Как найти объединение двух множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

– чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

– чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A, В и С, возможно сначала определить пересечение A и B, а затем найти пересечение полученного результата с множеством C. На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = {3, 9, 4, 3, 5, 21}, В = {2,7, 9, 21} и С = {7, 9, 1, 3}. Пересечение первых двух множеств составит: А∩В = {9, 21}, а пересечение полученного множества с множеством А∩В = {9, 21}. В итоге: А∩В∩С = {9}.

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = {1, 2}, В = {2, 3}, С = {1, 3, 4, 5}. К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B, а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C. Таким образом, объединение исходных множеств: А∪В∪С = {1, 2, 3, 4, 5}.

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

А = {3, 1, 7, 12, 5, 2} В = {1, 0, 2, 12} С = {7, 11, 2, 1, 6} D = {1, 7, 15, 8, 2, 6}.

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A, а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A∩B∩C∩D = {1, 2}.

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой -5,4. Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению (-∞, -5,4)∪ {-5,4} ∪(-5,4, +∞). Т.е. множество всех действительных чисел R = (-∞; +∞) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом (-∞, -5,4] или [-5,4, +∞). При этом множество R будет описываться следующими объединениями: (-∞, -5,4] ∪ (-5,4, +∞) или (-∞, -5,4) ∪ [-5,4, +∞)..

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал (7, 32] и точка 13, принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения (7, 13) ∪ {13} ∪ (13, 32] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество (7, 32] можно представить, как (7, 13] ∪ (13, 32] или (7, 13] ∪ (13, 32]. Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала (7, 32) и множества из одного элемента {32}. Таким образом: (7, 32] = (7, 32) ∪ {32}.

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами -6, 0, 8, которые разобьют ее на промежутки: (-∞, -6), (-6,0), (0, 8), (8, +∞). При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

(-∞, -6) ∪ {-6} ∪(-6,0) ∪ {0} ∪ (0, 8) ∪ {8} ∪ (8, +∞).

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B);

– точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B);

– промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B.

– точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B, над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B, а также всех невыколотых отдельных точек.

1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞). Начнем с множества (-∞, -3), наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A, ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество {-3}. Число -3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A, а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой -3 делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество (-3, 7).

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку – {7}. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [-3, +∞) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток (7, +∞).

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7, т.е.: А∩В = (7, +∞).

1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B. Последовательно проверим множества (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞), устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество (-∞, -3) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество (-∞, -3) не войдет в искомое объединение:

Множество {-3} входит в множество B, а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B:

Множество (-3, 7) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B:

Множество 7 входит в числовое множество B, поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество (7, +∞), являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А∩В = [-3, +∞).

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств и обычно обозначается ∪ , но иногда можно встретить запись в виде суммы .

Определения[править | править код]

Объединение двух множеств[править | править код]

Пусть даны два множества и . Тогда их объединением называется множество

Объединение семейства множеств[править | править код]

Пусть дано семейство множеств Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

Свойства[править | править код]

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане
• Операция объединения множеств коммутативна:

  

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:^[1]

  

• Пустое множество является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  

Примеры[править | править код]

• Пусть Тогда

• 

Примечания[править | править код]

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также[править | править код]

• Дизъюнктное объединение
• Операции над множествами

Пересечение, объединение и разность множеств

Решение некоторых математических задач предусматривает операции над множествами такие как пересечение, объединение, разность. Под множеством подразумевают объединение некоторых предметов в одно целое. Для совершения подобных действий требуется знание некоторых правил, которые позволят найти пересечение, объединение и разность множеств. О таких правилах пойдёт речь далее.

Обозначение множеств. Как записать объединение и пересечение множеств

При записи обозначения пересечения множеств и объединения множества чисел, используют специальный порядок символов. Самый лёгкий способ обозначить множество — это применение фигурных скобок, в середине которых элементы записаны через запятую.

А = {7, 3, 15, 31}

С помощью такой записи можно задать множество, если оно включает небольшое конечное число элементов. В связи с этим чаще применяется многофункциональный способ определения множеств – посредством характеристического свойства, которое свойственно всем элементам множества, которым не владеют объекты вне множества.

A = {x | P(x)} или A = {x : P(x)}

P(x) – характеристическое свойство множества A.

В таком виде объединение записывается следующим образом:

AUB={x|xєAvxєB}

а пересечение множеств записывается как:

AՈB={x|xєAᴧxєB}

Где символы v / ᴧ, обозначают «или» / «и», символ | обозначает «таких что».

Чтобы обозначить множества, как числовые интервалы, при записи применяют скобки круглой и квадратной формы. К примеру, запись [4,24), выражает цифровой диапазон от 4 до 24, при этом число 4 входит в состав множества, а 24 нет. Числа менее 24 принадлежат этому множеству.

Найти пересечение и объединение множеств. Операции над множествами

Чтобы легче запомнить данные знаки пересечения и объединения множеств, можно мысленно представить, что символ объединения U напоминает сосуд с открытым верхом, туда есть возможность что-то положить.

Символ пересечения Ո наоборот, выглядит как перевёрнутая ёмкость, в который невозможно поместить какой-либо предмет. Так же символ обозначающий пересечение Ո можно прочитать как «И».

Тогда выражение AՈB=C, читается так: “Все элементы, входящие в состав множества A и множества B, составляют элементы, которые принадлежат множеству C».

Правила нахождения объединения и пересечения и разности множеств

При формировании объединения числовых множеств, следует последовательно записать полностью части одного множества и их дополнить недостающими элементами из остальных. Операцию объединения в отдельных случаях называют сложением множеств и обозначают знаком «+».

Рассмотрим пример объединения числовых множеств A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B={2,4,6,8,10}. К имеющимся числовым составляющим множества A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 прибавим недостающую часть из множества B 10. Получившееся в результате объединения множество чисел будет выглядеть так {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Соответственно запись этого объединения:

AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Чтобы составить пересечение числовых множеств, следует последовательно выбирать части одного множества и удостовериться, входят ли они в другие исследуемые множества, входящие в их число и составляют пересечение.

Для того, чтобы найти пересечение этих же множеств, друг за другом, последовательно проанализируем числа множества A на их наличие в множестве чисел B. Начнём проверку с самого первого числа в множестве A это число 0. В множестве B данное число отсутствует и не войдёт в совокупность пересечения. Смотрим далее, число 1 из множества A так же имеется в составе множества B. Затем следует число 2, которое принадлежит множеству B и, следовательно, пересечению. Идущее за ним 3 не принадлежит A и B не входит в перечисление. Число 4 входит в A и B, значит войдёт и в объединение. Далее продолжаем проверять числа по аналогии. Итак, пересечение множеств A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B={2,4,6,8,10} состоит из чисел 2,4,6,8. При записи выглядит так:

AՈB={2,4,6,8}

Выполнение записи пересечения и объединения нескольких множеств

Если требуется выполнить операции с более чем двумя множествами, например: A, B, C, принцип действия подобный предыдущим примерам. В первую очередь находим пересечения A и B. Только затем пересечение полученного множества с C.

Следовательно, процесс нахождения пересечения более двух множеств осуществляется в несколько этапов.

Например, дано три множества A = {1,2,3,7,9}, B = {1,3,5,7,9} и C = {3,4,5,8,9}. Сначала находим пересечение AՈB = {3,9}, затем сравниваем полученное множество с C, это будут те же 3 и 9. Получаем, что пересечение A, B, C выглядит следующим образом:

AՈBՈC={3,9}

При определении объединений двух и более множеств, к числам первого множества последовательно добавляют отсутствующие элементы из второго, третьего и последующих множеств. К примеру, даны следующее множества A = {1,4}, B = {4,3,} и C = {1,3,6,7}. К числовым элементам 1 и 4 из множества A, прибавляем число 4 из множества B. Теперь, к получившемуся множеству 1,3,4 прибавляем цифры 6 и 7 из множества C. В конечном результате получаем объединение:

AUBUC = {1,3,4,6,7}

Для нахождения пересечения совсем не нужно писать много букв. Когда элементов не много, то множество возможно задать элементарным перечислением. Например, первое множество включает в себя числа 1,3,5, второе состоит из элементов 2,3,5. В данном случае, пересечение будет состоять из элементов 3 и 5. Для записи можно использовать прямое перечисление: {1,3,5} Ո {2,3,5} = {3,5}

Основные свойства объединения и перечисления множеств

1. Коммутативность или перестановка. Распространяется на все компоненты при любом их количестве.
   • AUB = BUA
   • AՈB = BՈA
2. Ассоциативность или расстановка скобок. Позволяет опускать скобки и делать решение проще.
   • (AՈB)ՈC = AՈ(BՈC)
   • (AUB)UC = AU(BUC)
3. Раскрытие скобок или дистрибутивность.
   • (AUB)ՈC=(AՈC)U(BՈC)
   • (AՈB)UC=(AUC)Ո(BUC)

Разностью A и B называется множество, которое включает в себя все элементы, каждое из которых принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Обозначается AB. Приведём пример, найдём разность множеств A = {1,2,3,4,5} и множества B = {2,4,6,8}. Первый вариант находим разность множества A. Запись будет выглядеть так: AB={1,3,5}, в которую не входят элементы, принадлежащие только B числа 6 и 8. Разность множества B при этом выглядит так: BA={6,8}, сюда соответственно не входят числа, принадлежащие только A.

Для закрепления материала пройденных уроков, рассмотрим ещё несколько примеров. Дана задача: A = {0,5,8,10}, B = {3,6,8,9} и X = {0,1,3} Y = {2,4,6}. Найдите пересечение, объединение для A, B и разность множеств X, Y. Решение:

Сначала найдём объединение исходных множеств A U B = {0,3,5,6,8,9,10}.

Затем пересечение A Ո B = {8}

Разность XY = {0,1,3} YX = {2,4,6}

Для того, чтобы выполнить операции над множествами пересечения, объединения, разность в количестве больше двух, следует рассматривать элементы, входящие в первое их них. Затем определить, относится ли этот элемент к каждому из проверяемых множеств. Если данное обстоятельство не соблюдено, то элемент не относится к пересечению. При проверке, лучше выбирать множество с наименьшим количеством элементов в составе.

Кроме перечисленных действий пересечения и объедения существует дополнение множеств и многие другие операции.

Отображение множеств с помощью координатной прямой

Для того, чтобы исследовать и обозначать множества, удобно применять выделение числовых промежутков на координатной прямой. Каждая выбранная точка разделяет находящиеся на ней числа на два открытых луча. Приведём пример, точка с координатами 42,7 сформирует промежутки, которые можно записать как (-∞,42,7) и (42,7, +∞). Наше выражение заключено в круглые скобки, это значит, что сама точка 42,7 ни одному из этих промежутков не принадлежит. Числовая прямая, которая записывается как R = (-∞,+∞), при таком варианте из нашего примера, представляет объединение:

(-∞,42,7) U {42,7} U (42,7+∞).

При добавлении нашей рассматриваемой точки 42,7 к одному из представленных (-∞,42,7) или (42,7, +∞) числовых лучей, в таком случае промежуток перестанет быть открытым. При записи выражения нужно будет использовать квадратные скобки, которые обозначают, что точка входит в промежуток. Запись будет выглядеть так: (-∞,42,7] и [42,7+∞). Тем самым множество действительных чисел на координатной прямой будет выглядеть так:

(-∞,42,7] U (42,7+∞) или (-∞,42,7) U [42,7+∞).

На числовой прямой можно выполнять большое количество действий. Такую прямую можно разделить на отрезки не точкой, как в предыдущем примере, а лучом или отрезком. Все выявленные закономерности так же будут соблюдены. Кроме того, они выполняются при разделении самих числовых промежутков. Рассмотрим пример, точка с координатой 18 на промежутке (8,34] разделит его на следующие промежутки (8,18) U {18} U (18,34]. Дополнив точкой, один из промежутков, получатся следующее записи: (8,18] U (18,34], (8,18) U [18,34]. Примем за разделяющую точку цифру 34, которая включается в состав рассматриваемого промежутка и ограничивает его справа. В результате получим объединение множеств {34} и интервала (8,34) либо (8,34] = (8,34) U {34}

Аналогичные закономерности объективны и в ситуации, когда координатная прямая разделяется на промежутки несколькими точками. К примеру, точки -5, 0 и 6 разделят её на промежутки (-∞,-5), (-5,0), (0,6), (6,+∞), при этом множество действительных чисел (-∞,-5) U {-5} U (-5,0) U {0} U (0,6) U {6} U (6,+∞).

Благодаря координатной прямой достаточно просто и легко рассматривать пересечения и объединения множеств. Они указываются друг под другом на координатных прямых с идентичными направлениями отсчёта и точками. При записи отображения множеств координатные прямые обозначают слева квадратной скобкой, фигурные скобки используются, чтобы показать пересечение.

С помощью дополнительной координатной прямой, которую располагают ниже исходной, показываются искомые пересечения или объединение. На ней поперечными чертами отмечают граничные точки первичных множеств, а после выяснения характера точек, их заменяют полями или сплошными. На рисунке вхождение промежутка в объединение показывается штриховкой, отсутствие вхождения – полой точкой, а вхождение – сплошной.

Графически пересечение A и B показывается промежутками, над которыми имеется штриховка, дополненная отдельными точками, которые принадлежат обоим множествам. На рисунке объединение проявляется там, где показана штриховка хотя бы у одного из множеств и сплошные точки.

В приведённых примерах объединения и пересечения множеств указаны только целые числа. Отрезкам на координатной прямой так же принадлежат и другие числа, которые целыми не являются, такие как десятичные дроби. При определении пересечения и определения множеств, класс чисел намного шире, чем представлен в упражнениях, они находятся между целыми числами и количество их очень велико, перечислять которые не представляется возможным.

В результате математических операций над множествами из исходных множеств получается новое множество, причем этот результат однозначен. Примерами таких операций являются пересечение и объединение множеств. Эти операции производятся по определенным правилам, о которых пойдет речь ниже.

Обозначения множеств. Знаки объединения и пересечения множеств

Для обозначения множеств применяется специальная система символов. Самый простой способ описать множество – использование фигурных скобок, внутри которых элементы перечисляются через запятую:

$A = {0, -1, 2, 5, 8, 77}$

Недостатком такой записи является то, что с ее помощью задать множество можно только если оно содержит конечное и не слишком большое количество элементов. Поэтому чаще используется универсальный способ определения множеств – с помощью характеристического свойства, т.е. такого, которое присуще всем его элементам множества, и которым не обладают объекты вне множества:

$A = {x vee P(x)}$,

где $P(x)$ — характеристическое свойство.

В такой форме объединение записывается как

$A cup B = {x | x in A vee x in B}$,

а пересечение как

$A cap B = {x | x in A wedge x in B}$

Знаки $vee$ и $wedge$ обозначают, соответственно, “или” и “и”. Знак $|$ читается как “таких, что”.

Для обозначения множеств как числовых интервалов используются круглые и квадратные скобки. Например, запись $[4, 24)$ означает, диапазон чисел от $4$ до $24$, причем число $4$ в это множество входит, а $24$ нет, хотя любое число меньше $24$ этому множеству принадлежит.

Для графического выражения операций пересечения и объединения применяются знаки пересечения и объединения множеств:

«Пересечение и объединение множеств» 👇

• $A cup B$ – объединение множеств $A$ и $B$$;;
• $A cap B$ – пересечение множеств $A$ и $B$$..

Для мнемонического запоминания этих знаков можно представить, что знак объединения $cup$ похож на емкость с открытым верхом, куда можно что-то складывать. Знак пересечения $cap$, напротив, представляет собой как бы перевернутый стакан, препятствующий проникновению внутрь неподходящих элементов.

Правила нахождения пересечений и объединений

Правила для нахождения пересечений и объединений множеств заключаются в следующем:

• для составления объединения числовых множеств нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из остальных;
• для составления пересечения числовых множеств, надо последовательно брать элементы одного множества и проверять, принадлежат ли они другим исследуемым множествам; те, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Найдем объединение числовых множеств $A = {3, 5, 7, 14}$ и $B = {2, 5, 8, 11, 12, 13}$. К элементам множества $A$ $3, 5, 7, 14$ добавляем недостающие элементы множества $B$ $2, 8, 11, 13$. Результирующее множество будет выглядеть как ${3, 5, 7, 14, 2, 8, 11, 13}$. Это можно записать как

$A ∪ B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 13, 14}$.

Для нахождения пересечения этих же множеств, последовательно проверим элементы $A$ на их наличие внутри $B$. Так, элемент $3$ не принадлежит множеству $B$, значит он не войдет в состав пересечения. Число $5$ из $A$ принадлежит и $B$, а значит и пересечению.Число $7$ не принадлежит $B$ и пересечению, а число 14 принадлежит. Таким образом, пересечение $A = {3, 5, 7, 14}$ и $B = {2, 5, 8, 11, 14, 13}$ состоит из элементов $5$ и $14$. Это записывается как:

$A ∩ B = {5, 14}$.

Пересечение и объединение большего, чем 2 количества множеств сводится к последовательному нахождению пересечений и объединений: чтобы найти пересечение трех множеств $A$, $B$ и $C$ сначала находят пересечение $A$ и $B$, затем пересечение результирующего множества с $C$. Так, пересечение числовых множеств $A = {3, 6, 4, 3, 55, 21}$, $B = {2, 7, 6, 21}$ и $C = {7, 6, 17, 3}$ можно найти поэтапно. Сначала находим, что $A cap B = {6, 21}$, затем полученное множество сравниваем с $C$ (это ${6}$). Получаем, что

$A cap B cap C = {6}$.

Метод нахождения объединений более двух множеств заключается в том, что к числам первого множества добавляют недостающие элементы из второго, затем недостающие из третьего и т.д. Например, если есть $A = {1, 4}$, $B = {4, 3}$ и $C = {1, 3, 6, 7}$, то к числам $1$ и $4$ из $A$ следует добавить число $3$ из $B$, а к полученному множеству ${1, 3, 4}$ нужно добавить $6$ и $7$ из $C$. В результате получаем объединение

$A cup B cup C = {1, 3, 4, 6, 7}$.

Для нахождения пересечения нескольких конечных множеств, нужно перебрать числа первого из них и выяснить, принадлежит ли текущий элемент каждому из рассматриваемых множеств. Если это условие не соблюдается, он не принадлежит пересечению. В качестве проверочного (элементы которого перебираются) следует выбирать множество с наименьшим числом элементов.

Рассмотрим множества $A = {1, 3, 7, 12, 5, 2}$, $B = {0, 1, 2, 12}$, $C = {1, 2, 6, 7, 11}$ и $D = {1, 2, 6, 7, 8, 15}$. Для поиска перебором задействуем $B$ как самое короткое. Элемент множества $B$ $0$ не входит в состав $A$, следовательно, в состав пересечения не войдет. Число $1$ входит в состав $A$, $C$ и $D$. Оно входит в состав их общего пересечения. Число $2$, принадлежащее $B$, входит в состав всех остальных множеств, т.е. входит в состав пересечения. Четвертый элемент проверяемого множества $12$ не входит в состав $D$ и в пересечение не войдет. Таким образом, найденное пересечение выглядит как

$A cap B cap C cap D = {1, 2}$.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Исследовать и выражать пересечения и объединения числовых множеств удобно с помощью координатной прямой и выделяемых на ней числовых промежутков. Любая выбранная точка разбивает все расположенные на такой прямой числа на два открытых числовых луча. Например, точка с координатой $36,6$ создаст промежутки, записываемые как $(−∞, 36,6)$, $(36,6, +∞)$. Сама точка не входит в состав ни одного из них, поэтому числовая прямая, представляющая собой множество всех действительных чисел $R = (−∞, +∞)$, представляет собой в данном случае объединение $ (−∞, −36,6) cup {36,6} cup (36,6, +∞)$.

Если рассматриваемую точку со значением $36,6$ добавить к одному из открытых числовых лучей, т.е. промежутку $(−∞, 36,6)$ или $(36,6, +∞)$, то такой промежуток перестанет быть открытым. Это записывается как $(−∞, 36,6]$ или $[36,6, +∞)$, т.е. вхождение граничного числа в состав числового луча обозначается квадратной скобкой. Множество действительных чисел $R$ в этом случае будет выглядеть как

$(−∞, 36,6] cup (36,6, +∞)$ либо $(−∞, 36,6) cup [36,6, +∞)$.

Если разбить числовую прямую на части не точкой, а отрезком или лучом, то все рассмотренные закономерности будут соблюдаться и в этих случаях. Более того, они соблюдаются и при разбиении самих числовых промежутков (отрезков, лучей). Например, точка с координатой $14$ на промежутке $(5, 51]$ разобьет его на промежутки $(5, 14) ∪ {14} ∪ (14, 51]$. Включив точку в один из промежутков, можно получить такие записи, как $(5, 14] cup (14, 51]$, $(5, 14) cup [14, 51]$. Приняв за разбивающую точку число $51$, ограничивающее рассматриваемый промежуток справа и входящее в его состав, получим объединение множества ${51}$ и интервала $(5, 51)$, т.е. $(5, 51] = (5, 51) cup {51}$.

Подобные закономерности справедливы и в случаях, когда координатная прямая разбивается на промежутки несколькими точками. Например, числа $−6$, $0$ и $7$ разобьют ее на промежутки $(−∞, −6)$, $(−6, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +∞)$, а множество действительных чисел $R$ будет представлено как $(−∞, −6) ∪ {−6} ∪ (−6, 0) ∪ {0} ∪ (0, 7) ∪ {7} ∪ (7, +∞)$.

С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.

На дополнительной координатной прямой, размещаемой под исходными, изображаются искомые пересечение или объединение. На ней все граничные точки исходных множеств отмечают поперечными чертами, а после уточнения – полыми или сплошными точками. Графически вхождение промежутка в пересечение или объединение изображается штриховкой, вхождение точки – сплошной точкой, невхождение – полой.

Пересечение множеств $A$ и $B$ графически отображается промежутками, над которыми есть штриховка, с добавлением отдельных точек, принадлежащих обоим множествам. Объединение графически проявляется там, где есть штриховка хотя бы у одного из множеств, а также всех сплошных точек.