Как найти объем если даны четыре данных

Статистические исследования числовых рядов. Статистические характеристики числовых рядов

Очень часто из-за дороговизны или слишком большого числа наблюдений невозможно получить полной информации об объектах, событиях или наблюдениях. По этой причине информацию получают на основе анализа части всего множества объектов, событий или наблюдений, называемой рядом числовых данных, рядом выборочных данных или, просто, выборкой.

Выборка представляет собой конечный ряд чисел (выборочных данных), количество чисел в котором называют объемом выборки

Для обеспечения достоверности информации об объектах, событиях или наблюдениях, полученных на основе статистических исследований числовых рядов (анализа выборочных данных), отбор выборочных данных должен носить случайный характер и иметь достаточно большой объем, то есть выборка должны быть репрезентативной (представительной).

Статистические исследования числовых рядов (рядов чисел, рядов выборочных данных) удобно проводить в соответствии со следующей схемой, которую мы изложим на примере следующей выборки X :

Определяем объем выборки (число чисел в числовом ряде).

В числовом ряде (1) десять чисел, поэтому объем выборки равен 10.

Вычисляем среднее арифметическое числового ряда X (среднее выборочное значение), которое обозначают .

Для числового ряда (1)

Для числового ряда X вариационный ряд X₁ имеет следующий вид:

Вычисляем медиану числового ряда.

В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) – чётное число, медианой числового ряда является число, равное половине суммы двух чисел, стоящих в середине вариационного ряда.

В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) – нечётное число, медианой числового ряда является число, стоящее в середине вариационного ряда.

Например, медианой числового ряда

Составляем таблицу частот числового ряда.

ТАБЛИЦА ЧАСТОТ ЧИСЛОВОГО РЯДА

Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	3,12	3,24	3,25	3,34	3,37	3,44
Частоты	3	2	1	1	1	2

Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	Частоты
3,12	3
3,24	2
3,25	1
3,34	1
3,37	1
3,44	2

Составляем таблицу относительных частот (в процентах).

Для того, чтобы сформировать таблицу относительных частот числового ряда, заменим частоты, записанные во второй строке таблицы частот числового ряда, на соответствующие им относительные частоты. В результате получим следующую таблицу.

ТАБЛИЦА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ (В ПРОЦЕНТАХ)

Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	3,12	3,24	3,25	3,34	3,37	3,44
Относительные частоты (%)	30%	20%	10%	10%	10%	20%

Числа, составляющие вариационный ряд (без повторений)	Относительные частоты (%)
3,12	30%
3,24	20%
3,25	10%
3,34	10%
3,37	10%
3,44	20%

Находим моду числового ряда.

Источник

Элементы статистики

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы поговорим о статистике.

Статистика — это раздел математики в котором изучаются вопросы сбора, измерения и анализа информации, представленной в числовой форме. Происходит слово статистика от латинского слова status (состояние или положение дел).

Так, с помощью статистики мы можем узнать свое положение дел, касающихся финансов. С начала месяца можно вести дневник расходов и по окончании месяца, воспользовавшись статистикой, узнать сколько денег в среднем мы тратили каждый день или какая потраченная сумма была наибольшей в этом месяце либо узнать какую сумму мы тратили наиболее часто.

На основе этой информации можно провести анализ и сделать определенные выводы: следует ли в следующем месяце немного сбавить аппетит, чтобы тратить меньше денег, либо наоборот позволить себе не только хлеб с водой, но и колбасу.

Выборка. Объем. Размах

Что такое выборка? Если говорить простым языком, то это отобранная нами информация для исследования. Например, мы можем сформировать следующую выборку — суммы денег, потраченных в каждый из шести дней. Давайте нарисуем таблицу в которую занесем расходы за шесть дней

Выборка состоит из n-элементов. Вместо переменной n может стоять любое число. У нас имеется шесть элементов, поэтому переменная n равна 6

Элементы выборки обозначаются с помощью переменных с индексами . Последний элемент является шестым элементом выборки, поэтому вместо n будет стоять число 6.

Обозначим элементы нашей выборки через переменные

Количество элементов выборки называют объемом выборки. В нашем случае объем равен шести.

Размахом выборки называют разницу между самым большим и маленьким элементом выборки.

Среднее арифметическое

Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.

Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.

Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.

Вернемся к нашему примеру

Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:

Средняя скорость движения

При изучении задач на движение мы определяли скорость движения следующим образом: делили пройденное расстояние на время. Но тогда подразумевалось, что тело движется с постоянной скоростью, которая не менялась на протяжении всего пути.

В реальности, это происходит довольно редко или не происходит совсем. Тело, как правило, движется с различной скоростью.

Когда мы ездим на автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас помехи, нам приходиться сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько раз.

Речь идет о средней скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.

Задача 1. Автомобиль первые 3 часа двигался со скоростью 66,2 км/ч, а следующие 2 часа — со скоростью 78,4 км/ч. С какой средней скоростью он ехал?

Сложим скорости, которые были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5ч)

Значит автомобиль ехал со средней скоростью 71,08 км/ч.

Определять среднюю скорость можно и по другому — сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью, затем сложить эти расстояния и результат разделить на время. На рисунке видно, что первые три часа скорость у автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние, пройденное за три часа:

Аналогично можно определить расстояние, которое было пройдено со скоростью 78,4 км/ч. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 часа:

Сложим эти расстояния и результат разделим на 5

Задача 2. Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.

Скорость велосипедиста в первый час составляла 12,6 км/ч. Во второй и третий час он ехал со скоростью 13,5. Определим среднюю скорость движения велосипедиста:

Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.

Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров

Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.

Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат

Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.

Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.

Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:

Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.

Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.

В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану

Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.

К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:

Построим этих шестерых спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 184, 186, 188, 190

В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.

В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.

Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186

Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186

Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.

Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.

Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.

Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190

Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:

Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1

Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2

По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка

Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:

В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.

Частота

Частота это число, которое показывает сколько раз в выборке встречается тот или иной элемент.

Предположим, что в школе проходят соревнования по подтягиваниям. В соревнованиях участвует 36 школьников. Составим таблицу в которую будем заносить число подтягиваний, а также число участников, которые выполнили столько подтягиваний.

По таблице можно узнать сколько человек выполнило 5, 10 или 15 подтягиваний. Так, 5 подтягиваний выполнили четыре человека, 10 подтягиваний выполнили восемь человек, 15 подтягиваний выполнили три человека.

Количество человек, повторяющих одно и то же число подтягиваний в данном случае являются частотой. Поэтому вторую строку таблицы переименуем в название «частота»:

Такие таблицы называют таблицами частот.

Частота обладает следующим свойством: сумма частот равна общему числу данных в выборке.

Это означает, что сумма частот равна общему числу школьников, участвующих в соревнованиях, то есть тридцати шести. Проверим так ли это. Сложим частоты, приведенные в таблице:

4 + 5 + 10 + 8 + 6 + 3 = 36

Относительная частота

Относительная частота это в принципе та же самая частота, которая была рассмотрена ранее, но только выраженная в процентах.

Относительная частота равна отношению частоты на общее число элементов выборки.

Вернемся к нашей таблице:

Пять подтягиваний выполнили 4 человека из 36. Шесть подтягиваний выполнили 5 человек из 36. Восемь подтягиваний выполнили 10 человек из 36 и так далее. Давайте заполним таблицу с помощью таких отношений:

Выполним деление в этих дробях:

Выразим эти частоты в процентах. Для этого умножим их на 100. Умножение на 100 удобно выполнить передвижением запятой на две цифры вправо:

Теперь можно сказать, что пять подтягиваний выполнили 11% участников, 6 подтягиваний выполнили 14% участников, 8 подтягиваний выполнили 28% участников и так далее.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

42 thoughts on “Элементы статистики”

Спасибо, что вы вернулись.
Будут ли новые уроки?

Источник

Презентация по математике «Элементы статистической обработки данных»

Описание разработки

В данной работе рассматриваются такие вопросы темы как: ряд данных, объём ряда данных, размах ряда данных, мода ряда данных, медиана ряда, среднее арифметическое данных

, упорядоченный ряд и т.д.

Статистика — это точная наука, изучающая методы сбора, анализа и обработки данных, которые описывают массовые действия, явления и процессы

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

Статистика изучает:

численность отдельных групп населения страны и ее регионов,

производство и потребление разнообразных видов продукции,

перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта,

природные ресурсы и многое другое.

Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

В настоящее время статистика начинает изучаться уже в средней школе, в ВУЗах это обязательный предмет, потому что связан со многими науками и отраслями.

Чтобы увеличить количество продаж в магазине, чтобы улучшить качество знаний в школе, чтобы двигать страну по экономическому росту, надо проводить статистические исследования и делать соответствующие выводы. И это должен уметь каждый.

Содержимое разработки

Элементы статистической обработки данных

Презентация составлена учителем математики

МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района

Мишариной Альбиной Геннадьевной

Статистика — это точная наука, изучающая методы сбора, анализа и обработки данных, которые описывают массовые действия, явления и процессы

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

В настоящее время статистика начинает изучаться уже в средней школе, в ВУЗах это обязательный предмет, потому что связан со многими науками и отраслями.

Чтобы увеличить количество продаж в магазине, чтобы улучшить качество знаний в школе, чтобы двигать страну по экономическому росту, надо проводить статистические исследования и делать соответствующие выводы. И это должен уметь каждый.

Главные цели изучения элементов статистики

Например: 1) измерения роста человека

2) Измерения веса человека (животного)

3)Показания счетчика (электроэнергии, воды, тепла…)

4) Результаты в беге на стометровку

Объемом ряда данных называется количество всех данных.

объём его будет равен 5.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим числами из ряда данных.

то размах этого ряда данных будет равен 6 (т.к. 6 – 0 = 6)

Модой ряда данных называется число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто.

Ряд данных может иметь или не иметь моду.

В таких случаях условились считать, что ряд имеет две моды: 47 и 52.

В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки:

3, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 5.

Определите моду данного ряда.

Например: определить медиану ряда чисел

Тогда среднее арифметическое будет равно: (-1+0+2+1+(-1)+0+2+(-1)) : 8= =2 : 8=0,25

Задание: охарактеризовать успеваемость ученика Иванова по математике за четвертую четверть.

Выписаны оценки из журнала: 5,4,5,3,3,5,4,4,4.

2.Обработка полученных данных:

среднее арифметическое =(5+4+5+3+3+5+4+4+4) : 9 ≈ 4

Характеристика успеваемости : ученик не всегда готов к уроку.

В основном учится на «4». За четверть выходит «4».

Надо найти объём ряда, размах ряда, моду, медиану и среднее арифметическое:

Карточка 1. 22,5; 23; 21,5; 22; 23.

Карточка 3. 12,5; 12; 12; 12,5; 13; 12,5; 13.

Карточка 5. 125; 130; 124; 131.

Карточка 6. 120; 100; 110.

среднее арифметическое = 13,3

среднее арифметическое = 12,5

среднее арифметическое = 1

среднее арифметическое = 0,25

среднее арифметическое =127,5

среднее арифметическое = 110

Упорядоченными рядами данных называются ряды, в которых данные расположены по какому то правилу

Как упорядочить ряд чисел?

Упорядочить его по возрастанию чисел.

Получился упорядоченный ряд.

Таблица распределения данных – это таблица упорядоченного ряда, в котором вместо повторений одного и того же числа записывается количество повторений.

И наоборот, если известна таблица распределения, то можно составить упорядоченный ряд данных.

Из нее получается такой упорядоченный ряд:

Сколько раз встречается в ряде данных

В женском обувном магазине провели статистические исследования и составили соответствующую таблицу по цене обуви и количества продаж:

Цена (руб.): 500 1200 1500 1800 2000 2500

Количество: 8 9 14 15 3 1

Для данных показателей надо найти статистические характеристики:

И ответить на следующие вопросы:

Мы познакомились с начальными понятиями того, как происходит статистическая обработка данных:

объём, размах, моду, медиану и

3) любой ряд данных можно

упорядочить и составить

таблицу распределения данных

Номинативный ряд данных – это НЕ ЧИСЛОВЫЕ ДАННЫЕ, а например, имена; названия; номинации…

Например: список финалистов чемпионатов мира по футболу с 1930 года: Аргентина, Чехословакия, Венгрия, Бразилия, Венгрия, Швеция, Чехословакия, ФРГ, Италия, Нидерланды, Нидерланды, ФРГ, ФРГ,

Аргентина, Италия, Бразилия, Германия, Франция

Решение : объём =18; мода – немецкая команда.

Частота результата = (сколько раз результат встретился) : (объем данного ряда)

Процентная частота = (частота · 100% )

если частота результата равна 5:19 = 0,263157…, то процентная частота будет равна : 0,263 · 100 = 26,3%

Часто ответы для процентных частот могут быть не точными, а приближенными

Группировка данных – применяется когда различных результатов измерений слишком много.

Т.е их объединяют в группы.

При группировке различных данных информация становится менее точной.

Источник

Посчитать объём коробки

Чтобы посчитать объем коробки или нескольких коробок воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Расчет объема коробки

Просто введите длину, ширину и высоту коробки и узнаете её объём.

Расчет объема нескольких коробок

Теория

См. также

Нахождение объема куба: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем куба и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема куба

1. Через длину ребра

Объем (V) куба равняется произведению его длины на ширину на высоту. Т.к. данные величины у куба равны, следовательно, его объем равен кубу любого ребра.

V = a ⋅ a ⋅ a = a 3

2. Через длину диагонали грани

Как мы знаем, грани куба равны между собой и являются квадратом, сторона которого может быть найдена через длину диагонали по формуле: a=d/√ 2 .

Следовательно, вычислить объем куба можно так:

Примеры задач

Задание 1
Вычислите объем куба, если его ребро равняется 5 см.

Решение:
Подставляем в формулу заданное значение и получаем:
V = 5 см ⋅ 5 см ⋅ 5 см = 125 см 3 .

Задание 2
Известно, что объем куба равен 512 см 3 . Найдите длину его ребра.

Решение:
Пусть ребро куба – это a. Выведем его длину из формулы расчета объема:

Задание 3
Длина диагонали грани куба составляет 12 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим формулу, в которой используется диагональ грани:

Источник

Объемы фигур. Объем куба.

Куб — трехмерная геометрическая фигура, у которой все ребра равны (длина равна ширине и равна высоте).

У куба шесть квадратных граней, которые пересекаются под прямым углом и стороны которых равны.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна

ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 ,

где s – длина одного (любого) ребра куба.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема куба: объем куба, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Метод 1 из 3: Возведение в куб ребра куба

• Найдите длину одного ребра куба. Как правило, длина ребра куба дана в условии задачи. Если вы

вычисляете объем реального объекта кубической формы, измерьте его ребро линейкой или рулеткой.

Рассмотрим пример. Ребро куба равно 5 см. Найдите объем куба.

Возведите в куб длину ребра куба. Другими словами, умножьте длину ребра куба саму на себя три раза.

Если s — длина ребра куба, то

и, таким образом, вы вычислите объем куба.

Этот процесс аналогичен процессу нахождения площади основания куба (равна произведению длины на

ширину квадрата в основании) и последующему умножению площади основания на высоту куба (то есть,

другими словами, вы умножаете длину на ширину и на высоту). Так как в кубе длина ребра равна ширине и

равна высоте, то это процесс можно заменить возведением ребра куба в третью степень.

В нашем примере объем куба равен:

• К ответу припишите единицы измерения объема. Так как объем – это количественная

характеристика пространства, занимаемого телом, то единицами измерения объема являются кубические

В нашем примере размер ребра куба давался в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических

сантиметрах (или в см 3 ). Итак, объем куба равен 125 см 3 .

Если размер ребра куба дается в других единицах, то и объем куба измеряется в соответствующих

Например, если ребро куба равно 5 м (а не 5 см), то его объем равен 125 м 3 .

Метод 2 из 3: Вычисление объема по площади поверхности

• В некоторых задачах длина ребра куба не дана, но даны другие величины, с помощью которых вы

можете найти ребро куба и его объем. Например, если вам дана площадь поверхности куба, то разделите

ее на 6, из полученного значения извлеките квадратный корень и вы найдете длину ребра куба. Затем

возведите длину ребра куба в третью степень и вычислите объем куба.

Площадь поверхности куба равна 6s 2 ,

где s – длина ребра куба (то есть вы находите площадь одной грани куба, а затем умножаете ее на 6, так

как у куба 6 равных граней).

Рассмотрим пример. Площадь поверхности куба равна 50 см 2 . Найдите объем куба.

• Разделите площадь поверхности куба на 6 (так как у куба 6 равных граней, вы получите площадь

одной грани куба). В свою очередь площадь одной грани куба равна s 2 , где s – длина ребра куба.

В нашем примере: 50/6 = 8,33 см 2 (не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах — см 2 ,

• Так как площадь одной грани куба равна s 2 , то извлеките квадратный корень из значения площади

одной грани и получите длину ребра куба.

В нашем примере, √8,33 = 2,89 см.

• Возведите в куб полученное значение, чтобы найти объем куба.

В нашем примере: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 см 3 . К ответу не забудьте приписать кубические

Метод 3 из 3: Вычисление объема по диагонали

• Разделите диагональ одной из граней куба на √2, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом,

если в задаче дана диагональ грани (любой) куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив

Рассмотрим пример. Диагональ грани куба равна 7 см. Найдите объем куба. В этом случае длина ребра куба

равна 7/√2 = 4,96 см. Объем куба равен 4,963 = 122,36 см 3 .

где d — диагональ грани куба, s – ребро куба. Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно

которой квадрат гипотенузы (в нашем случае диагональ грани куба) прямоугольного треугольника равен

сумме квадратов катетов (в нашем случае ребер), то есть:

• Разделите диагональ куба на √3, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом, если в задаче

дана диагональ куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив диагональ на √3.

Диагональ куба — отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба, равный

(где D — диагональ куба, s – ребро куба).

Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы (в нашем случае

диагональ куба) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов (в нашем случае один катет –

это ребро, а второй катет – это диагональ грани куба, равная 2s 2 ), то есть

Рассмотрим пример. Диагональ куба равна 10 м. Найдите объем куба.

Источник

Объем куба

Свойства

Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны между собой. Поэтому объем куба вычисляется не просто произведением всех трех его параметров, а возведением ребра куба в третью степень. Поэтому чтобы вычислить ребро куба через объем необходимо извлечь из последнего кубический корень. a=∛V

Площадь грани куба или одной его стороны равна площади квадрата, стороной которого является ребро куба, поэтому кубический корень из объема необходимо возвести во вторую степень. S=∛(V^2 )

Площадь боковой и полной поверхности куба состоят из четырех и шести таких граней соответственно, поэтому их формулы являются аналогией предыдущей с добавлением необходимых коэффициентов. S_(б.п.)=4∛(V^2 ) S_(п.п.)=6∛(V^2 )

Периметр куба равен сумме двенадцати его ребер, равных между собой, поэтому зная, что каждое ребро представлено в виде кубического корня из объема, необходимо умножить его на двенадцать. P=12a=12∛V

Чтобы вычислить диагональ грани куба, нужно вернуться к формуле диагонали квадрата, которым представлены грани. Согласно ей, чтобы найти диагональ, нужно умножить корень из двух на сторону квадрата – ребро куба в данном случае, или кубический корень из объема. d=a√2=∛V √2

Найти диагональ самого куба немного сложнее. Для этого три вершины – диагонали и прилегающего к ней бокового ребра – соединяются в прямоугольный треугольник через диагональ основания, и по теореме Пифагора выводится формула диагонали куба. (рис.2.1) a^2+d^2=D^2 D^2=a^2+2a^2 D^2=3a^2 D=a√3=∛V √3

Чтобы найти радиус сферы, вписанной в куб, через объем, нужно разделить его кубический корень, представляющий собой ребро куба, на два. (рис. 2.2) r=a/2=∛V/2

Радиус сферы, описанной вокруг куба, равен половине диагонали куба, поэтому подставив вместо диагонали необходимую формулу через объем, получим следующее выражение: (рис.2.3) R=D/2=(∛V √3)/2

Источник

Как найти объем куба: варианты задач и их решение

Современные технологии создают удивительные компьютерные программы. Они позволяют увидеть тела в объеме и покрутить их в разных направлениях, чтобы получше рассмотреть. Воображение человека не всегда на это способно. Немногие могут отчетливо представить предмет и увидеть его как бы насквозь. Но такое умение можно попытаться сформировать при решении задач по геометрии. Например, тех из них, в которых говорится о том, как найти объем куба. Это отличная практика для развития пространственного воображения.

Куб или параллелепипед?

Это непустой вопрос. Потому что классификация важна. Ведь куб — это особая форма прямоугольного параллелепипеда.

Последний представляет собой фигуру, в которой 6 граней, и все они прямоугольники. Углы, под которыми пересекаются все ребра, 90º. Соответственно, если эти грани станут квадратами, то и вся фигура преобразится в куб.

У прямоугольного параллелепипеда все линейные размеры, то есть высота, длина и ширина, могут существенно отличаться. В кубе же они всегда равны друг другу. Это его отличительный признак. Поэтому в задачах, которые требуют найти объем куба, рассмотренный момент непременно учитывается. Кстати, он существенно упрощает все математические записи и вычисления.

Условные обозначения в формулах и задачах

Без этого пункта будет сложно понять, как записаны формулы. Что подразумевается под каждой буквой и символом, подскажет следующая таблица.

Символ	Название элемента
а	ребро фигуры
д	диагональ грани
Д	диагональ куба
общепринятые в геометрии символы	площадь
объем

Обозначения, принятые в формулах

Как найти элементы куба по его стороне?

Поскольку грань фигуры — это квадрат, то ее площадь определится по формуле №1, в которой известную величину нужно возвести в квадрат:

А диагональ любой грани вычисляется по формуле №2, в которой сторона умножается на корень из 2:

Предыдущая формула получается из теоремы Пифагора. Это легко понять, если увидеть, что диагональ грани — это гипотенуза прямоугольного треугольника. А катетами его становятся стороны квадрата.

Чтобы определить диагональ куба, нужна будет следующая формула №3, содержащая известную сторону и квадратный корень из 3:

Она тоже получается из теоремы Пифагора. Только в качестве гипотенузы выступает искомая диагональ. Катетами же становятся сторона квадрата и его диагональ.

Иногда требуется знать формулу для вычисления площади боковой поверхности этой фигуры. В ней квадрат стороны умножается на 4. Вот она (№4):

Понять, как получается эта формула, несложно. Боковых граней — 4. А это значит, что их общая площадь — учетверенное значение площади одного квадрата.

Если нужно определить площадь всей поверхности, то используют эту запись, в которой ушестеряется квадрат ребра (формула №5):

Она получается аналогично предыдущей формуле, только число квадратов увеличилось до 6.

Что такое объем?

Если говорить просто, то это место, которое занимает любое тело в пространстве. Любой предмет ограничен в пространстве поверхностями. Их может быть несколько, но возможны случаи, когда только одна. Например, если тело — это шар. Но эти поверхности обязательно замкнуты. Пространство, которое занимает геометрическое тело, и будет его вместимостью, или объемом.

Единицы измерения объема

Когда речь идет о твердых телах, то единицами объема всегда будут кубические величины. К примеру, метр, сантиметр или километр в кубе. Для жидкостей приняты литры, которые выражаются через кубические дециметры. Но если они занимают очень большие объемы, то их измеряют также в кубических метрах. Например, при учете расхода воды в квартире ее считают в м 3 . Так получается удобнее и проще в числовом выражении.

Способ 1: узнать объем куба, если известна сторона

Это самый простой из методов, который подскажет, как найти объем куба. Он заключается в том, чтобы просто возвести значение стороны в третью степень. Другими словами, нужно умножить сторону на себя три раза. По аналогии с произвольным прямоугольным параллелепипедом, когда нужно было умножать все его линейные размеры. Формула будет записана так (№6):

Способ 2: известна площадь всей поверхности

В этом случае нужно будет разделить известную величину на 6. Из промежуточного ответа извлечь квадратный корень и возвести число в куб. Если записать это формулой, то получится следующее (№7):

Способ 3: дана диагональ грани куба

Для того чтобы узнать, как вычислить объем куба, в этом случае нужно выполнить следующие действия. Сначала возвести известное значение в куб, а потом умножить его на квадратный корень из 2 и разделить на 4. Формула для этой задачи (№8):

Это уравнение получается таким образом: известную диагональ нужно разделить на корень из двух. Потом число возвести в третью степень. После выполнения преобразований получается в числителе куб диагонали, а в знаменателе 2√2. Математика требует, чтобы под чертой не было иррационального числа. Поэтому от него избавляются путем умножения на √2. Тогда в числителе появляется √2, а в знаменателе получается 4.

Способ 4: по диагонали куба

Формула, которая подскажет, как найти объем куба, будет содержать действия: возведение в квадрат диагонали, умножение ее на корень из 3 и деление всего на 9. Она будет записана так (№9):

Аналогично предыдущей формуле, в этой записи сначала диагональ делится на корень из трех и возводится в куб. После преобразований в знаменателе также появляется иррациональность, от которой нужно уходить. Так, в числителе возникает величина √3, а под чертой — 9.

Примеры заданий

Задача первая. Дан куб с ребром 12 см. Вычислить его объем и выразить ответ в квадратных метрах.

В этом задании будет сложнее перевести ответ в другие единицы, чем решить, как найти объем куба. Для выполнения первой части задания потребуется формула, записанная под номером 6. После возведения в куб числа 12 получится ответ 1728 см 3 . Теперь нужно вспомнить, как перевести их в кубические метры. Для этой цели ответ нужно разделить на 100 три раза. Сотня появилась из того факта, что в одном метре именно сто сантиметров. А деление выполняется трижды, потому что единицы в задании кубические. Итак, 1728 разделенное на 100 даст 17,28. После второго деления получится 0,1728. Третье действие даст ответ 0,001728 м 3 . Это и есть ответ задачи: объем куба равен 0,001728 м 3 .

Задача вторая. Имеется куб с площадью всей его поверхности, равной 600 дм 2 . Найти объем фигуры и выразить его в кубических метрах.

Для ответа на вопрос этого задания будет нужна формула номер 7. Первым действием известное число делится на 6. В ответе получается 100. Из него легко извлечь квадратный корень, он будет равен 10. Теперь десятку нужно возвести в куб. Так получается, что искомая величина равна 1000 дм 3 . Осталось перевести его в м 3 . Как и в предыдущей задаче, деление будет выполняться три раза, только делителем будет 10. Потому что в одном метре десять дециметров. После деления получается ответ равный 1 м 3 . Ответ: объем равен 1 м 3 .

Задача третья. Дан куб с длиной диагонали его грани, равной √2 мм. Нужно вычислить объем.

Восьмая формула поможет в том, как найти ответ в этой задаче. Первым делом нужно возвести в куб известную величину. Квадратный корень из 2 в третьей степени даст значение 2√2. После умножения на √2 получится число 4. Последним действием нужно его разделить на 4. Ответ: объем куба 1 мм 3 .

Задача четвертая. Известно, что диагональ куба равна 3 м. Требуется вычислить его объем.

Будет просто найти ответ на эту задачу по формуле под номером 9. Величину, которая дана в условии, нужно возвести в куб. Получится 27. После его деления на 9 ответ станет равен 3. И последним действием его нужно умножить на квадратный корень из 3. Ответом задачи будет 3√3 м 3 .

Источник

Вычисление объёмов

Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями $mathbf { textit { z } } =mathbf { textit { f } } _ { 1 } (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )$, $mathbf { textit { z } } =mathbf { textit { f } } _ { 2 } (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )$, $(x,y)in D$, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $mathbf { textit { Oz } } $, равен $v=iintlimits_D { left[ { f_1 (x,y)-f_2 (x,y) }right]dxdy } $; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла.

Основной вопрос, который надо решить – на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Пример 1

Найти объём тела $V:left[{ begin{array} { l } y=0,;z=0, \ x+y+z=4,; \ 2x+z=4. \ end{array} }right.$

Решение:

Тело изображено на рисунке. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось $mathbf { textit { Oxz } } $:

$V:left[{ begin{array} { l } (x,z)in D, \ 0leqslant yleqslant 4-x-z. \ end{array} }right.$

Область $mathbf { textit { D } } $ – треугольник, ограниченный прямыми $mathbf { textit { x } } $ = 0, $mathbf { textit { z } } $ = 0, 2$mathbf { textit { x } } +mathbf { textit { z } } $ = 4, поэтому

$V=iintlimits_D { (4-x-z)dxdz } =intlimits_0^2 { dxintlimits_0^ { 4-2x } { (4-x-z)dz } } = intlimits_0^2 { dxleft. { left( { 4z-xz-z^2/2 }right) }right|_0^ { 4-2x } } = intlimits_0^2 { left[ { 16-8x-4x+2x^2-(4-2x)^2/2 }right]dx } = \ = intlimits_0^2 { left( { 8-4x }right)dx } = left. { left( { 8x-2x^2 }right) }right|_0^2 =16-8=8$

Пример 2

Найти объём области, ограниченной поверхностями $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } +mathbf { textit { z } } ^ { 2 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } $,

$(mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )^ { 3 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } (mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )$.

Решение:

Первая поверхность – сфера, вторая – цилиндрическая – с образующими, параллельными оси $mathbf { textit { Oz } } $ { в уравнении нет $mathbf { textit { z } } $ в явной форме). Построить в плоскости $mathbf { textit { Oxy } } $ кривую шестого порядка, заданную уравнением $(mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )^ { 3 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } (mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )$, в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей { чётные степени } и точка $mathbf { textit { О } } (0,0)$ принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам. $r^6=R^2r^4(cos ^4varphi +sin ^4varphi );r^2=R^2((cos ^2varphi +sin ^2varphi )^2-2cos ^2varphi sin ^2varphi )=R^2(1-frac { sin ^22varphi } { 2 } )=$

$=R^2(1-frac { 1-cos 4varphi } { 4 } )=R^2frac { 3+cos 4varphi } { 4 } ;r=Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } .$ Эту кривую построить уже можно. $r(varphi )$ максимально, когда $cos 4varphi =1;(varphi =0,frac { 2pi } { 4 } =frac { pi } { 2 } ,frac { 4pi } { 4 } =pi ,frac { 6pi } { 4 } =frac { 3pi } { 2 } )$, минимально, когда

$cos 4varphi =-1;(varphi =frac { pi } { 4 } ,frac { 3pi } { 4 } ,frac { 5pi } { 4 } ,frac { 7pi } { 4 } ),$ и гладко меняется между этими пределами { точка $mathbf { textit { О } } (0,0)$ не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли? } .

Пользуясь симметрией, получаем $ V=16iintlimits_D { sqrt { R^2-x^2-y^2 } dxdy= } 16iintlimits_D { sqrt { R^2-r^2 } rdrdvarphi = } =16intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { dvarphi } intlimits_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } { sqrt { R^2-r^2 } rdr } = $ $ =-8intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { dvarphi } intlimits_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } { sqrt { R^2-r^2 } d(R^2-r^2) } =-8frac { 2 } { 3 } intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { left. { (R^2-r^2)^ { frac { 3 } { 2 } } }right|_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } dvarphi } =-frac { 16 } { 3 } R^3intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { left. { left[ { left( { frac { sin ^22varphi } { 2 } }right)^ { frac { 3 } { 2 } } -1 }right] }right|dvarphi } = $ и т.д.

Пример 3

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями (y = 0,) (z = 0,) (z = x,) (z + x = 4.)

Решение:

Данное тело показано на рисунке.

Из рисунка видно, что основание (R) является квадратом. Для заданных (x, y) значение (z) изменяется от (z = x) до (z = 4 – x.) Тогда объем равен $ { V = iintlimits_R { left[ { left( { 4 – x }right) – x }right]dxdy } } = { intlimits_0^2 { left[ { intlimits_0^2 { left( { 4 – 2x }right)dy } }right]dx } } = { intlimits_0^2 { left[ { left. { left( { 4y – 2xy }right) }right|_ { y = 0 } ^2 }right]dx } } = { intlimits_0^2 { left( { 8 – 4x }right)dx } } = { left. { left( { 8x – 2 { x^2 } }right) }right|_0^2 } = { 16 – 8 = 8. } $

Пример 4

Описать тело, объем которого определяется интегралом (V = intlimits_0^1 { dx } intlimits_0^ { 1 – x } { left( { { x^2 } + { y^2 } }right)dy } .)

Решение:

Данное тело расположено над треугольной областью (R,) ограниченной координатными осями (Ox,) (Oy) и прямой (y = 1 – x) ниже параболической поверхности (z = { x^2 } + { y^2 } .) Объем тела равен $ { V = intlimits_0^1 { dx } intlimits_0^ { 1 – x } { left( { { x^2 } + { y^2 } }right)dy } } = { intlimits_0^1 { left[ { left. { left( { { x^2 } y + frac { { { y^3 } } } { 3 } }right) }right|_ { y = 0 } ^ { 1 – x } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left[ { { x^2 } left( { 1 – x }right) + frac { { { { left( { 1 – x }right) } ^3 } } } { 3 } }right]dx } } = \ = { intlimits_0^1 { left( { { x^2 } – { x^3 } + frac { { 1 – 3x + 3 { x^2 } – { x^3 } } } { 3 } }right)dx } } = { intlimits_0^1 { left( { 2 { x^2 } – frac { { 4 { x^3 } } } { 3 } – x + frac { 1 } { 3 } }right)dx } } = { left. { left( { frac { { 2 { x^3 } } } { 3 } – frac { 4 } { 3 } cdot frac { { { x^4 } } } { 4 } – frac { { { x^2 } } } { 2 } + frac { x } { 3 } }right) }right|_0^1 } = { frac { 2 } { 3 } – frac { 1 } { 3 } – frac { 1 } { 2 } + frac { 1 } { 3 } = frac { 1 } { 6 } . } $

Пример 5

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (z = xy,) (x + y = a,) (z = 0.)

Решение:

Данное тело лежит над треугольником (R) в плоскости (Oxy) ниже поверхности (z = xy.) Объем тела равен $ { V = iintlimits_R { xydxdy } } = { intlimits_0^a { left[ { intlimits_0^ { a – x } { xydy } }right]dx } } = { intlimits_0^a { left[ { left. { left( { frac { { x { y^2 } } } { 2 } }right) }right|_ { y = 0 } ^ { a – x } }right]dx } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { x { { left( { a – x }right) } ^2 } dx } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { xleft( { { a^2 } – 2ax + { x^2 } }right)dx } } = \ = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { left( { { a^2 } x – 2a { x^2 } + { x^3 } }right)dx } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { { a^2 } cdot frac { { { x^2 } } } { 2 } – 2a cdot frac { { { x^3 } } } { 3 } + frac { { { x^4 } } } { 4 } }right) }right|_0^a } = { frac { 1 } { 2 } left( { frac { { { a^2 } } } { 2 } – frac { { 2 { a^4 } } } { 3 } + frac { { { a^4 } } } { 4 } }right) } = { frac { { { a^4 } } } { { 24 } } . } $

Пример 6

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (z = 0,) (x + y = 1,) ( { x^2 } + { y^2 } = 1,) (z = 1 – x.)

Решение:

Как видно из рисунков, в области интегрирования (R) при (0 le x le 1) значения (y) изменяются от (1 – x) до (sqrt { 1 – { x^2 } } .)

Сверху тело ограничено плоскостью (z = 1 – x.) Следовательно, объем данного тела равен $ { V = iintlimits_R { left( { 1 – x }right)dxdy } } = { intlimits_0^1 { left[ { intlimits_ { 1 – x } ^ { sqrt { 1 – { x^2 } } } { left( { 1 – x }right)dy } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left[ { left( { 1 – x }right)left. y right|_ { 1 – x } ^ { sqrt { 1 – { x^2 } } } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left( { 1 – x }right)left( { sqrt { 1 – { x^2 } } – 1 + x }right)dx } } = \ = { intlimits_0^1 { left( { sqrt { 1 – { x^2 } } – xsqrt { 1 – { x^2 } } – 1 + 2x – { x^2 } }right)dx } } = { intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } } – { intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } } – { intlimits_0^1 { left( { 1 + 2x – { x^2 } }right)dx } . } $

Вычислим полученные три интеграла отдельно. $ { I_1 } = intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } .$ Сделаем замену: (x = sin t.) Тогда (dx = cos tdt.) Видно, что (t = 0) при (x = 0) и (t = largefrac { pi } { 2 } normalsize) при (x = 1.) Следовательно, $ { { I_1 } = intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { sqrt { 1 – { { sin } ^2 } t } cos tdt } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { { { cos } ^2 } tdt } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { frac { { 1 + cos 2t } } { 2 } dt } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { left( { 1 + cos 2t }right)dt } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { t + frac { { sin 2t } } { 2 } }right) }right|_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } } = { frac { 1 } { 2 } left( { frac { pi } { 2 } + frac { { sin pi } } { 2 } }right) = frac { pi } { 4 } . } $ { Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл ( { I_2 } = intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } ,) используя замену переменной. Полагаем (1 – { x^2 } = w.) Тогда (-2xdx = dw) или (xdx = largefrac { { – dw } } { 2 } normalsize.) Находим, что (w = 1) при (x = 0) и, наоборот, (w = 0) при (x = 1.) Интеграл равен $ { { I_2 } = intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } } = { intlimits_1^0 { sqrt w left( { – frac { { dw } } { 2 } }right) } } = { – frac { 1 } { 2 } intlimits_1^0 { sqrt w dw } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^1 { sqrt w dw } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^1 { { w^ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } dw } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { frac { { 2 { w^ { largefrac { 3 } { 2 } normalsize } } } } { 3 } }right) }right|_0^1 = frac { 1 } { 3 } . } $ Наконец, вычислим третий интеграл. $require { cancel } { { I_3 } = intlimits_0^1 { left( { 1 – 2x + { x^2 } }right)dx } } = { left. { left( { x – { x^2 } + frac { { { x^3 } } } { 3 } }right) }right|_0^1 } = { cancel { 1 } – cancel { 1 } + frac { 1 } { 3 } = frac { 1 } { 3 } . } $ Таким образом, объем тела равен $ { V = { I_1 } – { I_2 } – { I_3 } } = { frac { pi } { 4 } – frac { 1 } { 3 } – frac { 1 } { 3 } = frac { pi } { 4 } – frac { 2 } { 3 } approx 0,12. } $

Пример 7

Вычислить объем единичного шара.

Решение:

Уравнение сферы радиусом (1) имеет вид ( { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = 1). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на (2.) Уравнение верхней полусферы записывается как $z = sqrt { 1 – left( { { x^2 } + { y^2 } }right) } .$ Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем $zleft( { r,theta }right) = sqrt { 1 – { r^2 } } .$ В полярных координатах область интегрирования (R) описывается множеством (R = left[{ left( { r,theta }right)|;0 le r le 1,0 le theta le 2pi }right].) Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой $ { { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 – { r^2 } } rdrdtheta } } = { intlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } } = { 2pi intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } . } $ Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть (1 – { r^2 } = t.) Тогда (-2rdr = dt) или (rdr = – largefrac { { dt } } { 2 } normalsize.) Уточним пределы интегрирования: (t = 1) при (r = 0) и, наоборот, (t = 0) при (r = 1.) Получаем $ { { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = 2pi intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } } = { 2pi intlimits_1^0 { sqrt t left( { – frac { { dt } } { 2 } }right) } } = { – pi intlimits_1^0 { sqrt t dt } } = { pi intlimits_0^1 { { t^ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } dt } } = { pi left. { left( { frac { { { t^ { largefrac { 3 } { 2 } normalsize } } } } { { frac { 3 } { 2 } } } }right) }right|_0^1 } = { frac { { 2pi } } { 3 } . } $ Таким образом, объем единичного шара равен $V = 2 { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = frac { { 4pi } } { 3 } .$

Пример 8

Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой (H) и радиусом основания (R).

Решение:

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники, можно записать $ { frac { r } { R } = frac { { H – z } } { H } , } ;; { text { где } ;;r = sqrt { { x^2 } + { y^2 } } . } $ Следовательно, $ { H – z = frac { { Hr } } { R } } ;; { text { или } ;;zleft( { x,y }right) } = { H – frac { { Hr } } { R } } = { frac { H } { R } left( { R – r }right) } = { frac { H } { R } left( { R – sqrt { { x^2 } + { y^2 } } }right). } $ Тогда объем конуса равен $ { V = iintlimits_R { zleft( { x,y }right)dxdy } } = { iintlimits_R { frac { H } { R } left( { R – sqrt { { x^2 } + { y^2 } } }right)dxdy } } = { frac { H } { R } iintlimits_R { left( { R – r }right)rdrdtheta } } = { frac { H } { R } intlimits_0^ { 2pi } { left[ { intlimits_0^R { left( { R – r }right)drd } }right]dtheta } } = { frac { H } { R } intlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^R { left( { Rr – { r^2 } }right)dr } } = { frac { { 2pi H } } { R } intlimits_0^R { left( { Rr – { r^2 } }right)dr } } = \ = { frac { { 2pi H } } { R } left. { left( { frac { { R { r^2 } } } { 2 } – frac { { { r^3 } } } { 3 } }right) }right|_ { r = 0 } ^R } = { frac { { 2pi H } } { R } left( { frac { { { R^3 } } } { 2 } – frac { { { R^3 } } } { 3 } }right) } = { frac { { 2pi H } } { R } cdot frac { { { R^3 } } } { 6 } = frac { { pi { R^2 } H } } { 3 } . } $

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC: AB = {1 — 4; 2 — 4; 3 — 4} = { — 3; —2; —1}, —1 = {3 — 4; —1 — 4; 2 — 4} = { — 1; —5; —2}.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Модуль этого векторного произведения равен |AB×AC| = √((—1)² + (—5)² + 13²) = √195, и следовательно, S ΔABC = |AB×AC|/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB, AC и AS. Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = |ABACAS|/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = {5 — 2; 5 — (—1);4 — 1} = {3; 6; 3}, AC = {3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1} = {1;3; —2},= AS {4 — 2;1 — (—1); 3 — 1} = {2;2;2}, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов: