Объём конуса
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Объём конуса
Для того чтобы посчитать объём конуса, просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Через площадь основания и высоту
Площадь основания Sосн =
Высота h =
V =
0
Округление ответа:
Через радиус и другие параметры
=
=
V =
0
Округление числа π: Округление ответа:
Просто введите данные, и получите ответ.
Теория
Объём конуса через площадь основания и высоту
Чему равен объём конуса V, если площадь его основания Sосн, а высота h:
Формула
V = ⅓ ⋅ Sосн ⋅ h
Пример
Для примера посчитаем, чему равен объём конуса, у которого площадь основания Sосн = 3 см², а высота h = 5 см :
V = ⅓ ⋅ 3 ⋅ 5 = 15⁄3 = 5 см³
Объём конуса через образующую и радиус
Чему равен объём конуса V, если его образующая l, радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r² ⋅ √l² – r²
через диаметр:
V = ⅓ ⋅ π ⋅ (d/2)² ⋅ √l² – (d/2)²
Пример
Для примера посчитаем, чему равен объём конуса, у которого образующая l = 5 см, а радиус основания r = 2 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2² ⋅ √5² – 2² = ⅓ ⋅ 12.56 ⋅ √21 ≈ 4.19 ⋅ 4.58 ≈ 19.19 см³
Объём конуса через радиус и высоту
Чему равен объём конуса V, если радиус его основания r, а высота h?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r² ⋅ h
через диаметр:
V = ⅓ ⋅ π ⋅ (d/2)² ⋅ h
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, у которого высота h = 6 см, а радиус основания r = 3 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 3² ⋅ 6 = 169.56/3 = 56.52 см³
Объём конуса через угол раствора (α) и радиус
Чему равен объём конуса V, если угол раствора α, а радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³/tg (α/2)
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол раствора α = 30° и радиус основания r = 2 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2³/tg(30/2) ≈ 1,0467 ⋅ 8 / 0.2679 ≈ 31.25 см³
Объём конуса через угол β и радиус
Чему равен объём конуса V, если известны угол β и радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³/tg β
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол β = 20° и радиус основания r = 3 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 3³/tg 20 ≈ 1,0467 ⋅ 27 / 0.36397 ≈ 77.64 см³
Объём конуса через угол γ и радиус
Чему равен объём конуса V, если известны угол γ и радиус основания r?
Формула
V = ⅓ ⋅ π ⋅ r³ ⋅ tg γ
Пример
Для примера посчитаем объём конуса, имеющего угол γ = 45° и радиус основания r = 2 см:
V = ⅓ ⋅ 3.14 ⋅ 2³ ⋅ tg 45 ≈ 1,0467 ⋅ 8 ⋅ 1 ≈ 8.37 см³
См. также
Конус – это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
Онлайн-калькулятор объема конуса
Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.
Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.
Рассмотрим некоторые важные понятия.
Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной.
Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.
Конус бывает нескольких типов:
Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.
Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.
Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.
Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.
Формула объема прямого конуса
Объем прямого конуса можно рассчитать по следующей формуле:
V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h
где SоснS_{text{осн}} – площадь основания конуса;
hh – высота конуса.
Рассмотрим несколько примеров.
Найдите объем конуса, если его образующая ll равна 5см5text {см}, а радиус основания RR, которым является круг, равен 3 см3text{ см}.
Решение
l=5l=5
R=3R=3
Сперва найдем высоту конуса hh. Включим его в прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая. По теореме Пифагора:
l2=h2+R2l^2=h^2+R^2
Отсюда, hh:
h=l2−R2h=sqrt{l^2-R^2}
h=52−32h=sqrt{5^2-3^2}
h=25−9h=sqrt{25-9}
h=16h=sqrt{16}
h=4h=4
Затем находим площадь основания конуса. Это площадь круга радиуса RR:
Sосн=π⋅R2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot3^2approx28.26
Последние вычисления — нахождение объема конуса по формуле:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅28.26⋅4≈37.68 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 28.26cdot 4approx37.68text{ см}^3
Ответ: 37.68 см3.37.68text{ см}^3.
Известен диаметр круга DD лежащего в основании конуса, равен он 8 см8text{ см}. Высота конуса равна 9 см9text{ см}. Найдите его объем.
Решение
D=8D=8
h=9h=9
Найдем радиус RR круга через его диаметр:
R=12⋅D=82=4R=frac{1}{2}cdot D=frac{8}{2}=4
Площадь этого круга и есть основание нашего конуса:
Sосн=π⋅R2=π⋅42≈50.24S_{text{осн}}=picdot R^2=picdot4^2approx50.24
Сам объем равен:
V=13⋅Sосн⋅h≈13⋅50.24⋅9≈150.72 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot happroxfrac{1}{3}cdot 50.24cdot 9approx150.72text{ см}^3
Ответ: 150.72 см3.150.72text{ см}^3.
Вам нужно решить задачу по алгебре? Наши эксперты помогут вам!
Тест на тему “Объем конуса”
Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H
Поскольку объем конуса равен произведению высоты на треть площади основания конуса, то, зная объем и высоту, легко найти площадь круга в основании, а затем радиус и диаметр конуса.
S_(осн.)=3V/h
r=√(S_(осн.)/π)=√(3V/πh)
d=2r=2√(3V/πh)
Чтобы найти образующую конуса через объем и высоту, необходимо построить прямоугольный треугольник с образующей в виде гипотенузы и радиусом и высотой как катетами треугольника. Тогда образующая будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и радиуса по теореме Пифагора, а угол между основанием и образующей можно будет найти через тангенс отношения высоты к радиусу. (рис.40.1)
l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+3V/πh)
tanβ=h/r=h/√(3V/πh)=h√(πh/3V)
Угол раствора конуса можно найти, зная угол между образующей и основанием, и соединив их в равнобедренном треугольнике, где боковой стороной будет образующая, а основанием треугольника – диаметр конуса. (рис.40.2)
α=180°-2β
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число π, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания, которую можно найти через объем.
S_(б.п.)=πrl=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) )
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) )+3V/h
Радиусы вписанной и описанной около конуса сфер можно найти из отношений, связывающих не только высоту конуса, которая известна, но и образующую, а также радиус основания конуса. (рис.40.3,40.4)
r_1=hr/(l+r)=(h√(3V/πh))/(√(h^2+3V/πh)+√(3V/πh))=(h√3V)/(√(πh^3+3V)+√3V)
R=(h^2+3V/πh)/2h
План урока
- Объём конуса;
- Объём усеченного конуса;
- Примеры.
Цели урока
- Знать формулу объёма конуса;
- Знать формулу объёма усеченного конуса;
- Уметь применять формулы объёмов конуса и усеченного конуса при решении задач.
Разминка
- Чему равен объём пирамиды, площадь основания которой равна 24, а высота 16?
- Что такое конус?
Объём конуса
Вспомним, что конус – это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг неподвижной оси. Основанием конуса является круг радиуса R.
Формула объёма конуса имеет уже знакомый для вас вид.
Теорема
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.
Vконуса=13Sосн·h.
Формула для вычисления конуса имеет вид аналогичный формуле нахождения объёма пирамиды. Соответственно и доказательства этих теорем очень похожи.
Рис. 1. Конус
Рассмотрим конус (рис. 1) с радиусом основания R, высотой h и вершиной D.
Построим сечение, которое будет перпендикулярно высоте конуса. Тогда это сечение будет всегда параллельно плоскости основания. Оно представляет собой круг с радиусом r, причем r<R. Обозначим через x – расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, а через S(x) – площадь этого сечения. Понятно, что круг с радиусом r и круг радиуса R подобны, а это значит, что
S(x)S=rR2.
Из подобия прямоугольных треугольников DO1A1 и DOA получим
rR=DO1DO=xh.
Вычислим объём конуса с помощью интеграла:
V=∫0hS(x)dx=∫0hS·rR2dx=∫0hS·xh2dx=Sh2∫0hx2dx=
=Sh2·x330h=13S·h.
Пример 1
Диаметр основания конуса равен 10, а длина образующей – 13. Найдите объём конуса.
Решение
Найдем высоту конуса. Радиус в два раза меньше диаметра, т.е. R=102=5. Образующая l, радиус R и высота конуса h связаны между собой теоремой Пифагора, т.е.
h=l2-R2=132-52=12.
Тогда объём конуса равен
V=13Sh=13πR2·h=13π·52·12=100π.
Ответ: 100π.
Упражнение 1
1. Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей – 65. Найдите объём конуса.
2. Высота конуса равна 9, а длина образующей равна 41. Найдите объём конуса.
Объём усеченного конуса
Объём усеченного конуса можно найти по формуле аналогичной формуле объёма усеченной пирамиды.
Следствие
Объём V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1 вычисляется по формуле
V=13hS+S1+S·S1.
Контрольные вопросы
1. Почему формула объёма конуса имеет вид аналогичный формуле объёма пирамиды?
2. Какие измерения необходимо знать, чтобы найти объём конуса?
Ответы
Упражнение 1
1. 5376π.
2. 4800π.
