Как найти объем лампочки

Вопрос 18: Как-то раз к Эдисону пришел наниматься на работу молодой человек.
Эдисон дал ему проверочную задачу — определить объем колбы лампочки.
Соискатель должности пустился в длительные математические вычисления, вывел
формулы и стал измерять штангенциркулем длину и диаметр разных частей
лампочки. Увидев это, Эдисон прогнал его, но перед этим показал свое
собственное решение этой задачи. Как же определить объем лампочки проще
всего?

Ответ: Налить в колбу лампочки воды и измерить ее объем мензуркой.

Источник(и): Техника — молодежи, 5/78, с.55

Дмитрий Жарков

 ! 

Условие задачи:

Давление азота в электрической лампочке объемом 0,15 л равно 68 кПа. Сколько воды войдет в лампочку, если у нее отломить кончик под поверхностью воды? Атмосферное давление нормальное.

Задача №4.3.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(V_0=0,15) л, (p_0=68) кПа, (m-?)

Решение задачи:

Скажу честно, что с точки зрения физики задача простая. Кончик лампочки погрузили в воды, далее этот кончик отламывают, а поскольку давление в лампочке меньше атмосферного, то в ее полость устремляется вода. Будем считать, что процесс настолько быстрый, что температура не успеет поменяться, то есть он изотермический ((T=const)). Запишем закон Бойля-Мариотта, предварительно изобразив процесс на рисунке (схема под номером 1).

[{p_0}{V_0} = {p_1}{V_1};;;; (1)]

Давление на поверхности жидкости равно атмосферному и оно уравновешивается конечным давлением газа в лампочке и столбом воды высотой (h) (см. рисунок, схема 1), поэтому:

[{p_{атм}} = {p_1} + rho gh;;;; (2)]

Конечный объем, занимаемый азотом, равен разности объема лампочки и объема, занимаемого водой в конце процесса.

[{V_1} = {V_0} – {V_в};;;; (3)]

Выразив (p_1) из формулы (2), подставим полученное и формулу (3) в формулу (1), тогда получим:

[{p_0}{V_0} = left( {{p_{атм}} – rho gh} right)left( {{V_0} – {V_в}} right);;;; (4)]

Необходимо знать, как сосчитать объем воды, проникшей в лампочку. Эта задача сводиться к вычислению объема шарового сегмента (смотри схему 2 на рисунке). Оказывается, она зависит от высоты шарового сегмента (h) и радиуса шара (R) и определяется по формуле:

[{V_в} = pi {h^2}left( {R – frac{h}{3}} right)]

Но нам не известен радиус шара, выразим его из известного объема шарообразной лампочки:

[{V_0} = frac{4}{3}pi {R^3}]

[R = sqrt[3]{{frac{{3{V_0}}}{{4pi }}}};;;; (5)]

В итоге формула (4) примет вид:

[{p_0}{V_0} = left( {{p_{атм}} – rho gh} right)left( {{V_0} – pi {h^2}left( {R – frac{h}{3}} right)} right)]

В этом уравнении одно неизвестное (h) (радиус шара (R) можно найти численно). Решить задачу в общем виде не представляется возможным, поэтому подставим в это уравнение исходные данные в системе СИ. Тогда решив это уравнение 4-той степени мы получим численные значения (h) также в системе СИ, т.е. в метрах.

Вычислим для начала численно радиус лампочки по формуле (5):

[R = sqrt[3]{{frac{{3 cdot 15 cdot {{10}^{ – 5}}}}{{4 cdot 3,14}}}} = 0,033; м]

[68 cdot {10^3} cdot 15 cdot {10^{ – 5}} = left( {{{10}^5} – {{10}^3} cdot 10 cdot h} right)left( {15 cdot {{10}^{ – 5}} – 3,14 cdot {h^2}left( {0,033 – frac{h}{3}} right)} right)]

[10,2 = left( {{{10}^5} – {{10}^4}h} right)left( {0,00015 – 0,1037{h^2} + 1,0472{h^3}} right)]

После раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых получается следующее уравнение четвертой степени:

[10472{h^4} – 105757{h^3} + 10370{h^2} + 1,5h – 4,8 = 0]

Уравнение отлично решается c помощью сайта Wolfram Alpha и имеет следующие корни:

[left[ begin{gathered}
h = – 0,0196904; м hfill \
h = 0,0247813; м hfill \
h = 0,0939361; м hfill \
h = 10; м hfill \
end{gathered} right.]

Все корни, кроме второго не подходят как решения, поскольку первый корень – отрицателен, а третий и четвертый – больше чем два радиуса (уровень воды не может быть больше диаметра лампочки).

Массу воды, вошедшую в лампочку, найдем через ее объем (по формуле шарового сегмента, смотри выше) и плотность:

[m = rho {V_{в}}]

[m = rho pi {h^2}left( {R – frac{h}{3}} right)]

В итоге:

[m = {10^3} cdot 3,14 cdot {0,0247813^2}left( {0,033 – frac{{0,0247813}}{3}} right) = 0,0477; кг]

Честно говоря, я не знаю более простого решения. С точки зрения математики задача очень сложная, но легко решается при наличии доступа к компьютеру.

Ответ: 0,048 кг.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.3.23 Газ занимает объем 8 л при температуре 300 К. Определите массу газа
4.3.25 Бутылка с газом закрыта пробкой, площадь сечения которой 2,5 см2
4.3.26 В цилиндре под поршнем находится газ. Масса поршня 0,6 кг

Спрятать решение

Источник: Кирик Л. А. Са­мо­сто­я­тель­ные и кон­троль­ные ра­бо­ты для 10 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2002 (№ 7 (дост.) стр. 17)

Да, именно так, “сложно о простом”! С точностью до наоборот по сравнению с обычным подходом в большинстве статей канала “просто о сложном”. Впрочем, ничего особо сложного все таки не будет. Да и ничего такого, о чем бы никто не знал, тоже не будет. Просто посмотрим немного внимательнее на банальную лампочку накаливания.

Сегодняшние дети при слове “лампочка”, возможно, представят себе уже светодиодную лампу. Или компактную люминесцентную. Но и лампа накаливания еще не канула в небытие. И в ней можно найти немало интересного. Да и описание физических процессов в лампе накаливания далеко не так просто, как может показаться.

Да, скучное описание обычной лампы накаливания, с которого и начнется статья, нам совершенно необходимо. Все самое интересное последует дальше. Причем будут и формулы, и эксперименты

Все знают, как устроена обычная лампа накаливания

Давайте все таки немного вспомним то, что и так всем известно. Очень кратко. Это нам сегодня еще потребуется. И уже после этого перейдем к электротехнике и физике.

Можно спорить, кто изобрел лампу накаливания. Но, как и большинство знаковых изобретений, современная лампа накаливания является плодом усилий многих ученых и инженеров. Поэтому оставим в стороне споры о том, кто именно был первым, и был ли он единственным, кто работал над изобретением. Мы будем сегодня заниматься только технической стороной.

Источником света в лампе накаливания является нагретая до высокой температуры нить накала. И большая част потребляемой лампой энергии расходуется именно на нагрев нити накала, превращается в тепло. Поэтому и КПД лампы накаливания невысок. За что такие лампы, совершенно справедливо, критикуют.

Именно нить накала была самой сложной частью лампы для изобретателей. Принцип был прост, любое нагретое до высокой температуры тело начинает испускать свет. Но нить накала должна была нагреваться до такой высокой температуры, что она просто сгорала. Эту проблему удалось решить с помощью колбы, из которой был откачан воздух.

А сама нить накала сначала изготавливалась из углерода. Не суть важно, был это именно уголь или “карбонизированное бамбуковое волокно”. Но такая нить не могла быть разогрета до очень высокой температуры, потому и свет таких ламп неярким и скорее оранжевым, чем белым.

Позже нить накала стали изготавливать из тугоплавких сплавов, обычно на основе вольфрама. Это позволило повысить температуру нити накала и сделать свет ламп таким, какой привычен нам сегодня.

Усовершенствования ламп накаливания

Сегодня в колбах ламп накаливания не вакуум, а инертный газ. Это позволяет повысить долговечность лампы, так как нить накала меньше испаряется.

Галогенная лампа заполнена смесью, обычно йода и брома. Их функция заключается переносе осевших на внутреннюю стенку колбы частиц нити накала обратно на нить. Правда тут есть небольшая проблема, частицы с колбы переносятся на более холодные участки нити накала. И температура колбы лампы должна быть выше, чем у обычной лампы накаливания.

В фотографии и кино использовались так называемые перекальные лампы. Это обычные лампы накаливания но их нить накала работала при более высокой температуре. Это снижало долговечность лампы, но делало ее свет более белым.

Температуры нити накала и цветовая температура

Вот теперь мы начинаем переходить к технической стороне вопроса, описательная часть закончена.

Как узнать температуру нити накала? Ведь слова “очень высокая” трудно назвать точным значением температуры. Конечно, температуру можно измерить, но в домашних условиях это очень не просто. Но нам на помощь придет цветовая температура.

Цветовая температура это температура абсолютно черного тела,при которой оно испускает излучение того же цветового тона, что и рассматриваемое излучение. Наша нить накала не является абсолютно черным телом, поэтому определение ее температуры по цветовой температуре будет неточным. Но для наших целей этой точности хватит.

На этой иллюстрации показано, что пламя свечи имеет цветовую температуру 2000 градусов Кельвина. Это не совсем так, большое значение имеет то, из чего свеча сделана. Температура пламени обычно лежит между 1300-1800 К.

Лампа накаливания мощностью 40 Вт (220 В) имеет цветовую температуру примерно 2400 К, а мощностью 100 Вт примерно 2800 К. Галогенные лампы имеют цветовую температуру порядка 3000 К. Перекальные фотолампы, которые я ранее упоминал, порядка 3400 К.

Перевод градусов Кельвина в градусы Цельсия даем нам температуру нити накала примерно от 2000 до 3000 градусов. Теперь действительно видно, что температура нити накала в рабочем состоянии намного превышает температуру воздуха в комнате. И это важный для нас факт.

Второй важный для нас факт не столь очевиден. При включении лампы температура ее нити накала не может возрасти мгновенно. По той простой причине, что количество выделяющего при прохождении тока тепла конечно. И на рост температуры влияет и теплоемкость нити. Поскольку материал нити можно считать почти одинаковым, основной вклад в теплоемкость нити вносит ее масса.

Лампа накаливания это термодинамическая система

Да, это именно так! Не верите? Ну тогда давайте разбираться. И начнем мы с того, что протекающий через нить накала электрический ток приводит к выделению тепла. Да, это тот самый закон Джоуля-Ленца

Прекрасно знакомая всем из школьного курса физики формула. Но давайте посмотрим на нее внимательнее. Ничего не кажется странным? Если время бесконечно, то и выделившееся количество теплоты будет бесконечным. То есть, нить накала будет разогреваться до бесконечной температуры. В полном соответствии с другой формулой

Но бесконечного роста температуры нити накала не происходит. По той причине, что тепло не только выделяется на нити накала, но и рассеивается ей. Через проводники-электроды, через наполняющий колбу лампы газ, через излучение тепла. Так ходит большая часть тепловой тепловой энергии. И лишь небольшая часть уходит в виде света.

Чем выше температура нити накала, тем быстрее тепло уходит в окружающую среду, так растет разница температур. И в какой то момент времени для нити накала устанавливается термодинамическое равновесие. Вот это термодинамическое равновесие и определяет температуру нити накала в рабочем состоянии.

Полные термодинамические уравнения составить не так просто, так как здесь участвуют несколько процессов. Теплопередача через несколько различных тел, лучеиспускание, световое излучение. Но для нас и нет необходимости в построении точной математической модели.

Но давайте составим уравнение для термодинамической системы без потерь тепла, что бы оценить зависимость изменения температуры от тока и времени

Поскольку рабочая температура нити накала значительно выше комнатной, мы можем перейти от ∆T к просто T. Видно, что температура зависит линейно от времени, и имеет квадратичную зависимость от силы тока.

Однако, эта формула не учитывает потери тепла, которые зависят от температуры нити. Поэтому в реальности температура нити не будет линейно зависеть от времени. Зависимость будет примерно такой

При отключении тока через лампу нить накала начинает остывать, так как теплота перестает выделяться. При этом температура нити снижается тоже нелинейно.

Но кроме рассмотренных, в этой термодинамической системе, действует еще несколько факторов. Давайте и их рассмотрим.

Тепловая инерция нити накала

Помните, мы говорили, что температура нити накала не может измениться мгновенно при включении тока через лампу? Теперь мы знаем, почему так происходит. Но давайте посмотрим, как на скорость изменения температуры влияет сама нить накала. При прочих равных условиях.

Мы условились, что будем считать нити накала сделанными из примерно одинакового материала. Это означает, что удельная теплоемкость будет тоже примерно одинакова. Если через разные нити, обладающие одинаковым сопротивлением, протекает одинаковый ток, то чем больше масса нити, тем больше времени потребуется для достижения одинаковой температуры.

Вот это и называется тепловой инерцией нити накала. Более толстая нить будет иметь и большую длину, что бы ее сопротивление оставалось прежним. То есть, ее масса будет больше. И тепловая инерция будет больше.

Нити более мощных ламп изготавливают из проволоки большего диаметра, эти нити более массивные. Поэтому мощные лампы дольше разгораются и дольше гаснут. С точки зрения глаза.

Температурный коэффициент сопротивления

Но ведь и сопротивление нити накала нельзя считать постоянным. С изменением температуры изменяется и сопротивление нити накала. Причем ТКС нити накала положительный. То есть, с ростом температуры растет и ее сопротивление. Причем, с достаточной для наших целей точностью, можно считать, что растет линейно.

Не сомневаюсь, что большинство читателей знают, что сопротивление холодной нити накала лампы гораздо меньше, чем горячей (в рабочем состоянии). Поэтому и включение лампы приводит к броску тока, который превышает номинальный ток лампы.

Лампа накаливания это сложная термодинамическо-электрическая физическая система

И я нисколько не утрирую и не усложняю. Это действительно так, как мы только что сами увидели. При подключении к источнику напряжения, как лампы обычно и подключаются, ток через лампу определяется сопротивлением ее нити накала. Это электрический процесс. Этот ток приводит к выделению на нити тепла и повышению ее температуры. Это термоэлектрический процесс. Повышение температуры нити приводит к росту ее сопротивления. Это термоэлектрический процесс. Рост сопротивления приводит к уменьшению тока через лампу, электрический процесс. Это приводит к уменьшению выделяющегося в нити тепла. И поверх всего протекают термодинамические процессы теплообмена.

Поэтому полная математическая модель лампы накаливания является системой дифференциальных уравнений. И эти уравнения относятся к разным разделам физики.

И простейшие действия с лампой, включение и выключение, при точном рассмотрении всех процессов, оказываются весьма не простыми. И выходят далеко за рамки школьной физики.

Но давайте будем не уравнения составлять, а эксперименты ставить. Это ведь куда интереснее!

Подопытные лампочки

Изначально предполагалось, что в экспериментах будут участвовать четыре лампочки

Однако коммутаторная лампочка преждевременно покинула наш бренный мир.

Измеряем реальное сопротивление трех оставшихся ламп при комнатной температуре:

• Лампа 36 В 120 мА. Сопротивление 39,9 Ом. Расчетный пусковой ток 0.9 А
• Лампа 13 В, мощность или ток неизвестны, от какой-то елочной гирлянды еще времен СССР, примерно конец 70-х годов прошлого века. Реальное сопротивление 20,5 Ом. Расчетный пусковой ток 0,63 А
• Лампа 24 В 3 Вт. Сопротивление 23,2 Ом. Расчетный пусковой ток 1,03 А, рабочий 0,125 А

Уже из первых измерений видно, что пусковой ток (при подаче напряжения на холодную лампу) примерно в 9 раз выше, чем номинальный рабочий ток. Поэтому распространенному утверждению, что пусковой ток лампы накаливания на порядок выше рабочего, соответствует действительности. Разумеется, некоторые отклонения здесь могут быть, например, для перекальных ламп. Но в целом, примерно так и есть.

Эксперименты сначала будут очень простыми. Но простыми мы не ограничимся.

Снимаем ВАХ характеристики нитей накала ламп

Однако, нам интересен не только пусковой ток, но и то, как изменяется ток через лампу в зависимости от напряжения на лампе. При этом не будем забывать, что неявным параметром здесь будет температура нити накала, которая отражает состояние термодинамического равновесия, как мы чуть ранее видели.

Схема измерения стандартная, поэтому нет смысла ее рисовать. Ток через лампу измеряем амперметром, а напряжение на лампе вольтметром. Питание лампы осуществляется от регулируемого источника напряжения. Шаг изменения напряжения 1 В. Горизонтальная ось на всех графиках соответствует напряжению на лампе, вертикальная току

Первая лампа, 36 В 120 мА

Это реальный график, без какого либо сглаживания и усреднения. Именно поэтому он выглядит не “как на картинке”. Показания амперметра снимались через 5 секунд после изменения напряжения. Что бы успевало установиться термодинамическое равновесие.

Хорошо видно, что ток действительно зависит от напряжения нелинейно. И причина здесь кроется в изменении сопротивления нити накала, которое изменяется линейно в зависимости от температуры, но вот термодинамические процессы эту линейность портят. В целом, все в соответствии с теорией

Вторая лампа, 13 В (гирлянда)

Этот график для нас немного более интересен. Прежде всего тем, что кривая имеет несколько S-образный вид. И, внешне, гораздо ближе к прямой. Дело в том, что в этой лампе очень длинная и тонкая нить накала. Да и сама лампа имеет гораздо меньшее рабочее напряжение. Поэтому нить накала начинает заметно нагреваться уже при малых напряжениях.

Это и дает такой пологий начальный участок ВАХ. Кроме того, лампа от елочной гирлянды, где важна и пожарная безопасность. Поэтому нить накала работает при заметно более низкой температуре. Добавьте меньший диапазон напряжений питания на графике. Вот и получится такой график. При этом общий характер кривой все равно такой же, как у первой лампы, это далеко не линейная зависимость.

Третья лампа, 24 В 3 Вт

В данном случае, нет ничего необычного. ВАХ чуть более линейна, чем у первой лампы, но менее линейна, чем у второй. Это индикаторная лампа, температура которой тоже ограничивается.

В целом можно сказать, что наши простейшие эксперименты подтвердили то, что написано в школьных учебниках физики. И было бы странно, если этого не произошло.

Но мы еще не закончили…

Влияние тепловой инерции нити накала. Временные параметры пускового тока

Статические параметры были скучны и очевидны, что подтвердил эксперимент. Но давайте теперь посмотрим на динамические параметры. Оценим влияние тепловой инерции нити накала.

Для этого снимем осциллограммы переходных процессор при включении лампы. Тот самый бросок тока. Красный луч соответствует напряжению. Желтый луч току. Желтый луч подключался к датчику тока, который оказался довольно шумным, но ехать в лабораторию за другим не хотелось. Да, не очень красиво, но все процессы все равно видно.

Первая лампа, 36 В 120 мА

На выброс на фронте токового сигнала не обращайте внимание. Это артефакт токового датчика (дополнительно к шуму).

Хорошо видно весь переходный процесс в лампе. Начальный бросок тока, который значительно превышает рабочий ток. Плавное увеличение сопротивления нити накала, которое соответствует плавному изменению ее температуры в процессе установления термодинамического равновесия. Видно, что достижение равновесного состояния всех процессов, теплового и электрического, действительно нелинейное.

Горизонтальная ось является осью времени. Одно большое деление соответствует 10 мс. Таким образом, для установления равновесного состояния требуется порядка 40 мс. Нить накала данной лампы не очень инерционная.

Вторая лампа, 13 В (гирлянда)

Это более низковольтная лампа и ее мощность тоже меньше. Поэтому и пусковой, и рабочий, токи меньше, но соотношения между ними примерно такое же. Однако, обратите внимание, насколько меньше тепловая инерция нити накала этой лампы. Если помните, у нее очень тонкая и длинная нить накала. Малая масса нити и дает уменьшение тепловой инерции, всего порядка 15 мс.

Третья лампа, 24 В 3 Вт

Все очень похоже на первую лампу. Да и параметры этих двух ламп довольно близки. Но первая лампа является осветительной, а вторая индикаторной. Хотя, как мы видим на практике, это влияет не сильно. Тепловая инерция нити накала чуть меньше, чем у первой лампы, 30 мс. И действительно, нить этой лампы немного тоньше, она линейная и закреплена на держателях, а не спиральная держащаяся только на проводниках-электродах. Впрочем, разница не велика.

О практическом смысле…

В общем то, я опять ничего нового не скажу. Лампы накаливания чаще всего перегорают именно в момент включения, что и так всем известно. Но тут, кроме пускового тока, присутствует и элемент случайности. Все зависит от того, в какой момент полупериода сетевого напряжения лампу включили. Если конечно она питается переменным током.

Если в момент перехода напряжения через ноль, то большого броска тока не будет. И у лампы есть все шансы выжить. А если лампу включили на максимуме напряжения (амплитудное значение переменного напряжения), то шансы, что это включение будет последним в ее жизни, значительно возрастают.

Поэтому, мощные лампы (прожекторные, например) нередко включают через ограничитель пускового тока. В простейшем случае это достаточно мощный резистор, который замыкается накоротко через несколько периодов сетевого напряжения.

Так же, существуют устройства плавного пуска для галогенных осветительных ламп. Они позволяют продлить жизнь лампам. Но и тут есть один нюанс, который полезно рассмотреть.

Устройство плавного пуска может использовать ШИМ для плавного увеличения действующего напряжения на лампе, плавного увеличения ее яркости. Из рассмотренного ранее можно сделать вывод, что ШИМ не может снизить амплитуду бросков тока при включении. Так в чем же тут дело?

А дело в том, что важна не только амплитуда токового импульса, но и энергия этого выброса. Перегорание нити накала это ее плавление в самой слабой точке. Для этого нужно затратить определенную энергию. В виде теплового эквивалента. И эта энергия зависит от времени действия импульса тока.

Подавая в момент включения лампы ток в виде коротких импульсов, энергия которых недостаточна для плавления нити накала, можно плавно повысить ее температуру. В паузах между импульсами тока нить не только будет несколько остывать, но и ее температура будет выравниваться по всему объему нити. Это позволяет избежать перегрева тонких, изношенны, участков нити. Но температура нити будет постепенно повышаться.

Плавно увеличивая коэффициент заполнения токовых импульсов можно прогреть нить не допуская ее перегорания. Но этот процесс более длительный, чем время тепловой инерции нити накала. И обычно составляет полсекунды и дольше. В зависимости от мощности лампы.

Заключение

Да, простая и привычная всем (почти всем) лампа накаливания совсем не так проста, на самом то деле. Много сил было потрачено на ее изобретение. Но не меньше сил требуется и на то, что бы описать все реально протекающие в лампе процессы на уровне физики и математики.

Многим ли нужны все эти тонкости? Нет, безусловно, немногим. Лампами накаливания прекрасно пользуются и не зная всего этого. Да и изобретали их не с помощью математических расчетов, а “методом проб и ошибок”.

Но становится ли от того лампа накаливания менее интересной? Безусловно, нет! Но все таки, помните, что лампочка совершенно не сводится к простой формуле закона Ома. Хотя именно такие задачи вам задают в курсе школьной физики.

До новых встреч!