Как найти объем апельсина

Вычис­ле­ние объёма и площади поверх­но­сти шара — результат Архимеда, кото­рый он счи­тал своим высшим достиже­нием. В сочи­не­нии «О шаре и цилин­дре» Архимед писал:

В форму­лах результат Архимеда для шара ради­уса $R$ и опи­сан­ного вокруг него круго­вого цилин­дра имеет сле­дующий вид:
$$ V_{mathrm{шара}}=frac{4}{3}π R^3 ;;;; left(=frac{2}{3}V_{mathrm{цилин­дра}}=frac{2}{3}cdot 2π R^3right), $$
$$ S_{mathrm{шара}}=4π R^2 ;;;; left(=frac{2}{3}S_{mathrm{цилин­дра}}=frac{2}{3}cdot 6π R^2right). $$

К моменту появ­ле­ния работы Архимеда и объём, и площадь цилин­дра были уже известны.

Шар, впи­сан­ный в цилиндр, был изоб­ражён на надгроб­ном памят­нике у могилы учё­ного. Зная об этом, Цице­рон, во время службы на Сици­лии, смог найти могилу Архимеда и опи­сал её в сочи­не­нии «Туску­лан­ские беседы».

Научно-исследовательская работа

по математике

«АПЕЛЬСИНОВАЯ»  МАТЕМАТИКА

 Автор:

Замерлов Михаил Романович,

ученик 6 М класса

МАОУ «Средняя школа № 8»

Руководитель:

Куркович Лариса Федоровна,

учитель математики          

МАОУ «Средняя школа № 8»

первая квалификационная категория

г. Когалым, 2017 г.

Cодержание:

1. Введение                                                                                                2  стр.
2. Основное содержание – математические исследования

 в апельсине                                                                                          2 – 7 стр.

1. Микроисследование  №1                                                      2 – 3 стр.
2. Микроисследование  №2                                                      3 – 4 стр.
3. Микроисследование  №3                                                      4  стр.
4. Микроисследование  №4                                                      4 – 5 стр.
5. Микроисследование №5                                                       5 – 6 стр.
6. Микроисследование  №6                                                      6 – 7 стр.

1. Заключение                                                                                       7 стр.
2. Список источников информации                                                   8  стр.
3. Приложения                                                                                      9 – 14 стр.

1. Введение.

    Актуальность исследования

 А вы  знаете, что такое «золотое китайское яблоко»? Правильно, это – апельсин.

Свое  название «апельсин» получил благодаря немцам — слово «апельсин» в переводе с немецкого означает «китайское яблоко» («апфель» — яблоко, «сина» — Китай).   Так как я люблю апельсины и увлекаюсь математикой, то решил рассмотреть «апельсиновую» математику, т.е.  узнать, какие же математические исследования можно провести в апельсине. Выбирая эти фрукты  при покупке, мы  смотрим на их  размер, оттенок цвета, запах, оцениваем визуально толщину кожуры. И возникает вопрос: какая  часть стоимости апельсина идет на кожуру?

  С одной стороны, мы используем в еду сочную мякоть, с другой стороны – ненужная кожура. Отсюда вытекает проблема моего исследования: за что мы действительно платим деньги, покупая апельсин, – за вкусную и сочную мякоть или за корки.

Основополагающий  вопрос: чего больше по объёму (массе) в апельсине — кожуры или мякоти?

Цель исследования:  установить соответствие между объемами (массой) кожуры и мякоти апельсина.

Объект исследования: апельсин как геометрическое тело.

Предмет  исследования:  объем и масса апельсина.

Задачи исследования:

• Изучить математические понятия, такие как шар, сфера, круг, окружность.
• Исследовать распределение объема шара на примере изменения соотношения объемов мякоти и корки апельсинов разных сортов.
• Исследовать распределение массы корки и мякоти апельсина.
• Провести математические исследования в апельсине.

Гипотеза: если покупать апельсин с толстой кожей, то платим почти половину стоимости за кожуру.

Основными методами являются сбор, изучение, анализ, обобщение исследовательского и теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов.

II. Основное содержание – математические исследования в апельсине.

Микроисследование № 1  

Цель:  изучить  математические понятия, необходимые для работы.

 Апельсин круглой формы можно рассматривать как шар.   Шар – это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Граница или оболочка шара – это сфера[1]. Круг – это геометрическая фигура на плоскости, которая ограничена окружностью. Оболочка круга – это и есть окружность.  Круг и шар связаны друг с другом. Шар можно получить, вращая круг вокруг своего диаметра. Диаметр – это отрезок, соединяющий две точки на границе шара или круга и проходящий через центр. Так же любое сечение плоскостью шара – есть круг[3].  

Sкруга = R2 ;  Сокруж = 2  R ; Sпов шара = 4 R2 , где R-это радиус. Число  – число константа (постоянная), отношение длины окружности к диаметру.    Теперь рассмотрим кольцо, оно ограничено двумя  кругами большим и малым, с соответствующими радиусами.  Зная, как находится площадь круга, можем найти площадь кольца как разность площадей большого и малого кругов: Sкольца = (R2– r2),  где r – радиус малого кольца, R -радиус большого кольца. Объем – это вместимость геометрического тела, то есть части пространства, ограниченной поверхностью.

Вместимость или емкость выражается числом, заключающихся в объеме кубических единиц[3].    Vшара =  R3 , где R-это радиус.  

Вывод: шар и круг содержат внешнюю оболочку: окружность и сферу; оба имеют радиус и диаметр, а также центр.  Изучив литературу, я выяснил, что объем шара, как и площадь круга зависит от его радиуса.

Микроисследование №2  

Цель:  найти среднее арифметическое количества долек, содержащихся в апельсине.

Я взял по 10 штук маленьких, средних и больших апельсинов (виды апельсинов указал в Приложении 1). Подсчитал  количество долек и данные внес в таблицу 1.

	Количество долек, в штуках
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Малый апельсин	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8
Средний апельсин	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
Большой апельсин	10	10	11	9	10	11	9	10	10	10

Чтобы найти среднее арифметическое, сложил все дольки и разделил  на  количество апельсинов.  Для больших апельсинов получилось:

Вывод: в среднем каждый большой и средний апельсины содержат 10 долек, а маленький – 8 долек.

Микроисследование №3  

 Цель:  определить: какую часть массы апельсина составляет кожура (в процентах).

   Взвесил на кухонных электронных весах апельсины целиком, без кожуры и отдельно только их  кожуру (Приложение 3). Данные внес в таблицу 2 и составил диаграмму распределения массы мякоти и кожуры в апельсине.

	Масса апельсина, г	Масса мякоти, г	Масса кожуры, г	Масса кожуры, %
Маленький апельсин	137	107	30	22
Средний  апельсин	207	168	39	19
Большой апельсин	241	192	49	20

                                                                                                                                 

Вывод: масса  кожуры составляет в среднем около 20% от массы апельсина. Значит, пятая часть стоимости апельсина идет на кожуру.

Микроисследование №4  

Цель:   определить радиус апельсина  различными способами. 

 Для проведения данного микроисследования использовал  линейку, штангенциркуль, микрометр и нить. Разрезал апельсин по «экватору» и провел измерения (Приложение 4).

а) Средство измерения – линейка.     Измерил диаметр, затем нашел радиус.

	Диаметр, см	Радиус, см	Радиус мякоти, см	Толщина кожуры, см
Маленький апельсин	6,8	3,4	3,1	0,3
Средний апельсин	8,0	4,0	3,5	0,5
Большой апельсин	9,4	4,7	4	0,7

Таблица 3.

б)  Средство измерения – штангенциркуль  (таблица 4)

	Диаметр, см	Радиус, см	Радиус мякоти, см	Толщина кожуры, см
Маленький апельсин	6,82	3,41	3,15	0,26
Средний апельсин	8,05	4,025	3,38	0,545
Большой апельсин	9,38	4,69	4,03	0,66

в)  Толщина кожуры, измеренная микрометром,  совпала с измерением штангенциркулем.

г) Средство измерения – нить.

Мокрой ниткой опоясал апельсин по экватору. Длину нити измерил с помощью линейки.  А затем вычислил радиус апельсина, используя формулу  С = 2R () , т.е.  R = C: (2

Rмал =21,4: (2)  3,4(см);     Rсред = 25,1:6,28  4(см);  Rбол =29,5:6,28  4,7(см)

	Длина окружности С, см	Радиус R , см
Маленький апельсин	21,4	3,4
Средний апельсин	25,1	4
Большой апельсин	29,5	4,7

                                                                                                                          Таблица 5.

 Вывод: радиус апельсина можно найти, измерив непосредственно диаметр; либо вычислить его через  длину окружности.  Самые точные измерения – штангенциркулем и микрометром.  В основном, результаты измерения близки, а это значит, что радиус апельсина всегда можно определить.

Микроисследование №5

Цель:   определить объем апельсина  различными способами, а также объем мякоти и кожуры. 

   Так как апельсин, в основном, имеет круглую форму, то его буду  рассматривать как шар.

1 способ. Нахождение объема апельсина (шара) по формуле V =  R3,  где   R – это радиус шара. Для вычислений я использовал данные таблицы 3.

 Vмал = 3 164,55 (см3)                Vсред = 3 267,95 (см3)            

Vбол = 3 434,67 (см3)      

2 способ. Нахождение объема апельсина через объем выталкиваемой им воды (Приложение5).

 В прозрачный  сосуд налил 800см3 (800мл)  воды и стал погружать в нее  по очереди опять же апельсины трех видов. Разница между первоначальным объемом воды и водой, с погруженным  апельсином, и есть объем апельсина. Результаты измерений я внес в таблицу 6.

	Объем воды с апельсином, см3	Объем самого апельсина, см3
Маленький апельсин	965	165
Средний апельсин	1065	265
Большой апельсин	1235	435

Вывод: объем апельсина очень сильно зависит от радиуса, который возведен в третью степень. И даже маленькое увеличение радиуса апельсина приводит к большому увеличению объема. По формуле вычисления объема получились более точные.

Микроисследование №6

Цель: вычислить объем кожуры и объем мякоти апельсина.

  В первом исследовании я узнал, что  площадь кольца – это разница площадей двух кругов. Чтобы  вычислить  объем «дырявого» апельсина (объем кожуры), нашел  разницу двух объемов – объема целого апельсина и объема мякоти. Первоначально вычислил объем мякоти апельсина. V мяк. мал = 3  124,72 (см3)             Vмяк. сред = 3 179,50 (см3)                                 V мяк.бол = 3 267,95 (см3)        

                                                 Vкож. = Vапел.. – Vмяк.

 Vкож.мал =  164,55-124,72 = 39,83(см3)     Vкож.ср= 88,45(см3)     Vкож.бол = 166,72(см3) 

Объем «дырявого» апельсина (объем кожуры) можно найти и по формуле V =  (R3 – r3),   где R – это радиус апельсина, r – радиус мякоти.

Vкож.мал =   39,83(см3)        Vкож.ср =   88,45(см3)   Vкож.бол =   166, 72(см3)  

Результаты вычислений представил в таблице 7  и на диаграмме.

	Объем апельсина, см3	Объем мякоти, см3	Объем кожуры, см3
Маленький апельсин	164,55	124,72	39,83
Средний апельсин	267,95	179,50	88,45
Большой апельсин	434,67	267,95	166,72

 Так же я вычислил, сколько в процентном соотношении составляет объем мякоти и объем кожуры для каждого вида апельсинов. Результат представил в таблице 8 и на диаграмме.

	Объем мякоти, %	Объем кожуры, %
Маленький апельсин	76	24
Средний апельсин	67	33
Большой апельсин	62	38

                                                                                                              

    Если бы радиус апельсина был 5см, а радиус кожуры 1см, то Vапел  523,33(см3),

Vмяк  267,95(см3),  Vкож  255,38(см3), т.е. объем кожуры почти равен объему мякоти[2].

  Вывод: кожура занимает, казалось бы, не очень толстый слой, но он расположен рядом с границей шара. И объем этого слоя занимает значительную часть апельсина. По диаграмме хорошо видно, что чем толще кожура апельсина, тем больше ее объем. Покупая апельсин с толстой кожурой, по объёму мы приобретаем больше кожуры.

1. Заключение

    При написании работы я  использовал  достаточно большое количество источников: книги, периодические издания, информационные ресурсы Internet. Весь процесс исследования фиксировал  на фотокамеру и фотографии представил  в приложении. Работа  дала мне  новые знания, умения.  Считаю, что можно заниматься  «апельсиновой» математикой: определять среднее арифметическое долек, находить радиус и вычислять  объем апельсина, определять процентное содержание массы мякоти и кожуры в апельсине, а также процентное содержание их объемов, по данным измерений и вычислений строить диаграммы. По диаграмме лучше видно различие рассматриваемых величин.  При проведении исследований определил свойство апельсина – он плавает в воде. Узнал интересный факт, который отобразил в приложении 6.  Я понял, что следует покупать апельсины с тонкой кожурой, так как они содержат больше мякоти,  следовательно, более выгодны.

    Выдвинутая мной гипотеза: если покупать апельсин с толстой кожей, то платим почти половину стоимости за кожуру – не полностью подтвердилась.  Подтвердилась, если считать по их объему. По массе  кожура составляет почти пятую часть апельсина и платим за кожуру пятую часть стоимости апельсина.  Считаю, что данный материал будет интересен тем, кто увлекается математикой. Также можно применить на уроках математики при изучении тем  «Объем» и  «Масса».

1. Список источников информации

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф, Кадомцев С.Б. и др.: Геометрия. 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильные уровни, Просвещение.-М., 2010г.
2. Ренкель А.: Объем шкурки апельсина, Наука и жизнь.-2015.-№12.
3. Шарыгин  И.: Геометрия. 10-11 класс. Учебник, Дрофа.-М., 2016г.
4. http://www.etudes.ru, 3 марта 2017г.
5. https://www.adme.ru/zhizn-nauka/6-prostyh-nauchnyh-opytov-dlya-detskoj-vecherinki-878510, 17 марта 2017г.
6. http://studopedia.su/17_121149_mezhpredmetniy-proekt.html , 20 марта 2017г.

1. Приложения

Приложение 1 –  виды апельсинов.

Существует много видов и подвидов апельсинов. Сортов апельсинов более 300.

Апельсины, которые доступны к покупке в России, это три вида: обыкновенные, “корольки” и пупочные – навелы («навель» или «нейвелины»).

        У обыкновенных апельсинов светлая кожура, желтоватый, почти прозрачный сок и они практически не бывают без семечек. Кожура тонкая, плотно срослась с плодом. В нашем проекте – это средний апельсин.

        “Корольки” отличаются красноватой окраской кожуры за счет красноватых точечек и мякоть тоже красноватая, и сок красноватый. Цвет придает пигмент “антоциан”. В нашем проекте  – это малый апельсин.

          Навелы – это апельсины, у которых снаружи есть “пупочек” (“navel”- по-английски – “пупок”), а внутри как- будто маленький апельсин там, где пупочек и практически не бывает семечек.  Апельсины сладкие, или кисло-сладкие. Кожура легко отделяется от плода.  В нашем проекте – это большой апельсин.

Радиус апельсина равен 4 см, а толщина кожуры равна 1 см. Объем какой части больше: съедобной или несъедобной?