Объем – диэлектрик
Cтраница 2
Деление этой величины на объем диэлектрика Sh дает модуль поляризованности Ра. Таким образом, поляризованность равна поверхностной плотности связанных зарядов в диэлектрике.
[16]
Тут же показаны соотношения объемов диэлектрика Уд и воздуха VB для различных типов изоляции. Из табл. 9 – 2 видно, что лучшими данными обладают шайбовая изоляция и изоляция из винтовой спирали.
[17]
Итак, пусть в некоторый объем диэлектрика, например в 1 см3, содержащий п молекул, введено ге0 атомов металла.
[18]
Распределенные дефекты обычно охватывают весь объем диэлектрика или во всяком случае значительную его часть. Характерным примером распределенного дефекта является увлажнение наружных слоев многослойной изоляции ( например, изоляции вращающихся машин), которое происходит за счет впитывания влаги из окружающей среды волокнами бумаги.
[19]
Сила, действующая на единицу объема диэлектрика.
[20]
Наличие повышенных локальных напряженностей в объеме диэлектрика должно сказаться на его электрической прочности. На рисунке 3.5 представлены зависимости средних пробивных градиентов образцов с включением и без него, причем из толщины образца исключался размер включения.
[22]
Заряд может образоваться и в объеме диэлектрика, и на его поверхности.
[23]
Если ловушки однородно распределены в объеме диэлектрика, то коэффициент выпрямления понижается с увеличением их концентрации.
[24]
V / ам и V – объем диэлектрика; 2) малой зависимости е от темп-ры и частоты; последнее требование особо важно для материалов, идущих на изготовление стандартных конденсаторов; 3) малых диэлектрич.
[25]
Следовательно, суммарный электрический момент некоторого объема диэлектрика может быть не равен нулю. Вследствие антигармонических колебаний кристаллической решетки он зависит от температуры.
[27]
Следовательно, суммарный электрический момент некоторого объема диэлектрика может быть не равен нулю. Этот момент зависит от температуры.
[28]
Количество тепла, выделяющегося в единице объема диэлектрика в единицу времени, как известно из электротехники, составляет: q ( 5 / 9) X X 10 12 ( U / 1) 2 пе, вт / см3, где V – напряжение электрического поля; / – расстояние между электродами; п – частота тока ( мегациклы); г – коэффициент потерь диэлектрика, который в нашем случае можно назвать коэффициентом убыли влаги.
[29]
Здесь г – расстояние от элемента объема диэлектрика dV до точки, в которой вычисляется поле.
[30]
Страницы:
1
2
3
4
Поляризованность Р характеризует
интенсивность поляризации диэлектрика,
т.е. такого состояния вещества, при
котором его элементарный объем
приобретает электрический момент
P = n*q*l, Кл/м-2,
где q – величина заряда одного диполя,
Кл;
l – расстояние между центрами
положительного и отрицательного заряда,
м;
n – число диполей в 1 м3.
Поляризованность совпадает по
значению с поверхностной плотностью
зарядов, возникающих на поверхности
диэлектрика.
Индуцирование электрического момента
в единице объема диэлектрического
материала может происходить под действием
электрического поля, механических
напряжений или самопроизвольно
(спонтанно).
Поляризация в электрическом поле– это процесс смещения связанных
зарядов на ограниченное расстояние или
поворот диполей под действием внешнего
электрического поля.
Если диэлектрик находится между
обкладками конденсатора, то вследствие
поляризации заряд конденсатора
увеличивается в ε раз при том же значении
электрического напряжения U. Величина
ε называется относительной
диэлектрической проницаемостью и
представляет собой отношение
суммарного заряда Q конденсатора с
диэлектриком к заряду Q0того же
конденсатора, между электродами которого
находится вакуум:
где QД– заряд конденсатора,
обусловленный поляризацией диэлектрика.
Емкость конденсатора с
диэлектриком
где ε0– электрическая постоянная;
S– площадь электродов;
d- расстояние между
ними.
Удельный заряд конденсатора
где Е = U/d– напряженность электрического поля;
D– диэлектрическая
индукция (смещение);
χ = ε – 1 – диэлектрическая
восприимчивость диэлектрика;
Р = ε0*χ*Е – поляризованность
диэлектрика.
Диэлектрическая проницаемость
неоднородных диэлектриков. Плоский
конденсатор с неоднородным диэлектриком
можно рассматривать как m параллельно
или последовательно соединенных
конденсаторов с однородными диэлектриками,
соответственно относительная
диэлектрическая проницаемость
неоднородного диэлектрика
,
где Ci– объемная концентрацияi– го компонента, m – количество параллельно
(последовательно) расположенных
компонентов неоднородного диэлектрика.
Диэлектрическую проницаемость сложных
твердых диэлектриков, представляющих
собой смесь химически не взаимодействующих
друг с другом компонентов, при не очень
большом различии значений их
диэлектрических проницаемостей,
можно определить на основании уравнения
Лихтенеккера. В случае хаотического
распределения обоих компонентов
(например, в керамике) уравнение
Лихтенеккера имеет вид
где εc, ε1, ε2– относительные
диэлектрические проницаемости смеси
и отдельных компонентов соответственно;
C1и C2– объемные
концентрации компонентов, C1+ C2= 1.
Электропроводность диэлектриков.
В общем случае ток в диэлектрике
I=Iсм+Iабс+Iскв,
где Iсм– ток смещения,Iабс– ток абсорбции,Iскв– ток сквозной
проводимости. Кратковременныйток
смещенияобусловлен быстрыми видами
поляризации (электронной, ионной).Ток абсорбцииобусловлен
активными составляющими токов, связанных
с замедленными (релаксационными)
механизмами поляризации в полярных
и неоднородных диэлектриках. Время
протекания тока абсорбции зависит от
типа диэлектрика и механизма поляризации.
Во многих диэлектриках, используемых
в качестве электрической изоляции,
ток абсорбции устанавливается за время
меньше 1 минуты. При постоянном напряжении
после установления тока абсорбции через
диэлектрик будет протекатьсквознойток.
Для твердых диэлектриков наиболее
характерна ионная электропроводность.
Для многих ионных кристаллов удельная
электропроводность экспоненциально
зависит от температуры
,
где γ0– удельная электрическая
проводимость при начальной температуре;
ΔW – энергия активации перемещения
ионов, Дж;
k – постоянная Больцмана;
T – температура, К.
В низкотемпературной области проводимость
в основном определяется примесными
ионами, в высокотемпературной области
– собственными ионами.
Поверхностное сопротивление твердого
диэлектриказависит от природы
диэлектрика, температуры, влажности,
приложенного напряжения и характеризуется
удельным поверхностным сопротивлением
ρs, Ом.
Поверхностное сопротивление диэлектрика
где a- расстояние между
электродами, м;
b – ширина электрода, м.
Полная электрическая проводимость
твердого диэлектрика определяется
суммированием объемной и поверхностной
проводимостей.
Диэлектрические потери– часть
энергии электрического поля, которая
рассеивается в диэлектрике в виде тепла.
Потери энергии в диэлектрике
обусловлены протеканием сквозного
(объемного и поверхностного) тока и
процессами установления поляризации
при изменении напряженности
электрического поля.
Потери мощности на нагрев диэлектрика
в постоянном электрическом поле
где U – напряжение, В;
R – сопротивление диэлектрика, Ом.
Потери мощности в единице объема
диэлектрика называются удельными
электрическими потерями и определяются
по формуле
где E – напряженность электрического
поля, В/м;
ρ – удельное электрическое
сопротивление, Ом*м.
В переменном электрическом поле, кроме
потерь на электропроводность, в
диэлектриках возникают релаксационные,
ионизационные, резонансные потери.
Для количественной оценки потерь энергии
используется тангенс угла диэлектрических
потерь tgδ. В конденсаторе с идеальным
диэлектриком, то есть диэлектриком
без потерь, вектор тока Icопережает
вектор напряжения U на 90°. В реальных
диэлектриках угол сдвига фаз φ между
током и напряжением меньше 90° за счет
потерь, обусловленных протеканием
активного токаIа(рисунок 14).
Рисунок 14
Угол δ, дополняющий угол сдвига фаз
между током и напряжением до 90°, называется
углом диэлектрических потерь.
Диэлектрические потери (мощность,
рассеиваемая в диэлектрике)
,
где ω = 2πf – угловая частота, рад/с; f-
частота, Гц.
Удельные диэлектрические потериопределяются выражением
,
где γа= (ε*f*tgδ)/(1,8*1010) – активная
составляющая удельной проводимости
диэлектрика, 1/(Oм*м).
Частотная зависимость потерь мощности
в диэлектрике определяется характером
зависимостей тангенса угла диэлектрических
потерь tgδ и относительной диэлектрической
проницаемости ε от частоты.
Коэффициент диэлектрических
потерьε’ = ε*tgδ.
Пробой диэлектриков. Минимальное
напряжение Uпр, приводящее к
образованию в диэлектрике
электропроводящего канала, называетсяпробивным напряжением.Электрическая прочность, то
есть способность диэлектрика сохранять
высокое удельное сопротивление,
характеризуется напряженностью
электрического поля при пробое
изоляции в однородном электрическом
поле
В/м,
где Uпр– пробивное напряжение, В;
d – толщина диэлектрика, м.
Как найти объем, зная только плотность тела и плотность диэлектрика
Павел Шапкин
Ученик
(95),
на голосовании
8 лет назад
Положительно заряженное тело находится в взвешеном состоянии в диэлектрике. Известна плотность тела и плотность диэлектрика. Как найти объем тела? Возможно ли это вообще?
Голосование за лучший ответ
Глава 10
ДИЭЛЕКТРИКИ
§1. Диэлектрическая проницаемость
§2. Вектор поляризации Р
§З. Поляризационные заряды
§4. Уравнения электростатики для диэлектриков
§5. Поля и силы в присутствии диэлектриков
§ 1. Диэлектрическая проницаемость
Сейчас мы разберем еще одно характерное свойство материи, возникающее под влиянием электрического поля. В одной из предыдущих глав мы рассмотрели поведение проводников, в которых заряды под влиянием электрического поля свободно текут в такие участки, что поле внутри проводника обращается в нуль. Теперь мы будем говорить об изоляторах, т. е. таких материалах, которые не проводят электричество. Сначала можно было бы подумать, что в них вообще ничего не происходит. Но Фарадей с помощью простого электроскопа и конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин, обнаружил, что это не так. Его опыт показал, что если между пластинами поместить изолятор, то емкость такого конденсатора увеличится. Когда изолятор целиком заполняет пространство между пластинами, емкость возрастает в x раз, причем x зависит только от свойств изолирующего материала. Изолирующие материалы называют также диэлектриками; тогда множитель x характеризует свойства диэлектрика и называется диэлектрической проницаемостью. Диэлектрическая проницаемость вакуума, конечно, равна единице.
Наша задача теперь состоит в том, чтобы объяснить, почему вообще возникает электрический эффект, раз изоляторы фактически являются изоляторами и не проводят электричества. Начнем с экспериментального факта, что емкость увеличивается, и попытаемся разобраться, что же там может происходить. Рассмотрим плоский конденсатор, на проводящих пластинах которого имеются заряды, скажем, на верхней пластине отрицательные, а на нижней — положительные.
Фиг. 10.1. Плоский конденсатор с диэлектриком. Показаны линии паяя E.
Пусть расстояние между пластинами равно d, а площадь каждой пластины А. Как мы показали раньше, емкость равна
(10.1)
а заряд и потенциал конденсатора связаны соотношением
(10.2)
Далее, экспериментальный факт состоит в том, что если мы положим между пластинами кусок изолирующего материала, например стекла или плексигласа, то емкость возрастет. Это, разумеется, означает, что при том же заряде потенциал стал меньше. Но разность потенциалов есть интеграл от электрического поля, взятый поперек конденсатора; отсюда мы должны заключить, что электрическое поле внутри конденсатора стало меньше, хотя заряды пластин и не изменились.
Но как может это быть? Нам известна теорема Гаусса, которая утверждает, что полный поток электрического поля прямо связан с находящимся внутри объема электрическим зарядом. Рассмотрим входящую в теорему Гаусса поверхность S, изображенную пунктиром на фиг. 10.1. Поскольку электрическое поле в присутствии диэлектрика уменьшается, мы заключаем, что полный заряд внутри поверхности должен теперь быть меньше, чем до внесения изолятора. Остается сделать единственный вывод, что на поверхности диэлектрика должны находиться положительные заряды. Раз поле уменьшилось, но все же не обратилось в нуль, значит, этот положительный заряд меньше отрицательного заряда в проводнике. Итак, явление это можно объяснить, если мы поймем, почему на одной поверхности диэлектрика, помещенного в электрическое поле, индуцируется положительный заряд, а на другой — отрицательный.
Фиг. 10.2. Если поместить пластинку проводника внутрь плоского конденсатора, наведенные заряды обратят поле в проводнике в нуль.
Все было бы понятно, если бы речь шла о проводнике. Пусть у нас был бы, например, конденсатор, расстояние между пластинами которого равно d, и мы вставили бы между этими пластинами незаряженный проводник толщиной b (фиг. 10.2). Электрическое поле индуцирует положительный заряд на верхней поверхности и отрицательный заряд на нижней поверхности, так что в результате поле внутри проводника погашается. Во всех остальных местах поле такое же, какое было без проводника, поэтому оно равно поверхностной плотности зарядов, деленной на eо; но расстояние, по которому мы должны интегрировать, чтобы получить напряжение (разность потенциалов), стало меньше.
Напряжение равно
Окончательное выражение для емкости похоже на (10.1), где d нужно заменить разностью (d-b):
(10.3)
Емкость увеличилась в некоторое число раз, зависящее от b/d, доли объема, занятого проводником.
Отсюда мы получаем модель того, что происходит в диэлектриках: внутри материала имеется множество мелких проводящих слоев. Беда такой модели состоит в том, что в ней должна иметься выделенная ось — перпендикуляр ко всем слоям, а у большинства диэлектриков такой оси нет.
Фиг. 10.3. Модель диэлектрика; маленькие проводящие шарики, вставленные внутрь идеального изолятора.
Эту трудность, однако, можно устранить, предположив, что все изолирующие материалы содержат маленькие проводящие шарики, отделенные один от другой изолятором (фиг. 10.3). Появление диэлектрической проницаемости тогда объясняется действием зарядов, индуцируемых в каждом шарике. В этом и состоит одна из самых первых физических моделей диэлектриков, предложенная для объяснения явления, которое наблюдал Фарадей. Точнее, предполагалось, что каждый атом материала есть идеальный проводник, изолированный от остальных атомов. Диэлектрическая проницаемость x тогда должна была определяться долей того объема, который занимают проводящие шарики. Теперь, однако, пользуются другой моделью.
§ 2. Вектор поляризации Р
Продолжив наш анализ, мы обнаружим, что идея о проводящих и непроводящих участках не так уж существенна. Любой из маленьких шариков действует как диполь, момент которого создается внешним полем. Для понимания диэлектриков существенной является идея о том, что в материале возбуждается множество маленьких диполей. Почему они возбуждаются — то ли потому, что в материале есть проводящие шарики, то ли по каким-либо другим причинам — абсолютно несущественно.
Почему поле должно индуцировать дипольный момент у атома, хотя атом не является проводящим шариком? Мы обсудим этот вопрос гораздо подробнее в следующей главе, которая будет посвящена внутреннему механизму диэлектрических материалов. А сейчас мы дадим лишь один пример, только чтобы проиллюстрировать возможный механизм. Атом имеет ядро с положительным зарядом, окруженное отрицательными электронами. В электрическом поле ядро притягивается в одну сторону, а электроны в другую. Орбиты или плотности вероятности электронов (или какая-либо другая картина, используемая в квантовой механике) несколько искажаются (фиг. 10.4); центр тяжести отрицательных зарядов сместится и больше не будет совпадать с положительным зарядом ядра. Мы уже обсуждали такое распределение заряда. Если взглянуть на него издалека, то подобная нейтральная конфигурация в первом приближении эквивалентна маленькому диполю.
Если поле не чересчур велико, естественно считать величину индуцированного дипольного момента пропорциональной полю. Иначе говоря, небольшое поле сместит заряды чуть-чуть, а более сильное поле раздвинет их дальше — пропорционально величине поля, пока смещение не станет чересчур большим.
Фиг. 10.4. Распределение электронов атома в электрическом поле сдвигается относительно ядра.
До конца этой главы мы будем считать, что дипольный момент в точности пропорционален полю.
Предположим теперь, что в каждом атоме заряды q разделены промежутком d, так что qd есть дипольный момент одного атома. (Мы пишем d, потому что d уже использовано для обозначения расстояния между пластинами.) Если в единице объема имеется N атомов, то дипольный момент в единице объема равен Nqd. Этот дипольный момент в единице объема мы запишем в виде вектора Р. Нет необходимости подчеркивать, что он лежит в направлении всех отдельных дипольных моментов, т. е. в направлении смещения зарядов d:
(10.4)
Вообще говоря, Р будет меняться в диэлектрике от точки к точке. Но в каждой точке Р пропорционален электрическому полю Е. Константа пропорциональности, которая определяется тем, насколько легко можно сместить электрон, зависит от сорта атомов в материале.
О том, что действительно определяет поведение этой константы и степень ее постоянства для больших полей, а также о том, что происходит внутри разных материалов, мы поговорим позже. А пока мы просто предположим, что существует какой-то механизм, благодаря которому индуцируется дипольный момент, пропорциональный электрическому полю.
§ 3. Поляризационные заряды
Посмотрим теперь, что дает эта модель для конденсатора с диэлектриком. Рассмотрим сначала лист материала, в котором на единицу объема приходится дипольный момент Р. Получится ли в результате в среднем какая-нибудь плотность зарядов? Нет, если Р постоянен.
Если положительные и отрицательные заряды, смещенные относительно друг друга, имеют одну и ту же среднюю плотность, то сам факт их смещения не приводит к появлению суммарного заряда внутри объема. С другой стороны, если бы Р в одном месте был больше, а в другом меньше, то это означало бы, что в некоторые области попало больше зарядов, чем оттуда вышло; тогда мы бы могли получить объемную плотность заряда. В случае плоского конденсатора предположим, что Р — величина постоянная, поэтому достаточно будет только посмотреть, что происходит на поверхностях. На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) эффективно выдвинулись на расстояние d, а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии d. Возникает, как показано на фиг. 10.5, поверхностная плотность зарядов, которую мы будем называть поляризационным зарядом.
Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если площадь пластинки равна А, то число электронов, которое окажется на поверхности, есть произведение А и N (числа электронов на единицу объема), а также смещения S, которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона qe. Чтобы найти поверхностную плотность поляризационных зарядов, индуцируемую на поверхности, разделим на А. Величина поверхностной плотности зарядов равна
Но она равна как раз длине Р вектора поляризации Р [формула (10.4)]:
Фиг. 10.5. Диэлектрик в однородном поле. Положительные заряды сместились на расстояние d относительно отрицательных.
(10.5)
Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала. Поверхностный заряд, конечно, на одной поверхности положителен, а на другой отрицателен.
Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектриком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также имеют поверхностный заряд (который мы обозначим sсвоб, потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке. Следует подчеркнуть, что sпол существует только благодаря sсвоб. Если, разрядив конденсатор, удалить sсвоб, то sпол также исчезнет, но он не стечет по проволоке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь материала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике.
Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности S, изображенной на фиг. 10.1. Электрическое поле Е в диэлектрике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной на e0. Очевидно, что sпол и sсвоб имеют разные знаки, так что
(10.6)
Заметьте, что поле Е0между металлической пластиной и поверхностью диэлектрика больше поля Е; оно соответствует только sсвоб. Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток между пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать
(10.7)
Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно Р. Здесь мы, однако, предполагаем, что Р зависит от Е и, более того, пропорционально Е. Эта пропорциональность обычно записывается в виде
(10.8)
Постоянная c (греческое «хи») называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.
Тогда выражение (10.7) приобретает вид
(10.9)
откуда мы получаем множитель 1/(1+c), показывающий, во сколько раз уменьшилось поле.
Фиг.10.6. Количество ааряда, прошедшее через элемент воображаемой поверхности в диэлектрике, пропорционально компоненте Р, нормальной к поверхности.
Напряжение между пластинами есть интеграл от электрического поля. Раз поле однородно, интеграл сводится просто к произведению Е и расстояния между пластинами d. Мы получаем
Полный заряд конденсатора есть sсвоб А, так что емкость, определяемая формулой (10.2), оказывается равной
(10.10)
Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Если заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость возрастает на множитель
(10.11)
который характеризует свойства данного материала. Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация.
Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация Р не всюду одинакова. Мы уже говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в маленький элемент объема может войти больше зарядов, чем выйдет с другой. Как определить, сколько зарядов теряется или приобретается в маленьком объеме?
Подсчитаем сначала, сколько зарядов проходит через воображаемую плоскость, когда материал поляризуется. Количество заряда, проходящее через поверхность, есть просто Р, умноженное на площадь поверхности, если поляризация направлена по нормали к поверхности. Разумеется, если поляризация касательна, к поверхности, то через нее не пройдет ни одного заряда.
Продолжая прежние рассуждения, легко понять, что количество заряда, прошедшее через любой элемент поверхности, пропорционально компоненте Р, перпендикулярной к поверхности. Сравним фиг. 10.6 и 10.5. Мы видим, что уравнение (10.5) в общем случае должно быть записано так:
(10.12)
Фиг. 10.7. Неоднородная поляризация Р может приводить к появлению результирующего заряда внутри диэлектрика.
Если мы имеем в виду воображаемый элемент поверхности внутри диэлектрика, то формула (10.12) дает заряд, который прошел через поверхность, но не приводит к результирующему поверхностному заряду, потому что возникают равные и противоположно направленные вклады от диэлектрика по обе стороны поверхности.
Однако смещение зарядов может привести к появлению объемной плотности зарядов. Полный заряд, выдвинутый из объема V за счет поляризации, есть интеграл от внешней нормальной составляющей Р по поверхности S, охватывающей объем (фиг. 10.7). Такой же излишек зарядов противоположного знака остается внутри. Обозначая суммарный заряд внутри F через DQпол, запишем
(10.13)
Мы можем отнести DQпол за счет объемного распределения заряда с плотностью rпол, так что
(10.14)
Комбинируя оба уравнения, получаем
(10.15)
Мы получили разновидность теоремы Гаусса, связывающую плотность заряда поляризованного материала с вектором поляризации Р. Мы видим, что она согласуется с результатом, полученным для поверхностного поляризационного заряда или же для диэлектрика в плоском конденсаторе. Уравнение (10.15) с гауссовой поверхностью S, изображенной на фиг. 10.1, дает в правой части интеграл по поверхности, равный РDA, а в левой части заряд внутри объема оказывается sпол DA, так что мы снова получаем s=Р.
Точно так же, как мы делали в случае закона Гаусса для электростатики, мы можем перейти в уравнении (10.15) к дифференциальной форме, пользуясь математической теоремой Гаусса:
Мы получаем
(10.16)
Если поляризация неоднородна, ее дивергенция определяет появляющуюся в материале результирующую плотность зарядов. Подчеркнем, что это совсем настоящая плотность зарядов; мы называем ее «поляризационным зарядом», только чтобы помнить, откуда она взялась.
§ 4. Уравнения электростатики для диэлектриков
Давайте теперь свяжем полученные нами результаты с тем, что мы уже узнали в электростатике. Основное уравнение имеет вид
(10.17)
где r — плотность всех электрических зарядов. Поскольку уследить за поляризационными зарядами непросто, удобно разбить r на две части. Обозначим снова через rпол заряды, появляющиеся за счет неоднородной поляризации, а остальную часть назовем rсвоб. Обычно rсвоб означает заряд, сообщаемый проводникам или распределенный известным образом в пространстве. В этом случае уравнение (10.17) приобретает вид
или
(10.18)
Уравнение для ротора от Е, конечно, не меняется:
(10.19)
Подставляя Р из уравнения (10.8), получаем более простое уравнение:
(10.20)
Это и есть уравнения электростатики в присутствии диэлектриков. Они, конечно, не дают ничего нового, но имеют вид, более удобный для расчетов в тех случаях, когда rсвоб известно, а поляризация Р пропорциональна Е.
Заметьте, что мы не вытащили «константу» диэлектрической проницаемости x за знак дивергенции. Это потому, что она может не быть всюду одинаковой. Если она повсюду одинакова, то ее можно выделить в качестве множителя и уравнения станут в точности обычными уравнениями электростатики, где только rсвоб нужно поделить на x. В написанной нами форме уравнения годятся в общем случае, когда в разных местах поля расположены разные диэлектрики. В таких случаях решить уравнения иногда бывает очень трудно.
Здесь следует отметить один момент, имеющий историческое значение. На заре рождения электричества атомный механизм поляризации не был еще известен и о существовании rпол не знали. Заряд rсвоб считался равным всей плотности зарядов. Чтобы придать уравнениям Максвелла простой вид, вводили новый вектор D как линейную комбинацию Е и Р:
(10.21)
В результате уравнения (10.18) и (10.19) записывались в очень простом виде:
(10.22)
Можно ли их решить? Только когда задано третье уравнение, связывающее D и Е. Если справедливо уравнение (10.8), то эта связь есть
(10.23)
Последнее уравнение обычно записывается так:
(10.24)
где e — еще одна постоянная, описывающая диэлектрические свойства материалов. Она также называется «проницаемостью». (Теперь вы понимаете, почему в наших уравнениях появилось e0, это «проницаемость пустого пространства».) Очевидно.
(10.25)
Сейчас мы рассматриваем эти вещи уже с другой точки зрения, а именно что в вакууме всегда имеются самые простые уравнения, и если в каждом случае учесть все заряды, какова бы ни была причина их возникновения, то они всегда справедливы. Выделяя часть зарядов либо из соображений удобства, либо потому, что мы не хотим вникать в детали процесса, мы всегда можем при желании написать уравнения в любой удобной для нас форме.
Сделаем еще одно замечание. Уравнение D = eЕ представляет собой попытку описать свойства вещества. Но вещество исключительно сложно по своей природе, и подобное уравнение на самом деле неправильно. Так, если Е становится очень большим, D перестает быть пропорциональным Е. В некоторых веществах пропорциональность нарушается уже при достаточно слабых полях. Кроме того, «константа» пропорциональности может зависеть от того, насколько быстро Е меняется со временем. Следовательно, уравнение такого типа есть нечто вроде приближенного уравнения типа закона Гука. Оно не может быть глубоким, фундаментальным уравнением. С другой стороны, наши основные уравнения для Е (10.17) и (10.19) выражают наиболее полное и глубокое понимание электростатики.
§ 5. Поля и силы в присутствии диэлектриков
Мы докажем сейчас ряд довольно общих теорем электростатики для тех случаев, когда имеются диэлектрики. Мы уже видели, что емкость плоского конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличивается в определенное число раз. Сейчас можно показать, что это верно для емкости любой формы, если вся область вокруг двух проводников заполнена однородным линейным диэлектриком. В отсутствие диэлектрика уравнения, которые требуется решить,
такие:
Когда имеется диэлектрик, первое из этих уравнений изменяется, и мы получаем
(10.26)
Далее, поскольку мы считаем и всюду одинаковой, последние два уравнения можно записать в виде
(10.27)
Следовательно, для хЕ получаются такие же уравнения, как для Е0, и тогда они имеют решение хЕ = Е0. Другими словами, поле всюду в х раз меньше, чем в отсутствие диэлектрика. Поскольку разность потенциалов есть линейный интеграл от поля, она уменьшится во столько же раз. А так как заряд на электродах конденсатора в обоих случаях тот же самый, то уравнение (10.2) говорит, что емкость в присутствии всюду однородного диэлектрика увеличивается в х раз.
Зададимся теперь вопросом, как взаимодействуют два заряженных проводника в диэлектрике. Рассмотрим жидкий диэлектрик, повсюду однородный. Мы уже видели раньше, что один из способов найти силу — это продифференцировать энергию по соответствующему расстоянию. Если заряды на проводниках равны и противоположны по знаку, то энергия U — QZ/2C, где С — их емкость. С помощью принципа виртуальной работы любая компонента силы получается некоторым дифференцированием; например,
(10.28)
Поскольку диэлектрик увеличивает емкость в х раз, все силы уменьшатся в такое же число раз.
Однако все это не так просто. Сказанное справедливо, только если диэлектрик жидкий. Любое перемещение проводников, окруженных твердым диэлектриком, изменяет условия механических напряжений в диэлектрике и его электрические свойства, а также несколько меняет механическую энергию диэлектрика. Движение проводников в жидкости не меняет свойств жидкости. Жидкость перетекает в другое место, но ее электрические свойства остаются неизменными.
Во многих старых книгах по электричеству изложение начинается с «основного» закона, по которому сила, действующая между двумя зарядами, есть
(10.29)
а эта точка зрения абсолютно неприемлема. Во-первых, это не всегда верно; это справедливо только в мире, заполненном жидкостью; во-вторых, так получается лишь для постоянного значения х, что для большинства реальных материалов выполняется приближенно.
Гораздо легче начинать со всегда справедливого (для неподвижных зарядов) закона Кулона для зарядов в вакууме.
Что же происходит с зарядами в твердом теле? На это трудно ответить, потому что даже не вполне ясно, о чем идет речь. Если вы вносите заряды внутрь твердого диэлектрика, то возникают всякого рода давления и напряжения. Вы не можете считать работу виртуальной, не включив сюда также механическую энергию, необходимую для сжатия тела, а отличить однозначным образом электрические силы от механических, возникающих за счет самого материала, вообще говоря, очень трудно. К счастью, никому на самом деле не бывает нужно знать ответ на предложенный вопрос. Иногда нужно знать величину натяжений, которые могут возникнуть в твердом теле, а это можно вычислить. Но результаты здесь оказываются гораздо сложнее, чем простой ответ, полученный нами для жидкостей.
Неожиданно сложной оказывается следующая проблема в теории диэлектриков: почему заряженное тело подбирает маленькие кусочки диэлектрика? Если вы в сухой день причесываетесь, то ваша расческа потом легко будет подбирать маленькие кусочки бумаги. Если вы не вдумались в этот вопрос, то, вероятно, сочтете, что на расческе заряды одного знака, а на бумаге противоположного. Но бумага ведь была сначала электрически нейтральной. У нее нет суммарного заряда, а она все же притягивается. Правда, иногда бумажки подскакивают к расческе, а затем отлетают, сразу же отталкиваясь от нее. Причина, конечно, заключается в том, что, коснувшись расчески, бумага сняла с нее немного отрицательных зарядов, а одноименные заряды отталкиваются. Но это все еще не дает ответа на первоначальный вопрос. Прежде всего, почему бумажки вообще притягиваются к расческе?
Ответ заключается в поляризации диэлектрика, помещенного в электрическое поле. Возникают поляризационные заряды обоих знаков, притягиваемые и отталкиваемые расческой. Однако в результате получается притяжение, потому что поле поблизости от расчески сильнее, чем вдали от нее, ведь расческа не бесконечна. Ее заряд локализован. Нейтральный кусочек бумаги не притянется ни к одной из параллельных пластин конденсатора. Изменение поля составляет существенную часть механизма притяжения.
Как показано на фиг. 10.8, диэлектрик всегда стремится из области слабого поля в область, где поле сильнее. В действительности можно показать, что сила, действующая на малые объекты, пропорциональна градиенту квадрата электрического поля. Почему она зависит от квадрата поля? Потому что индуцированные поляризационные заряды пропорциональны полям, а для данных зарядов силы пропорциональны полю. Однако, как мы уже указывали, результирующая сила возникает, только если квадрат поля меняется от точки к точке. Следовательно, сила пропорциональна градиенту квадрата поля. Константа пропорциональности включает помимо всего прочего еще диэлектрическую проницаемость данного тела и зависит также от размеров и формы тела.
Фиг. 10.8, На диэлектрик в неоднородном поле действует сила, направленная в сторону областей с большей напряженностью поля.
Фиг. 10.9. Сила, действующая на диэлектрик в плоском конденсаторе, может быть вычислена с помощью закона сохранения энергии.
Есть еще одна близкая задача, в которой сила, действующая на диэлектрик, может быть найдена точно. Если мы возьмем плоский конденсатор, в котором плитка диэлектрика задвинута лишь частично (фиг. 10.9), то возникнет сила, вдвигающая диэлектрик внутрь. Провести детальное исследование силы очень трудно; оно связано с неоднородностями поля вблизи концов диэлектрика и пластин. Однако если мы не интересуемся деталями, а просто используем закон сохранения энергии, то силу легко вычислить. Мы можем определить силу с помощью ранее выведенной формулы. Уравнение (10.28) эквивалентно
(10.30)
Нам осталось только найти, как меняется емкость в зависимости от положения плитки диэлектрика.
Пусть полная длина пластин есть L, ширина их равна W, расстояние между пластинами и толщина диэлектрика равна d, а расстояние, на которое вдвинут диэлектрик, есть х. Емкость есть отношение полного свободного заряда на пластинах к разности потенциалов между пластинами. Выше мы видели, что при данном потенциале V поверхностная плотность свободных зарядов равна
xe0V/d. Следовательно, полный заряд пластин равен
откуда мы находим емкость
(10.31)
С помощью (10.30) получаем
(10.32)
Но пользы от этого выражения не очень много, разве только вам понадобится определить силу именно в таких условиях. Мы хотели лишь показать, что можно подчас избежать страшных осложнений при определении сил, действующих на диэлектрики, если пользоваться энергией, как это было в настоящем случае.
В нашем изложении теории диэлектриков мы имели дело только с электрическими явлениями, принимая как факт, что поляризация вещества пропорциональна электрическому полю. Почему возникает такая пропорциональность — вопрос, представляющий, пожалуй, еще больший интерес для физики. Стоит нам понять механизм возникновения диэлектрической проницаемости с атомной точки зрения, как мы сможем использовать измерения диэлектрической проницаемости в изменяющихся условиях для получения подробных сведений о строении атомов и молекул. Эти вопросы будут частично изложены в следующей главе.
