

Доказательство:

Пусть точка принадлежит графику функции (рис. 169). Тогда ее координаты и удовлетворяют равенству . Но тогда истинно и равенство . А это означает, что точка принадлежит графику функции .

Так же доказывается, что если точка принадлежит графику функции , то точка принадлежит графику функции .

Для завершения доказательства остается заметить, что точки симметричны относительно прямой .

Теорема 10.

Если положительные основания и логарифмов оба больше единицы или оба меньше ее и , то при и при .

Доказательство:

Сравним значения выражений и :

Пусть , тогда, с учетом возрастания логарифмической функции с большим единицы основанием, получим или

Если , то , и потому , или

Если , то , и потому или

Пусть теперь . Поскольку логарифмическая функция с меньшим единицы основанием убывает, то , или

Если , то , и потому , а если , то , и потому

В соответствии с теоремой 10 с увеличением основания график функции на промежутке (0; 1) располагается более высоко, а на промежутке — более низко.

График любой логарифмической функции с основанием , большим единицы, похож на график функции . На рисунке 170 представлены графики функций

График любой логарифмической функции с положительным основанием , меньшим единицы, похож на график функции . На рисунке 171 приведены графики функций

Логарифм числа:

Определение:

Логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить .

Обозначение:

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение:

Примеры:

Определение:

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию ( — иррациональное число, приближенное значение которого:). Обозначение:

Пример:

Основное логарифмическое тождество:

Примеры:

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования:

Логарифм единицы no любому основанию равен нулю.

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показа теля степени на логарифм основания этой степени.

Формула перехода к логарифмам с другим основанием:

Следствия:

Объяснение и обоснование:

Логарифм числа

Если рассмотреть равенство то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:

Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа, мы ознакомимся в этом параграфе.

В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства найти показатель степени Результат выполнения этой операции обозначается

Таким образом, логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

Например:

так как
поскольку
потому что

Отметим, что при положительных уравнение всегда имеет единственное решение, поскольку функция принимает все значения из промежутка и при является возрастающей, а при — убывающей (рис. 15.1).

И так, каждое свое значение функция принимает только при одном значении Следовательно, для любых положительных чисел и уравнение имеет единственный корень

При уравнение не имеет корней, таким образом, при Ь < 0 значение выражения не существует . Например, не существуют значения

Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается Например,

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в различных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число (такое же знаменитое, как и число ). Число , как и число , — иррациональное,

Логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается Например,

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма, если Подставляя в последнее равенство вместо его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:

Например:

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Во всех приведенных ниже формулах

1) Из определения логарифма получаем, что поскольку Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

2) Поскольку то

Чтобы получить формулу логарифма произведения обозначим Тогда по определению логарифма

Перемножив почленно два последних равенства, имеем По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем

Таким образом,

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного — достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Таким образом,

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

5) Чтобы получить формулу логарифма степени обозначим По определению логарифма Тогда и по определению логарифма с учетом обозначения для имеем Таким образом,

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитывая, что при по формуле (4) имеем: Иными словами, при можно воспользоваться формулой

(запоминать эту формулу не обязательно, при необходимости можно записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).

Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения и в том случае, когда оба числа отрицательны

Тогда существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений В случае имеем и теперь Таким образом, для логарифма произведения можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при можем записать: Отметим, что полученная формула справедлива и при поскольку в этом случае Таким образом, при

Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):

при

4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием Пусть Тогда по определению логарифма Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию Получим Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем Тогда Учитывая, что получаем

Таким образом, логарифм положительного числа по одному основанию равен логарифму этого же числа по новому основанию , деленному на логарифм прежнего основания по новому основанию .

С помощью последней формулы можно получить следующие следствия. 1) Учитывая, что имеем

2) Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при )

Записав полученную формулу справа налево, имеем

Примеры решения задач:

Пример №1

Вычислите:

Решение:

1) поскольку

2) так как

Комментарий:

Исходя из определения логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.

Пример №2

Запишите решение простейшего показательного уравнения:

Решение:

По определению логарифма:

Комментарий:

Для любых положительных чисел и уравнение имеет единственный корень. Показатель степени в которую необходимо возвести основание чтобы получить , называется логарифмом по основанию поэтому

Пример №3

Выразите логарифм по основанию 3 выражения . (где ) через логарифмы по основанию 3 чисел и . (Коротко говорят так: «Прологарифмируйте данное выражение по основанию 3».)

Решение:

Комментарий:

Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения () равен сумме логарифмов множителей.

Пример №4

Известно, что Выразите через

Решение:

Комментарий:

Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения и

Пример №5

Прологарифмируйте по основанию 10 выражение

Решение:

Комментарий:

Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае, когда Из условия не следует, что в данном выражении значения положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования а также учтем, что

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.

Пример №6

Найдите по его логарифму:

Решение:

Комментарий:

Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-либо выражения. Из полученного равенства получаем (как будет показано, значение , удовлетворяющее равенству (1), — единственное).

Пример №7

Вычислите значение выражения

Решение:

Поскольку

Кроме того

Тогда

Итак,

Комментарий:

Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством: Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма — 5.

Логарифмическая функция

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида

1. График логарифмической функции

Функции — взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой

2. Свойства логарифмической функции

1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция ни четная, ни нечетная. 4. Точки пересечения с осями координат:

С осью , с осью

5. Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает на всей области определения

функция убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Объяснение и обоснование:

Понятие логарифмической функции

Логарифмической функцией называется функция вида Покажем, что эта функция является обратной функции

Действительно, показательная функция при возрастает на множестве , а при — убывает на множестве . Область значений функции — промежуток Таким образом, функция обратима и имеет обратную функцию с областью определения и областью значений . Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства выразить через у и в полученной формуле аргумент обозначить через , а функцию — через .

Тогда из уравнения по определению логарифма получаем — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через , а функция — через . Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу — функции, обратной функции

Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Таким образом, график функции можно получить из графика функции симметричным отображением его относительно прямой На рис. 16.1 приведены графики логарифмических функций при и при График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции и другие свойства прочитаем из полученного графика функции и обоснуем, опираясь на свойства функции

Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции получаем соответствующие характеристики для функции

Функция:

1) 2)

Область определения :

1) 2)

Область значений:

1) 2)

Обоснуем это, опираясь на свойства функции

Например, при возьмем По основному логарифмическому тождеству можно записать: Тогда, учитывая, что имеем Поскольку при функция является возрастающей, то из последнего неравенства получаем А это и означает, что при функция возрастает на всей области определения.

Аналогично можно обосновать, что при функция убывает на всей области определения. 6) Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции пересекает ось в точке то, учитывая возрастание функции при и убывание при имеем:

Значение функции:

1) 2)

Значение аргумента

1) 2)

Значение аргумента

1) 2)

Примеры решения задач:

Пример №8

Найдите область определения функции:

Решение:

1)Область определения функции задается неравенствомОтсюдато есть 2) Область определения функции задается неравенством Это неравенство выполняется при всех действительных значениях Таким образом, 3) Область определения функции задается квадратным неравенством Решая его, получаем или (см. рисунок), То есть

Комментарий:

Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения данной функции необходимо найти те значения аргумента х, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.

Пример №9

Изобразите схематически график функции:

Комментарий:

Область определения функции — значения следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси Этот график пересекает ось в точке При логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции у будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются. При логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №10

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований. 1. Можно построить график функции у (основание логарифма — логарифмическая функция возрастает). 2. Затем можно построить график функции (справа от оси график функции остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси ). 3. После этого можно построить график данной функции параллельным переносом графика функции вдоль оси на 2 единицы.

Пример №11

Сравните положительные числа зная, что:

Решение:

1) Поскольку функция возрастающая, то для положительных чисел из неравенства c получаем 2) Так как функция убывающая, то для положительных чисел из неравенства получаем

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции в точках . Используем возрастание или убывание соответствующей функции: 1) при функция возрастающая, и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента; 2) при функция убывающая, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Пример №12

Сравните с единицей положительное число зная, что

Решение:

Поскольку а из условия получаем, что (то есть), то функция убывающая, поэтому

Комментарий:

Числа — это два значения функции Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при и убывает при

Решение логарифмических уравнений

1. Основные определения и соотношения

Определение:

Логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

График функции

2. Решение простейших логарифмических уравнений

Ориентир

Если — число (), то

(используем определение логарифма)

Пример:

Ответ: 10

3. Использование уравнений-следствий

Ориентир:

Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каж дое следующее верно, то гарантируем, что получаются уравнения- следствия. При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример:

По определению логарифма получаем

Проверка, — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);

Ответ: 2

4. Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Замена переменных

Ориентир:

Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример:

Ответ: 0,1; 1000.

Уравнение вида

Ориентир:

(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)

Пример:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ); — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 3.

Равносильные преобразования уравнений в других случаях

Ориентир:

1. данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ)
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Пример:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ); — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 1.

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических уравнений

Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при (см. графики в п. 1 табл. 23), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма:

Если рассмотреть уравнение и выполнить замену переменной: f (х) = t, то получим простейшее логарифмическое уравнение имеющее единственный корень Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения

Следовательно, уравнения (2) и (3) равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения. (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком то коротко этот результат можно записать так:

Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что ). Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)). Например, уравнение равносильно уравнению корень которого и является корнем данного уравнения. Аналогично записано и решение простейшего уравнения в табл. 23.

Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений

При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень данного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Хотя при использовании уравнений-следствий и не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составляющей решения при использовании уравнений-следствий.

Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений- следствий и оформление такого решения приведены в п. 3.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.

Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой ( новой переменной).

Например, в уравнение переменная входит только в виде поэтому для его решения целесобразно применить замену получить квадратное уравнение имеющее корни а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются и

Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в п. 4.

Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида

Как уже отмечалось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств Поскольку логарифмическая функция возрастает (при ) или убывает (при ) на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе

Полученный результат символично зафиксирован в п. 4, а коротко его можно сформулировать так:

чтобы решить уравнение вида с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Пример использования этого ориентира приведен в табл. 23.

Замечание 1.

Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения и между собой равны, поэтому если одно из них будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств). Например, уравнение рассмотренное в табл. 23, равносильно системе

Но учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения:

мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении.

Замечание 2.

Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4). Поэтому для нахождения корней уравнения (4): достаточно найти корни уравнения-следствия (5): и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)

Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений и обоснован в курсе 10 класса):

1) Учитываем ОДЗ данного уравнения,
2) Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Например, решим уравнение

с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.

Применим этот план к решению уравнения (8).

Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение

(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем не только перейти от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.) Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение

На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма:

Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:

Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: — корень, поскольку удовлетворяет условиям ОДЗ;

не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень

Замечание:

Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий, не учитывая явно ОДЗ, но проверив полученные решения подстановкой их в исходное уравнение. Поэтому каждый имеет право выбирать способ решения: использовать уравнения- следствия или равносильные преобразования данного уравнения. Однако для многих уравнений проверку полученных корней выполнить достаточно непросто, а для неравенств вообще нельзя использовать следствия.

Это обусловлено тем, что не удается проверить все решения — их количество у неравенств, как правило, бесконечно. Таким образом, для неравенств приходится выполнять только равносильные преобразования (по ориентирам, аналогичным приведенным выше).

Пример №13

Решите уравнение

Решение:

Проверка. — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0), — корень, поскольку имеем

Ответ: 14

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. При использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство верно, то и все последующие также будут верны. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) верно). Если равенства (1) и (2) верны (при значениях , которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях существуют все записанные логарифмы. Тогда выражения — положительны. Следовательно, для положительных можно воспользоваться формулами: таким образом, равенства (3) и (4) также верны.

Учитывая, что функция возрастающая, а значит, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5). Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих его частей на получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы использовали уравнения-следствия, то в конце необходимо выполнить проверку.

Пример №14

Решите уравнение

Решение:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Учитывая ОДЗ, получаем, что х = 1 входит в ОДЗ, таким образом, является корнем; не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.

Комментарий:

Решим данное уравнение с по мощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства. Заметим, что на ОДЗ выражение может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому мы не имеем права применять к выражению формулу: (это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) равносильны. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 213. Равносильность уравнений (2) и (3) можно обосновать также через возрастание функции которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Пример №15

Решите уравнение

Решение:

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению

Замена: Получаем:

(оба корня входят в ОДЗ). Ответ: 16; 64.

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному и тому же основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде Выполним замену Поскольку по ограничениям ОДЗ Тогда полученное дробное уравнение (1) равносильно квадратному уравнению (2). Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Пример №16

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ: На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Замена: Получаем:

Обратная замена дает

Ответ: 0,1; 1000

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться прологарифмировать обе его части (только если они положительны). В запись уравнения входит десятичный логарифм , поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ они обе положительны ). Поскольку функция возрастающая, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При применение формулы является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны . Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.

Пример №17

Решите уравнение

Решение:

Замена: Получаем

Обратная замена дает

— корней нет. Ответ: 2.

Комментарий:

Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению Как уже отмечалось (с. 211), ОДЗ данного уравнения для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений (табл. 19, с. 178). Поскольку поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).

Пример №18

Решите систему уравнений

Решение:

По определению логарифма имеем

Из второго уравнения последней системы получаем и подставляем в первое уравнение:

Проверка — решение данной системы.

— постороннее решение

(под знаком логарифма получаем отрицательные числа). Ответ: (1; 4).

Комментарий:

Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).

Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).

Решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что если данная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.

Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы следить за равносильностью выполненных у – х > 0 , преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел удовлетворяет условиям ОДЗ, а пара не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Пример №19

Решите систему уравнений

Решение:

Тогда из первого уравнения имеем Замена дает уравнения

Обратная замена дает то есть Тогда из второго уравнения системы имеем (не принадлежит ОДЗ), (принадлежит ОДЗ). Таким образом, решение данной системы

Ответ: (5; 5).

Комментарий:

Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию (на ОДЗ

На ОДЗ следовательно, Тогда после замены имеем и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным. Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).

Решение логарифмических неравенств

1. График функции

2. Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств

Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ.

Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ.

Примеры:

Функция возрастающая, тогда

Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

Функция убывающая, тогда

Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

3. Решение более сложных логарифмических неравенств

Ориентир:

I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.

Схема равносильных преобразований неравенства:

1. Учитываем ОДЗ данного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было вы полнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

II. Применяется метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству ) и используется схема:

Пример №20

ОДЗ: На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: Замена Тогда то есть Решение этого неравенства

Обратная замена дает

Тогда

Учитывая, что функция возрастающая, получаем:

С учетом ОДЗ имеем:

Ответ:

Пример №21

2) Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству Обозначим

2. Нули функции: Тогда На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению (полученному по определению логарифма). То есть В ОДЗ входит только Итак, имеет единственный нуль функции 3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических неравенств

Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида

Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ:

и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).

I. При логарифмическая функция возрастает на всей своей области определения (при ), поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так:

II. При логарифмическая функция убывает на всей области определения (при ), поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что при неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Коротко это можно записать так:

Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумент а (выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение : при знак неравенства не меняется, при знак неравенства меняется на противоположный

Примеры использования этих ориентиров приведены в табл. 24. Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): и неравенство (4): то из этих неравенств следует, что Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. п. 2 табл. 24). Аналогично обосновывается, что в случае II неравенство (4) в системе является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему. Например, решим неравенство

(ОДЗ данного неравенства учтено автоматически, поскольку, если то выполняется и неравенство ) Решаем неравенство Тогда отсюда (см. рисунок) или — решение данного неравенства (его можно записать и так:

Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов

Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:

учитываем ОДЗ данного неравенства;
следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства равносильны (на ОДЗ). Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в табл. 24. Рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач:

Пример №22

Решите неравенство

Комментарий:

Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу для положительных и можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ). Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1 ) как значение логарифмической функции: (разумеется, эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях) и учтем, что

Решение:

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

Функция убывающая, поэтому

Получаем Последнее неравенство имеет решения:

(см. рисунок).

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Пример №23

Решите неравенство

Решение:

Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция убывающая, получаем

то есть

Тогда

Так как функция возрастающая, получаем

Это неравенство равносильно системе

которая равносильна системе

Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок)

Для неравенства (4) ОДЗ:

нуль функции

Для неравенства (5) ОДЗ:

нуль функции

Ответ:

Комментарий:

ОДЗ данного неравенства задается системой

При выполнении равносильных преобразований главное — учесть ОДЗ в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего остается выражение для которого ОДЗ:

Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено, поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала (и учитываем, что а затем —

При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем таким образом, и в этом случае не равенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.

Определение логарифмической функции

Если величины и связаны уравнением , то называют логарифмической функцией от . Возьмем и будем придавать независимому переменному значения, равные целым положительным числам. Составим для значений таблицу:

Заметим, что в этой таблице значения растут в геометрической прогрессии, в то время как значения растут в арифметической прогрессии. Это будет иметь место во всех случаях, когда а больше единицы. Если давать значения, образующие убывающую геометрическую прогрессию с положительными членами, то будет принимать значения убывающей арифметической прогрессии, как это видно из таблицы:

Напомним, что отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов, точнее, они не имеют действительных логарифмов.

При график функции имеет вид, указанный на рис. 33 ().

Логарифм числа. Исследование

1)Запишите вместо х такие числа, чтобы равенства были верными.

а) 2^х = 16 б) 3^х = 9 в) 4^х = 64

2)При каких значениях аргумента функция у = 2^х получает значение равное 6? Является ли это значение х единственным?

3)Между какими двумя целыми числами находятся значения х удовлетворяющие равенствам? а) 2^х = 24 б) 3^х = 18 в) 4 ^х= 56

Что такое логарифм

Логарифмом по основанию а числа b, называется такое число, что

при возведении числа а в эту степень получится число b .

Это записывается так . Здесь, при число а и b положительные действительные числа. Запись является логарифмической записью равенства и наоборот запись

является экспоненциальной записью для равенства .

То есть записи и эквивалентны.

Равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Пример №24

Заменим логарифмическую запись экспоненциальности.

Решение:

логарифмическая запись: экспоненциальная запись:

Пример №25

Найдём значение логарифмического выражения.

Решение:

Логарифм чисел по основанию 10 и е соответственно обозначаются как . Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом, по основанию е – натуральным логарифмом.

При вычислении логарифмов можно пользоваться калькулятором. Например, виртуальным калькулятором по адресу http://web2.0calc.com

Исследование. Постройте в тетради таблицу значений и график функций обратной ей функции . Запишите своё мнение о полученных функциях.

Логарифмическая функция

Для каждого значения области определения функции соответствует единственное значение из области значений, т.е. для функции существует обратная функция .

Значит, если график функции отразить симметрично относительно прямой у = х, то получим график функции .

1)Область определения логарифмической функции все

положительные числа:

2)Множество значений логарифмической функции множество всех действительных чисел:

3)При логарифмическая функция является возрастающей, при убывающей.

4)График функции пересекает ось абсцисс в точке (1; 0). В качестве примера для на рисунке даны графики .

Постройте графики в тетради.

Если , то при логарифмическая функция принимает отрицательные значения, при принимает положительные значения.

В качестве примера для на рисунке даны графики функций у = log_i_ х, у .

Постройте графики в тетради.Если , то при логарифмическая функция принимает положительные значения, при принимает отрицательные значения.

Логарифмическая шкала и решение задач

В химии: Показатель рН-мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность. Для вычисления уровня рН в растворах используется формула

Здесь, Н+ концентрация ионов в мол/л. Из формулы следует, что при увеличении показателя рН па 1 единицу, концентрация ионов в растворе увеличивается в 10 раз. По шкале рН значения показателя рН изменяются от 0 до 14. Если рН равно 7, то раствор считается нейтральным, меньше 7 – кислым, больше 7 – щелочным.

В физике: Громкость звука измеряется в децибелах и вычисляется по формуле . Здесь I – интенсивность звука (ватт/м²), I₀ – наименьшая интенсивность звука, которую различает человеческое ухо (принято 10^-12 ватт/м²). Человеческое ухо может различать звуки в очень большом диапазоне от 0 dB (тишина) до 180 dB.

Землетрясение. В 1935 году американский сейсмолог Чарлз Рихтер вывел формулу и создал логарифмическую шкалу определения силы землетрясения (она называется шкалой Рихтера). Здесь М -сила землетрясения (в баллах), А – максимальная амплитуда волны (в микронах), зарегистрированная на сейсмографе, А_о– амплитуда (принято 1 микрон (10 ^-6м)) самой маленькой сейсмической волны зарегистрированной сейсмографом (её называют “нулём землетрясения”). Формулу можно записать иначе, как . Таким образом, по шкале Рихтера, амплитуда сейсмической волны в 4 балла в 10 раз больше амплитуды сейсмической волны в 3 балла.

Биология. Биологи по длине следа слона, могут, приблизительно, определить его возраст ( а). Для этого они используют формулу .

Свойства логарифмов

произведение степеней:
отношение степеней:
возведение степени в степень:

1. Логарифм произведения:

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Здесь и , х и у – положительные действительные числа.

2. Логарифм частного:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов. Здесь и , х и у – положительные действительные числа.

3. Логарифм степени:

Логарифм степени числа равен произведению степени и логарифма этого числа. Здесь и , х – положительное действительное число.

Свойство 1.

Доказательство свойства 1:

Обозначим

Свойство 2.

Доказательство свойства 2:

Обозначим .

Свойство 3.

Доказательство свойства 3:

Обозначим

Используя свойства логарифмов, запишите данные выражения через логарифмы положительных чисел х, у и z.

Пример:

Используя свойства логарифмов запишите в виде логарифма какого-либо числа вида .

Пример:

Запишите в виде логарифма следующие выражения, зная, что переменные могут принимать только положительные значения.

Пример:

Переход к новому основанию:

По основному логарифмическому тождеству и свойству степени логарифма имеем:

Отсюда:

В частном случае при

На многих калькуляторах существуют кнопки для вычисления только десятичного логарифма (lg) и натурального логарифма (In). Поэтому, возникает необходимость представлять логарифмы в виде десятичных и натуральных логарифмов.

Пример:

Запишите в виде : а) десятичного; б) натурального логарифма и вычислите.

Логарифм числа и его свойства

Логарифм числа:

Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить b. Обозначение:

поскольку

так как

поскольку

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение:

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию — иррациональное число, приближенное значение которого:

Обозначение:

2. Основное логарифмическое тождество

3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием

Следствия

Объяснение и обоснование:

Логарифм числа в высшей математике

Если рассмотреть равенство то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:

Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа — мы познакомимся в этом параграфе.

В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства (где найти показатель Результат выполнения этой операции обозначается Таким образом, логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

2) Например: 1) поскольку поскольку

3) поскольку

Отметим, что при положительных уравнение всегда имеет единственное решение, поскольку функция принимает все значения из промежутка является возрастающей, а при — убывающей (рис. 126).

Итак, каждое свое значение функция принимает только при одном значении Следовательно, для любых положительных чисел уравнение имеет единственный корень

При уравнение не имеет корней, таким образом, при значение выражения не существует.

Например, не существуют значения

Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается

Например,

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в разных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число (такое же знаменитое, как и число Число как и число — иррациональное, Логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается

Например,

Основное логарифмическое тождество

где

Например:

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Во всех приведенных ниже формулах

1) Из определения логарифма получаем, что

поскольку Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

2) Поскольку то

3) Чтобы получить формулу логарифма произведения обозначим Тогда по определению логарифма

Перемножив почленно два последних равенства, имеем По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Таким образом,

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Таким образом,

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитывая, что при по формуле (4) имеем: To есть при можно пользоваться формулой (можно не запоминать эту формулу, а каждый раз записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).

Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения и в том случае, когда числа оба отрицательные Тогда и существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений В случае имеем и теперь

Таким образом, для логарифма произведения можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при можем записать:

Отметим, что полученная формула справедлива и при поскольку в этом случае Таким образом, при

Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):

при при

Формула перехода к логарифмам с другим основанием

Пусть Тогда по определению логарифма Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию Получим

Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем Тогда Учитывая, что получаем где

Таким образом, логарифм положительного числа по одному основанию а равен логарифму этого же числа по новому основанию деленному на логарифм прежнего основания а по новому основанию

С помощью последней формулы можно получить следующие следствия.

Учитывая, что имеем где
Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при

Записав полученную формулу справа налево, имеем где

Примеры решения задач:

Пример №26

Вычислите:

Решение:

1) поскольку

2) так как

Комментарий:

Учитывая определение логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.

Пример №27

Запишите решение простейшего показательного уравнения:

Комментарий:

Для любых положительных чисел уравнение имеет единственный корень. Показатель степени в которую необходимо возвести основание чтобы получить называется логарифмом по основанию поэтому

Решение:

По определению логарифма:

Пример №28

Выразите логарифм по основанию 3 выражения (где и

через логарифмы по основанию 3 чисел (Коротко говорят так «Прологарифмируйте заданное выражение по основанию 3».)

Комментарий:

Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

После этого учтем, что каждый из логарифмов степеней равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени, а также то, что

Решение:

Пример №29

Известно, что Выразите через

Решение:

Комментарий Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения

Пример №30

Прологарифмируйте по основанию 10 выражение

Комментарий:

Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае когда Из условия не следует, что в данном выражении значения с положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования а также учтем, что

Решение:

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.

Пример №31

Найдите х по его логарифму:

Решение:

Комментарий:

Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-то выражения.

Из полученного равенства получаем (значение удовлетворяющее равенству (1), — единственное).

Пример №32

Вычислите значение выражения

Комментарий:

Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством:

Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма (к основанию 5).

Решение:

Поскольку то

Кроме того,

Тогда

Итак

Логарифмическая функция, ee свойства и график

Определение. Логарифмической функцией называется функция вида

График логарифмической функции:

Функции — взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат: с осью с осью

5. Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает при на всей области определения

функция убывает при на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Объяснение и обоснование:

Понятие логарифмической функции и ее график

Логарифмической функцией называется функция вида

Покажем, что эта функция является обратной к функции Действительно, показательная функция возрастает на множестве а при — убывает на множестве . Область значений функции — промежуток Таким образом, функция обратима (с. 141) и имеет обратную функцию с областью определения и областью значений Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства выразить через и в полученной формуле аргумент обозначить через а функцию — через Тогда из уравнения по определению логарифма получаем — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через а функция — через Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу — функции, обратной к функции

Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Таким образом, график функции можно получить из графика функции у = ах симметричным отображением относительно прямой На рисунке 127 приведены графики логарифмических функций при и при График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции, указанные в пункте 8 таблицы 54. Другие свойства функции прочитаем из полученного графика этой функции или обоснуем, опираясь на свойства функции

Областью определения функции является множество всех положительных чисел
Областью значений функции является множество всех действительных чисел (тогда функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).
Функция не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.
График функции не пересекает ось поскольку на оси а это значение не принадлежит области определения функции График функции пересекает ось в точке поскольку при всех значениях
Из графиков функции приведенных на рисунке 127, видно, что прu функция возрастает на всей области определения, а при — убывает на всей области определения. Это свойство можно обосновать, опираясь не на вид графика, а только на свойства функции Например, при возьмем По основному логарифмическому тождеству можно записать: Тогда, учитывая, что имеем Поскольку при функция является возрастающей, то из последнего неравенства получаем А это и означает, что при функция возрастает на всей области определения. Аналогично можно обосновать, что при функция убывает на всей области определения.
Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции пересекает ось в точке то, учитывая возрастание функции при и убывание при имеем:

Примеры решения задач:

Пример №33

Найдите область определения функции:

Решение:

Область определения функции задается неравенством Отсюда То есть
Область определения функции задается неравенством Это неравенство выполняется при всех действительных значениях Таким образом,
Область определения функции задается неравенством Решая это квадратное неравенство, получаем или (см. рисунок).

То есть

Комментарий:

Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения заданной функции необходимо найти те значения аргумента при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.

Пример №34

Изобразите схематически график функции:

Комментарий:

Область определения функции — значения следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси Этот график пересекает ось в точке

При логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №35

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований.

Пример №36

Сравните положительные числа зная, что:

Решение:

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции в точках

Используем возрастание или убывание соответствующей функции:

Пример №37

Сравните с единицей положительное число зная, что

Решение:

Поскольку а из условия получаем, что (то есть то функция убывающая, поэтому

Комментарий:

Заказать решение задач по высшей математике

Решение логарифмических уравнении и неравенств

Основные определения и соотношения:

Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

График функции

– возрастает

– убывает

Решение простейших логарифмических уравнений:

Если — число то (используем определение логарифма)

Пример №38

Ответ: 10.

Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то гарантируем, что получаем уравнения следствия. При использовании уравнений”следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление по” сторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример №39

По определению логарифма получаем

Проверка. — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);

— корень

Ответ: 2.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений:

Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №40

Замена переменных:

Замена:

Следовательно, Тогда

Ответ:

Пример №41

Уравнение вида

(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)

ОДЗ:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ);

— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ).

Ответ: 3.

1. Учитываем ОДЗ данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ);

2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и обратном направлениях с сохранением верного равенства

ОДЗ:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ);

— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Ответ:1.

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических уравнений

Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при (см. графики в пункте 1 табл. 55), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма:

Если рассмотреть уравнение и выполнить замену переменной: то получим простейшее логарифмическое уравнение имеющее единственный корень Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения

Следовательно, уравнения (2) и (3) — равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком то коротко этот результат можно записать так:

Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)).

Например, уравнение равносильно уравнению корень которого и является корнем заданного уравнения.

Аналогично записано и решение простейшего уравнения в таблице 55.

Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений

При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень заданного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Напомним, что хотя при использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения при использовании уравнений-следствий.

Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений-следствий и оформление такого решения приведены в пункте 3 таблицы 55.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.

Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида

Как уже говорилось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств Поскольку логарифмическая функция возрастает (при или убывает (при на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе Символично полученный результат зафиксирован в пункте 4 таблицы 55, а коротко его можно сформулировать так:

чтобы решить уравнение с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Пример использования этого ориентира приведен в таблице 55.

Замечание 1. Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения между собой равны, поэтому, если одно из этих значений будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств).

Например, уравнение рассмотренное в таблице 55, равносильно системе Но, учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения: мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, то приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении этого уравнения.

Замечание 2. Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4), и поэтому для нахождения корней уравнения (4): достаточно найти корни уравнения-следствия (5): и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)

Учитываем ОДЗ данного уравнения.
Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Например, решим уравнение с помощью равносильных преобразований.

Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.

Применим этот план к решению уравнения (8).

(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем перейти не только от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.)

Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение

Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:

Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: — корень, потому что удовлетворяет условиям ОДЗ; не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень

Замечание. Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий.

Примеры решения задач:

Пример №42

Решите уравнение

Решение:

Проверка. — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0),

— корень, поскольку имеем

Ответ: 14

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. Напомним, что при использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство будет верным, то и все последующие также будут верными.

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) также верно). Если равенства (1) и (2) верны (при тех значениях которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях существуют все записанные логарифмы, и тогда выражения — положительны. Следовательно, для положительных можно воспользоваться формулами: таким образом, равенства (3) и (4) также будут верны. Учитывая, что функция является возрастающей и, следовательно, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5).

Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих ее частей на получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы пользовались уравнениями-следствиями, то в конце необходимо выполнить проверку.

Пример №43

Решите уравнение

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью равносильных преобразований. Напомним, что для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Заметим, что на ОДЗ выражение может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому мы не имеем права применять к выражению формулу: (это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) будут равносильными. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 377. Также равносильность уравнений (2) и (3) может быть обоснована через возрастание функции которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Решение:

ОДЗ: Тогда

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Учитывая ОДЗ, получаем, что входит в ОДЗ, таким образом, является корнем;

не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.

Пример №44

Решите уравнение

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле

После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде Выполним замену Поскольку по ограничениям ОДЗ Тогда полученное дробное уравнение (1) равно-сильно квадратному уравнению (2).

Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Решение:

ОДЗ: На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению

Замена: Получаем:

(оба корня входят в ОДЗ).

Ответ: 16; 64.

Пример №45

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ:

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Замена:

Получаем:

Обратная замена дает

Отсюда или

Ответ: 0,1; 1000.

Комментарий:

Поскольку функция является возрастающей, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При применение формулы является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны.

Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.

Пример №46

Решите уравнение

Решение:

Замена: Получаем

Обратная замена дает – корней нет.

Ответ: 2

Комментарий:

Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению Как уже отмечалось (с. 376), ОДЗ данного уравнения для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений.

Поскольку и поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).

Пример №47

Решите систему уравнений

Решение:

По определению логарифма имеем Из второго уравнения последней системы получаем и подставляем в первое уравнение:

Тогда:

Проверка: решение заданной системы.

– постороннее решение

(под знаком логарифма получаем отрицательные числа).

Ответ: (1; 4).

Комментарий:

Например, решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что в случае, когда заданная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.

Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы следить за равносильностью выполненных преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел удовлетворяет условиям ОДЗ, а не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Пример №48

Решите систему уравнений

Решение:

ОДЗ:

Тогда из первого уравнения имеем

Замена дает уравнения

Обратная замена дает

Тогда из второго уравнения системы имеем

(не принадлежит ОДЗ),

(принадлежит ОДЗ).

Таким образом, решение данной системы

Ответ: (5:5)

Комментарий:

На ОДЗ следовательно, Тогда после замены имеем и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным.

Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).

Решение логарифмических неравенств

График функции :

Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств:

Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ:

Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ:

ОДЗ:

Функция возрастающая, тогда

Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

ОДЗ:

Функция убывающая, тогда Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

Решение более сложных логарифмических неравенств:

I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.

Схема равносильных преобразований неравенства:

1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).

2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

ОДЗ: На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: Замена Тогда то есть Решение этого неравенства (см. рисунок).

Обратная замена дает Тогда Учитывая, что функция является возрастающей, получаем: С учетом ОДЗ имеем:

Ответ:

II. Применяется общий метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству и используется схема:

Найти ОДЗ;
Найти нули
Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ;
Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству Обозначим

1. ОДЗ:

2. Нули функции: Тогда На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению (полученному по определению логарифма). То есть В ОДЗ входит только x = 3. Итак, f(x) имеет единственный нуль функции

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических неравенств

Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида

Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ: и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).

I. При логарифмическая функция возрастает на всей своей области определения (то есть при и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть

II. При логарифмическая функция убывает на всей своей области определения (то есть при и поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть

Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумента (то есть к выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение

при знак неравенства не меняется,
при знак неравенства меняется на противоположный.

Примеры использования этих ориентиров приведены в таблице 56.

Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): и неравенство (4): то из этих неравенств следует, что Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. пункт 2 табл. 56).

Аналогично обосновывается, что в случае II в системе неравенство (4) является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему.

Например, решим неравенство

(ОДЗ данного неравенства учтено автоматически, поскольку, если то выполняется и неравенство

Решаем неравенство Тогда отсюда (см. рисунок) — решение заданного неравенства (его можно записать и так:

Решение более сложных логарифмических неравенств

Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов.

учитываем ОДЗ данного неравенства;
следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет и решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства будут равносильными (на ОДЗ).

Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в таблице 56. Рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач:

Пример №49

Решите неравенство

Комментарий:

Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу для положительных можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ).

Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1) как значение логарифмической функции: (понятно, что эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлении и учтем, что

Решение:

ОДЗ: Тогда

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

Функция убывающая, таким образом,

Получаем Последнее неравенство имеет решения:

(см. рисунок).

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Пример №50

Решите неравенство

Решение:

Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция убывающая, получаем

то есть

Тогда

Учитывая, что функция возрастающая, получаем

Это неравенство равносильно системе которая равносильна системе

Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок).

Для неравенства (4) ОДЗ: нули функции

Для неравенства (5) ОДЗ: нули функции

Ответ:

Комментарий:

ОДЗ данного неравенства задается системой

При выполнении равносильных преобразований главное не записать ОДЗ, а учесть ее в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего неравенства остается выражение

для которого ОДЗ:

Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено и поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала (и учитываем, что а затем — При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем таким образом, и в этом случае неравенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.

Логарифмические функции и их нахождение

Как известно, если то каждому положительному значению соответствует единственное значение Поэтому равенство задаёт некоторую функцию с областью определения

Функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием

Примеры логарифмических функций:

Как связаны между собой функции

Равенство выражает ту же зависимость между что и этим двум равенствам отвечает один и тот же график {рис. 29). Чтобы от равенства перейти к нужно поменять местами переменные Поэтому и на графике следует поменять местами оси (рис. 30). Этот рисунок –

график функции только его оси размещены не так, как принято. Чтобы изобразить график функции в общепринятой системе координат, нужно весь рисунок отразить симметрично относительно прямой (рис. 31).

Итак, графики функций построенные в одной системе координат, симметричны относительно прямой

Последовательность описанных преобразований рассматриваемых функций для схематически изображена на рисунке 32.

Функции, графики которых симметричны относительно прямой являются взаимно обратными. В частности, функция обратная для функции

Если две функции взаимно обратные, то область определения одной из них является областью значений другой и наоборот.

Следует обратить внимание и на такое. Если одна из двух взаимно обратных функций на всей области определения возрастает, то и другая возрастает. Например, если функция

возрастает, то большему значению соответствует большее значение а большему значению — большее значение Тогда и в соотношениях большему значению соответствует большее значение т. е. функция также возрастает.

Из всего сказанного вытекают следующие свойства функции

Область определения — промежуток
Область значений — множество
Функция возрастает на всей области определения, если а если убывает.
Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.
Если то значения функции положительные при и отрицательные при
Если то значения функции положительные при и отрицательные при
График функции всегда проходит через точку

Несколько графиков логарифмических функций показано на рисунке 33.

Если известно значение основания логарифма, то график логарифмической функции можно построить по точкам, составив предварительно таблицу значений. Постройте таким образом графики функций и убедитесь, что первая из них — возрастающая, а вторая — убывающая.

Обратите внимание на такие утверждения:

если
если
если

Вы уже знаете, что графики функций симметричны относительно прямой А как расположены графики функций

Поскольку то понятно, что функции для одинаковых значений аргументов принимают противоположные значения. Это означает, что их графики симметричны относительно оси Примером являются графики функций изображённые на рисунке 34.

Показательные и логарифмические функции удобны для моделирования процессов, связанных с ростом населения, капитала, размножением бактерий, изменением атмосферного давления, радиоактивным распадом и т. п.

Пример №51

Найдите область определения функции

Решение:

Областью определения логарифмической функции является промежуток поэтому Корни уравнения равны поэтому множество решений неравенства такое:

Ответ.

Пример №52

Сравните числа:

Решение:

а) Функция убывающая, ибо Поскольку б) Приведём второй логарифм к основанию 0,5:

Из последнего неравенства следует, что Поскольку

Логарифмические выражения
Показательная функция, её график и свойства
Производные показательной и логарифмической функций
Показательно-степенные уравнения и неравенства
Дифференциал функции
Дифференцируемые функции
Техника дифференцирования
Дифференциальная геометрия

Источник

Логарифмическое уравнение: решение на примерах

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x₊₁(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

так как выражения log₂(-8) и log₂(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log₂х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x₁, x₂, . . . ,x_n существует тождество :

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log_a1= 0, следовательно,

А значит имеет место равенство:

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. и преобразовываем в и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Свойства логарифмов

Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

( основное свойство логарифмов ),

Проверь удачу, набери 60+

Математика – это систематицация и результат, а общественные науки и история – процесс осмысления результата.

Пример Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь .
Делаем проверку
Записываем ответ.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма: Применяем эти знания и получаем: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим: Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: Делаем проверку: Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x₊₁(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием. Преобразуем правую часть уравнения: Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему: Перепишем нашу систему: Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: Теперь решаем наше уравнение: Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

[spoiler title=”источники:”]

http://exceltut.ru/kak-reshat-logarifmicheskie-uravneniya-podrobnyj-razbor-primerov/

http://100urokov.ru/predmety/urok-9-uravneniya-logarifmicheskie

[/spoiler]

( формула перехода к новому основанию логарифмов ),

( основное свойство логарифмов ),

( формула перехода к новому основанию логарифмов ),

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 )

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ.

log a ( f ( x ) g ( x ) )

определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму

log a f ( x ) + log a g ( x )

, мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 )

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

log_a a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

log_a 1 = 0 – логарифмический ноль.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: То есть в нашем случае: То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Разберем другой пример: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение: Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение: Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Сравнение логарифмов

log

> log

– знак неравенства меняется

log

– знак неравенства не меняется

Если 1 1, то log

> log

Если 0 1, то log

> log

Если 1

Если 0

Источник

Функцию, заданную формулой

y=logax

, называют логарифмической функцией с основанием (a).

Основные свойства логарифмической функции:

1) область определения

D(f)=0;+∞

;

2) множество значений

E(f)=−∞;+∞

;

3) если (a>1), то функция возрастает на всей области определения;

если (0<a<1), то функция убывает на всей области определения.

Обрати внимание!

Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
не ограничена сверху, не ограничена снизу;

график любой логарифмической функции

y=logax

проходит через точку ((1; 0)).

Построим графики двух функций.

Пример:

y=log2x

, основание (2>1)

(x)	14	12	(1)	(2)	(4)	(8)
y=log2x	(-2)	(-1)	(0)	(1)	(2)	(3)

Пример:

y=log13x

основание (0<)

(<1)

(x)	(9)	(3)	(1)	13	19
y=log13x	(-2)	(-1)	(0)	(1)	(2)

Логарифмическая функция

y=logax

и показательная функция

y=ax

, где

(a>0,a≠1)

, взаимно обратны.

Источник

Заданная формулой f(x) = log_ax функция является логарифмической.

При этом:

основание a должно быть строго положительным и, одновременно, не равным единице (a>0, a≠1);
подлогарифмическое выражение или аргумент функции – больше нуля (x>0).

Свойства логарифмической функции
График логарифмической функции

Свойства логарифмической функции

Область определения: функция определена при всех неотрицательных x.
D(y): x∈(0;+∞).
Область значений: все множество действительных чисел.
E(y): y∈(−∞;+∞).
Функция не относится ни к четным, ни к нечетным.
Значение любой логарифмической функции равно нулю при аргументе x=1.
Логарифмическая функция y = log_a x является обратной функцией к показательной x=a^y.

График логарифмической функции

Непрерывную кривую логарифмической функции часто называется логарифмикой. Она не имеет экстремума и является:

Примечание: График логарифмической функции всегда пересекает ось абсцисс в точке с координатами (1;0).

Источник

Логарифмическая функция

Определение. Логарифмическая функция – это функция вида y = log_a x, x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Свойства логарифмической функции

Область определения: D(y): x ϵ (0; +∞).

Подлогарифмическое выражение – положительное. График не пересекает ось Oy.
Множество значений: E(y): y ϵ (-∞;+∞).
Четность / нечетность: функция ни четная, ни нечетная
Нули функции: при x = 1 логарифмическая функция y = log_a x приобретает значение, равное 0.

График пересекает ось Ox в точке (1; 0).
Интервалы монотонности:

При a > 1 функция возрастает на интервале (0; +∞).

При 0 < a < 1 функция убывает на интервале (0; +∞).
Экстремумы функции: функция не имеет экстремумов.
Интервалы выпуклости / вогнутости:

При a > 1 график функции выпуклый на интервале (0; +∞).

При 0 < a < 1 график функции вогнутый на интервале (0; +∞).
График логарифмической функции:

y = log₂ x
Из равенства логарифмов двух чисел по одному и тому же основанию следует равенство самих чисел:

log_a x = log_a y => x = y, a > 0, a ≠ 1.

Источник