Как найти объем фигуры ограниченной поверхностями

Вычисление объёмов

Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями $mathbf { textit { z } } =mathbf { textit { f } } _ { 1 } (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )$, $mathbf { textit { z } } =mathbf { textit { f } } _ { 2 } (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )$, $(x,y)in D$, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $mathbf { textit { Oz } } $, равен $v=iintlimits_D { left[ { f_1 (x,y)-f_2 (x,y) }right]dxdy } $; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла.

Основной вопрос, который надо решить – на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Пример 1

Найти объём тела $V:left[{ begin{array} { l } y=0,;z=0, \ x+y+z=4,; \ 2x+z=4. \ end{array} }right.$

Решение:

Тело изображено на рисунке. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось $mathbf { textit { Oxz } } $:

$V:left[{ begin{array} { l } (x,z)in D, \ 0leqslant yleqslant 4-x-z. \ end{array} }right.$

Область $mathbf { textit { D } } $ – треугольник, ограниченный прямыми $mathbf { textit { x } } $ = 0, $mathbf { textit { z } } $ = 0, 2$mathbf { textit { x } } +mathbf { textit { z } } $ = 4, поэтому

$V=iintlimits_D { (4-x-z)dxdz } =intlimits_0^2 { dxintlimits_0^ { 4-2x } { (4-x-z)dz } } = intlimits_0^2 { dxleft. { left( { 4z-xz-z^2/2 }right) }right|_0^ { 4-2x } } = intlimits_0^2 { left[ { 16-8x-4x+2x^2-(4-2x)^2/2 }right]dx } = \ = intlimits_0^2 { left( { 8-4x }right)dx } = left. { left( { 8x-2x^2 }right) }right|_0^2 =16-8=8$

Пример 2

Найти объём области, ограниченной поверхностями $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } +mathbf { textit { z } } ^ { 2 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } $,

$(mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )^ { 3 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } (mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )$.

Решение:

Первая поверхность – сфера, вторая – цилиндрическая – с образующими, параллельными оси $mathbf { textit { Oz } } $ { в уравнении нет $mathbf { textit { z } } $ в явной форме). Построить в плоскости $mathbf { textit { Oxy } } $ кривую шестого порядка, заданную уравнением $(mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )^ { 3 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } (mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )$, в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей { чётные степени } и точка $mathbf { textit { О } } (0,0)$ принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам. $r^6=R^2r^4(cos ^4varphi +sin ^4varphi );r^2=R^2((cos ^2varphi +sin ^2varphi )^2-2cos ^2varphi sin ^2varphi )=R^2(1-frac { sin ^22varphi } { 2 } )=$

$=R^2(1-frac { 1-cos 4varphi } { 4 } )=R^2frac { 3+cos 4varphi } { 4 } ;r=Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } .$ Эту кривую построить уже можно. $r(varphi )$ максимально, когда $cos 4varphi =1;(varphi =0,frac { 2pi } { 4 } =frac { pi } { 2 } ,frac { 4pi } { 4 } =pi ,frac { 6pi } { 4 } =frac { 3pi } { 2 } )$, минимально, когда

$cos 4varphi =-1;(varphi =frac { pi } { 4 } ,frac { 3pi } { 4 } ,frac { 5pi } { 4 } ,frac { 7pi } { 4 } ),$ и гладко меняется между этими пределами { точка $mathbf { textit { О } } (0,0)$ не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли? } .

Пользуясь симметрией, получаем $ V=16iintlimits_D { sqrt { R^2-x^2-y^2 } dxdy= } 16iintlimits_D { sqrt { R^2-r^2 } rdrdvarphi = } =16intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { dvarphi } intlimits_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } { sqrt { R^2-r^2 } rdr } = $ $ =-8intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { dvarphi } intlimits_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } { sqrt { R^2-r^2 } d(R^2-r^2) } =-8frac { 2 } { 3 } intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { left. { (R^2-r^2)^ { frac { 3 } { 2 } } }right|_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } dvarphi } =-frac { 16 } { 3 } R^3intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { left. { left[ { left( { frac { sin ^22varphi } { 2 } }right)^ { frac { 3 } { 2 } } -1 }right] }right|dvarphi } = $ и т.д.

Пример 3

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями (y = 0,) (z = 0,) (z = x,) (z + x = 4.)

Решение:

Данное тело показано на рисунке.

Из рисунка видно, что основание (R) является квадратом. Для заданных (x, y) значение (z) изменяется от (z = x) до (z = 4 – x.) Тогда объем равен $ { V = iintlimits_R { left[ { left( { 4 – x }right) – x }right]dxdy } } = { intlimits_0^2 { left[ { intlimits_0^2 { left( { 4 – 2x }right)dy } }right]dx } } = { intlimits_0^2 { left[ { left. { left( { 4y – 2xy }right) }right|_ { y = 0 } ^2 }right]dx } } = { intlimits_0^2 { left( { 8 – 4x }right)dx } } = { left. { left( { 8x – 2 { x^2 } }right) }right|_0^2 } = { 16 – 8 = 8. } $

Пример 4

Описать тело, объем которого определяется интегралом (V = intlimits_0^1 { dx } intlimits_0^ { 1 – x } { left( { { x^2 } + { y^2 } }right)dy } .)

Решение:

Данное тело расположено над треугольной областью (R,) ограниченной координатными осями (Ox,) (Oy) и прямой (y = 1 – x) ниже параболической поверхности (z = { x^2 } + { y^2 } .) Объем тела равен $ { V = intlimits_0^1 { dx } intlimits_0^ { 1 – x } { left( { { x^2 } + { y^2 } }right)dy } } = { intlimits_0^1 { left[ { left. { left( { { x^2 } y + frac { { { y^3 } } } { 3 } }right) }right|_ { y = 0 } ^ { 1 – x } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left[ { { x^2 } left( { 1 – x }right) + frac { { { { left( { 1 – x }right) } ^3 } } } { 3 } }right]dx } } = \ = { intlimits_0^1 { left( { { x^2 } – { x^3 } + frac { { 1 – 3x + 3 { x^2 } – { x^3 } } } { 3 } }right)dx } } = { intlimits_0^1 { left( { 2 { x^2 } – frac { { 4 { x^3 } } } { 3 } – x + frac { 1 } { 3 } }right)dx } } = { left. { left( { frac { { 2 { x^3 } } } { 3 } – frac { 4 } { 3 } cdot frac { { { x^4 } } } { 4 } – frac { { { x^2 } } } { 2 } + frac { x } { 3 } }right) }right|_0^1 } = { frac { 2 } { 3 } – frac { 1 } { 3 } – frac { 1 } { 2 } + frac { 1 } { 3 } = frac { 1 } { 6 } . } $

Пример 5

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (z = xy,) (x + y = a,) (z = 0.)

Решение:

Данное тело лежит над треугольником (R) в плоскости (Oxy) ниже поверхности (z = xy.) Объем тела равен $ { V = iintlimits_R { xydxdy } } = { intlimits_0^a { left[ { intlimits_0^ { a – x } { xydy } }right]dx } } = { intlimits_0^a { left[ { left. { left( { frac { { x { y^2 } } } { 2 } }right) }right|_ { y = 0 } ^ { a – x } }right]dx } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { x { { left( { a – x }right) } ^2 } dx } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { xleft( { { a^2 } – 2ax + { x^2 } }right)dx } } = \ = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { left( { { a^2 } x – 2a { x^2 } + { x^3 } }right)dx } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { { a^2 } cdot frac { { { x^2 } } } { 2 } – 2a cdot frac { { { x^3 } } } { 3 } + frac { { { x^4 } } } { 4 } }right) }right|_0^a } = { frac { 1 } { 2 } left( { frac { { { a^2 } } } { 2 } – frac { { 2 { a^4 } } } { 3 } + frac { { { a^4 } } } { 4 } }right) } = { frac { { { a^4 } } } { { 24 } } . } $

Пример 6

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (z = 0,) (x + y = 1,) ( { x^2 } + { y^2 } = 1,) (z = 1 – x.)

Решение:

Как видно из рисунков, в области интегрирования (R) при (0 le x le 1) значения (y) изменяются от (1 – x) до (sqrt { 1 – { x^2 } } .)

Сверху тело ограничено плоскостью (z = 1 – x.) Следовательно, объем данного тела равен $ { V = iintlimits_R { left( { 1 – x }right)dxdy } } = { intlimits_0^1 { left[ { intlimits_ { 1 – x } ^ { sqrt { 1 – { x^2 } } } { left( { 1 – x }right)dy } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left[ { left( { 1 – x }right)left. y right|_ { 1 – x } ^ { sqrt { 1 – { x^2 } } } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left( { 1 – x }right)left( { sqrt { 1 – { x^2 } } – 1 + x }right)dx } } = \ = { intlimits_0^1 { left( { sqrt { 1 – { x^2 } } – xsqrt { 1 – { x^2 } } – 1 + 2x – { x^2 } }right)dx } } = { intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } } – { intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } } – { intlimits_0^1 { left( { 1 + 2x – { x^2 } }right)dx } . } $

Вычислим полученные три интеграла отдельно. $ { I_1 } = intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } .$ Сделаем замену: (x = sin t.) Тогда (dx = cos tdt.) Видно, что (t = 0) при (x = 0) и (t = largefrac { pi } { 2 } normalsize) при (x = 1.) Следовательно, $ { { I_1 } = intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { sqrt { 1 – { { sin } ^2 } t } cos tdt } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { { { cos } ^2 } tdt } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { frac { { 1 + cos 2t } } { 2 } dt } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { left( { 1 + cos 2t }right)dt } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { t + frac { { sin 2t } } { 2 } }right) }right|_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } } = { frac { 1 } { 2 } left( { frac { pi } { 2 } + frac { { sin pi } } { 2 } }right) = frac { pi } { 4 } . } $ { Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл ( { I_2 } = intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } ,) используя замену переменной. Полагаем (1 – { x^2 } = w.) Тогда (-2xdx = dw) или (xdx = largefrac { { – dw } } { 2 } normalsize.) Находим, что (w = 1) при (x = 0) и, наоборот, (w = 0) при (x = 1.) Интеграл равен $ { { I_2 } = intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } } = { intlimits_1^0 { sqrt w left( { – frac { { dw } } { 2 } }right) } } = { – frac { 1 } { 2 } intlimits_1^0 { sqrt w dw } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^1 { sqrt w dw } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^1 { { w^ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } dw } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { frac { { 2 { w^ { largefrac { 3 } { 2 } normalsize } } } } { 3 } }right) }right|_0^1 = frac { 1 } { 3 } . } $ Наконец, вычислим третий интеграл. $require { cancel } { { I_3 } = intlimits_0^1 { left( { 1 – 2x + { x^2 } }right)dx } } = { left. { left( { x – { x^2 } + frac { { { x^3 } } } { 3 } }right) }right|_0^1 } = { cancel { 1 } – cancel { 1 } + frac { 1 } { 3 } = frac { 1 } { 3 } . } $ Таким образом, объем тела равен $ { V = { I_1 } – { I_2 } – { I_3 } } = { frac { pi } { 4 } – frac { 1 } { 3 } – frac { 1 } { 3 } = frac { pi } { 4 } – frac { 2 } { 3 } approx 0,12. } $

Пример 7

Вычислить объем единичного шара.

Решение:

Уравнение сферы радиусом (1) имеет вид ( { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = 1). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на (2.) Уравнение верхней полусферы записывается как $z = sqrt { 1 – left( { { x^2 } + { y^2 } }right) } .$ Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем $zleft( { r,theta }right) = sqrt { 1 – { r^2 } } .$ В полярных координатах область интегрирования (R) описывается множеством (R = left[{ left( { r,theta }right)|;0 le r le 1,0 le theta le 2pi }right].) Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой $ { { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 – { r^2 } } rdrdtheta } } = { intlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } } = { 2pi intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } . } $ Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть (1 – { r^2 } = t.) Тогда (-2rdr = dt) или (rdr = – largefrac { { dt } } { 2 } normalsize.) Уточним пределы интегрирования: (t = 1) при (r = 0) и, наоборот, (t = 0) при (r = 1.) Получаем $ { { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = 2pi intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } } = { 2pi intlimits_1^0 { sqrt t left( { – frac { { dt } } { 2 } }right) } } = { – pi intlimits_1^0 { sqrt t dt } } = { pi intlimits_0^1 { { t^ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } dt } } = { pi left. { left( { frac { { { t^ { largefrac { 3 } { 2 } normalsize } } } } { { frac { 3 } { 2 } } } }right) }right|_0^1 } = { frac { { 2pi } } { 3 } . } $ Таким образом, объем единичного шара равен $V = 2 { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = frac { { 4pi } } { 3 } .$

Пример 8

Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой (H) и радиусом основания (R).

Решение:

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники, можно записать $ { frac { r } { R } = frac { { H – z } } { H } , } ;; { text { где } ;;r = sqrt { { x^2 } + { y^2 } } . } $ Следовательно, $ { H – z = frac { { Hr } } { R } } ;; { text { или } ;;zleft( { x,y }right) } = { H – frac { { Hr } } { R } } = { frac { H } { R } left( { R – r }right) } = { frac { H } { R } left( { R – sqrt { { x^2 } + { y^2 } } }right). } $ Тогда объем конуса равен $ { V = iintlimits_R { zleft( { x,y }right)dxdy } } = { iintlimits_R { frac { H } { R } left( { R – sqrt { { x^2 } + { y^2 } } }right)dxdy } } = { frac { H } { R } iintlimits_R { left( { R – r }right)rdrdtheta } } = { frac { H } { R } intlimits_0^ { 2pi } { left[ { intlimits_0^R { left( { R – r }right)drd } }right]dtheta } } = { frac { H } { R } intlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^R { left( { Rr – { r^2 } }right)dr } } = { frac { { 2pi H } } { R } intlimits_0^R { left( { Rr – { r^2 } }right)dr } } = \ = { frac { { 2pi H } } { R } left. { left( { frac { { R { r^2 } } } { 2 } – frac { { { r^3 } } } { 3 } }right) }right|_ { r = 0 } ^R } = { frac { { 2pi H } } { R } left( { frac { { { R^3 } } } { 2 } – frac { { { R^3 } } } { 3 } }right) } = { frac { { 2pi H } } { R } cdot frac { { { R^3 } } } { 6 } = frac { { pi { R^2 } H } } { 3 } . } $

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

где — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) , то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой . Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади основания . Получаем формулу для вычисления площади области :

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки с переменной плотностью находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры относительно осей и (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры — по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы относительно оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки до оси, т. е. . Моменты инерции плоской фигуры относительно осей и могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле .

Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример №53.3.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями и .

Решение:

Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

находим уравнение линии их пересечения: .

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями и . Используя формулу (53.4), имеем

Переходя к полярным координатам, находим:

Пример №53.4.

Найти массу, статические моменты и и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Решение:

По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, , где — коэффициент пропорциональности.

Находим статические моменты пластинки:

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

План урока:

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Вычисление объема тел вращения

Объем наклонной призмы

Объем пирамиды

Объем конуса

Объем шара

Шаровой сегмент

Площадь сферы

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Пусть у нас есть произвольная фигура, расположенная между двумя параллельными плоскостями:

Как найти ее объем? Поступим следующим образом. Проведем прямую, перпендикулярную этим плоскостям. Эта прямая будет осью координат х. Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая – в точке b. Таким образом, на координатной прямой появляется отрезок [a; b]. Далее разобьем этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величина ∆х. Обозначим концы этих отрезков как х₀, х₁, х₂…, х_n, причем точке х₀ будет совпадать с точкой а, а точка х_n – с точкой b. Ниже показано такое построение для n = 10:

Далее через полученные точки проведем сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(x_i). Эти плоскости рассекут тело на n других тел. Обозначим объем тела, заключенного между сечениями с площадями S(x_i) и S(x_i+1) как V(x_i). Можно приближенно считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров (напомним, что в общем случае цилиндром необязательно считается фигура, основанием которой является круг, основание может иметь и любую другую форму). Высота всех этих цилиндров будет равна величине ∆х. Тогда объем V(x_i) может быть приближенно рассчитан так:

Общий же объем исследуемой фигуры будет суммой объемов этих прямых цилиндров:

Здесь знак ∑ означает сумму i слагаемых, каждое из которых равно величине S(x_i)•∆х. Ясно, что чем больше мы возьмем число n, тем точнее будет полученная нами формула. Поэтому будет увеличивать число n до бесконечности, тогда приближенная формула станет точной:

В правой части стоит предел суммы бесконечного числа слагаемых. Мы уже сталкивались с такими пределами, когда изучали определенный интеграл в курсе алгебры. Так как х₀ = a, а число х_n-1 при бесконечном увеличении n приближается к числу х_n, то есть к b, то можно записать следующее:

Здесь S(x) – это некоторая функция, которая устанавливает зависимость между площадью сечения объемной фигуры и координатой х, указывающей расположение этого сечения. Данная формула позволяет вычислять объем с помощью интеграла.

Итак, для вычисления объема тела необходимо:

1) выбрать в пространстве какую-то удобную ось координат Ох;

2) найти площадь произвольного сечения фигуры, проходящей перпендикулярно оси Ох через некоторую координату х;

3) найти значение чисел а и b – координат сечений, ограничивающих тело в пространстве;

4) выполнить интегрирование.

Понятно, что сразу понять, как используется эта формула, тяжело. Поэтому рассмотрим простой пример.

Задание. Фигура расположена в пространстве между двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ох, причем координаты этих сечений равны 1 и 2. Каждое сечение фигуры с координатой х является квадратом, причем его сторона равна величине 1/х. Найдите объем тела.

Решение. В данной задаче ось Ох уже проведена. Известны и числа а и b – это 1 и 2, ведь именно плоскости, проходящие через точки х =1 и х = 2, ограничивают исследуемое тело. Теперь найдем площадь произвольного сечения с координатой х. Так как оно является квадратом со стороной 1/х, то его площадь будет квадратом этой стороны:

Вычисление объема тел вращения

Телом вращения называют тело, которое может быть получено вращением какой-то плоской фигуры относительно некоторой оси вращения. Например, цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, а усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

В задачах на вычисление объемов таких тел ось координат Ох уже задана естественным образом – это ось вращения тела. Ясно, что каждое сечение тела, перпендикулярное оси вращения, будет являться кругом.

Рассмотрим случай, когда вокруг оси Ох поворачивают график некоторой функции у = f(x), ограниченный прямыми х = а и у = b. Тогда получится тело, сечениями которого являются круги, причем их радиусы будут равны величине f(x). Напомним, что площадь круга вычисляют по формуле:

Рассмотрим, как на практике используется эта формула.

Задание. Объемное тело получено вращением ветви параболы

вокруг оси Ох. Оно ограничено плоскостями х = 0 и х = 4. Каков объем такой фигуры?

Решение. Здесь пределами интегрирования, то есть числами а и b, будут 0 и 4. Используем формулу для тела вращения:

Объем наклонной призмы

Теперь, используя методы интегрирования, мы можем составить формулы для вычисления объема некоторых фигур. Начнем с треугольной наклонной призмы.

Пусть есть треугольная призма АВСА₂В₂С₂. Проведем ось Ох так, чтобы точка О располагалась в плоскости АВС. Пусть Ох пересечет плоскость А₂В₂С₂ в некоторой точке О₂. Тогда отрезок ОО₂ будет высотой призмы, ведь он окажется перпендикулярным к обоим основаниям.

Обозначим длину высоты ОО₂ буквой h. Далее докажем, что всякое сечение А₁В₁С₁ призмы, перпендикулярное оси Ох, будет равно ∆АВС. Действительно, если АВС⊥ОО₂ и А₁В₁С₁⊥ОО₂, то АВС||А₁В₁С₁. Прямые АВ и А₁В₁ принадлежат одной грани АВВ₂А₁, но не пересекаются, ведь они находятся в параллельных плоскостях. Аналогично АС||А₁С₁ и ВС||В₁С₁. Теперь посмотрим на четырехугольник АВВ₁А₁. АВ||A₁В₁ и АА₁||ВВ₁. Тогда АВВ₁А₁ по определению является параллелограммом. Это означает, что отрезки АВ и А₁В₁ одинаковы. Аналогично доказывается, что одинаковы отрезки АС и А₁С₁, а также ВС и В₁С₁. Но тогда одинаковы и ∆АВС и ∆А₁В₁С₁.

Итак, площади всех сечений одинаковы и равны площади основания призмы. Обозначим ее как S. Так как S не зависит от координаты, то интегрирование будет выглядеть так:

Итак, объем треугольной наклонной призмы – это произведение площади ее основания на высоту. Теперь рассмотрим произвольную призму, в чьем основании находится n-угольник. Такой n-угольник можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h и площадями оснований S₁, S₂, S₃, …

Тогда площадь S основания всей призмы будет суммой этих чисел:

Задание. Основание призмы – это треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковое ребро имеет длину 8 и образует с основанием угол в 60°. Вычислите объем призмы.

Решение. Пусть в основании призмы АВСА₁В₁С₁ лежит ∆АВС со сторонами АВ = 12 и АС = ВС = 10. Его площадь можно найти разными способами, но быстрее всего применить формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ∆АВС:

Далее надо найти высоту призмы. Опустим из точки В₁ перпендикуляр В₁О на плоскость АВС. Тогда в прямоугольном ∆ОВВ₁ ∠В = 60° (по условию задачи и по определению угла между плоскостью и прямой). Зная длину бокового ребра ВВ₁, найдем высоту ОВ₁:

Объем пирамиды

Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.

Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.

Далее построим сечение А₁В₁С₁, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ₁. Тогда ОМ₁ – это координата х, характеризующая расположение сечения А₁В₁С₁.

Осталось составить выражение для площади ∆А₁В₁С₁. Так как АВ||A₁B₁, то ∠АВО и ∠А₁В₁О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А₁В₁О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что

Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ₁В₁. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому

Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:

Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S₁, S₂, S₃…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.

Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:

Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.

Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:

Задание. В кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С₁EFC меньше объема куба?

Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:

Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?

Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.

Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.

Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А₁В₁С₁, параллельное основанию.

Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S₂, а площадь верхнего основания – как S₁. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ₁) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А₁В₁С₁ – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ₁. Тогда можно записать:

Далее используем основное свойство пропорции:

Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:

Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.

Сначала вычислим площади оснований:

Объем конуса

Рассмотрим конус с высотой h и радиусом основания R. Совместим начало координат с вершиной конуса и направим ось Ох в сторону основания конуса. Тогда она пересечет основание в какой-то точке М c координатой h. Далее через точку М₁ на оси Ох, имеющей координату х, проведем сечение, перпендикулярное оси Ох. Это сечение будет окружностью.

Также построим образующую ОА, которая будет проходить через сечение в точке А₁. Теперь сравним ∆ОАМ и ∆ОА₁М₁. Они прямоугольные, и у них есть общий угол ∠АОМ. Это значит, что они подобны, и поэтому справедливо отношение:

Полученную формулу можно переписать в другом виде так, чтобы она содержала площадь основания, причем она будет похожа на аналогичную формулу для пирамиды:

Задание. Радиус конуса – 8 см, а его высота составляет 12 см. Определите его объем.

Решение. Здесь надо просто применить выведенную формулу:

Задание. В сосуде, имеющем форму перевернутого конуса, вода доходит до уровня, соответствующего 2/3 высоты сосуда. При этом ее объем составляет 192 мл. Каков объем всего сосуда?

Решение. В задаче фигурируют два конуса. Один из них – это сам сосуд, а второй – его часть, заполненная водой. При выведении формулы объема мы уже выяснили, что радиусы таких конусов пропорциональны их высотам:

Мы уже заметили, что формулы для объема пирамида и конуса идентичны. По сути, конус можно рассматривать как особый случай пирамиды, у которой в основании лежит не многоугольник, а окружность. Аналогично и усеченный конус можно считать особым случаем усеченной пирамиды, а поэтому для расчета его объема можно применять такую же формулу:

Задание. Вычислите объем усеченного конуса с высотой 9 и радиусами оснований 7 и 4.

Решение. Сначала находим площади оснований:

Объем шара

Пришло время разобраться и с таким телом, как шар. Здесь можно использовать тот же метод интегрирования, что и в случае с конусом и пирамидой. Но можно поступить и иначе – использовать выведенную нами для тел вращения формулу

Шар как раз является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг диаметра, на который эта дуга опирается.

Напомним известное нам уравнение окружности, чей центр совпадает с началом координат:

Здесь надо уточнить, что если у получившейся функции впереди записан знак «+», то ее график соответствует полуокружности, находящейся над осью Ох. Если же используется знак «–», то получается уже нижняя полуокружность, расположенная под осью Ох:

В принципе мы можем поворачивать любую из этих полуокружностей вокруг Ох, но мы выберем верхнюю полуокружность. Заметим, что эта дуга начинается в точке х = – R и заканчивается в точке х = R, эти числа будут пределами интегрирования. Тогда объем шара равен:

Задание. Найдите объем шара с радиусом 6.

Решение. Подставляем радиус из условия в формулу:

Задание. В цилиндр вписан шар. Во сколько раз объем цилиндра больше объема такого шара?

Решение. Ясно, что так как шар вписан в цилиндр, то радиусы этих тел одинаковы. Обозначим этот радиус как R. Также ясно, что раз шар касается оснований цилиндра, то расстояние между ними (то есть высота цилиндра) равно двум радиусам шара:

Шаровой сегмент

Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:

Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.

Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:

Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.

Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.

Решение. Используем выведенную формулу:

Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?

Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S₁, S₂, S₃,…S_n. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S₁, S₂, S₃,…S_n – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.

а) Объём.

Как мы знаем, объем
V
тела, ограничен­ного поверхностью
,
где
–
неотрицательная функ­ция, плоскостьюи цилиндрической поверхностью,
направ­ляющей для которой служит
граница областиD,
а образующие параллельны оси Oz,
равен двойному интегралу от функции
по областиD
:

Пример 1. Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями
x=0,
у=0, х+у+z=1,
z=0
(рис. 17).

Рис.17
Рис.18

Решение.
D
– заштрихованная на рис. 17 треугольная
область в плоскости Оху,
ограниченная прямыми x=0,
у=0, x+y=1.
Расставляя пределы в двойном интеграле,
вычислим объем:

Итак,
куб. единиц.

Замечание 1.
Если тело, объем которого ищется,
ограни­чено сверху поверхностью
а снизу—поверхностью,
причем проекцией обеих поверхностей
на пло­скостьОху
является область D,
то объем V
этого тела равен разности объемов двух
«цилиндрических» тел; первое из этих
цилиндрических тел имеет нижним
основанием область D,
а верх­ним – поверхность
второе тело имеет нижним осно­ванием
также областьD,
а верхним – поверхность
(рис.18).

Поэтому объём V
равен разности двух двойных интегралов
:

или

(1)

Легко, далее,
доказать, что формула (1) верна не только
в том случае, когда
инеотрицательны, но и тогда, когдаи–
любые непрерывные функции, удовлетворяющие
соотношению

Замечание 2.
Если в области D
функция
меняет
знак, то разбиваем область на две части:
1) областьD₁
где
2) областьD₂
,где
.
Предположим, что областиD₁
и D₂
таковы, что двойные интегралы по этим
обла­стям существуют. Тогда интеграл
по области D₁
будет положи­телен и будет равен
объему тела, лежащего выше плоскости
Оху. Интеграл
по D₂
будет отрицателен и по абсолютной
величине равен объему тела, лежащего
ниже плоскости Оху,
Следовательно, интеграл по D
будет выражать раз­ность соответствующих
объемов.

б) Вычисление
площади плоской области.

Если мы со­ставим
интегральную сумму для функции
по областиD,
то эта сумма будет равна площа­ди S,

при любом способе
разбиения. Пере­ходя к пределу в правой
части равен­ства, получим

Если область D
правильная , то площадь выразится
двукратным интегралом

Производя
интегрирование в скобках, имеем,
очевидно,

Пример 2. Вычислить
площадь области, ограниченной кривыми

Рис.19

Решение. Определим
точки пересечения данных кривых
(Рис.19). В точке пересечения ординаты
равны, т.е.
,
отсюдаМы
получили две точки пересечения

Следовательно,
искомая площадь

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется
вычислить площадь поверхности,
ограниченной линией Г (рис.20); поверхность
задана уравнением
где функциянепрерывна и имеет непрерывные частные
производные. Обозначим проекцию линии
Г на плоскостьOxy
через L.
Область на плоскости Oxy,
ограниченную линией L,
обозначим D.

Разобьём произвольным
образом область D
на n
элементарных площадок
В
каждой площадкевозьмём точкуТочкеP_i
будет соответствовать на поверхности
точка
Через точкуM_i
проведём касательную плоскость к
поверхности. Уравнение её примет вид

(1)

На этой плоскости
выделим такую пло­щадку
,
которая проектируется на плоскостьОху
в виде площадки
.
Рассмотрим сумму всех площадок

Предел
этой суммы, когда наибольший из диаметров
пло­щадок–
стремится к нулю, мы будем называтьплощадью
по­верхности,
т. е. по определению положим

(2)

Займемся теперь
вычислением площади поверхности.
Обозна­чим через

угол между
касательной плоскостью и плоскостью
Оху.

Рис.20
Рис.21

На основании
известной формулы аналитической
геометрии можно написать (рис.21)

или

(3)

Угол
есть в то же время угол между осьюOz
и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому
на основании уравнения (1) и формулы
аналитической геометрии имеем

Следовательно,

Подставляя это
выражение в формулу (2), получим

Так как предел
интегральной суммы, стоящей в правой
части последнего равенства, по определению
представляет собой двойной интеграл
то окончательно получаем

(4)

Это и есть формула,
по которой вычисляется площадь поверхности

Если уравнение
поверхности дано в виде
или в видето соответствующие формулы для вычисления
поверхности имеют вид

(3^’)

(3^’’)

где D^’
и D^’’
– области на плоскостях Oyz
и Oxz,
в которые проектируется данная
поверхность.

а) Примеры.

Пример 1. Вычислить
поверхность
сферы

Решение. Вычислим
поверхность верхней половины сферы
(рис.22). В этом случае

Следовательно,
подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования
определяется условием
.
Таким образом, на основании формулы (4)
будем иметь

Для вычисления
полученного двойного интеграла перейдём
к полярным координатам. В полярных
координатах граница области интегрирования
определяется уравнением
Следовательно,

Пример2. Найти
площадь той части поверхности цилиндра
которая вырезается цилиндром

Рис.22
Рис.23

Решение. На рис.23
изображена
часть искомой поверхности. Уравнение
поверхности имеет вид;
поэтому

Область интегрирования
представляет собой четверть круга, т.е.
определяется условиями

Следовательно,

Список использованной
литературы.

1. А.Ф. Бермант ,И.Г.
   Араманович

Краткий курс
математического анализа для втузов:
Учебное пособие для втузов: – М.: Наука,
Главная редакция физико-математической
литературы , 1971 г.,736с.

1. Н.С. Пискунов

Дифференциальное
и интегральное исчисления для втузов,
Том 2:

Учебное пособие
для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная
редакция физико-математической
литературы, 1985.-560с.

1. В.С. Шипачёв

Высшая
математика: Учебное пособие для втузов:
– М: Наука,

Главная редакция
физико-математической литературы.

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

• #
• #
• #