Как найти объем конуса через осевое сечение

Условие

Решение

Написать комментарий

Напомним,
что конус – это тело, полученное при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.

Назовём
элементы конуса.

Осью
конуса называется прямая вращения.

Основание конуса
– круг радиуса ,
который равен катету треугольника вращения.

Радиус
конуса  –
это радиус его основания.

Вершина
конуса – неподвижная вершина треугольника вращения.

Образующая
конуса  –
отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания. Все
образующие конуса равны между собой.

Высота конуса
 –
перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. Высота
конуса совпадает с неподвижным катетом треугольника вращения.

В
конусе радиус основания ,
высота  и
образующая  связаны
следующим соотношением:

.

Сечение
конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой
равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими
конуса.

Осевым
сечением конуса называется сечение конуса плоскостью,
проходящей через его ось.

Осевое
сечение конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны
которого – образующие, а основание – диаметр основания конуса.

Боковую
поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра,
можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёрткой
боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Обратите
внимание, радиус сектора равен образующей  конуса,
а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Площадь
боковой поверхности конуса можно вычислить по следующим
формулам:

,
,
,

где
 –
длина окружности основания,  –
радиус основания,  –
образующая.

Площадь
полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности конуса и
площади его основания.

Тогда
площадь полной поверхности конуса можно вычислить по формуле^

 ,

где
 –
радиус основания конуса,  –
его образующая.

Объём конуса
равен одной третьей произведения площади основания на высоту.

Тогда
его можно вычислить по формуле:

,

где
 –
радиус основания конуса,  –
его высота.

Плоскость,
параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую
поверхность – по окружности с центром на оси конуса. Эта плоскость разбивает
конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а вторая
(нижняя) называется усечённым конусом.

Усечённым
конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием
и сечением, параллельным плоскости основания. Усечённый конус имеет ось,
высоту ,
радиусы оснований  и
,
образующую .
Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция.

Площадь
боковой поверхности усечённого конуса и объём усечённого конуса равен разности
площадей боковых поверхностей и объёмов полного конуса и отсечённого.

,

Площадь
боковой поверхности усечённого конуса можно найти по следующим
формулам:

  ,
 

Объём
усечённого конуса можно вычислить по следующим формулам:

 ,

где
 и
 –
площади оснований,  –
высота усечённого конуса;

или
,

где
 –
высота усечённого конуса,  и
 –
радиусы верхнего и нижнего оснований.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.

Задача
первая. Радиус основания конуса равен  см,
высота конуса равна  см.
Найдите площадь боковой поверхности и объём конуса.

Решение.

Задача
вторая. В конус вписана правильная треугольная пирамида с
площадью основания  см²
и углом наклона бокового ребра к основанию, равным .
Найдите объём и площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Задача
третья. В равносторонний конус с радиусом основания, равным см,
вписан прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат, с
высотой  см
так, что одно его основание принадлежит основанию конуса, а вершины другого
основания принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите объём
параллелепипеда. В ответе запишите значение .

Решение.

Задача
четвёртая. Длины радиусов оснований и образующей усечённого
конуса равны соответственно  см,
 см
и  см.
Вычислите его высоту.

Решение.

Определение конуса

Конус – это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Онлайн-калькулятор объема конуса

Общее определение конуса

Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.

Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.

Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.

Формула объема прямого конуса

Объем прямого конуса можно рассчитать по следующей формуле:

V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h

где SоснS_{text{осн}} – площадь основания конуса;
hh – высота конуса.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найдите объем конуса, если его образующая ll равна 5см5text {см}, а радиус основания RR, которым является круг, равен 3 см3text{ см}.

Решение

l=5l=5
R=3R=3

Сперва найдем высоту конуса hh. Включим его в прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая. По теореме Пифагора:

l2=h2+R2l^2=h^2+R^2

Отсюда, hh:

h=l2−R2h=sqrt{l^2-R^2}

h=52−32h=sqrt{5^2-3^2}

h=25−9h=sqrt{25-9}

h=16h=sqrt{16}

h=4h=4

Затем находим площадь основания конуса. Это площадь круга радиуса RR:

Sосн=π⋅R2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot3^2approx28.26

Последние вычисления — нахождение объема конуса по формуле:

V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅28.26⋅4≈37.68 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 28.26cdot 4approx37.68text{ см}^3

Ответ: 37.68 см3.37.68text{ см}^3.

Задача 2

Известен диаметр круга DD лежащего в основании конуса, равен он 8 см8text{ см}. Высота конуса равна 9 см9text{ см}. Найдите его объем.

Решение

D=8D=8
h=9h=9

Найдем радиус RR круга через его диаметр:

R=12⋅D=82=4R=frac{1}{2}cdot D=frac{8}{2}=4

Площадь этого круга и есть основание нашего конуса:

Sосн=π⋅R2=π⋅42≈50.24S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot4^2approx50.24

Сам объем равен:

V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅50.24⋅9≈150.72 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 50.24cdot 9approx150.72text{ см}^3

Ответ: 150.72 см3.150.72text{ см}^3.

Вам нужно решить задачу по алгебре? Наши эксперты помогут вам!

Тест на тему “Объем конуса”