Как найти объем фигуры в математике

Была ли эта статья полезной?

У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения).

Объём
Размерность	L3
Единицы измерения
СИ	м3
СГС	см3

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела определяется его формой и линейными размерами. Основное свойство объёма — аддитивность , то есть объём любого тела равен сумме объёмов его (непересекающихся) частей^[1].

Единица объёма в СИ — кубический метр; от неё образуются производные единицы — кубический сантиметр, кубический дециметр (литр) и т. д. В разных странах для жидких и сыпучих веществ используются также различные внесистемные единицы объёма — галлон, баррель и др.

В формулах для обозначения объёма традиционно используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от лат. volume — «объём», «наполнение».

Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса», «объём памяти», «объём работ». В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.

Вычисление объёма[править | править код]

На практике приблизительный объём тела, в том числе сложной формы, можно вычислить по закону Архимеда, погрузив это тело в жидкость: объём вытесненной жидкости будет равен объёму измеряемого тела.

Математически[править | править код]

Для объёмов тел простой формы имеются специальные формулы. Например, объём куба с ребром вычисляется с помощью выражения , а объём прямоугольного параллелепипеда — умножением его длины на ширину и на высоту.

Объём тела сложной формы вычисляется разбиением этого тела на отдельные части простой формы и суммированием объёмов этих частей. В интегральном исчислении объёмы частей, из которых складывается объём всего тела, рассматриваются как бесконечно малые величины.

Сводка формул[править | править код]

Форма тела	Формула для вычисления объёма	Обозначения
Куб
Прямоугольный параллелепипед
Призма (B: площадь основания)
Пирамида (B: площадь основания)
Параллелепипед
Тетраэдр
Шар
Эллипсоид
Прямой круговой цилиндр
Конус
Тело вращения

Через плотность[править | править код]

Зная массу (m) и среднюю плотность (ρ) тела, его объём рассчитывают по формуле: .

Единицы объёма жидкости[править | править код]

• 1 литр = 1 кубический дециметр = 1,76 пинты = 0,23 галлона

Русские^[2][править | править код]

• Ведро = 12,3 литра
• Бочка = 40 вёдер = 492 литра

Английские[править | править код]

• 1 пинта = 0,568 литра
• 1 кварта (жидкостная) = 2 пинтам = 1,136 литра
• 1 галлон = 8 пинтам = 4,55 литра
• 1 галлон (амер.) = 3,785 литра

Античные[править | править код]

• Котила = 0,275 литра

Немецкие[править | править код]

• Шоппен

Древнееврейские^[3][править | править код]

• Эйфа = 24,883 литра
• Гин = 1/6 эйфы = 4,147 литра
• Омер = 1/10 эйфы = 2,4883 литра
• Кав = 1/3 гина = 1,382 литра

Единицы объёма сыпучих веществ[править | править код]

Русские[править | править код]

• Четверик = 26,24 литра (1 пуд зерна)
• Гарнец = 3,28 литра
• Четверть = 1/4 ведра = 3,075 литра
• Штоф = 1/8 ведра = 1,54 литра
• Кружка = 1/10 ведра = 1,23 литра
• Бутылка (винная) = 1/16 ведра = 0,77 литра
• Бутылка (пивная) = 1/20 ведра = 0,61 литра
• Чарка = 1/10 кружки = 0,123 литра
• Шкалик (косушка) = 1/2 чарки = 0,0615 литра

Английские[править | править код]

• 1 бушель = 8 галлонов = 36,36872 литра
• 1 баррель = 163,65 литра

Прочие единицы[править | править код]

• 1 унция (англ.) = 2,841⋅10⁻⁵ м³
• 1 унция (амер.) = 2,957⋅10⁻⁵ м³
• 1 кубический дюйм = 1,63871⋅10⁻⁵ м³
• 1 кубический фут = 2,83168⋅10⁻² м³
• 1 кубический ярд = 0,76455 м³
• 1 кубическая астрономическая единица =3,348⋅10²⁴ км³
• 1 кубический световой год = 8,466⋅10³⁸ км³
• 1 кубический парсек = 2,938⋅10⁴⁰ км³
• 1 кубический килопарсек = 1 000 000 000 пк³ = 2,938⋅10⁴⁹ км³

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Объём // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.

• Объём // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки[править | править код]

• Формулы объёма и программы для расчета объёма. Дата обращения: 26 ноября 2020. Архивировано 24 ноября 2020 года.

План урока:

Понятие объема

Свойства объема

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Объем прямой призмы

Объем цилиндра

Понятие объема

Понятие объема появилось у человечества задолго до того, как геометрия оформилась как строгая наука. Многие вещества и товары, такие как зерно, рис и вода, необходимо хранить и транспортировать в различных упаковках (сосуды, бочки, ящики, контейнеры). При этом разные емкости могут вместить разное количество товаров. Например, пусть есть бочка, имеющая форму цилиндра, и контейнер, выглядящий как прямоугольный параллелепипед:

Предположим, что в бочку можно поместить 5 кг пшеницы, а в контейнер помещается уже 15 кг пшеницы, то есть в контейнер можно положить в 3 раза больше пшеницы, чем в бочку. Можно сказать, что вместимость контейнера втрое больше вместимости бочки. Однако измерять вместимость емкости с помощью массы пшеницы, помещаемой в него, неудобно, ведь в них можно класть и другие вещества. Мы можем положить в емкости что-нибудь более тяжелое, например сухой песок. Тогда в бочку может влезть уже 10 кг песка, а в контейнер – 30 кг. И снова получается, что вместимость контейнера втрое больше, хотя масса вещества увеличилась.

Именно для измерения вместимости и было введено понятие объема. Если в одну упаковку помещается вдвое больше товаров, чем во вторую упаковку, то и объем у нее будет вдвое больше. С древнейших времен замечено, что отношение объемов двух сосудов не зависит от того вещества, которое в них хранят. Например, если в один сосуд помещается в 5 раз больше риса, чем в другой сосуд, то в него также будет помещаться в 5 раз больше воды, в 5 раз больше песка, в 5 раз больше нефти и т. д. Таким образом, в практическом смысле объем – это количественная характеристика вместимости тех или иных упаковок.

В рамках стереометрии изучаются не реальные сосуды, а абстрактные тела. Каждое из них занимает определенную часть пространства, большую или меньшую. Объем используется для измерения этих частей пространства. Для обозначения объема используется латинская буква V.

Для измерения объема необходима единица измерения. Условно принимается, что куб, чьим ребром является единичный отрезок, имеет объем, равный единице. Такой куб именуется единичным. Заметим, что грани единичного куба – это единичные квадраты.

В случае, когда длина ребра куба является безразмерной величиной, то объем также будет безразмерной величиной. Если же указана единица измерения длины, то объем куба будет измеряться этой же единицей, к которой приписано слово «кубический». Например, если ребро куба равно 1 м, то объем куба будет равен 1 кубическому метру, или 1 м³. Объем куба с ребром 1 мм будет составлять 1 мм³ и т. д.

,

Свойства объема

Свойства объема во многом совпадают со свойствами площади. Ясно, что у равных тел будут одинаковы и объемы.

Второе свойство объема связано с тем, что он является аддитивной величиной. Это значит, что если тело можно разбить на несколько тел, то его объем будет равен сумме объемов этих тел.

Это свойство аддитивности объема уже позволяет решать некоторые стереометрические задачи.

Задание. Тело состоит из цилиндра объемом 12 см³ и конуса объемом 4 см³. Каков объем этого тела?

Решение. Здесь надо просто сложить объемы цилиндра и конуса, чтобы найти общий объем всей фигуры:

Ответ: 16 см³.

Задание. Найдите объем фигуры, показанной на рисунке:

Решение. Данную фигуру несложно разбить на три единичных куба:

Тогда объем тела будет равен сумме объемов трех единичных кубов, то есть трем:

Ответ: 3.

Задание. Вычислите объем фигуры, получающейся при рассечении куба плоскостью, проходящей через два его ребра.

Решение. Ясно, что такая секущая плоскость будет делить куб на две равные фигуры (иначе просто не удастся провести плоскость через два ребра):

Также понятно, что два получившихся многогранника равны друг другу. Обозначим объем каждого из них как V. Тогда в сумме их объем должен быть равен 1, ведь вместе эти фигуры образуют единичный куб. Это позволяет составить уравнение, из которого можно вычислить величину V:

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Докажем важную вспомогательную теорему:

Действительно, пусть у двух параллелепипедов одинаковы основания. Тогда их можно совместить. Пусть общим основанием будет АВСD, а высотами параллелепипедов будут отрезки АР и АК, причем АР <АК. Объем меньшего параллелепипеда с высотой АР обозначим как V_Р, а большего – как V_K:

Нам надо доказать, что объемы фигур пропорциональны их высотам:

Для начала рассмотрим случай, когда отношение высот является рациональным числом. Это означает, что существует некоторая дробь m/n, такая, что

где m и n – натуральные числа. Тогда разобьем отрезок АК как раз на n равных отрезков. В этом случае отрезок АР будет состоять в точности из m таких отрезков. Далее через концы отрезков проведем плоскости, параллельные основанию:

В результате мы получили n равных параллелепипедов («пластин»), которые все вместе образуют большой параллелепипед объемом V_K. Поэтому объем одной такой пластины равен величине V_K/n:

Итак, мы доказали теорему для случая, когда отношение высот является рациональным числом. Теперь перейдем к более сложному случаю, когда это отношение представляет собой иррациональное число. Здесь можно рассуждать от противного. Предположим, что теорема ошибочна, тогда для каких-нибудь двух параллелепипедов отношение их объемов будет равно не отношению их высот, а какому-то другому числу k:

Это значит, что k либо меньше, либо больше, чем отношение АР/АК. Рассмотрим случай, когда k< АР/АК (случай, когда k> АР/АК, рассматривается аналогичным образом). Тогда возьмем какое-нибудь рациональное число R, находящееся между числами k и АР/АК:

(Примечание. Здесь мы неявно используем утверждение, которое можно доказать в рамках алгебры – между любыми двумя различными действительными числами располагается хотя бы одно рациональное число).

Умножим это неравенство на длину АК:

Построим параллелепипеды с общим основанием АВСD и высотами АК и АР, а также с высотой АЕ = R•АК. Так как R•АК < АР, то точка Е будет лежать между А и Р:

Объем параллелепипеда с высотой АЕ обозначим как V_Е. Ясно, что

ведь число k не может быть одновременно и больше, и меньше R. Полученное противоречие означает, что исходное предположение об ошибочности теоремы неверно, и на самом деле она справедлива, ч. т. д.

Теперь с помощью доказанной теоремы можно вывести известную ещё из младших классов формулу для расчета объема прямоугольного параллелепипеда.Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда являются числами а, b и c. Построим:

• единичный куб;
• параллелепипед с габаритами а, 1, 1 с объемом V₁;
• параллелепипед с габаритами а, b, 1 с объемом V₂;
• параллелепипед с габаритами а, b, c с объемом V.

Тогда можно последовательно вычислить их объемы. Объем первого параллелепипеда будет в а раз больше объема единичного куба, то есть он будет равен а. Объем второго параллелепипеда будет больше ещё в bраз, а третьего – ещё в с раз:

Соответственно, для расчета объема параллелепипеда используется формула

Иногда эту формулу формулируют несколько иначе: объем параллелепипеда – это произведение площади его основания на длину высоты, перпендикулярной этому основанию.

Задание. Три смежных ребра прямоугольного параллелепипеда имеют длины 9, 4 и 7 см. Каков объем параллелепипеда?

Решение. Здесь надо просто перемножить габариты параллелепипеда:

Ответ: 252 см³.

Куб можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями. Поэтому для вычисления его объема надо умножить ребро куба само на себя дважды, то есть возвести его в куб.

Задание. Вычислите объем куба с ребром 8 метров.

Решение. Просто возводим сторону ребро куба в третью степень:

Задание. Если ребро куба увеличить на 2 дм, то его объем вырастет на 98 дм³. Какова длина ребра этого куба?

Решение. Обозначим длину ребра буквой х. Тогда объем куба будет составлять х³ дм. Если ребро увеличить на 2 дм, то оно будет иметь длину х + 2 дм, и тогда объем куба будет равен уже (х + 2)³ дм. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

Это квадратное уравнение имеет два корня, 3 и (– 5), что можно проверить с помощью теоремы Виета. Корень х = – 5 не имеет геометрического смысла, поэтому остается ответ х = 3.

Ответ: 3 дм.

Далее рассмотрим перевод единиц измерения объема. Например, как перевести 1 м³ в кубические сантиметры? Рассмотрим куб с ребром 1 м. Ясно, что его объем будет равен 1 м³. С другой стороны, можно сказать, что длина ребра этого куба составляет 100 см:

Тогда объем этого куба можно посчитать так:

Аналогично можно переводить и другие единицы измерения.

Объем прямой призмы

Рассмотрим сначала прямую призму, в чьем основании располагается прямоугольный треугольник. Ее можно достроить до прямоугольного параллелепипеда:

Ясно, что объем параллелепипеда будет вдвое больше объема исходной призмы, ведь он состоит из двух таких призм. Аналогично и площадь основания у параллелепипеда будет вдвое больше. Обозначим площадь основания призмы буквой S, а ее высоту как h, тогда площадь основания параллелепипеда будет 2S, а его объем составит 2S•h. Тогда объем призмы будет вдвое меньше, то есть он окажется равным S•h.

Далее рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит уже произвольный треугольник. Проведем в этом треугольнике высоту, которая упадет на противоположную сторону (такую высоту всегда можно провести). Далее через эту высоту проведем плоскость, перпендикулярную основанию. В результате мы разделим призму на две прямых призмы, в основании каждой из которых будет лежать прямоугольный треугольник:

Пусть площади получившихся прямоугольных треугольников обозначены как S₁и S₂, а общая площадь основания исходной призмы – это S. Мы можем вычислить объемы этих призм:

Теперь, наконец, рассмотрим прямую призму, чье основание – произвольный многоугольник. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников с площадями S₁, S₂, S₃…, а призма соответственно будет разбита на несколько треугольных призм с объемами V₁, V₂, V₃ и. т. д.

Объем каждой треугольный призмы мы можем рассчитать:

Задание. Все ребра правильной шестиугольной призмы одинаковы, их длина обозначена буквой а. Найдите объем такой призмы.

Решение. Сначала необходимо найти площадь основания призмы, то есть площадь правильного шестиугольника. Напомним формулы для правильных многоугольников, изученные ещё в девятом классе:

Для вычисления объема надо лишь умножить полученную площадь на высоту призмы, а она также равна а:

Задание. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ через середины ребер СD и BC проведено сечение, параллельное ребру СС₁. Это сечение отсекает от куба треугольную призму, чей объем равен 19. Найдите объем куба.

Решение. Ясно, что и куб, и треугольная призма будут прямыми призмами, причем у них одинаковая высота СС₁. Тогда можно утверждать, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

Пусть сторона АВ имеет длину а. Тогда площадь квадрата АВСD будет составлять а². Отрезки ЕС и FC будут вдвое короче АВ, то есть их длина составляет a/2. ∆EFC – прямоугольный, и его площадь может быть рассчитана как половина произведения его катетов:

Объем цилиндра

Цилиндр не получится разбить на несколько призм, поэтому для вычисления его объема используется другой метод. Впишем цилиндр в правильную n-угольную призму. Одновременно построим и другую правильную n-угольную призму, которая сама будет вписана в цилиндр. Объем вписанной призмы обозначим как V_в, а объем описанной призмы как V_о. Объем самого цилиндра – это V_ц. При этом высоты всех трех фигур одинаковы:

Ясно, что объем вписанной призмы меньше объема цилиндра, а тот в свою очередь меньше объема описанной призмы:

Теперь будем неограниченно увеличивать число n. При этом площади S_в и S_о будут стремиться к площади основания цилиндра, равной величине πr², где r– радиус основания цилиндра. Это возможно лишь в том случае, если справедливо равенство

Задание. Найдите объем цилиндра с высотой 5 см и радиусом 6 см.

Решение. Сначала находим площадь основания:

Задание. Известно, что высота цилиндра вдвое больше его радиуса, а объем цилиндра равен 54π. Найдите радиус цилиндра.

Решение. Обозначим радиус цилиндра буквой х. Тогда по условию высота будет вдвое больше, то есть она составит 2х. Вычислим объем цилиндра:

Ответ: 3.

Задание. Труба изготовлена из металла с плотностью 11,4 г/см³. Внутренний диаметр трубы равен 13 мм, а ее стенка имеет толщину 4 мм. Длина трубы – 25 метров. Какова ее масса?

Решение. Для расчета массы необходимо сперва вычислить объем трубы. Ясно, что если к объему трубы прибавить объем внутреннего отверстия, то в итоге получится объем большого цилиндра, чей диаметр равен наружному диаметру трубы:

Легко найти объем отверстия, ведь оно имеет форму цилиндра. Его радиус вдвое меньше диаметра, то есть он равен 13/2 = 6,5 мм. При расчете важно не забыть перевести высоту в миллиметры:

Сегодня мы узнали о такой характеристике тел, как объем. Если объем куба и прямоугольного параллелепипеда мы умели находить ещё в средней школе, то определять объем цилиндра и прямой призмы мы научились только сейчас. Однако все эти случаи по сути одинаковы – надо перемножить высоту фигуры и площадь ее основания. В будущем мы научимся вычислять объемы более сложных фигур – пирамиды, конуса, шара.

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

01 апреля 2019

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

• V сохраняется при движениях.
• V удовлетворяет принципу Кавальери.
• Если внутренности многогранников M и N не пересекаются, то V(M ∪ N) = V(M) + V(N).
• Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф₂) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф₁), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

V S_осн h

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

V ₁/V₂ = 1 <=> V₁ = V₂

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

V₁ = V₂

V₂ = V₃

V_призмы S h = 3V

V = 1/3 Sh

Объем цилиндра

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

V_цил = πh × R²

Объем конуса

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

S_Ф1/S_Ф2 = π

V_конуса = 1/3 πR² h

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Чтобы найти объем шара, шар часто предлагается сравнить со сложным геометрическим телом, которое связано с конусом и цилиндром. Но не стоит строить цилиндр, из которого вырезан конус, или вроде того. Возьмем половину шара с высотой R и радиусом R, а также конус и цилиндр с аналогичными высотами и радиусами оснований. Обратимся к полезным материалам на сайте
«Математические этюды», где объем шара рассматривается с использованием весов Архимеда. Цилиндр располагается на одной стороне уравновешенных весов, конус и половина шара — на другой.

Заключаем геометрические фигуры в две параллельные плоскости и смотрим, что получается в сечении. У цилиндра — круг с площадью πR². Как известно, если внутренности геометрических тел не пересекаются, то объем их объединения равен сумме объемов. Пусть в конусе и в половине шара расстояние до плоскости сечения будет x. Радиус — тоже x. Тогда площадь сечения конуса — π ∙ x². Расстояние от середины верха половины шара к краю сечения — R. Площадь сечения половины шара: π(R² — x²).

Заметим, что: πR² + πR² — πR² = πR²

V_цил = πR² × R = πR³ = 1/3 R³ π + V_шара

V_шара = 4/3 πR³

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

#ADVERTISING_INSERT#