Как найти объем четырехугольной пирамиды в параллелепипеде - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Для вас очередная статья, сегодня мы мы рассмотрим задания с параллелепипедом. Освежим в памяти само понятие…

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Если сказать просто, то у прямого параллелепипеда его боковые рёбра перпендикулярны основанию, боковые грани прямоугольники, основания параллелограммы; у наклонного параллелепипеда верхнее и нижнее основания как бы смещены параллельным сдвигом, посмотрите рисунок в первой задаче.

В предыдущих статьях мы рассматривали задачи с прямоугольным параллелепипедом (все грани прямоугольники). Представленные ниже задания я выделил в отдельную группу, так как в ходе решения рассматривается пирамида — стоят вопросы о нахождении её объёма. Решаются они практически устно, но мы их разберём подробно. Что нужно помнить?

Объём параллелепипеда формула

С площадью основания всё ясно. А что такое высота? Если параллелепипед прямой, то понятно – его высота равна боковому ребру. Если же параллелепипед наклонный? Его высота равна расстоянию между основаниями, то есть простыми словами можно сказать, что это длина отрезка, который перпендикулярен основаниям и соединяет их:

Но в данных задачах находить саму площадь основания и высоту будет не нужно.

Формула объёма пирамиды:

*Запомните навсегда, что объём пирамиды равен одной трети объёма параллелепипеда с тем основанием и высотой.

Рассмотрим задачи:

Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABDA₁.

Известно, что объём параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты, то есть:

Объём пирамиды равен:

Рассмотрим пирамиду ABDA₁, её высота равна высоте параллелепипеда, так она у них общая. Площадь её основания в два раза меньше площади основания параллелепипеда, так как диагональ BD делит параллелограмм ABCD на два равных по площади треугольника, значит:

Следовательно:

Получили, что объём пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда и будет равен 9:6 = 1,5.

Ответ: 1,5

*В подобных заданиях, где дан объём параллелепипеда и требуется найти объём какой-либо составляющей его части, не нужно пытаться найти саму площадь основания или высоту. Необходимо просто установить соотношение объёмов используя известные свойства.

Объем куба равен 94. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

Поскольку высота призмы равна высоте куба, то их объемы пропорциональны площадям их оснований. Определим, как соотносятся площади оснований призмы и куба.

Пусть ребро куба равно а. Тогда площадь основания куба равна а².

Определим площадь основания призмы:

Видно, что площадь основания построенной призмы в 8 раз меньше площади основания куба, поэтому искомый объем призмы также будет в 8 раз меньше объёма куба, то есть:

Ответ: 12

Объем куба равен 123. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Объем пирамиды равен:

Площади оснований куба и пирамиды равны, высота пирамиды в два раза меньше ребра куба. Обозначим ребро куба как a, тогда объём пирамиды:

Ответ: 20,5

Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 3,6. Найдите объем треугольной пирамиды B₁AD₁C.

Данную задачу можно решить разными способами. Можно найти площадь основания AD₁C и высоту пирамиды (отрезок соединяющий центр куба и вершину B₁), но это долгий путь. Проще поступить следующим образом.

Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда и четырех пирамид:

То есть мы как бы вычленяем (вырезаем) пирамиду из куба «отсекая» лишнее. Обозначим для простоты восприятия рёбра следующим образом, пусть:

AB = a BC = b BB₁ = c

Тогда

Ответ: 1,2

Найдите объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если объем треугольной пирамиды ABDA₁ равен 10.

Эта задача обратная той, которую мы рассмотрели в самом начале. Мы установили, что объём такой пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда, значит объём параллелепипеда будет равен 60.

Запишем подробнее. Объем параллелепипеда равен:

Объём данной пирамиды равен:

Площадь основания пирамиды равна половине площади основания параллелепипеда, то есть:

Следовательно

Можем записать:

Ответ: 60

27182. Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B₁ABC. Ответ: 2

27183. Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Посмотреть решение

27184. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Посмотреть решение

27209. Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD₁CB₁.

Посмотреть решение

77154. Найдите объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если объем треугольной пирамиды ABDA₁ равен 3.

Посмотреть решение

Как вы поняли, главное в подобных заданиях знать свойства. Например, что диагональ параллелограмма делит его на два равных по площади треугольника; две диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равных по площади треугольника; то, что центр куба делит его высоту пополам, равноотстоит от его граней и вершин и прочее.

Понимая это и другие простые свойства фигур вы без труда вычислите (устно) во сколько раз объём пирамиды будет меньше объёма куба или параллелепипеда, а также сможете быстро решать другие подобные задания.

Например, решим такую задачу: дан наклонный параллелепипед, его основание и основание пирамиды находятся в одной плоскости. Площадь основания пирамиды в 4 раза меньше, её высота в 3 раза меньше высоты параллелепипеда. Найдите объём пирамиды, если объём параллелепипеда равен 360.

Сразу отметим, что у пирамиды с тем же основанием и высотой объём в три раза меньше. Сказанной, что площадь её основания в 4 раза меньше, то есть объём уменьшается ещё в 4 раза, и высота в 3 раза, получаем:

Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

{V= S cdot h}

На этой странице собраны формулы и калькуляторы для нахождения объема пирамиды. Просто введите известные данные в калькулятор и получите результат. Либо рассчитайте объем пирамиды по приведенным формулам самостоятельно.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину.

Содержание:

калькулятор объема пирамиды
формула объема пирамиды
объем правильной треугольной пирамиды
объем правильной четырехугольной пирамиды
объем правильной шестиугольной пирамиды
объем правильной n-угольной пирамиды
объем тетраэдра
примеры задач

Формула объема пирамиды

{V= dfrac{1}{3} S cdot h}

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.

{V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}}}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит квадрат, а грани являются равнобедренными треугольниками.

{V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной шестиугольной пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.

{V= dfrac{sqrt{3}}{2} cdot h cdot a^2}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной n-угольной пирамиды

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник (все стороны и углы равны между собой), а высота проходит через центр этого основания.

{V= dfrac{n cdot h cdot a^2}{12 cdot tg(dfrac{180°}{n} )}}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

n – число сторон многоугольника в основании пирамиды

Формула объема тетраэдра

Тетраэдр – правильный многогранник (четырехгранник), имеющий четыре грани, каждая из которых является правильным треугольником. У тетраэдра кроме четырех граней также 4 вершины и 6 ребер.

{V= dfrac{sqrt{2} a^3}{12}}

a – длина стороны тетраэдра

Примеры задач на нахождение объема пирамиды

Задача 1

Найдите объем пирамиды с высотой 2м, а основанием ее служит квадрат со стороной 3м.

Решение

Так как в основании пирамиды лежит квадрат, то воспользуемся формулой объема правильной четырехугольной пирамиды и подставим в нее значения высоты и стороны основания.

V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 3^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 9 = dfrac{1}{3} cdot 18 = 6 : м^3

Ответ: 6 м³

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Задача 2

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1см, а высота равна √3см.

Решение

Из условия следует, что пирамида правильная треугольная. Это значит, что для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для правильной треугольной пирамиды. Подставим в нее значения и рассчитаем объем.

V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3}}{4 sqrt{3}} = dfrac{cancel{sqrt{3}}}{4 cancel{sqrt{3}}} = dfrac{1}{4} = 0.25 : м^3

Ответ: 0.25 см³

Для проверки с помощью калькулятора извлечем квадратный корень из 3: √3 = 1.73205. Теперь можем подставить значения в калькулятор и проверить полученный ответ.

Источник

16
Янв 2012

05 Задание (2022)ВИДЕОУРОКИ

Как найти объем части фигуры если известен объем целой. Объем пирамиды. Задание В11

Задание В11 (27074) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике. Объем параллелепипеда равен 9. Найти объем треугольной пирамиды

Вспомним формулы для вычисления объемов пирамиды и параллелепипеда:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: , где – площадь основания пирамиды, – ее высота.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: ,

где – площадь основания параллелепипеда, – его высота.

Решение.

Заметим, что параллелепипед и пирамида имеют общую высоту – это перпендикуляр , опущенный из общей вершины на плоскость :

Выразим объем пирамиды через объем параллелепипеда

;

Поскольку ,

Ответ:1,5

Подробное решение задачи посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ:

И, в заключение, посмотрите видеоурок с решением задачи: Объем правильной шестиугольной призмы равен 48. Найдите объем пирамиды .

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Тригонометрическая замена в иррациональном уравнении
Решение логарифмических неравенств с переменным основанием
Видеотека. Решение уравнений и неравенств с модулем
Решение простейших тригонометрических неравенств
Решение тригонометрического уравнения. Задание 5
Решение показательного неравенства, содержащего сопряженные выражения в основании степени. Задание С3

|
Отзывов (14)
| Метки: решение задния В11

Источник

Пирамида (др.-греч. πυραμίς, πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Лемма

Две пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, имеют равные объемы.

Теорема

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: (V={1over3}S*H) , где S – площадь основания, H – высота пирамиды.

Теорема

Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле (V={1over3}H(S1+{{sqrt {S1S2}}}+S2)), где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.

Часто даны координаты вершин пирамиды ABCD и требуется найти ее объем. Даная задача может быть решена методами аналитической геометрии. Покажем ее решение на примере.

Пусть даны координаты вершин пирамиды ABCD и требуется найти ее объем: A(10;6;6), B(-2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).

Решение

Объем пирамиды равен (1over6) объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD. Найдем координаты этих векторов, для этого из соответствующей координаты конца вектора вычтем координату его начала:

AB=(-12;2;-4), AC=(-4;2:3), AD=(-3;4;-3).

Тогда объем параллелепипеда равен значению детерминанта (определителя) матрицы, составленной из координат векторов (строка матрицы – координаты вектора). Определитель третьего порядка находим по правилу треугольников.

Автор – Дмитрий Айстраханов

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.

1. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Мы помним, что объем параллелепипеда равен $S_{OCH} cdot h$ . А объем пирамиды равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}S_{OCH} cdot h$ . Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5 .

2. Объем куба равен . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в раз меньше, чем у куба.

Ответ: .

3. Радиусы трех шаров равны , и . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi R^3$ . Осталось решить уравнение:

$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 6^3+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 8^3+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 10^3=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi R^3;$

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

Ответ: .

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны , а объем равен sqrt{3} .

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны $60^{circ}$ и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}a^2 sin 60^{circ}$ . Она равна sqrt{3} . Поскольку $V=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}Sh$ , высота равна .

5. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом градусов. В ответе укажите .

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол .

Из прямоугольного треугольника находим, что . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на .
Ответ: .

6. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами , а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом градусов.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}a^2 sin 60^{circ}.$

Итак, площадь основания равна . Осталось найти высоту.

Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
$h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}AC=sqrt{3}.$

Ответ: .

7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна sqrt{2} и образует углы , и градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали на нижнее основание будет отрезок . Пусть диагональ образует угол градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора, $Bmkern -3muD=Bmkern -3muD_1 cdot sin 45^{circ}=1$ . Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией на переднюю грань будет отрезок A_1B .
Из прямоугольного треугольника найдем $A_1mkern -3muD_1=Bmkern -3muD_1 cdot sin 30^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}$ . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок ) находится аналогично. Она тоже равна $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}$ . Объем параллелепипеда равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}$ .

Ответ: 0,5 .

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно . Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что ABC — основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}S_{OCH}h$ . В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4,5 . Тогда объем пирамиды равен 4,5 .

Ответ: 4,5 .

9.
Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен . Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: .

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» — не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты 🙂

10. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95 . Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

Обратите внимание, что . Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: 0,9025 .

11. Вершина куба со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A_1 . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: 1,28 .

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

12. Объем треугольной пирамиды равен . Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2 , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1:2 , считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых и .

Плоскость делит пирамиду на две. У пирамид и ABCS общее основание ABC . Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры и к плоскости основания пирамиды. — высота пирамиды ABCS , — высота пирамиды . Очевидно, что отрезок параллелен отрезку , поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки и лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники SOC и подобны, .

Значит, $Mmkern -3muH=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}SO$ . Объем пирамиды равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}$ объема пирамиды .

Ответ: .

13.
Ребра тетраэдра равны . Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок параллелен поскольку является средней линией треугольника . И отрезок тоже параллелен , потому что является средней линией треугольника BSC . Значит, параллелен . Аналогично параллелен . Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, — ромб, все стороны которого равны 0,5 . Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка ) проецируется в центр основания (точка ). В основании — правильный треугольник. Значит, точка будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда перпендикулярен .

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. является проекцией на плоскость основания, следовательно, отрезок тоже перпендикулярен . И тогда — квадрат. Его площадь равна 0,25 .

А теперь — самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

14.
Объем тетраэдра равен 1,9 . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной , в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: $V-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 8}V=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}V$ .

Ответ: 0,95 .

15.
Объем параллелепипеда равен 4,5 . Найдите объем треугольной пирамиды .

Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен 4,5 , но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их a, b и . Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды . Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — , , и . А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6}$ объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}$ объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}$ объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5 .

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены — от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче :

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Объём параллелепипеда формула

Содержание:

Формула объема пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема правильной шестиугольной пирамиды

Формула объема правильной n-угольной пирамиды

Формула объема тетраэдра

Примеры задач на нахождение объема пирамиды

Как найти объем части фигуры если известен объем целой. Объем пирамиды. Задание В11

Для вас другие записи этой рубрики:

Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Вам также может понравиться

Как найти биткоин на старом компе

Как найти веб обозреватель на компьютере

Как найти груз на газель в ростове

Добавить комментарий Отменить ответ