Как найти объем холма

Округлые формы рельефа – холмы,
вулканические конусы, терриконы,
карстовые блюдца и воронки – часто
имеют настолько правильные очертания,
что их можно рассматривать как тела,
образуемые вращением профиля формы
вокруг её оси симметрии. При планировке
территории для подсчета объема выемок
и насыпей необходимо знать объемы
срезаемых и засыпаемых форм рельефа.
Объемы вулканических конусов дают
представление о количестве продуктов
извержений, объемы карстовых воронок
– о количестве растворенного материала.
Объёмы такого рода форм рельефа можно
вычислять, воспользовавшись формулой
для определения объемов тел вращения
с помощью определенного интеграла.
Вычислим этим способом объем холма,
профиль которого можно аппроксимировать
экспоненциальной функцией
,
где– высота вершины;m–
логарифмический декремент, характеризующий
крутизну склонов: чем склоны холма
круче, темm больше.
Воспользуемся фор­мулойИз равенствавыразим.
Таким образом:

Подстановка верхнего предела интегрирования
дает
.
При подстановке нижнего предела
интегрирования используем то, что

;

(При
вычислении данных пределов мы применили
правило Лопиталя-Бернулли.) Поэтому при
подстановке нижнего предела H= 0 выражение целиком обращается в нуль.
Следовательно, объем холмаV =.

Пример. Вычислим объем холма, профиль
которого можно аппроксимировать
экспоненциальной функцией,
где= 5м высота вершины;m
= 0,35 – логарифмический декремент.
Воспользуемся формулойV =.
Подставляя значения, получаемV == 256,3 м².

2.9. Определение интенсивности потока фотонов [8, с. 39]

Определить в спектре Солнца интенсивность
потока фотонов, которые могут приводить
к разложению озона. Принять, что
_max = 1180 нм —
максимальная длина волны, способная
разложить молекулу озона.

Интенсивность фотонов частоты  в верхних слоях атмосферы Земли
вычисляется по модифицированной формуле
Планка:

,

где  _E= 5,410 ⁶— среднее расстояние от Солнца до Земли,h,k,c —
постоянные Планка, Больцмана и скорость
света в вакууме,Т— абсолютная
температура.

Проводя интегрирование по всем частотам
от  _min=c/_max =
= 2,510¹⁴ Гц
до бесконечности и заменяяe^{h  / k T} – 1
наe^{h  / k T},
так как экспонента на много порядков
больше единицы, получим интеграл:

.

Обозначая  a = h /k Tиb = 8 _E c ^– 2,
имеем несобственный интеграл:

.

Несобственный интеграл по бесконечному
промежутку понимают как предел:

.

Интеграл под знаком предела считают с
помощью метода интегрирования по частям.

.

Переходя
к пределу при  A  получим

фотоновсм^–2 с^–2.

3. Дифференциальные уравнения

Изменение
природных процессов во времени может
быть выражено с помощью математического
аппарата в виде дифференциальных
уравнений. Дифференциальные уравнения
используются, например, в геоморфологии
при изучении склоновых процессов, в
динамической метеорологии. Особенно
часто используются дифференциальные
уравнения в геоморфологии, геологии и
других областях, когда не удаётся
установить непосредственную связь
между переменными величинами и описать
поведение системы в целом. Поэтому
обычно выделяется часть системы и
рассматривается её динамика в течение
бесконечно малого промежутка времени,
а также определяются зависимости,
описывающие элементарный процесс. При
этом приходится оперировать бесконечно
малыми величинами и их отношениями,
поэтому полученные зависимости будут
включать переменные величины, их
дифференциалы и производные, т.е.
дифференциальные уравнения. Для перехода
от бесконечно малых величин, которые
связываются дифференциальными
уравнениями, к конечным величинам,
описывающим систему в целом, используется
операция интегрирования.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #
• #
• #

Назначение калькулятора

Калькулятор позволяет рассчитать объёмы и площади поверхности таких геометрических тел, как конус, усечённый конус, шар и цилиндр.

В работе калькулятора используются следующие формулы:

1. Конус

1.1 Объём конуса

Для расчёта объёма конуса применяется формула:

h – высота конуса;

S_осн – площадь основания, которое представляет собой круг, соответственно его площадь может быть рассчитана по формуле:

или

R – радиус основания;

d – диаметр основания.

Тогда итоговая формула будет иметь вид:

1.2 Площадь поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле:

R – радиус основания;

L – образующая конуса;

Образующую можно выразить через радиус и высоту h:

Тогда формула площади боковой поверхности примет вид:

Или через диаметр:

Чтобы вычислить полную площадь поверхности, необходимо к площади боковой поверхности добавить площадь основания конуса:

2. Цилиндр

2.1 Объём цилиндра

Объём цилиндра может быть вычислен по следующей формуле:

h – высота цилиндра;

S_осн> – площадь основания, которое представляет собой круг, соответственно его площадь может быть рассчитана по формуле:

Тогда итоговая формула будет иметь вид:

2.2 Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

d – диаметр цилиндра;

h – высота цилиндра;

Для того, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра необходимо к площади боковой поверхности добавить две площади основания:

3. Шар (сфера)

3.1 Объём шара вычисляется по формуле:

R – радиус шара;

Если радиус выразить через диаметр, то получим следующее:

3.2 Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

Через диаметр:

4. Усечённый конус

4.1 Объём усечённого конуса рассчитывается по формуле:

R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

h – высота конуса;

4.2 Площадь боковой поверхности усечённого конуса находится по формуле:

L – образующая усечённого конуса;

Если образующую выразить через высоту, то получим следующее:

Для того, чтобы вычислить площадь полной поверхности усечённого конуса необходимо к площади боковой поверхности добавить площади верхнего и нижнего основания:

Объем геометрических фигур

Рассчитывает объем геометрических фигур (куб, призма, пирамида, усеченная пирамида, конус, цилиндр, сфера, эллипсоид, тороид).