Как найти объем через тройной интеграл

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция и = f(x;y;z). Разбив область V сеткой поверхностей на п частей и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области V (здесь — объем элементарной области ).

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т. е. диаметр области стремится к нулю, т.е. ), то его называют тройным интегралом от функции и = f(х;у;z) по области V и обозначают

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь dv = dx dy dz — элемент объема.

Теорема:

Если функция и = f(x;y,z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (54.1) при существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

а пересечение состоит из границы, их разделяющей.
4. если в области V функция

Если в области интегрирования то и

5.так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6. Оценка тройного интеграла:

где m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V.

7. Теорема о среднем значении: если функция f(x; у, z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что

где V — объем тела.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху — поверхностью , причем — непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Оху (см. рис. 225). Будем считать область V — правильной в направлении оси Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции f(х; у, z) имеет место формула

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного (доказательство формулы (54.2) не приводим). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной г при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей интеграла является аппликата точки А — точки входа прямой, параллельной оси Oz в область V, т. е. ; верхней границей — аппликата точки В — точки выхода прямой из области V, т. е. . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: х и у.

Если область D ограничена линиями и — непрерывные на отрезке [а, b] функции, причем (см. рис. 226), то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу

по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.

Замечания:

1. Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (54.3).
2. Порядок интегрирования в формуле (54.3), при определенных условиях, может быть иным.

Пример:

Вычислить

где V ограничена плоскостями х = 0, у =0, z = 1, x + y + z = 2 (рис. 227).

Решение:

Область V является правильной в направлении оси Oz (как, заметим, и в направлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является правильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле (54.3), имеем:

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т. е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершена подстановка

Если эти функции имеют в некоторой области пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

Здесь I(u; v;w) — определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без доказательства).

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

Положение точки М(х; у; z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трех чисел где r — длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Оху, — угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox, z — аппликата точки М (см. рис. 228).

Эти три числа () называются цилиндрическими координатами точки М.

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:

Возьмем в качестве и, v, w цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

Формула замены переменных (54.4) принимает вид

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

Замечание:

К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Пример:

Вычислить — область, ограниченная верхней частью конуса и плоскостью z = 1.

Решение:

На рис. 229 изображена область интегрирования V. Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: Здесь Уравнение конуса примет вид Уравнение окружности (границы области D) запишется так: r= 1. Новые переменные изменяются в следующих пределах: r— от 0 до 1, — от 0 до , a z — от r до 1 (прямая, параллельная оси Oz, пересекающая область D, входит в конус z =r и выходит из него на высоте z = 1).

Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:

Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим:

Сферическими координатами точки М(х; у; z) пространства Oxyz называется тройка чисел где р — длина радиуса-вектора точки — угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Оху и осью Ох, в — угол отклонения радиуса-вектора от оси Oz (см. рис. 230).

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами х, у, z соотношениями:

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле (54.4). Так как якобиан преобразования

Замечание:

Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования V есть шар (уравнение его границы в сферических координатах имеет вид р = R) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид
Пример 54.3. Вычислить

где V — шар

Решение:

Вычислим интеграл путем перехода к сферическим координатам: Тогда

Граница области V — сфера и ее уравнение имеет вид р = 1, подынтегральная функция после замены переменных примет вид Новые переменные изменяются в следующих пределах: р —от 0 до 1, у — от 0 до , Таким образом, согласно формуле (54.6),

Некоторые приложения тройного интеграла Объем тела

Объем области V выражается формулой или — в декартовых координатах,

Масса тела

Масса тела m при заданной объемной плотности вычисляется с помощью тройного интеграла как

где — объемная плотность распределения массы в точке M{x;y;z).

Статические моменты

Моменты тела относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz вычисляются по формулам

Центр тяжести тела

Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

а моменты инерции относительно координатных осей:

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение:

Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу — параболоидом (см. рис. 231). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:

Пример:

Найти массу шара , если плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра тяжести).

Решение:

Уравнение сферы можно записать так: Центр шара расположен в точке (см. рис. 232). Пусть M(x;y;z) — произвольная точка шара. Тогда, по условию, плотность определяется формулой

где k — коэффициент пропорциональности, — расстояние от точки М до начала координат.
Итак,

Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение сферы примет вид

Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пределах:

Подынтегральная функция примет вид Поэтому

Из соображений симметрии следует, что вычислив интеграл найдем Итак, координаты центра тяжести

Тройной интеграл

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Интегрирование
30. Неопределённый интеграл
31. Определенный интеграл
32. Криволинейные интегралы
33. Поверхностные интегралы
34. Несобственные интегралы
35. Кратные интегралы
36. Интегралы, зависящие от параметра
37. Квадратный трехчлен
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат