Как найти объем цилиндра зная диагональ

Вопрос о том, как найти объем цилиндра, может возникнуть не только у школьника, который занимается изучением стереометрии. На сегодняшний день очень популярны обтекаемые и плавные формы в архитектуре и дизайне интерьера. К ним относится и цилиндр. Сам по себе он является телом вращения – прямоугольником, который прокрутили на 360 градусов вокруг одной из сторон. Такую форму имеют колонны, поршни, кастрюли, чашки, стаканы, вазы и т. д. Конечно, в быту редко может пригодиться информация о нахождении объема цилиндра, но в школе этой теме уделяют достаточно много времени, так что игнорировать ее не стоит.

Стандартный способ определения объема цилиндра

Для того чтобы понять особенности объема цилиндра, нужно вернуться к теме параллелепипеда. Это тело имеет основу в виде прямоугольника или квадрата. Для расчета объема такой геометрической фигуры нужно умножить площадь основы (S = a × b) на высоту. С цилиндром все по аналогии. Основой выступает круг, формула площади которого S = πR². Высота – это любая вертикальная линия, чаще всего выбирают ту, которая соединяет центры основ.

Как найти объем цилиндра по диагонали сечения?

Иногда может случиться такое, что в условиях не будет нужных величин, тогда необходимо будет находить их по рисунку, используя свойства цилиндра. Самым частым примером такого случая являются задачи, в которых известна диагональ сечения и одна из составляющих формулы объема – радиус или высота. Задание с подобным условием можно считать типичным для этой темы. Для решения нужно помнить только одну вещь: высота цилиндра – это любая вертикальная линия, которая соединяет основы и создает с ними угол в 90 градусов. Пользуясь этой особенностью, можно с легкостью определить, что диагональ сечения (которым является куб или прямоугольник), радиус и высота создают вместе треугольник. Его стороны можно найти по теореме Пифагора.

Зная диаметр цилиндра, можно вычислить радиус цилиндра и периметр окружности цилиндра, которая представляет собой его основание. Радиус будет равен одной второй диаметра, а периметр окружности – произведению диаметра на число π.
r=D/2
P=πD

Первое, что можно вычислить через диаметр и диагональ цилиндра – это его высота. Так как высота непосредственно связана со всеми остальными параметрами цилиндра, такими как площадь, объем и прочие, то она является необходимым звеном для геометрического калькулятора цилиндра. (рис.25.1)
h=√(d^2-D^2 )

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты на длину окружности в основании цилиндра, таким образом, раскрывая эту формулу, получаем, что площадь боковой поверхности равна произведению числа π и диаметра на квадратный корень из разности квадратов диагонали и диаметра.
S_(б.п.)=hP=πD√(d^2-D^2 )

Площадь полной поверхности цилиндра представлена площадью боковой поверхности в сумме с площадью двух оснований в виде окружностей.
S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πD(√(d^2-D^2 )+D)

Чтобы найти объем цилиндра через диаметр и диагональ нужно представить высоту цилиндра в виде квадратного корня разности из квадратов диагонали и диаметра, а затем умножить это на площадь основания, состоящую из числа π и четверти квадрата диаметра.
V=(πD^2 h)/4=(πD^2 √(d^2-D^2 ))/4

Чтобы в цилиндр можно было вписать сферу, нужно чтобы диаметр цилиндра был равен его высоте, тогда сфера будет соприкасаться со всеми гранями цилиндра и ее радиус будет равен радиусу цилиндра, то есть половине его диаметра. (рис. 25.2)
r_1=r=D/2

Чтобы вокруг цилиндра можно было описать сферу, нужно точно так же чтобы диаметр цилиндра совпадал с высотой, и радиус описанной сферы будет равен половине диагонали цилиндра.
R=d/2

Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел цилиндр). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа “квадратный корень” применяется функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак “√”.

Задача

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4√2.
Вычислить объем цилиндра.

Решение.
Поскольку диагональ сечения цилиндра – квадрат, то обозначим его сторону как a.
a² + a² = (4√2)²
2a² = 32
a² = 16
a = 4

Объем цилиндра найдем по формуле:
 V = πd² / 4 * h
откуда
V = π4² / 4 * 4
V = 16π

Ответ: Объем цилиндра равен 16π

Задача

Куб с ребром длиной а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Решение.
Проведем плоскость через основание цилиндра.

Диагональ куба является одновременно диаметром цилиндра. Зная сторону куба, определяем длину диагонали AC квадрата ABCD как
CD² + AD²= AC²
a² + a² = AC²
2a² = AC
AC = a√2

Проведем плоскость через ось цилиндра по диагонали AC. Высота сечения равна длине ребра куба и по условиям задачи рана а, а ширина сечения равна a√2.
Таким образом, площадь сечения равна:

S = a * a√2 = a²√2

Ответ: a²√2

Задача

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45 градусов. Найти обьём цилиндра. 

Решение. 
Поскольку основание осевого сечения образует с высотой цилиндра, принадлежащей сечению, прямой угол, то треугольник, который образован диагональю осевого сечения, высотой цилиндра и его диаметром – прямоугольный. 

Исходя из этого, угол между диагональю и высотой также равен 45 градусов ( 180 – 90 – 45 ). 

Таким образом, треугольник является равнобедренным, а, следовательно, высота цилиндра равна его диаметру. Применив теорему Пифагора, найдем их. 

d² + d² = 12²

2d² = 144 
d² = 72 

Теперь применим формулу объема цилиндра V = пd² / 4 h 

V = 72п / 4 * √72 
V = 18п * √72  

Ответ: 18п√72  

Задача

Решение. Рiшення.

0
 

 Цилиндр и его сечения |

Описание курса

| Диагональ цилиндра 

При помощи нашего калькулятора вы легко сможете узнать объем цилиндра. Так же если вам необходимо узнать объем бочки, круглой цистерны, круглого бака и т.д., то это калькулятор то, что Вам нужно.

Расчет объема цилиндра