Как найти обе точки прямой

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x – x 1 a x = y – y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 ) и координатами лежащих на них точках M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 или x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x = x 1 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 – y 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 – y 1 ) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 – 5 , 2 3 , M 2 1 , – 1 6 .

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = – 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = – 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x – ( – 5 ) 1 – ( – 5 ) = y – 2 3 – 1 6 – 2 3 ⇔ x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 ( 1 , 1 ) и M 2 ( 4 , 2 ) в системе координат О х у .

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x – 1 4 – 1 = y – 1 2 – 1 ⇔ x – 1 3 = y – 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x – 1 3 = y – 1 1 ⇔ 1 · x – 1 = 3 · y – 1 ⇔ x – 3 y + 2 = 0

Ответ: x – 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у , которая проходит через точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x – x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 – y 1 x 2 – x 1 b = y 1 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 1 или k = y 2 – y 1 x 2 – x 1 b = y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x + y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 1 или y = y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x + y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 ( 2 , 1 ) и y = k x + b .

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 ( – 7 , – 5 ) и M 2 ( 2 , 1 ) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что – 5 = k · ( – 7 ) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему – 5 = k · – 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

– 5 = k · – 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = – 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = – 5 + 7 k 2 k – 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = – 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = – 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = – 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = – 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x – 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 ( 2 , 1 ) и M 1 ( – 7 , – 5 ) , имеющее вид x – ( – 7 ) 2 – ( – 7 ) = y – ( – 5 ) 1 – ( – 5 ) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · ( x + 7 ) = 9 · ( y + 5 ) ⇔ y = 2 3 x – 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x – 1 3 .

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y , a z ) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) , где прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 = z – z 1 z 2 – z 1 или x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 = z – z 2 z 2 – z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 – y 1 ) · λ z = z 1 + ( z 2 – z 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 – x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 – y 1 ) · λ z = z 2 + ( z 2 – z 1 ) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 ( 2 , – 3 , 0 ) и M 2 ( 1 , – 3 , – 5 ) .

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 = z – z 1 z 2 – z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = – 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = – 3 , z 2 = – 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x – 2 1 – 2 = y – ( – 3 ) – 3 – ( – 3 ) = z – 0 – 5 – 0 ⇔ x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5

Ответ: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Время чтения: 26 минут

В этой статье мы рассмотрим концепцию уравнения прямой прямой. Мы попытаемся понять общее уравнение прямой, формулу прямой, способ нахождения уравнения прямой и откроем для себя другие интересные аспекты этого. Попробуйте свои силы в решении нескольких интересных примеров и вопросов для лучшего понимания концепции.

Уравнение прямой — может быть записано в различных формах. Прямая линия -это двумерная геометрическая фигура, которая простирается на обоих своих концах до бесконечности.

Для того чтобы освоить описанные приемы, необходимо много практиковаться, чтобы они стали привычными.

После прочтения информации по этой теме вы должны уметь:

• находить уравнение прямой прямой, учитывая ее наклон и пересечение с осью y;
• находить уравнение прямой, учитывая ее наклон и одну точку, лежащую на ней;
• найти уравнение прямой, учитывая две точки, лежащие на ней;
• дать уравнение прямой в любой из форм y = mx + c или ax + by + c = 0

Уравнения прямых могут принимать различные формы в зависимости от фактов, которые мы знаем о прямых. Итак, для начала предположим, что у нас есть прямая линия содержащая точки из следующего списка.

На прямой есть еще много точек, но уже достаточно, чтобы увидеть закономерность. Если мы возьмем любое значение x и прибавим 2, мы получим соответствующее значение y: 0 + 2 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, и так далее. Между координатами x и y любой точки на прямой существует фиксированная зависимость, и уравнение y = x + 2 всегда верно для точек на прямой. Мы можем обозначить прямую, используя это уравнение.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат с заданным коэффициентом

Предположим, что у нас есть прямая с уравнением y = x. Тогда для каждой точки на прямой координата y должна быть равна координате x. Таким образом, прямая будет содержать точки из следующего списка.

Мы можем найти коэффициент прямой, используя формулу для нахождения коэффициента:

Далее следует подставить первые два набора значений из таблицы. Получаем:

Таким образом, коэффициент этой прямой равен 1.

А как насчет уравнения y = 2x? Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на y в два раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующем списке.

Если мы вычислим коэффициент прямой y = 2x, используя первые два набора значений в таблице, то получим:

Таким образом, коэффициент этой прямой равен 2.

Теперь возьмем уравнение y = 3x. Оно также представляет собой прямую линию, и для всех точек на прямой. Каждая точка y в три раза больше соответствующего значения x. Таким образом, линия будет содержать точки из следующего списка.

Если мы вычислим коэффициент прямой y = 3x, используя первые два набора значений в таблице, мы получим:

Следовательно, коэффициент этой прямой равен 3.

Мы можем начать видеть здесь закономерность. Все эти прямые имеют уравнения, где y равно некоторому числу, умноженному на x. И в каждом случае линия проходит через начало координат, а коэффициент прямой равен m.

Таким образом, если бы у нас была прямая с уравнением y = 13x, то мы бы указали, что коэффициент прямой будет равен 13. Аналогично, если бы у нас была прямая с уравнением y = -2x, то коэффициент будет равен -2. Таким образом, в общем случае уравнение y = mx представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с коэффициентом m.

Уравнение прямой с коэффициентом m, проходящей через начало координат, имеет вид:

Пересечение прямой y

Рассмотрим прямую линию с уравнением y = 2x + 1. Это уравнение имеет несколько иную форму в отличие от тех, которые мы видели ранее. Чтобы нарисовать график прямой, мы должны вычислить некоторые значения.

Обратите внимание, что при x = 0 значение y равно 1. Значит, эта прямая пересекает ось y в точке y = 1.

А как насчет прямой y = 2x + 4? Мы снова можем вычислить некоторые значения.

Эта линия пересекает ось y в точке y = 4.

А как насчет прямой y = 2x — 1? Мы снова можем вычислить некоторые значения.

Эта линия пересекает ось y в точке y = — 1.

Общее уравнение прямой — y = mx + c, где m — коэффициент, а y = c — значение на оси у, при через которое проходим прямая.

Это число c является пересечением с осью y.

Уравнение прямой с коэффициентом m и точкой пересечения c на оси y имеет вид:

Иногда нам задают уравнение прямой в другой форме. Предположим, у нас есть уравнение 3y — 2x = 6. Как показать, что оно представляет собой прямую линию, и найти ее коэффициент и значение точки пересечения с осью y?

Мы можем использовать алгебраическую перестановку, чтобы получить уравнение в виде y = mx + c:

Теперь уравнение находится в стандартной форме, и мы видим, что коэффициент равен [frac<2><3>], а значение точки пересечения с осью y равно 2.

Мы также можем работать в обратном направлении. Предположим, мы знаем, что прямая имеет коэффициент [frac<1><5>] и имеет вертикальное пересечение в точке y = 1. Каким будет ее уравнение?

Чтобы найти уравнение, достаточно подставить нужные значения в общую формулу y = mx + c.

Здесь m равно [frac<1><5>], а c — 1, поэтому уравнение равно y =[frac<1><5>]x + 1. Если мы хотим убрать дробь, мы можем также привести уравнение к виду 5y = x + 5, или 5y — x — 5 = 0.

Уравнение прямой прямой с заданным коэффициентом, проходящее через заданную точку на оси у

Предположим, что мы хотим найти уравнение прямой с коэффициентом [frac<1><3>], которое проходит через точку (1, 2). Здесь, хотя мы знаем коэффициент, мы не знаем значение точки пересечения с осью у, оно равно c.

Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c.

Мы знаем, что коэффициент равен [frac<1><3>], именно поэтому мы можем сразу подставить это значение на место m. Это дает: [y=frac<1> <3>x+c]

Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через (1, 2). Это означает, что когда x = 1, y должно быть равна 2. Подставляя эти значения, находим:

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:

Мы можем вывести общую формулу для задач такого типа, используя тот же метод. Мы возьмем общую прямую с коэффициентом m, проходящую через фиксированную точку [mathrmleft(x_<1>, y_<1>right)].

Начнем с общего уравнения прямой y = mx + c. Теперь мы используем тот факт, что прямая проходит через точку [mathrmleft(x_<1>, y_<1>right)]. Это означает, что при x = [x_<1>], y должно быть [y_<1>]. Подставляя эти значения, находим:

Таким образом, уравнение прямой имеет вид y = mx + [y_<1>-mathrm x_<1>].

Мы можем записать его в альтернативной форме

Тогда это прямая с уклоном m, проходящая через точку [left(x_<1>, y_<1>right)]. Таким образом, эта общая форма полезна, если вы знаете коэффициент и одну точку на прямой.

Уравнение прямой с коэффициентом m, проходящей через точку [left(x_<1>, y_<1>right)], имеет вид:.

Например, мы знаем, что прямая имеет коэффициент -2 и проходит через точку (-3, 2).

Мы можем воспользоваться формулой [y-y_<1>=mleft(x-x_<1>right)] и сразу подставить значения:

Упражнение 1

Найдите уравнение описанных ниже прямых (приведите уравнение в виде y = mx + c):

(1) коэффициент 3, проходящей через (1, 4);

(2) коэффициент -2, проходящей через (2, 0);

(3) коэффициент [frac<2><5>], проходящий через (5, -1);

(4) коэффициент 0, проходящий через (-1, 2);

(5) коэффициент -1, проходящий через (1, -1).

Глава 1. Уравнение прямой (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

Глава 1. Уравнение прямой

Геометрия развивается по многим направлениям. Возникновение компьютеров привело к появлению такой области математики как вычислительная геометрия. При создании современных приложений часто требуется разработка эффективных алгоритмов для определения взаиморасположения различных объектов на плоскости, вычисления расстояний между ними, вычисления площадей фигур и др.

В данной главе излагается материал, частично известный вам из курса математики. Мы рассмотрим методы решения геометрических задач, которые эффективно реализуются с помощью компьютера, что позволит вам по другому взглянуть на вопросы, изучаемые в рамках школьного курса геометрии. Для этого придется воспользоваться аналитическим представлением геометрических объектов.

1. 1. Формы записи уравнения прямой

В задачах часто приходится задавать на плоскости различные геометрические объекты. Простейшими геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точка задается указанием своих координат, например A(15; –5), B(x1; y1). Прямую можно задавать с помощью уравнения прямой. Существуют различные формы записи уравнения прямой. Выбор какой-то конкретной зависит от исходных данных, задающих прямую на плоскости. (Могут быть заданы координаты двух точек, через которые проводится прямая, или коэффициенты при неизвестных в линейном уравнении).

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени. Уравнение вида

называется общим уравнением прямой.

Если в общем уравнении прямой коэффициент при y не равен нулю, то уравнение можно разрешить относительно y:

Обозначая k = и b = ,

получаем уравнение вида y = kx + b. Если же B = 0, то уравнение имеет вид

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Oy, считая от начала координат (рис. 1).

Уравнение y – y0 = k(x–x0) – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, которая проходит через точку с координатами (x0; y0).

Рассмотрим две точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), лежащие на прямой y = kx + b. Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Вычитая из второго равенства первое, имеем y2 – y1 = k(x2 – x1), или

k =

Пусть точка с координатами (x; y) – произвольная точка на прямой, проходящей через точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2) ( рис. 2 ). Тогда, с учетом того факта, что она имеет тот же коэффициент наклона, получаем

k =

= или =

=

является уравнением прямой, которая проходит через точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2). Недостатком этой формулы является ее неопределенность при x1 = x2 и (или) y1 = y2. Поэтому ее лучше использовать в виде

Алгоритм для определения значений коэффициентов A, B, C общего уравнения прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим [1] :

C:= – x1*(y2 – y1)+y1*(x2 – x1)

Рассмотрим пример: x1 = 0, y1 = 0, x2 = 1, y2 = 2. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2) будет следующим:

C = –x1 * (y2 – y1) + y1 * (x2 – x1) = 0 * 2 + 0 * 1 = 0. ЌСледовательно, уравнение прямой будет иметь вид 2х – у = 0.

1. 2. Положение точек относительно прямой

Множество точек прямой, проходящей через две точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), удовлетворяет уравнению

Это значит, что если имеется точка с координатами (x0; y0) и (x0 – x1) * (y2 – y1) – (y0 – y1) * (x2 – x1) = 0, то эта точка лежит на прямой. B дальнейшем, вместо выражения (x – x1) * (y2 – y1) – (y – y1) * (x2 – x1) мы иногда будем использовать для краткости обозначение Ax + By + C или f(x1, y1, x2, y2, x, y).

Прямая Ax + By + C = 0, проходящая через две заданные точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), разбивает плоскость на две полуплоскости. Рассмотрим возможные значения выражения Ax + By + C.

1) Ax + By + C = 0 – определяет геометрическое место точек, лежащих на прямой.

Запишем алгоритм для определения, лежит ли точка с координатами (x3; y3) на прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2). Переменная P – переменная логического типа, которая имеет значение “истина”, если точка лежит на прямой и “ложь” в противном случае.

если (x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)=0

2) Ax + By + C > 0 – определяет геометрическое место точек, лежащих по одну сторону от прямой.

3) Ax + By + C рис. 3 точки (x3; y3) и (x4; y4) лежат по одну сторону от прямой, точки (x3; y3) и (x5; y5) по разные стороны от прямой, а точка (x6; y6) лежит на прямой.

Рассмотрим пример: x1 = 1, y1 = 2, x2 = 5, y2 = 6. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим:

Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид 4х – 4у + 4 = 0 или x – y + 1 = 0. Подставим координаты точек (3; 4), (1; 1), (2; 0), (0; 2) в уравнение прямой. Получим:

1 * 3 – 1 * 4 + 1 = 0, 1 * 2 – 1 * 0 + 1 > 0,

1 * 1 – 1 * 1 + 1 > 0, 1 * 0 – 1 * 2 + 1 L:=”по одну”

Z1:=(x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)

Z2:=(x4 – x1)*(y2 – y1) – (y4 – y1)*(x2 – x1)

½ то L:=”по разные” (1. 3)

1.3. Взаимное расположение двух отрезков

Пусть нам необходимо определить взаимное расположение двух отрезков. Отрезки на плоскости заданы координатами своих концевых точек. Предположим, что концевые точки одного из отрезков имеют координаты (x1; y1) и (x2; y2), а концевые точки другого – (x3; y3) и (x4; y4). Пусть общее уравнение первой прямой, проходящей через точки (x1;y1) и (x2;y2), имеет вид A1x + B1y + C1 = 0, а второй прямой, проходящей через точки (x3;y3) и (x4;y4), A2x + B2y + C2 = 0.

Определим расположение точек (x3; y3) и (x4; y4) относительно первой прямой. Если они расположены по одну сторону от прямой, то отрезки не могут пересекаться. Аналогично можно определить положение точек (x1; y1) и (x2; y2) относительно другой прямой.

Таким образом, если значения пары выражений Z1 = A1x3 + B1y3 + C1 и Z2 = A1x4 + B1y4 + C1 имеют разные знаки или Z1*Z2 = 0, а также пары Z3 = A2x1 + B2y1 + C2 и Z4 = A2x2 + B2y2 + C2 имеют разные знаки или Z3*Z4 = 0, то отрезки пересекаются. Если же значения пар выражений Z1 и Z2, или Z3 и Z4, имеют одинаковые знаки, то отрезки не пересекаются.

Различные случаи расположения отрезков показаны на рис. 4 .

На этом рисунке отрезки с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x4; y4), (x5; y5) пересекаются, отрезки с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x3; y3), (x4; y4) не пересекаются, а отрезки с концами в точках (x3; y3), (x4; y4) и (x4; y4) и (x5; y5) имеют общую вершину, что можно считать частным случаем пересечения.

Алгоритм для определения, пересекаются ли два отрезка с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x3; y3), (x4; y4) будет следующим:

Z1:=(x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)

Z2:=(x4 – x1)*(y2 – y1) – (y4 – y1)*(x2 – x1)

Z3:=(x1 – x3)*(y4 – y3) – (y1 – y3)*(x4 – x3)

Z4:=(x2 – x3)*(y4 – y3) – (y2 – y3)*(x4 – x3)

Приведенный фрагмент алгоритма не учитывает крайней ситуации, когда два отрезка лежат на одной прямой. В этом случае (x3 – x1) * (y2 – y1) – (y3 – y1) * (x2 – x1) = 0 и (x4 – x1) * (y2 – y1) – (y4 – y1) * (x2 – x1) = 0.

На рис. 5 отрезки, лежащие на одной прямой не пересекаются, а на рис. 6 – отрезки пересекаются.

Для того, чтобы определить взаимное расположение таких отрезков, поступим следующим образом. Обозначим

Здесь k1 является левой, а k2 – правой точкой проекции первого отрезка (отрезка, заданного координатами (x1; y1), (x2; y2)) на ось Ox. Аналогично k3 является левой, а k4 – правой точкой проекции второго отрезка (отрезка, заданного координатами (x3; y3), (x4; y4)) на ось Ox. Аналогично ищем преокции на ось OY.

Отрезки, лежащие на одной прямой будут пересекаться тогда, когда их проекции на каждую ось пересекаются. (Следует заметить, что если проекции двух произвольных отрезков пересекаются, то это не значит, что и сами отрезки пересекаются, что видно на рис. 7 ).

Для определения взаимного расположения проекций на ось OX воспользуемся следующим фактом (см. рис. 5 и рис. 6 ): координата левой точки пересечения проекций Lx равна max(k1; k3), т. е. максимальной из координат левых точек проекций. Рассуждая аналогично для правых точек проекций, получим, что координата правой точки Rx пересечения равна min(k2; k4). Для того, чтобы отрезки пересекались, необходимо, чтобы левая координата пересечения проекций была не больше правой координаты пересечения отрезков (такой случай имеет место на рис. 5 , когда Lx = х3, а Rx = х2). Поэтому условием пересечения проекций является выполнение неравенства Lx £ Rx. Аналогично можно вычислить величины Lу и Rу, беря соответствующие проекции на ось Оу.

Следует отметить, что длина пересечения проекций в этом случае равна величине Lx– Rx (если Lx– Rx = 0, то проекции имеют только общую точку).

1.4. Точка пересечения отрезков

Для определения места пересечения отрезков (если известно, что они пересекаются), достаточно определить точку пересечения прямых, на которых эти отрезки лежат.

Пусть A1x + B1y + C1 = 0 является уравнением прямой, проходящей через концевые точки первого отрезка, а A2x + B2y + C2 = 0 является уравнением прямой, проходящей через концевые точки второго отрезка.

Тогда для определения точки пересечения отрезков достаточно решить систему уравнений

Домножив первое уравнение на A2, а второе уравнение на A1, получим

Вычитая из первого уравнения второе, можно найти значение y:

y =

Аналогично можно вычислить значение x:

x =

Это справедливо в случае, если выражение A2 * B1 – A1 * B2 ¹ 0. Но мы уже знаем, что отрезки пересекаются и не лежат на одной прямой. А это невозможно, если A2 * B1 – A1 * B2 = 0.

2.1 Расстояния между точками. Расстояние от точки до прямой

Расстояние между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) на плоскости ( рис. 8 ) определяется по формуле

D = .

Расстояние от точки до прямой на плоскости определяется как длина отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Уравнение вида

,

где T = , причем С £ 0 (чего можно достигнуть изменением знака выражения), называется нормальным уравнением прямой. Это уравнение обладает тем свойством, что при подстановке координат произвольной точки в выражение (Ax + By + C)/T получается значение, по абсолютной величине равное расстоянию от точки до прямой ( рис. 9 ).

Запишем алгоритм для определения расстояния от точки (x3; y3) до прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2).

C:= – x1*(y2 – y1)+y1*(x2 – x1) (1. 5)

Рассмотрим пример: x1 = 0, y1 = 0, x2 = 3, y2 = 4 x3 = –1, y3 = 7. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим:

Т = = = = 5,

D = = = 5.

2.2. Расстояние между точкой и отрезком

Для определения расстояния между точкой и отрезком необходимо выяснить, пересекает ли перпендикуляр, опущенный из данной точки на прямую, проходящую через концы отрезка, сам отрезок. Если перпендикуляр пересекает отрезок, то расстояние между точкой и отрезком равно расстоянию между точкой и прямой, проходящей через отрезок. (Эту задачу вы уже умеете решать.)

Если перпендикуляр не пересекает отрезок, то расстояние между точкой и отрезком равно минимальному из расстояний между точкой и одним из концов отрезка.

Для определения взаимного расположения отрезка и перпендикуляра поступим следующим образом.

Рассмотрим треугольник, образованный тремя точками, две из которых (x1; y1) и (x2; y2) являются концами данного отрезка, а третья – данная точка с координатами (x3; y3) (см. рис. 10 , б, в). Конечно, может оказаться, что все точки лежат на одной прямой и такого треугольника не существует. В этом случае, однако, мы будем полагать, что треугольник существует, правда он вырожденный (особый). В вырожденном треугольнике длины сторон могут быть равными 0 (см. рис. 10 , а).

Более того, мы будем полагать, что данный отрезок является основанием рассматриваемого треугольника (см. рис. 10 , б, в).

При таких предположениях для решения исходной задачи нам достаточно определить, является ли один из углов при основании тупым или нет. Действительно, если один из углов при основании является тупым, то перпендикуляр, опущенный из вершины, соответствующей исходной точке, не попадает на основание (отрезок). Иначе перпендикуляр, опущенный из вершины, соответствующей исходной точке, попадает на основание (отрезок).

Для решения последней задачи воспользуемся следующим свойством. Пусть a, b, c – длины сторон треугольника, причем с – длина основания. Тогда треугольник является тупоугольным при основании, если

Поэтому, вычислив значения квадратов длин сторон, нетрудно определить, пересекает ли перпендикуляр, опущенный из точки (x3; y3) на прямую, отрезок с концами в точках (x1; y1) и (x2; y2). И если не пересекает, то расстояние от точки до отрезка равно минимуму из величин a, b. Если же пересекает, то необходимо воспользоваться свойством нормального уравнения прямой .

§ 3. Многоугольники

3.1. Виды многоугольников

Ломаной называется фигура, которая состоит из точек A1, A2, . An и соединяющих их отрезков A1A2, A2A3, . An – 1An ( рис. 11 , а). Точки называются вершинами ломаной, а отрезки – звеньями. Наиболее распространенным способом задания ломаной является использование таблицы, элементы которой соответствуют координатам вершин ломаной в порядке ее обхода из одного конца в другой. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Многоугольником называется замкнутая ломаная линия без самопересечений (рис. 11, б).

Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 11, в).

Обход плоского многоугольника называется положительным, если при обходе область расположена по левую руку, и отрицательным, если область остается по правую руку.

Расстояние между фигурами на плоскости определяется как длина минимального отрезка, один конец которого принадлежит одной фигуре, а второй конец – другой фигуре.

3.2. Выпуклость многоугольников

Многоугольник является выпуклым, если для каждой прямой, проходящей через любую его сторону, все остальные вершины лежат в одной полуплоскости относительно прямой. Проверим для каждой прямой, проходящей через вершины (x1; y1) и (x2; y2), (x2; y2) и (x3; y3), . (xn – 1; yn – 1) и (xn; yn), (xn; yn) и (x1; y1) взаимное расположение вершин многоугольника. Если они каждый раз расположены в одной полуплоскости относительно проведенной прямой, то многоугольник выпуклый. Если же найдется прямая, проходящая через одну из сторон, и пара вершин многоугольника, лежащих по разные стороны относительно проведенной прямой, то многоугольник не является выпуклым. Случаи выпуклого и невыпуклого многоугольников изображены на рис. 12.

Можно заметить, что для каждой прямой, проходящей через вершины (x1; y1) и (x2; y2), (x2; y2) и (x3; y3), . (xn – 1; yn – 1) и (xn; yn), (xn; yn) и (x1; y1) достаточно ограничится определением взаимного расположения вершин многоугольника (xn; yn) и (x3; y3), (x1; y1) и (x4; y4), . (xn – 2; yn – 2) и (x1; y1), (xn – 1; yn – 1) и (x2; y2), соответственно. Если они каждый раз расположены в одной полуплоскости относительно проведенной прямой, то многоугольник выпуклый. Если же найдется прямая и пара вершин многоугольника, лежащих по разные стороны относительно проведенной прямой, то многоугольник не является выпуклым. Поэтому для определения, является ли многоугольник выпуклым, достаточно воспользоваться алгоритмом

нц для i от 1 до n

½ j:= mod( i, n +1 ) : номер вершины после вершины i

½ k:= mod (j, n +1) : номер вершины после вершины j

½½ то m:=n : номер вершины перед вершиной i

[spoiler title=”источники:”]

http://www.napishem.ru/spravochnik/matematika/uravnenie-pryamoj-kotoraya-prohodit-cherez-dve-zadannye-tochki-primery-resheniya.html

http://pandia.ru/text/79/489/58441.php

[/spoiler]

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a, проходящей через две несовпадающие точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay, задается прямоугольная система координат Оху с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M1(x1, y1) с направляющим вектором  a→=(ax, ay).

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a, которая пройдет через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2).

Прямая а имеет направляющий вектор M1M2→ с координатами(x2-x1, y2-y1), так как пересекает точки М1 и М2. Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение  с координатами направляющего вектора M1M2→=(x2-x1, y2-y1) и координатами лежащих на них точках M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λ.

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

При необходимости  решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y=kx+b. Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b, при которых уравнение y=kx+b определяет линию в системе Оху, которая проходит через  точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), где x1≠x2. Когда x1=x2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М1М2 определена общим неполным уравнением вида x-x1=0.

Потому как точки М1 и М2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y1=kx1+bи y2=kx2+b. Следует решить систему уравнений y1=kx1+by2=kx2+b относительно k и b.

Для этого найдем k=y2-y1x2-x1b=y1-y2-y1x2-x1·x1 или k=y2-y1x2-x1b=y2-y2-y1x2-x1·x2.

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x1 или y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x2.

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), проходящая через них прямая M1M2, необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az и параметрические вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λспособны задать линию в системе координат Охуz, проходящую через точки, имеющие координаты (x1, y1, z1) с направляющим вектором a→=(ax, ay, az).

Прямая M1M2 имеет направляющий вектор вида M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), где прямая проходит через точку M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), отсюда каноническое уравнение может быть вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1, в свою очередь параметрические x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λz=z1+(z2-z1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λz=z2+(z2-z1)·λ.

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве  и уравнение прямой.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

.

Находим из (2) :

и подставим в уравнение (1):

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

   

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .

Из подобия треугольников и находим:

Из рисунка видно, что:

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

– получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :

Теперь координаты точки :

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ:

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.