Как найти объем любого тела - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения).

Объём

Размерность	L³
Единицы измерения
СИ	м³
СГС	см³

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела определяется его формой и линейными размерами. Основное свойство объёма — аддитивность , то есть объём любого тела равен сумме объёмов его (непересекающихся) частей^[1].

Единица объёма в СИ — кубический метр; от неё образуются производные единицы — кубический сантиметр, кубический дециметр (литр) и т. д. В разных странах для жидких и сыпучих веществ используются также различные внесистемные единицы объёма — галлон, баррель и др.

В формулах для обозначения объёма традиционно используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от лат. volume — «объём», «наполнение».

Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса», «объём памяти», «объём работ». В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.

Вычисление объёма[править | править код]

На практике приблизительный объём тела, в том числе сложной формы, можно вычислить по закону Архимеда, погрузив это тело в жидкость: объём вытесненной жидкости будет равен объёму измеряемого тела.

Математически[править | править код]

Для объёмов тел простой формы имеются специальные формулы. Например, объём куба с ребром вычисляется с помощью выражения $V=a^{3}$ , а объём прямоугольного параллелепипеда — умножением его длины на ширину и на высоту.

Объём тела сложной формы вычисляется разбиением этого тела на отдельные части простой формы и суммированием объёмов этих частей. В интегральном исчислении объёмы частей, из которых складывается объём всего тела, рассматриваются как бесконечно малые величины.

Сводка формул[править | править код]

Форма тела	Формула для вычисления объёма	Обозначения
Куб	${displaystyle V=a^{3};}$
Прямоугольный параллелепипед
Призма (B: площадь основания)
Пирамида (B: площадь основания)	${displaystyle V={frac {1}{3}}Bh}$
Параллелепипед	${displaystyle {begin{aligned}K=1&+2cos(alpha )cos(beta )cos(gamma )\&-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(beta )-cos ^{2}(gamma )end{aligned}}}$
Тетраэдр	${displaystyle V={{sqrt {2}} over 12}a^{3},}$
Шар	${displaystyle V={frac {4}{3}}pi r^{3}}$
Эллипсоид	${displaystyle V={frac {4}{3}}pi abc}$
Прямой круговой цилиндр	${displaystyle V=pi r^{2}h}$
Конус	${displaystyle V={frac {1}{3}}pi r^{2}h}$
Тело вращения	${displaystyle V=pi cdot int _{a}^{b}f(x)^{2}mathrm {d} x}$

Через плотность[править | править код]

Зная массу (m) и среднюю плотность (ρ) тела, его объём рассчитывают по формуле: $V={frac {m}{rho }}$ .

Единицы объёма жидкости[править | править код]

1 литр = 1 кубический дециметр = 1,76 пинты = 0,23 галлона

Русские^[2][править | править код]

Ведро = 12,3 литра
Бочка = 40 вёдер = 492 литра

Английские[править | править код]

1 пинта = 0,568 литра
1 кварта (жидкостная) = 2 пинтам = 1,136 литра
1 галлон = 8 пинтам = 4,55 литра
1 галлон (амер.) = 3,785 литра

Античные[править | править код]

Котила = 0,275 литра

Немецкие[править | править код]

Шоппен

Древнееврейские^[3][править | править код]

Эйфа = 24,883 литра
Гин = 1/6 эйфы = 4,147 литра
Омер = 1/10 эйфы = 2,4883 литра
Кав = 1/3 гина = 1,382 литра

Единицы объёма сыпучих веществ[править | править код]

Русские[править | править код]

Четверик = 26,24 литра (1 пуд зерна)
Гарнец = 3,28 литра
Четверть = 1/4 ведра = 3,075 литра
Штоф = 1/8 ведра = 1,54 литра
Кружка = 1/10 ведра = 1,23 литра
Бутылка (винная) = 1/16 ведра = 0,77 литра
Бутылка (пивная) = 1/20 ведра = 0,61 литра
Чарка = 1/10 кружки = 0,123 литра
Шкалик (косушка) = 1/2 чарки = 0,0615 литра

Английские[править | править код]

1 бушель = 8 галлонов = 36,36872 литра
1 баррель = 163,65 литра

Прочие единицы[править | править код]

1 унция (англ.) = 2,841⋅10⁻⁵ м³
1 унция (амер.) = 2,957⋅10⁻⁵ м³
1 кубический дюйм = 1,63871⋅10⁻⁵ м³
1 кубический фут = 2,83168⋅10⁻² м³
1 кубический ярд = 0,76455 м³
1 кубическая астрономическая единица =3,348⋅10²⁴ км³
1 кубический световой год = 8,466⋅10³⁸ км³
1 кубический парсек = 2,938⋅10⁴⁰ км³
1 кубический килопарсек = 1 000 000 000 пк³ = 2,938⋅10⁴⁹ км³

Примечания[править | править код]

↑ Математическая энциклопедия, 1982, с. 1149.
↑ Меры объёма в Древней Руси. Дата обращения: 17 ноября 2013. Архивировано 14 июля 2014 года.
↑ «ТЕГИЛАТ ГАШЕМ» — ISBN 965-310-008-4

Литература[править | править код]

Объём // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.

Объём // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки[править | править код]

Формулы объёма и программы для расчета объёма. Дата обращения: 26 ноября 2020. Архивировано 24 ноября 2020 года.

Источник

a – сторона куба

Формула объема куба, (V):

a, b, c – стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V):

R – радиус шара

π ≈ 3.14

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):

h – высота цилиндра

r – радиус основания

π ≈ 3.14

По формуле найти объема цилиндра, есди известны – его радиус основания и высота, (V):

R – радиус основания

H – высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):

r – радиус верхнего основания

R – радиус нижнего основания

h – высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема усеченного конуса, если известны – радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):

Правильный тетраэдр – пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а – ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

a – сторона основания

h – высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

a – сторона основания

h – высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны – высота и сторона основания (V):

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h – высота пирамиды

a – сторона основания пирамиды

n – количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):

h – высота пирамиды

S – площадь основания ABCDE

Формула для вычисления объема пирамиды, если даны – высота и площадь основания (V):

h – высота пирамиды

S_ниж – площадь нижнего основания, ABCDE

S_верх – площадь верхнего основания, abcde

Формула объема усеченной пирамиды, (V):

Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

R – радиус шара

h – высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула для расчета объема шарового сегмента, (V):

R – радиус шара

h – высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула объема шарового сектора, (V):

h – высота шарового слоя

R – радиус нижнего основания

r – радиус верхнего основания

π ≈ 3.14

Формула объема шарового слоя, (V):

Источник

Загрузить PDF

Объем фигуры представляет собой занимаемое этой фигурой трехмерное пространство.^[1] Представьте себе объем как количество жидкости (или воздуха, или песка), которым можно заполнить данную фигуру. Объем измеряется в кубических единицах (мм³, см³, м³).^[2] Эта статья расскажет вам, как вычислять объем шести трехмерных фигур. Вы можете заметить, что многие формулы для вычисления объема схожи, что упрощает их запоминание.

1
Куб – это трехмерная фигура, которая имеет шесть одинаковых квадратных граней, то есть все ее стороны (ребра) равны.^[3]
- Например, игральная кость – это куб.
2
Формула нахождения объема куба: V = s³, где V – объем, а s – длина ребра.
- Возведение в куб аналогично следующему умножению: s³ = s * s * s
3
Найдите длину стороны (ребра) куба. Она будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой). Так как ребра куба равны, измеряйте любое ребро.
- Если вы не уверены, что ваша фигура является кубом, измерьте каждую сторону, чтобы убедиться, что они равны. Если они не равны, перейдите к следующему разделу.
4

Подставьте длину ребра куба в формулу V = s³. Например, если ребро куба равно 5 см, напишите формулу следующим образом: V = 5³ = 5 * 5 * 5 = 125 см³ – это объем куба.
5

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребро куба измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах. Если, например, сторона куба равна 3 см, то V = 3³ = 27см³.

Реклама

1
Прямоугольный параллелепипед или прямоугольная призма – это трехмерная фигура с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником (вспомните коробку из под обуви). ^[4]
- Куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны.
2

Формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда или прямоугольной призмы: V = l*w*h, где V = объем, l = длина, w = ширина, h = высота.^[5]
3
Длина прямоугольного параллелепипеда – это самое длинное ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Длина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, то есть l = 4 см.
- Не беспокойтесь о том, какие ребра выбрать в качестве длины, ширины и высоты. В любом случае в итоге вы получите правильный ответ (только измерьте три ребра, перпендикулярные друг другу).
4
Ширина прямоугольного параллелепипеда – это самое короткое ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Ширина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: ширина прямоугольного параллелепипеда равна 3 см, то есть w = 3 см.
- Если вы измеряете ребра параллелепипеда линейкой или рулеткой, не забудьте измерить их в одинаковых единицах измерения. Не измеряйте одно ребро в миллиметрах, а другое в сантиметрах.
5
Высота прямоугольного параллелепипеда – это расстояние между его нижней и верхней гранями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
- Пример: высота прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, то есть h = 6 см.
6
Подставьте найденные значения в формулу V = l*w*h.
- В нашем примере l = 4, w = 3 и h = 6. Поэтому V = 4*3*6 = 72.
7
К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребра измерялись в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 72 см³.
- Если в прямоугольной призме l = 2 см, w = 4 см, h = 8 см, то V = 2*4*8 = 64 см³
Реклама

1
Цилиндр – это трехмерная фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.^[6]
- Например, банка или батарейка АА имеют форму цилиндра.
2
Формула нахождения объема цилиндра: V = πr²h, где V – объем, h – высота, r – радиус основания и πr² – площадь основания цилиндра.
- В некоторых задачах ответ требуется представить с пи, а в некоторых вместо пи подставить 3,14.
- Формула для нахождения объема цилиндра на самом деле очень похожа на формулу вычисления объема прямоугольной призмы, то есть вы перемножаете высоту и площадь основания. В прямоугольной призме площадь основания равна l*w, а в цилиндре она равна πr².
3

Найдите радиус основания. Он, скорее всего, дан в задаче. Если дан диаметр, разделите его на 2, чтобы найти радиус (d = 2r).
4
Если радиус не дан, измерьте его. Для этого измерьте основание цилиндра при помощи линейки или рулетки. Измеряйте основание в его самой широкой части (то есть измерьте диаметр основания), а затем разделите полученное значение на 2, чтобы найти радиус.
- Другой вариант – измерьте длину окружности цилиндра (то есть измерьте обхват цилиндра) при помощи рулетки, а затем найдите радиус по формуле r = с/2π, где с – обхват (длина окружности) цилиндра (2π = 6,28).
- Например, если обхват цилиндра равен 8 см, то радиус будет равен 1,27 см.
- Если вам нужно точное измерение, вы можете использовать оба метода, чтобы убедиться, что значения радиуса совпадают (нахождение радиуса через длину окружности является более точным методом).
5
Вычислите площадь круглого основания. Для этого подставьте радиус в формулу πr².
- Если радиус основания равен 4 см, то площадь основания равна π4².
- 4² = 4 * 4 = 16. 16*π = 16*3,14 = 50,24 см²
- Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус.
6

Найдите высоту цилиндра. Это расстояние между двумя круглыми основаниями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).
7
Умножьте площадь основания на высоту цилиндра, чтобы найти его объем. Или же просто подставьте значения соответствующих величин в формулу V = πr²h. В нашем примере, когда радиус основания равен 4 см, а высота равна 10 см:
- V = π4²10
- π4² = 50,24
- 50,24 * 10 = 502,4
- V = 502,4
8

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 502,4 см³.

Реклама

1
Пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а грани являются треугольниками, имеющими общую вершину. ^[7] Правильная пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), а вершина проецируется в центр основания.^[8]
- Обычно мы представляем пирамиду, имеющую квадратное основание, но в основании пирамиды может лежать многоугольник с 5, 6 или даже со 100 сторонами!
- Пирамида с круглым основанием называется конусом, который будет обсуждаться в следующем разделе.
2
Формула нахождения объема правильной пирамиды: V = 1/3bh, где b – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды (перпендикуляр, соединяющий основание и вершину пирамиды).
- Эта формула для вычисления объема пирамиды одинаково годна как для правильных пирамид (в которых вершина проецируется в центр основания), так и для наклонных (в которых вершина не проецируется в центр основания).
3
Вычислите площадь основания. Формула будет зависеть от фигуры, лежащей в основании пирамиды. В нашем примере в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см. Площадь квадрата равна s², где s – сторона квадрата. Таким образом, в нашем примере площадь основания пирамиды равна 6² = 36 см²
- Площадь треугольника равна 1/2bh, где h – высота треугольника, b – сторона, к которой проведена высота.
- Площадь любого правильного многоугольника можно вычислить по формуле: А = 1/2ра, где А – площадь, р – периметр фигуры, а – апофема (отрезок, соединяющий центр фигуры с серединой любой стороны фигуры). Для получения дополнительной информации о нахождении площади многоугольников прочитайте эту статью.^[9]
4

Найдите высоту пирамиды. Высота будет дана в задаче. В нашем примере высота пирамиды равна 10 см.
5
Умножьте площадь основания пирамиды на ее высоту, а затем разделите полученный результат на 3, чтобы найти объем пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды: V = 1/3bh. В нашем примере площадь основания равна 36, а высота равна 10, поэтому объем: 36*10*1/3 = 120.
- Если, например, дана пирамида с пятиугольным основанием площадью 26, а высота пирамиды равна 8, то объем пирамиды: 1/3*26*8 = 69,33.
6

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 120 см³.

Реклама

1
Конус – это трехмерная фигура, которая имеет круглое основание и одну вершину. Или конус – это особый случай пирамиды с круглым основанием.^[10]
- Если вершина конуса находится непосредственно над центром круглого основания, то конус называется прямым; в противном случае конус называется наклонным. Но формула для вычисления объема конуса одинаковая для обоих типов конуса.
2
Формула для вычисления объема конуса: V = 1/3πr²h, где r – радиус круглого основания, h – высота конуса.
- b = πr² – это площадь круглого основания конуса. Таким образом, формулу для вычисления объема конуса можно записать так: V = 1/3bh, что совпадает с формулой нахождения объема пирамиды!
3
Вычислите площадь круглого основания. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Для вычисления площади круглого основания подставьте радиус в формулу πr².
- Например, радиус круглого основания конуса равен 3 см. Тогда площадь этого основания равна π3².
- π3² = π(3*3) = 9π.
- = 28,27 см²
4

Найдите высоту конуса. Это перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию пирамиды. В нашем примере высота конуса равна 5 см.
5

Перемножьте высоту конуса и площадь основания. В нашем примере площадь основания равна 28,27 см², а высота равна 5 см, поэтому bh = 28,27 * 5 = 141,35.
6
Теперь умножьте полученный результат на 1/3 (или просто разделите его на 3), чтобы найти объем конуса. В описанном выше шаге вы нашли объем цилиндра, а объем конуса всегда в 3 раза меньше объема цилиндра.
- В нашем примере: 141,35 * 1/3 = 47,12 – это объем конуса.
- Или: 1/3π3²5 = 47,12
7

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 47,12 см³.

Реклама

1

Шар – это идеально круглая трехмерная фигура, каждая точка поверхности которой равноудалена от одной точки (центра шара). ^[11]
2

Формула для вычисления объема шара: V = 4/3πr³, где r – радиус шара.^[12]
3

Найдите радиус шара. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр шара, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Например, радиус шара равен 3 см.
4
Если радиус не дан, вычислите его. Для этого измерьте длину окружности шара (например, теннисного мяча) в его самой широкой части при помощи веревки, нити или другого подобного предмета. Затем измерьте длину веревки, чтобы найти длину окружности. Разделите полученное значение на 2π (или на 6,28), чтобы вычислить радиус шара.
- Например, если вы измерили мяч и нашли, что длина его окружности равна 18 см, разделите это число на 6,28 и получите, что радиус мяча равен 2,87 см.
- Проделайте 3 измерения окружности шара, а затем усредните полученные значения (для этого сложите их и сумму разделите на 3), чтобы убедиться, что вы получили значение, близкое к истинному.
- Например, в результате трех измерений длины окружности вы получили следующие результаты: 18 см, 17,75 см, 18,2 см. Сложите эти значения: 18 + 17,5 + 18,2 = 53,95, а затем разделите их на 3: 53,95/3 = 17,98. Используйте это среднее значение в расчетах объема шара.
5

Возведите радиус в куб (r³). То есть r³ = r*r*r. В нашем примере r = 3, поэтому r³ = 3 * 3 * 3 = 27.
6

Теперь умножьте полученный результат на 4/3. Вы можете использовать калькулятор или выполнить умножение вручную, а затем упростить дробь. В нашем примере: 27*4/3 = 108/3 = 36.
7
Умножьте полученный результат на π (3,14), чтобы найти объем шара.
- В нашем примере: 36*3,14 = 113,09.
8

К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 113,09 см³.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 74 425 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Алескей

Профи

(840)

14 лет назад

ну тут только один способ, который подходит по всем критериям. Закон Архимеда. Погрузить тело в жидкость, а потом измерять обьём вытесненной жидкости, он будет соответствовать обьёму тела; ) Надеюсь более подробно расписывать не нужно?

Lyuda Dm…

Гений

(89965)

14 лет назад

( ну вот. . пока буковки нажимала – уже все ответили.. . )
Ну тогда спрошу сама – а вопрос то для чего? чтоб узнать, скока тут умных? которым тупо делать нечего.. . :)))

Владимир Тихомиров

Искусственный Интеллект

(342930)

14 лет назад

Возьми сосуд.. простой конфигурации… бидон (цилиндр)…. нанеси риски.. или опусти в него линейку…. отметь уровень воды…. Потом.. погрузи измеряемый предмет…. Уровень воды поднимется…. РАЗНИЦА до и после=ОБЬЕМУ тела.. (разумеется с умножением на площадь круга..)

Стас

Просветленный

(21809)

14 лет назад

В соответствии с законом Архимеда, довольно точно можно измерить объём любого тела, погрузив его в воду и заерив объём вытесненной этим телом воды, получим объём тела которое нас интересует.

Юрий Баранов

Мастер

(1127)

14 лет назад

Это очень просто. Ставишь тело на специальную подставку. Приборы тут-же замечают, что тело уже стоит и быстренько так сканируют его со всех сторон какими-то лучами (главное что-б красиво было) . И через секунду на экране появляется пространственная модель тела с указанием массы, объема и плотности. Опционально добавляется диагностика здоровья и эпиляция 🙂
Старик Архимед отдыхает…

Источник: В кино видел.

Павел Лысенко

Мастер

(2256)

14 лет назад

ваще-та вариантов несколько !
например – про конус – есть формула 🙂 если переспросите меня – вспомню 🙂
но и сама задача чуть сложнее ! (об этом -далее)
1. вытесняемая вода – стандартно.
2. вытесняемое сыпучее вещество, например, когда объект нельзя мочить. при этом точность замера соответствует размеру зерна сыпучего вещества.
3. есть объемно-резонансный метод измерения. измеряется изменение резонансных свойств вытесненного воздуха.
4. сделать 3-мерное сканирование объекта. счас это возможно 🙂 на нашем предприятии есть такое оборудование. 🙂 сканируем с допустимой точностью строим математическую модель, берем 3-мерный прикладной программный продукт, и определяем объем. (можно скрипт написать, или имеющимся средством определить… )

более сложная задача в рамках поставленного вопроса :
КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ОБЪЕМ ПОРИСТОГО ТЕЛА ?
тут надо определиться чё нам нужно.
если объем тела включая объем пор, то это одно, если не включая поры – то другое.
Чтобы было понятнее, если погрузить поролоновую губку в тазик с водой, можно ли измерить таким образом объем губки ? 😉
да, лишь одно из пониманий объема.

Это же, кстати, касается кирпича, т. к. находясь долгое время в воде, он пропитывается ею. хотя вроде на первый взгляд, сплошное вещество.
Прав был старик Einstein – абсолютно всё относительно ! 🙂 УДАЧИ ВСЕМ !

Источник: разумный подход и здравый смысл, эрудиция и наблюдательность.

Terminator-5

Просветленный

(40822)

14 лет назад

Ой, да к чему все эти сложности и умности? Архимеда, давно почившего вспоминают, вместе с его штанами. Да живите проще, плюйте на пол! Да из самого простого, что мне на ум приходит это, то, что обьем это в первую очередь интеграл! Зная интегральное исчисление можно вычислить обьем любого тела, в том числе и конуса. Правильно? Вот и я говорю! Интеграл это же элементарно как грабли! Ручка и бумага вот все, что нужно. Ведь не всегда под рукой ванна с водой.

Vanomaz JirinovskiУченик (155)

7 лет назад

Живите проще, плюйте на пол? Ты сам то слышишь что говоришь, как же образование, саморазвитие, духовное обогащение, вообще ни о чём да?

Источник

Статьи

Среднее общее образование

Геометрия

Математика

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

01 апреля 2019

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

V сохраняется при движениях.
V удовлетворяет принципу Кавальери.
Если внутренности многогранников M и N не пересекаются, то V(M ∪ N) = V(M) + V(N).
Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф₂) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф₁), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

V S_осн h

Математика. Геометрия. Углублённый уровень. 11 класс. Задачник.

Задачник является Частью УМК для 10-11 классов, предназначенного для изучения предмета на углубленном уровне, и содержит более 1000 задач разной степени трудности, помогающих изучению и усвоению материала, изложенного в учебнике.
Пособие соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования.

Купить

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

V ₁/V₂ = 1 <=> V₁= V₂

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

V₁= V₂

V₂ = V₃

V_призмы S h = 3V

V = 1/3 Sh

Объем цилиндра

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

V_цил = πh × R²

Объем конуса

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

S_Ф1/S_Ф2 = π

V_конуса = 1/3 πR² h

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Чтобы найти объем шара, шар часто предлагается сравнить со сложным геометрическим телом, которое связано с конусом и цилиндром. Но не стоит строить цилиндр, из которого вырезан конус, или вроде того. Возьмем половину шара с высотой R и радиусом R, а также конус и цилиндр с аналогичными высотами и радиусами оснований. Обратимся к полезным материалам на сайте
«Математические этюды», где объем шара рассматривается с использованием весов Архимеда. Цилиндр располагается на одной стороне уравновешенных весов, конус и половина шара — на другой.

Заключаем геометрические фигуры в две параллельные плоскости и смотрим, что получается в сечении. У цилиндра — круг с площадью πR². Как известно, если внутренности геометрических тел не пересекаются, то объем их объединения равен сумме объемов. Пусть в конусе и в половине шара расстояние до плоскости сечения будет x. Радиус — тоже x. Тогда площадь сечения конуса — π ∙ x². Расстояние от середины верха половины шара к краю сечения — R. Площадь сечения половины шара: π(R² — x²).

Заметим, что: πR² + πR² — πR² = πR²

V_цил = πR² × R = πR³ = 1/3 R³ π + V_шара

V_шара = 4/3 πR³

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

#ADVERTISING_INSERT#

Источник

Вычисление объёма[править | править код]

Математически[править | править код]

Сводка формул[править | править код]

Через плотность[править | править код]

Единицы объёма жидкости[править | править код]

Русские[2][править | править код]

Английские[править | править код]

Античные[править | править код]

Немецкие[править | править код]

Древнееврейские[3][править | править код]

Единицы объёма сыпучих веществ[править | править код]

Русские[править | править код]

Английские[править | править код]

Прочие единицы[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Объемы геометрических тел

Объемы геометрических тел

Определение объема

Примеры

Объем призмы

Объем пирамиды

Объем цилиндра

Объем конуса

Объем шара

Вам также может понравиться

Sin гамма как найти

Некорректная ссылка необходимо ввести ссылку на ресурс вконтакте как исправить

Application has failed to start because no appropriate working world of tanks как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ

Русские^[2][править | править код]

Древнееврейские^[3][править | править код]