Как найти объем цилиндра описанного около шара

Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи с шарами. Вернее здесь будет комбинация тел: шар вписанный в цилиндр или другими словами цилиндр описанный около шара (что одно и тоже) и куб вписанный в шар.

На блоге уже рассмотрена группа задач с шарами, посмотрите. В представленных заданиях речь пойдёт о нахождении объёма и площади поверхности указанных тел. Формулы которые необходимо знать!

Формула объёма шара:

Формула площади поверхности шара:

Формула объёма цилиндра:

Формула площади поверхности цилиндра:

Подробнее о площади боковой поверхности цилиндра:

Она представляет собой «скрученный» в цилиндр прямоугольник одна сторона которого равна длине окружности основания — это 2ПiR, другая сторона равна высоте цилиндра — это Н.

Что стоит отметить касаемо представленных задач?

1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.

2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).

3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.

245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

Формула объёма шара:

Необходимо найти радиус шара.

У  шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:

Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:

Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R³.

Таким образом, объём шара будет равен:

Ответ: 22

245349. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра. 

Эта задача обратная предыдущей.

Формула объёма шара:

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:

Таким образом:

Ответ: 36

316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Формула поверхности шара:

Формула поверхности цилиндра:

Упростим:

Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:

Далее подставим его в формулу площади поверхности цилиндра и вычислить её, таким образом:

Ответ: 166,5

245355. Куб вписан в шар радиус которого равен корню из трёх. Найдите объем куба.

Чтобы вычислить объём куба необходимо знать чему равно его ребро. Радиус шара равен половине диагонали куба:

*Диагональ куба равна диаметру шара.

Значит диагональ куба будет равна двум корням из трёх. Обозначим диагональ буквой d, а ребро куба буквой a. Нам известна формула выражающая взаимосвязь диагонали куба и его ребра:

Значит мы можем вычислить ребро куба:

Таким образом, объём куба будет равен 2³ = 8.

Ответ: 8

Если подвести небольшой итог, то можно сказать следующее:

Используя указанные формулы при данных величинах объёма или площади поверхности всегда можно найти (выразить) радиус. А затем зная радиус, далее уже можно его использовать при вычислениях.

В любом случае знание формул обязательно!!! Без этого никак. На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Задание

Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 28. Найдите объем цилиндра.

Решение

Из того, что цилиндр описан около шара, следует, что радиус этого цилиндра равен радиусу шара $r_{text{ш}}$, а высота этого цилиндра равна диаметру этого шара $2cdot r_{text{ш}}$. По свойствам шара $$ V_{text{шара}}=frac{4}{3}cdotpi r_{text{ш}}^3 $$ С учетом того, что $V_{text{шара}}=28$, получаем $$ pi r_{text{ш}}^3=frac{3}{4}cdot V_{text{шара}}=21 $$ По свойствам цилиндра $$ V_{text{цилиндра}}=picdot r^2cdot h $$ С учетом того, что $r=r_{text{ш}}, h=2cdot r_{text{ш}}$, получаем $$ V_{text{цилиндра}}=picdot r_{text{ш}}^2cdot 2cdot r_{text{ш}}=2cdot 21=42 $$

Ответ: 42.

Аналогичные задачки

Категория: 

• В11 (стереометрия)

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word