Как найти объем интеграл формулы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

План урока:

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Вычисление объема тел вращения

Объем наклонной призмы

Объем пирамиды

Объем конуса

Объем шара

Шаровой сегмент

Площадь сферы

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Пусть у нас есть произвольная фигура, расположенная между двумя параллельными плоскостями:

Как найти ее объем? Поступим следующим образом. Проведем прямую, перпендикулярную этим плоскостям. Эта прямая будет осью координат х. Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая – в точке b. Таким образом, на координатной прямой появляется отрезок [a; b]. Далее разобьем этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величина ∆х. Обозначим концы этих отрезков как х₀, х₁, х₂…, х_n, причем точке х₀ будет совпадать с точкой а, а точка х_n – с точкой b. Ниже показано такое построение для n = 10:

Далее через полученные точки проведем сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(x_i). Эти плоскости рассекут тело на n других тел. Обозначим объем тела, заключенного между сечениями с площадями S(x_i) и S(x_i₊₁) как V(x_i). Можно приближенно считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров (напомним, что в общем случае цилиндром необязательно считается фигура, основанием которой является круг, основание может иметь и любую другую форму). Высота всех этих цилиндров будет равна величине ∆х. Тогда объем V(x_i) может быть приближенно рассчитан так:

Общий же объем исследуемой фигуры будет суммой объемов этих прямых цилиндров:

Здесь знак ∑ означает сумму i слагаемых, каждое из которых равно величине S(x_i)•∆х. Ясно, что чем больше мы возьмем число n, тем точнее будет полученная нами формула. Поэтому будет увеличивать число n до бесконечности, тогда приближенная формула станет точной:

В правой части стоит предел суммы бесконечного числа слагаемых. Мы уже сталкивались с такими пределами, когда изучали определенный интеграл в курсе алгебры. Так как х₀ = a, а число х_n-1 при бесконечном увеличении n приближается к числу х_n, то есть к b, то можно записать следующее:

Здесь S(x) – это некоторая функция, которая устанавливает зависимость между площадью сечения объемной фигуры и координатой х, указывающей расположение этого сечения. Данная формула позволяет вычислять объем с помощью интеграла.

Итак, для вычисления объема тела необходимо:

1) выбрать в пространстве какую-то удобную ось координат Ох;

2) найти площадь произвольного сечения фигуры, проходящей перпендикулярно оси Ох через некоторую координату х;

3) найти значение чисел а и b – координат сечений, ограничивающих тело в пространстве;

4) выполнить интегрирование.

Понятно, что сразу понять, как используется эта формула, тяжело. Поэтому рассмотрим простой пример.

Задание. Фигура расположена в пространстве между двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ох, причем координаты этих сечений равны 1 и 2. Каждое сечение фигуры с координатой х является квадратом, причем его сторона равна величине 1/х. Найдите объем тела.

Решение. В данной задаче ось Ох уже проведена. Известны и числа а и b – это 1 и 2, ведь именно плоскости, проходящие через точки х =1 и х = 2, ограничивают исследуемое тело. Теперь найдем площадь произвольного сечения с координатой х. Так как оно является квадратом со стороной 1/х, то его площадь будет квадратом этой стороны:

Вычисление объема тел вращения

Телом вращения называют тело, которое может быть получено вращением какой-то плоской фигуры относительно некоторой оси вращения. Например, цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, а усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

В задачах на вычисление объемов таких тел ось координат Ох уже задана естественным образом – это ось вращения тела. Ясно, что каждое сечение тела, перпендикулярное оси вращения, будет являться кругом.

Рассмотрим случай, когда вокруг оси Ох поворачивают график некоторой функции у = f(x), ограниченный прямыми х = а и у = b. Тогда получится тело, сечениями которого являются круги, причем их радиусы будут равны величине f(x). Напомним, что площадь круга вычисляют по формуле:

Рассмотрим, как на практике используется эта формула.

Задание. Объемное тело получено вращением ветви параболы

вокруг оси Ох. Оно ограничено плоскостями х = 0 и х = 4. Каков объем такой фигуры?

Решение. Здесь пределами интегрирования, то есть числами а и b, будут 0 и 4. Используем формулу для тела вращения:

Объем наклонной призмы

Теперь, используя методы интегрирования, мы можем составить формулы для вычисления объема некоторых фигур. Начнем с треугольной наклонной призмы.

Пусть есть треугольная призма АВСА₂В₂С₂. Проведем ось Ох так, чтобы точка О располагалась в плоскости АВС. Пусть Ох пересечет плоскость А₂В₂С₂ в некоторой точке О₂. Тогда отрезок ОО₂ будет высотой призмы, ведь он окажется перпендикулярным к обоим основаниям.

Обозначим длину высоты ОО₂ буквой h. Далее докажем, что всякое сечение А₁В₁С₁ призмы, перпендикулярное оси Ох, будет равно ∆АВС. Действительно, если АВС⊥ОО₂ и А₁В₁С₁⊥ОО₂, то АВС||А₁В₁С₁. Прямые АВ и А₁В₁ принадлежат одной грани АВВ₂А₁, но не пересекаются, ведь они находятся в параллельных плоскостях. Аналогично АС||А₁С₁ и ВС||В₁С₁. Теперь посмотрим на четырехугольник АВВ₁А₁. АВ||A₁В₁ и АА₁||ВВ₁. Тогда АВВ₁А₁ по определению является параллелограммом. Это означает, что отрезки АВ и А₁В₁ одинаковы. Аналогично доказывается, что одинаковы отрезки АС и А₁С₁, а также ВС и В₁С₁. Но тогда одинаковы и ∆АВС и ∆А₁В₁С₁.

Итак, площади всех сечений одинаковы и равны площади основания призмы. Обозначим ее как S. Так как S не зависит от координаты, то интегрирование будет выглядеть так:

Итак, объем треугольной наклонной призмы – это произведение площади ее основания на высоту. Теперь рассмотрим произвольную призму, в чьем основании находится n-угольник. Такой n-угольник можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h и площадями оснований S₁, S₂, S₃, …

Тогда площадь S основания всей призмы будет суммой этих чисел:

Задание. Основание призмы – это треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковое ребро имеет длину 8 и образует с основанием угол в 60°. Вычислите объем призмы.

Решение. Пусть в основании призмы АВСА₁В₁С₁ лежит ∆АВС со сторонами АВ = 12 и АС = ВС = 10. Его площадь можно найти разными способами, но быстрее всего применить формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ∆АВС:

Далее надо найти высоту призмы. Опустим из точки В₁ перпендикуляр В₁О на плоскость АВС. Тогда в прямоугольном ∆ОВВ₁ ∠В = 60° (по условию задачи и по определению угла между плоскостью и прямой). Зная длину бокового ребра ВВ₁, найдем высоту ОВ₁:

Объем пирамиды

Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.

Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.

Далее построим сечение А₁В₁С₁, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ₁. Тогда ОМ₁ – это координата х, характеризующая расположение сечения А₁В₁С₁.

Осталось составить выражение для площади ∆А₁В₁С₁. Так как АВ||A₁B₁, то ∠АВО и ∠А₁В₁О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А₁В₁О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что

Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ₁В₁. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому

Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:

Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S₁, S₂, S₃…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.

Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:

Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.

Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:

Задание. В кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С₁EFC меньше объема куба?

Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:

Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?

Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.

Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.

Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А₁В₁С₁, параллельное основанию.

Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S₂, а площадь верхнего основания – как S₁. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ₁) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А₁В₁С₁ – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ₁. Тогда можно записать:

Далее используем основное свойство пропорции:

Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:

Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.

Сначала вычислим площади оснований:

Объем конуса

Рассмотрим конус с высотой h и радиусом основания R. Совместим начало координат с вершиной конуса и направим ось Ох в сторону основания конуса. Тогда она пересечет основание в какой-то точке М c координатой h. Далее через точку М₁ на оси Ох, имеющей координату х, проведем сечение, перпендикулярное оси Ох. Это сечение будет окружностью.

Также построим образующую ОА, которая будет проходить через сечение в точке А₁. Теперь сравним ∆ОАМ и ∆ОА₁М₁. Они прямоугольные, и у них есть общий угол ∠АОМ. Это значит, что они подобны, и поэтому справедливо отношение:

Полученную формулу можно переписать в другом виде так, чтобы она содержала площадь основания, причем она будет похожа на аналогичную формулу для пирамиды:

Задание. Радиус конуса – 8 см, а его высота составляет 12 см. Определите его объем.

Решение. Здесь надо просто применить выведенную формулу:

Задание. В сосуде, имеющем форму перевернутого конуса, вода доходит до уровня, соответствующего 2/3 высоты сосуда. При этом ее объем составляет 192 мл. Каков объем всего сосуда?

Решение. В задаче фигурируют два конуса. Один из них – это сам сосуд, а второй – его часть, заполненная водой. При выведении формулы объема мы уже выяснили, что радиусы таких конусов пропорциональны их высотам:

Мы уже заметили, что формулы для объема пирамида и конуса идентичны. По сути, конус можно рассматривать как особый случай пирамиды, у которой в основании лежит не многоугольник, а окружность. Аналогично и усеченный конус можно считать особым случаем усеченной пирамиды, а поэтому для расчета его объема можно применять такую же формулу:

Задание. Вычислите объем усеченного конуса с высотой 9 и радиусами оснований 7 и 4.

Решение. Сначала находим площади оснований:

Объем шара

Пришло время разобраться и с таким телом, как шар. Здесь можно использовать тот же метод интегрирования, что и в случае с конусом и пирамидой. Но можно поступить и иначе – использовать выведенную нами для тел вращения формулу

Шар как раз является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг диаметра, на который эта дуга опирается.

Напомним известное нам уравнение окружности, чей центр совпадает с началом координат:

Здесь надо уточнить, что если у получившейся функции впереди записан знак «+», то ее график соответствует полуокружности, находящейся над осью Ох. Если же используется знак «–», то получается уже нижняя полуокружность, расположенная под осью Ох:

В принципе мы можем поворачивать любую из этих полуокружностей вокруг Ох, но мы выберем верхнюю полуокружность. Заметим, что эта дуга начинается в точке х = – R и заканчивается в точке х = R, эти числа будут пределами интегрирования. Тогда объем шара равен:

Задание. Найдите объем шара с радиусом 6.

Решение. Подставляем радиус из условия в формулу:

Задание. В цилиндр вписан шар. Во сколько раз объем цилиндра больше объема такого шара?

Решение. Ясно, что так как шар вписан в цилиндр, то радиусы этих тел одинаковы. Обозначим этот радиус как R. Также ясно, что раз шар касается оснований цилиндра, то расстояние между ними (то есть высота цилиндра) равно двум радиусам шара:

Шаровой сегмент

Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:

Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.

Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:

Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.

Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.

Решение. Используем выведенную формулу:

Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?

Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S₁, S₂, S₃,…S_n. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S₁, S₂, S₃,…S_n – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.

Источник

Вычисление объемов тел с помощью интегралов

Кубируемые тела

В этой лекции рассмотрим вопрос о вычислении объемов тел. Начнем с простейших тел — прямоугольных параллелепипедов.

Выберем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz . Пусть — допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины ребер которого равны a,b,c . Назовем число abc объемом этого параллелепипеда и обозначим его V(A)=abc . Очевидно, что если параллелепипед разделен плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды и , то выполняется равенство

V(A)=V(B)+V(C).

Далее, если параллелепипед получается из параллелепипеда параллельным переносом, то V(A')=V(A) . Наконец, объем куба с длиной ребра 1 равен 1.

Мы хотим распространить понятие объема на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовем ступенчатым любое тело , которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.

Пусть $L=bigcuplimits_{i=1}^{n}F_i$ — разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что $V(L)=sum_{i=1}^{n}V(F_i).$ . Это определение не зависит от того, каким способом тело разложено на параллелепипеды.

Возьмем теперь любое тело . Обозначим через X_T числовое множество, состоящее из объемов ступенчатых тел, целиком содержащихся в , а через Y_T — множество объемов ступенчатых тел, содержащих

$X_T= bigl{V_{text{in}}bigr}$ (внутренние ступенчатые тела),

$Y_T= bigl{V_{text{out}}bigr}$ (внешние ступенчатые тела),

Тогда числовое множество X_T лежит левее числового множества Y_T . В самом деле, если xin X_T и yin Y_T , то x=V(L_1), y=V(L_2) , где L_1subset Tsubset L_2 . Так как ступенчатое тело L_1 — часть ступенчатого тела L_2 , то V(L_1)leqslant V(L_2) , а это и значит, что xleqslant y .

Поскольку X_T лежит левее Y_T , то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если X_T и Y_T разделяются лишь одним числом, то тело называют кубируемым, а число, разделяющее множества X_T и Y_T , — объемом этого тела. Его обозначают V(T) .

Итак, объемом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество объемов ступенчатых тел, содержащихся в , и множество объемов ступенчатых тел, содержащих .

Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получаем следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:

Для того чтобы тело было аудируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого varepsilon>0 нашлись ступенчатые тела L_1 и L_2 такие, что L_1subset Tsubset L_2 и V(L_2)-V(L_1)< varepsilon .

Объем тел обладает свойством аддитивности: Если T_1 и T_2 — кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение T=T_1cup T_2 также кубируемо, причем выполняется равенство

V(T)=V(T_1)+V(T_2).

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела называется всякая точка, которая принадлежит телу вместе с некоторой своей окрестностью (т. е. открытым шаром с центром в данной точке).

Далее очевидно, что если тело кубируемо, а тело T_1 получается из параллельным переносом, то тело T_1 также кубируемо, причем V(T_1)=V(T) . Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело T_1 конгруэнтно кубируемому телу , то T_1 кубируемо и V(T_1)=V(T') .

Понятие объема можно определить и аксиоматически теми же требованиями 1°—4°, что и площадь. Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек (окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условие нормировки.

Мы будем использовать в дальнейшем следующее достаточное условие кубируемости тела: Если для любого varepsilon найдутся такие кубируемые тела T_1 и T_2 , что T_1subset Tsubset T_2 , причем V(T_2)-V(T_1)< varepsilon , то тело кубируемо.

Объем прямого цилиндрического тела

Пусть — плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей ее плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело , которое называется прямым цилиндрическим телом с основанием и высотой . Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру $F^{ast}$ конгруэнтную основанию и параллельную ему.

В случае, когда — прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же — ступенчатая фигура, то — ступенчатое тело, причем оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объем этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры на высоту тела:

V(L)=S(F)cdot h,.

(1)

Докажем, что формула (1) остается справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Если плоская фигура квадрируема, то прямое цилиндрическое тело с основанием кубируемо, причем его объем равен произведению площади фигуры на высоту тела:

V(L)=S(A)cdot h,.

Доказательство. Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры является координатной плоскостью Oxy . Так как по условию фигура квадрируема, то для любого varepsilon>0 найдутся ступенчатые фигуры F_1 и F_2 такие, что F_1subset Asubset F_2 , причем $S(F_2)-S(F_1)< frac{varepsilon}{h}$ .

Построим ступенчатые тела L_1 и L_2 с высотой и основаниями F_1 и F_2 . Тогда имеем: L_1subset Lsubset L_2 . При этом

$V(L_2)-V(L_1)= S(F_2)h-S(F_1)h= hbigl[S(F_2)-S(F_1)bigr]< hcdot frac{varepsilon}{h}= varepsilon,.$

Таким образом, для любого varepsilon>0 найдутся ступенчатые тела L_1 и L_2 такие, что

L_1subset Lsubset L_2,qquad V(L_2)-V(L_1)<varepsilon,.

Поэтому тело кубируемо. При этом, как мы видели, S(F_1)h<V(L)<S(F_2)h .

С другой стороны, из неравенств S(F_1)<S(A)<S(F_2) вытекает, что

S(F_1)cdot h<S(A)cdot h<S(F_2)cdot h,.

Мы видим, что числа V(L) и S(A)h разделяют одни и те же множества, а именно $bigl{S(F_1)hbigr}$ и $bigl{S(F_2)hbigr}$ , где, напомним, F_1 — ступенчатые фигуры, содержащиеся в , a F_2 — ступенчатые фигуры, содержащие . Но эти два множества, в силу квадрируемости , разделяются лишь одним числом. Поэтому V(L)=S(A)h . Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур .

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

В этом пункте мы выведем основную формулу, позволяющую выразить объем тела через площади сечений этого тела, параллельных некоторой плоскости.

Определение. Тело назовем регулярным, если существует такая плоскость , что:

а) тело лежит по одну сторону от этой плоскости;

б) все сечения тела плоскостями, параллельными плоскости , квадрируемы;

в) площадь S(x) сечения Q(x) , параллельного плоскости и отстоящего от нее на расстояние , является непрерывной функцией от ;

г) если S(x_1)leqslant S(x_2) , то проекция сечения Q(x_2) на плоскость содержит проекцию сечения Q(x_2) на ту же плоскость.

Теорема 2. Если тело регулярно, то оно кубируемо, причем его объем выражается формулой

$V(T)= intlimits_{a}^{b} S(x),dx,.$

(2)

Здесь S(x) — площадь сечения тела плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от нее на расстояние , нижний предел — наименьшее из расстояний точек тела от плоскости , верхний предел — наибольшее из этих расстояний (см. рис. 42, где a=0 ).

Площадь сечения тела T плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстоянии

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка [a;b]: a=x_0<x_1< ldots< x_n=b и на расстояниях x_0,x_1,ldots,x_n проведем плоскости, параллельные плоскости . Данное тело этими плоскостями разобьется на частичные “ломтики” $T_0,T_1,ldots,T_{n-1}$ .

Рассмотрим k-й частичный “ломтик”. Его высота равна $Delta x_k=x_{k+1}-x_{k}$ . Так как функция y=S(x) непрерывна на отрезке $[x_k;x_{k+1}]$ , то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение площади сечения для этого «ломтика» обозначим s_k , а наибольшее S_k . Построим два прямых цилиндрических тела с основаниями s_k и S_k . В силу условия г) регулярности тела цилиндрическое тело с основанием s_k лежит внутри частичного “ломтика”, а цилиндрическое тело с основанием S_k целиком его содержит. Объем V_k внутреннего цилиндрического тела будет V_k=s_kDelta x_k . Объем V_k внешнего цилиндрического тела будет .

Объединяя все внутренние и все внешние цилиндрические тела, получим два тела L_1 и L_2 такие, что L_1subset Tsubset L_2 . Объем тела L_1 равен:

$sum_{k=0}^{n-1} s_kDelta x_k$ , а объем тела L_2 равен $sum_{k=0}^{n-1} S_kDelta x_k$ .

Но $sum_{k=0}^{n-1} s_kDelta x_k$ и $sum_{k=0}^{n-1} S_kDelta x_k$ являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла $intlimits_{a}^{b} S(x),dx$ . Поэтому для любого varepsilon>0 найдется такое разбиение отрезка [a;b] , что

$sum_{k=0}^{n-1} S_kDelta x_k- sum_{k=0}^{n-1} s_kDelta x_k< varepsilon$ , то есть V(L_2)-V(L_1)<varepsilon .

Отсюда следует, что тело кубируемо. При этом объем тела V(T) удовлетворяет неравенствам

$sum_{k=0}^{n-1} s_kDelta x_kleqslant V(T)leqslant sum_{k=0}^{n-1} S_kDelta x_k$ . Но, с другой стороны, $sum_{k=0}^{n-1} s_kDelta x_kleqslant intlimits_{a}^{b} S(x),dx leqslant sum_{k=0}^{n-1} S_kDelta x_k,.$ .

Значит, числа V(T) и $intlimits_{a}^{b} S(x),dx$ разделяют одни и те же числовые множества $Biggl{,sum_{k=0}^{n-1} s_kDelta x_k,Biggr},~ Biggl{,sum_{k=0}^{n-1} S_kDelta x_k,Biggr}$ . Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то

$V(T)=intlimits_{a}^{b} S(x),dx,$ , что и требовалось доказать.

Пример 1. Вычислить объем пирамиды, площадь основания которой равна , а высота (рис. 43).

Вычисление объема пирамиды, площадь основания которой равна S, а высота H

Решение. Так как $frac{S(x)}{S}=frac{x^2}{H^2}$ , то $S(x)=frac{S}{H^2},x^2$ . Следовательно,

$V= intlimits_{0}^{H} frac{S}{H^2},x^2,dx= left.{frac{S}{H^2}cdot frac{x^3}{3}}right|_{0}^{H}= frac{S}{H^2}cdot frac{H^3}{3}= frac{1}{3},SH.$

Пример 2. Вычислить объем шарового слоя, отсеченного от шара x^2+y^2+z^2=9 плоскостями x=1 и x=2 .

Решение. Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке ху пересекает шар по кругу радиуса $r=sqrt{9-x^2}$ . Площадь сечения S(x)=pi r^2=pi(9-x^2) и, следовательно,

$V= piintlimits_{1}^{2} (9-x^2),dx= left.{pi! left(9x-frac{x^3}{3}right)}right|_{1}^{2}= frac{20}{3},pi,.$

Принцип Кавальери

Из формулы (2) пункта 3 вытекает следующее утверждение, называемое принципом Кавальери.

Два кубируемых тела T_1 и T_2 (рис. 44), ограниченные параллельными плоскостями, имеют равные объемы, если плоские сечения, параллельные указанным плоскостям и проведенные на одинаковых расстояниях от оснований, имеют равные площади.

Два кубируемых тела, ограниченные параллельными плоскостям

Доказательство. Обозначим через V_1 объем тела T_1 , а через V_2 — объем тела T_2 . Так как тела T_1 и T_2 кубируемы, то

$V_1=intlimits_{a}^{b}S_1(x),dx,,qquad V_2=intlimits_{a}^{b}S_2(x),dx,.$

По условию S_1(x)=S_2(x) , значит, и V_1=V_2 .

Пример 3. Покажем, что объем полушара радиуса равен разности объемов цилиндра, радиус основания и высота которого равны , и конуса с радиусом основания (рис. 45).

Объём полушара радиуса R и конуса с радиусом основания R

Рассмотрим полушар. Обозначим через S_1(x) площадь сечения, параллельного плоскости основания полушара, отстоящего от него на расстоянии . Учитывая, что r^2=R^2-x^2 , найдем

S_1(x)=pi r^2=pi (R^2-x^2),.

Обозначим через S_2(x) площадь сечения тела (цилиндр без конуса) плоскостью, параллельной основанию цилиндра и отстоящей от него на расстоянии

S_2(x)=pi R^2-pirho^2= pi(R^2-rho^2).

Из подобия треугольников OAB и OCD имеем: $frac{|AB|}{|CD|}= frac{|AO|}{CO|}$ или $frac{R}{rho}= frac{R}{x}$ , откуда rho=x . Следовательно, S_2(x)=pi(R^2-x^2) , а потому S_1(x)=S_2(x) и согласно принципу Кавальери объемы рассматриваемых тел равны.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Дополнения

1.О применении определённого интеграла для нахождения объёмов тел вращения

1.1.Формула объёма тела вращения

В п.16.2 дано определение тела вращения.

Получим формулу для вычисления объёма тела вращения, применяя интеграл, о котором вам рассказали в курсе «Алгебры и начал математического анализа».

Пусть f(x) — непрерывная на отрезке [a; b] функция, не принимающая отрицательных значений; А, В — точки графика этой функции (рис. 225).

Рис. 225

Рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную кривой графика функции y = f(x), отрезками aA, bB и отрезком [a; b] координатной оси Ох (см. рис. 225). При вращении этой трапеции вокруг оси Ох образуется тело вращения (рис. 226), которое обозначим Ф и поставим себе задачу: найти объём этого тела.

Рис. 226

Через произвольную точку х = с (a ⩽ с ⩽ b) отрезка [a; b] проведём плоскость, перпендикулярную оси Ox. Сечением тела Ф этой плоскостью является круг, радиус которого равен f(с), а площадь — πf2(с) (или точка (c; 0)).

Объём части тела Ф, заключённой между этой плоскостью и плоскостью х = a, изменяется при изменении x. Обозначим этот переменный объём V(х). Заметим, что V(x) = V(a) = 0 при х = a; при х = b имеем V(x) = V(b) = V — искомый объём тела вращения Ф.

Покажем, что функция V(x) имеет производную V′(х) и V′(х) = πf2(х).

Придадим абсциссе х приращение ∆х > 0, тогда объём V(х) получает приращение ∆V(х) = V(x + ∆x) – V(x). Пусть m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(х) на промежутке [х; х + ∆х]. Цилиндр, радиус основания которого равен m, содержится в теле вращения объёма ∆V(x), а цилиндр, радиус основания которого равен M, содержит тело объёма ∆V(х); образующие цилиндров параллельны оси Ох и имеют длину, равную ∆х. Объёмы этих цилиндров равны соответственно πm2•∆x и πM2•∆х. На основании свойства 2 объёмов (п. 10.1) получаем

πm2•∆x ⩽ ∆V(x) ⩽ πM2•∆x,

откуда

πm2 ⩽ ⩽ πM2.

Рассуждения для случая ∆х < 0 проводятся аналогично и дают тот же результат.

Пусть теперь ∆х 0. Имеем m = M = f(x), тогда

πm2 ⩽ ⩽ πM2

или

πf2(х) ⩽ ⩽ πf2(x).

Значит, = πf2(х). По определению производной функции = V′(x). Поэтому V ′(x) = πf2(х), следовательно, V(х) — первообразная для πf2(х).

Таким образом, переменный объём V(x) телa вращения представляет собой одну из первообразных для функции πf 2(х) на отрезке [a; b]. Эта первообразная обладает тем свойством, что при х = a она обращается в нуль (V(a) = 0), а при х = b значение функции V(x) равно объёму тела вращения Ф (V(b) = V).

Если F(х) — также некоторая первообразная для функции πf 2(x), то V(x) = F(x) + С, где С — произвольная постоянная. Так как V (a) = 0, то из равенства V(a) = F (a) + C = 0 находим С = –F(a). Значит, V(x) = F(x) – F(a). Toгдa V(b) = F(b) – F(a). Ho V(b) = V — искомый объём тела вращения Ф. Таким образом, V = F(b) – F(a), где F(b) и F(a) — значения первообразной для функции πf 2(х) соответственно при х = b и х = a. Это означает, что

V = f 2(x)dx = π(x)dx.

Вот почему объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = f(x), х = a, х = b, у = 0, вычисляется по формуле

Рис. 227

V = (x)dx.(*)

ЗАДАЧА. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = , х = 0, x = 2 и y = 0 (рис. 227).

Решение. Воспользуемся формулой V = π(x)dx, для чего из уравнения у = находим y2 = 2х. Тогда получаем

V = πdx = 2π• = = 4π.

Ответ: 4π.

1.2. Объёмы конуса, шара и его частей

Используя формулу V = (x)dx вычисления объёма тела вращения, получим формулы для вычисления объёма каждого изученного ранее тела вращения.

а) Объём конуса и усечённого конуса

Теорема 1 (об объёме полного конуса). Объём V конуса с высотой Н и радиусом основания R равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = R2Н.

Рис. 228

Доказательство. Конус с высотой Н и радиусом основания R можно рассматривать как тело, образованное вращением вокруг оси Ox прямоугольного треугольника с вершинами О(0; 0), А(Н; 0) и B(Н; R) (рис. 228). Треугольник АОВ является частным случаем криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции у = х (0 ⩽ х ⩽ H), осью Ох и отрезком прямой х = Н. Поэтому, используя формулу (*) п. 1.1 «Дополнений» для объёма V конуса, получаем:

V = dx = π • = πR2H,

где πR2 — площадь основания конуса. Теорема доказана. ▼

Теорема 2 (об объёме усечённого конуса). Объём усечённого конуса с высотой Н и радиусами оснований r и R равен сумме объёмов трёх конусов с высотой Н, радиусы оснований которых соответственно равны r, R и :

V = (r2 + R2 + rR)H.

Доказательство. Усечённый конус с высотой H и радиусами оснований r и R можно получить, вращая вокруг оси Oх прямоугольную трапецию OABC, где O(0; 0), A(0; r), В(Н; R), С(H; 0) (рис. 229).

Рис. 229

Прямая AВ проходит через точки (0; r) и (Н; R), поэтому её уравнение имеет вид у = х + r. Следовательно, трапеция ОАВС ограничена графиком функции y = х + r (0 ⩽ х ⩽ Н), осью Oх и отрезками прямых х = 0 и х = Н. Поэтому, используя формулу (*) из п. 1.1 для объёма V усечённого конуса, получаем:

V = dx.(1)

Для вычисления интеграла сделаем замену переменных

x + r = t.(2)

Тогда dx = dt, откуда dx = dt. Новые пределы интегрирования (по переменной t) найдём посредством подстановки формулы (2): х = 0 ⇒ t = r; х = Н ⇒ t = R. Таким образом, для объёма V усечённого конуса получаем:

что и требовалось доказать. ▼

б) Объём шарового слоя

В прямоугольной декартовой системе координат Оху рассмотрим криволинейную трапецию aABb, ограниченную дугой окружности х2 + у2 = R2, –R ⩽ a ⩽ х ⩽ b ⩽ R, отрезком [a; b] оси Ох и отрезками aА и bВ прямых соответственно x = a и х = b (рис. 230, а).

Рис. 230

При вращении криволинейной трапеции aАВb вокруг оси Ох образуется шаровой слой (рис. 230, б). Найдём его объём, применяя формулу (*) п. 1.1.

Из уравнения х2 + у2 = R2 имеем у2 = R2 – x2. Поэтому для вычисления объёма V шарового слоя получаем:

Таким образом, объём шарового слоя, отсекаемого от шара x2 + y2 + z2 ⩽ R2 радиуса R плоскостями x = a и x = b, вычисляется пo формуле

V = (**)

Пусть радиусы оснований шарового слоя равны r1 и r2 (r1 > r2), а высота — H (см. рис. 230, a).

Тогда Н = b – a, = R2 – a2, = R2 – b2.

Формулу (**) преобразуем к виду:

V = (3R2 – (b2 + ab + a2)) =

= ((R2 – b2) + (R2 – ab) + (R2 – a2)).

Из системы равенств (b – a)2 = H2, R2 – a2 = , R2 – b2 = после почленного сложения их левых и правых частей находим:

R2 – ab = .

Тогда:

V = ((R2 – b2) + (R2 – ab) + (R2 – a2)) =

= .

Таким образом, объём шарового слоя с радиусами оснований r1 и r2 и высотой Н вычисляется по формуле

V = .(***)

в) Объём шара

Рис. 231

При вращении полукруга х2 + у2 = R2 (расположенного в плоскости Оху, рис. 231, а) вокруг оси Ох образуется шар радиуса R (рис. 231, б). Из уравнения окружности х2 + y2 = R2 данного полукруга имеем у2 = R2 – х2. Тогда, полагая a = –R, b = R в формуле (*) п. 1.1, находим объём V шара радиуса R:

Vш = =

= .

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 3 (об объёме шара). Объём шара радиуса R вычисляется по формуле

Vш = .

г) Объём шарового сегмента

Если b = R (см. п. 1.2, б), то получаем криволинейную трапецию aAB (рис. 232, а), при вращении которой вокруг оси Ох образуется шаровой сегмент (рис. 232, б).

Рис. 232

Пусть высота шарового сегмента равна Н, тогда a = R – Н. Так как дуга AВ криволинейной трапеции aАВ является частью окружности x2 + y2 = R2 (в плоскости Оxу), то формулу объёма шарового сегмента получим по аналогии с выводом формулы для вычисления объёма шара, учитывая при этом, что пределы a и b интегрирования равны: a = R – H, b = R, т. е.

Vш. сегм = =

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 4 (об объёме шарового сегмента). Объём шарового сегмента, отсекаемого от шара радиуса R и имеющего высоту Н, вычисляется по формуле

Vш. сегм =

Если в формуле (***) п. 1.2, б положить r2 = 0, r1 = r, то получим формулу для вычисления объёма шарового сегмента с радиусом основания r и высотой Н:

Vш. сегм = (3r2 + H2).

д) Объём шарового сектора

Рис. 233

Шаровой сектор состоит из конуса с вершиной в центре шара и шарового сегмента, имеющего с конусом общее основание (риc. 233). Пусть R = ОА — радиус шара; АС = r — радиус основания шарового сегмента, NC = H — его высота; N — точка сферы (рис. 233).

Найдём объёмы конуса и шарового сегмента, учитывая, что высота h конуса равна OC = ON – CN = R – Н.

Объём Vк конуса равен

π•АС2•ОС = πr2 (R – Н).

Выразим r2 через R и H.

B прямоугольном треугольнике AOC находим r2 = AC2 = ОА2 – OC2 = R2 – (R – H)2 = H(2R – H).

Значит,

Vк = πH(2R – H)(R – H) = (2R2 – 3RH + H2).

Для объёма шарового сегмента имеем:

Vш. сегм = (3AC2 + NC2) = (3H(2R – H) + H2) =

= (3RН – H2).

Тогда для объёма шарового сектора получаем

Vш. сект = Vк + Vш. сегм =

= (2R2 – 3RH + H2) + (3RH – H2) = πR2H.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5 (об объёме шарового сектора). Объём шарового сектора шара радиуса R вычисляется по формуле

Vш. сект = R2H,

где Н — длина высоты шарового сегмента, соответствующего данному шаровому сектору.

В курсе математического анализа, который вам предстоит изучать в высшей школе, будет дано строгое обоснование применения определённого интеграла не только для нахождения объёмов тел, но и для нахождения площадей поверхностей и длин дуг линий. Решите самостоятельно следующие задачи.

1)Найдите объём тела, которое получается при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой у = , прямыми х = 3, х = 12 и осью абсцисс. (Ответ: 4π.)

2)Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Oх фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin x и отрезком 0 ⩽ х ⩽ π оси абсцисс. (Ответ: 0,5π2.)

3)Найдите объём тела, полученного при вращении кривой у = 0,25х2 вокруг оси Оу в пределах от у = 1 до у = 5. (Ответ: 48π.)

4)Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми у = 2х2 и у = x3.

Источник

Прежде чем мы перейдём к нашей теме, давайте
ненадолго вернёмся в алгебру и вспомним формулу Ньютона-Лейбница, которая
позволяет нам вычислить определённый интеграл, повторим основные свойства
интеграла.

Если функция непрерывна
на отрезке ,
то справедлива формула:

–
первообразная для .

−
геометрический смысл определённого интеграла.

Изучая алгебру, мы говорили, что с помощью определённого
интеграла можно вычислять площадь плоских фигур.

Сегодня на уроке мы попробуем применить определённый
интеграл к вычислению объёмов тел.

Заключим тело ,
объём которого нужно найти между двумя параллельными плоскостями и
.

Введём систему координат так, чтобы ось ,
абсциссы точек пересечения оси с
плоскостями и
обозначим
буквами и
.
Пусть .

Пересечём наше тело произвольной плоскостью,
перпендикулярной к оси .
Фигура –
полученная в сечении тела плоскостью является либо кругом либо многоугольником
для любого из
отрезка .
В граничных точках сечение может вырождаться в точку, как, например, в нашем
случае при .

Обозначим площадь фигуры за
.
Предположим, что –
это непрерывная функция на числовом отрезке .

Разобьём числовой отрезок на
равных
отрезков.

Длина каждого отрезка равна .

Через точки с абсциссами проведём
плоскости, перпендикулярные к оси .
Тогда наше тело разобьётся
на тел
,
,
…, .

Высота каждого из этих тел равна .

Если фигура –
круг, то объём тела приближённо
равен объёму цилиндра, с основанием и
высотой .

Если же в сечении – многоугольник, то объём тела приближённо
равен объёму прямой призмы с основанием и
высотой .

Каждый из этих объёмов равен произведению площади
основания на высоту .
Тогда объём всего тела равен сумме этих объёмов .
Чем больше ,
тем точнее приближённое значение объёма всего тела и меньше .

Без доказательства примем, что объём тела равен
.

С другой стороны, сумма является
интегральной суммой для непрерывной функции на
числовом отрезке ,
поэтому можно записать, что предел .

Тогда получим, что объем тела равен
.

Эта формула называется основной формулой для
вычисления объёмов тел.

Давайте теперь попробуем найти с помощью определённого
интеграла объёмы пространственных тел.

Начнём с прямоугольного параллелепипеда, высота
которого равна ,
а площадь основания – .

Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда не
изменяется в любой точке отрезка от до
и
равна площади основания. Тогда получим, что объём прямоугольного
параллелепипеда равен .
Вынесем за
знак интеграла и получим, что объём прямоугольного параллелепипеда равен .

Теперь попробуем с помощью интеграла вычислить объём
прямой призмы.

Пусть дана прямая -угольная
призма с площадью основания и
высотой .

Как и в случае прямоугольного параллелепипеда,
площадь сечения прямой призмы не изменяется в любой точке отрезка от до
и
равна площади основания. Тогда получим, что объём прямой призмы равен .
Вынесем за
знак интеграла и получим, что объём прямой призмы равен .

Теперь рассмотрим цилиндр с высотой и
площадью основания .

Как и в случае прямоугольного параллелепипеда и
прямой призмы, площадь сечения цилиндра не изменяется в любой точке отрезка от до
и
равна площади основания. Тогда получим, что объём цилиндра равен .
Вынесем за
знак интеграла и получим, что объём цилиндра равен .

Решим несколько задач.

Задача:
сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси и
проходящей через точку с абсциссой ,
является квадратом, сторона которого равна .
Найти объем этого тела.

Решение:
воспользуемся только что доказанной формулой.

По рисунку видно, что пределами интегрирования будут
числа .
Поскольку сечение плоскости – квадрат, значит, площадь сечения равна .

Тогда получим, что объём этой фигуры равен .

Задача:
найти объём тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси .

Решение:
очевидно, что границами интегрирования будут числа .

В сечении полученного тела плоскостью,
перпендикулярной оси будет
круг, радиус которого равен ординате точки с абсциссой ,
то есть радиусом этого круга будет .

Площадь такого круга равна .
Поскольку принимает
только неотрицательные значения, то можно записать, что площадь сечения равна .

Вычислим объём полученного тела как .
Применив формулу Ньютона-Лейбница, получим, что объём данного тела равен .

Задача:
найти объём тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси .

Решение:
давайте внимательно посмотрим на получившееся тело.

Его можно получить из цилиндра, который получится
при вращении прямоугольника вокруг своей стороны. Для этого надо из данного
цилиндра «вынуть» фигуру, которую мы получили в предыдущей задаче.

Объём такой фигуры будет равен разности объёмов .

Радиусом основания цилиндра будет ордината точки с
абсциссой равной 1. То есть радиус основания цилиндра равен .
Высота цилиндра тоже равна .
Тогда получим, что объём цилиндра равен .

Тогда объём искомой фигуры равен .

Итоги:

Сегодня на уроке мы показали, что объём
геометрического тела можно найти с помощью определённого интеграла. Определили
объёмы известных нам тел через интегралы. Рассмотрели несколько задач.

Источник

Определение
3. Тело
вращения – это тело, полученное вращением
плоской фигуры вокруг оси, не
пересекающей фигуру и лежащей с ней в
одной плоскости.

Ось вращения может
и пересекать фигуру, если это ось
симметрии фигуры.

Теорема
2. Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осьюи отрезками прямыхивращается вокруг оси.
Тогда объём получающегося тела вращения
можно вычислить по формуле

(2)

Доказательство.
Для такого тела сечение с абсциссой
– это круг радиуса,
значити формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура
ограничена графиками двух непрерывных
функций
и,
и отрезками прямыхи,
причёми,
то при вращении вокруг оси абсцисс
получим тело, объём которого

Пример
3. Вычислить
объём тора, полученного вращением круга,
ограниченного окружностью вокруг оси абсцисс.

Решение.
Указанный круг снизу ограничен графиком
функции
,
а сверху –.
Разность квадратов этих функций:

Искомый объём

(графиком
подынтегральной функции является
верхняя полуокружность, поэтому
написанный выше интеграл – это площадь
полукруга).

Пример 4.
Параболический сегмент с основанием
,
и высотой,
вращается вокруг основания. Вычислить
объём получающегося тела («лимон»
Кавальери).

Решение.
Параболу расположим как показано на
рисунке. Тогда её уравнение
,
причем.
Найдём значение параметра:.
Итак, искомый объём:

Теорема
3. Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осьюи отрезками прямыхи,
причём,
вращается вокруг оси.
Тогда объём получающегося тела вращения
может быть найден по формуле

(3)

Идея
доказательства.
Разбиваем отрезок
точками,
на части и проводим прямые.
Вся трапеция разложится на полоски,
которые можно считать приближенно
прямоугольниками с основаниеми высотой.

Получающийся при
вращении такого прямоугольника цилиндр
разрежем по образующей и развернём.
Получим «почти» параллелепипед с
размерами:
,и.
Его объём.
Итак, для объёма тела вращения будем
иметь приближенноё равенство

Для получения
точного равенства надо перейти к пределу
при .
Написанная выше сумма есть интегральная
сумма для функции ,
следовательно, в пределе получим интеграл
из формулы (3). Теорема доказана.

Замечание
1. В теоремах
2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще
нечувствительна к знаку,
а в формуле (3) достаточнозаменить на.

Пример
5.
Параболический сегмент (основание
,
высота)
вращается вокруг высоты. Найти объём
получающегося тела.

Решение.
Расположим
параболу как показано на рисунке. И хотя
ось вращения пересекает фигуру, она –
ось – является осью симметрии. Поэтому
надо рассматривать лишь правую половину
сегмента. Уравнение параболы
,
причем,
значит.
Имеем для объёма:

Замечание
2. Если
криволинейная граница криволинейной
трапеции задана параметрическими
уравнениями
,,и,то можно использовать формулы (2) и (3) с
заменойнаинапри измененииt
от
до.

Пример
6. Фигура
ограничена первой аркой циклоиды
,,,
и осью абсцисс. Найти объём тела,
полученного вращением этой фигуры
вокруг: 1) оси;
2) оси.

Решение.
1) Общая формула
В нашем случае:

2) Общая формула
Для нашей фигуры:

Предлагаем
студентам самостоятельно провести все
вычисления.

Замечание
3. Пусть
криволинейный сектор, ограниченный
непре-рывной линией
и лучами,,
вращается вокруг полярной оси. Объём
получающегося тела можно вычислить по
формуле.

Пример
7. Часть
фигуры, ограниченной кардиоидой
,
лежащая вне окружности,
вращается вокруг полярной оси. Найти
объём тела, которое при этом получается.

Решение.
Обе линии, а значит и фигура, которую
они ограничивают, симметричны относительно
полярной оси. Поэтому необходимо
рассматривать лишь ту часть, для которой