Тип задания: 8
Тема: Конус
Условие
На рисунке изображен конус, через середину высоты которого параллельно основанию проведено сечение, являющееся основанием малого конуса с той же вершиной. Найдите объем малого конуса, если объем большого равен 32.
Показать решение
Решение
Объем большого конуса вычисляется по формуле: V_1=frac13pi R^2H
По условию известно, что сечение проведено через середину высоты большого конуса. Это означает, что высота и радиус основания малого конуса в 2 раза меньше высоты и радиуса основания большого конуса. Найдем объем малого конуса:
V_2=frac13pi r^2h=frac13pileft (frac{R}{2} right )^2frac{H}{2}=frac13pi R^2Hcdotfrac{1}{8}=frac{V_1}{8}
Значит объем малого конуса в 8 раз меньше объема большого и равен: frac{32}{8}=4
Ответ
4
Лучшие онлайн-курсы для подготовки к ЕГЭ
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Усеченный конус можно получить из обычного конуса, если пересечь такой конус плоскостью, параллельной основанию. Тогда та фигура, которая находится между двумя плоскостями (этой плоскостью и основание обычного конуса) и будет называться усеченным конусом.
У него имеется два основания, которые для кругового конуса являются кругами, причем один из них больше другого. Также усеченный конус имеет высоту — отрезок, соединяющий два основания и перпендикулярный каждому из них.
Онлайн-калькулятор объема усеченного конуса
Усеченный конус может быть прямым, тогда у него центр одного основания проецируется в центр второго. Если конус наклонный, то такое проецирование не имеет места.
Рассмотрим прямой круговой конус. Объем данной фигуры может быть рассчитан несколькими способами.
Формула объема усеченного конуса через радиусы оснований и расстояние между ними
Если нам дан круговой усеченный конус, то найти его объем можно по формуле:
V=13⋅π⋅h⋅(r12+r1⋅r2+r22)V=frac{1}{3}cdotpicdot hcdot(r_1^2+r_1cdot r_2+r_2^2)
r1,r2r_1, r_2 — радиусы оснований конуса;
hh — расстояние между этими основаниями (высота усеченного конуса).
Рассмотрим пример.
Найдите объем усеченного конуса, если известно, что площадь малого основания равна 64π см264pitext{ см}^2, большого — 169π см2169pitext{ см}^2, а высота его равна 14 см14text{ см}.
Решение
S1=64πS_1=64pi
S2=169πS_2=169pi
h=14h=14
Найдем радиус малого основания:
S1=π⋅r12S_1=picdot r_1^2
64π=π⋅r1264pi=picdot r_1^2
64=r1264=r_1^2
r1=8r_1=8
Аналогично, для большого основания:
S2=π⋅r22S_2=picdot r_2^2
169π=π⋅r22169pi=picdot r_2^2
169=r22169=r_2^2
r2=13r_2=13
Вычислим объем конуса:
V=13⋅π⋅h⋅(r12+r1⋅r2+r22)=13⋅π⋅14⋅(82+8⋅13+132)≈4938 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot hcdot (r_1^2+r_1cdot r_2+r_2^2)=frac{1}{3}cdotpicdot14cdot(8^2+8cdot 13+13^2)approx4938text{ см}^3
Ответ
4938 см3.4938text{ см}^3.
Формула объема усеченного конуса через площади оснований и их расстояние до вершины
Пусть у нас есть усеченный конус. Мысленно добавим к нему недостающий кусок, тем самым делая из него “обычный конус” с вершиной. Тогда объем усеченного конуса можно найти как разность объемов двух конусов с соответствующими основаниями и их расстоянием (высотой) до вершины конуса.
V=13⋅S⋅H−13⋅s⋅h=13⋅(S⋅H−s⋅h)V=frac{1}{3}cdot Scdot H-frac{1}{3}cdot scdot h=frac{1}{3}cdot (Scdot H-scdot h)
SS — площадь основания большого конуса;
HH — высота этого (большого) конуса;
ss — площадь основания малого конуса;
hh — высота этого (малого) конуса;
Определите объем усеченного конуса, если высота полного конуса HH равна 10 см10text{ см}, радиус нижнего основания RR — 5 см5text{ см}, верхнего rr — 4 см4text{ см}, а высота усеченного конуса – 8 см8text{ см}.
Решение
R=5R=5
r=4r=4
H=10H=10
H−h=8H-h=8,
где hh — высота малого конуса.
Найдем площади обоих оснований конуса:
S=π⋅R2=π⋅52≈78.5S=picdot R^2=picdot 5^2approx78.5
s=π⋅r2=π⋅42≈50.24s=picdot r^2=picdot 4^2approx50.24
Найдем высоту малого конуса hh:
H−h=8H-h=8
h=H−8h=H-8
h=10−8h=10-8
h=2h=2
Объем равен по формуле:
V=13⋅(S⋅H−s⋅h)≈13⋅(78.5⋅10−50.24⋅2)≈228 см3V=frac{1}{3}cdot (Scdot H-scdot h)approxfrac{1}{3}cdot (78.5cdot 10-50.24cdot 2)approx228text{ см}^3
Ответ
228 см3.228text{ см}^3.
На Студворк вы можете заказать решение задач на заказ онлайн у профильных экспертов!
Тест по теме “Объем усеченного конуса”
Объем и площадь усеченного конуса
Рассчитайте онлайн объем и площадь поверхности усеченного конуса по его радиусам и высоте.
Радиус основания 1
см
Радиус основания 2
см
Высота
см
Размерность
Раcсчитать
Оглавление:
- 📝 Как это работает?
- 🤔 Частые вопросы и ответы
- 📋 Похожие материалы
- 📢 Поделиться и комментировать
Что считает калькулятор?
Калькулятор объема и площади усеченного конуса — это онлайн инструмент, который используется для быстрого расчета объема и площади усеченного конуса по его радиусам большего и меньшего оснований и высоте. Объем такого конуса представляет собой объем пространства, которое занимает эта фигура в трехмерном пространстве.
Калькулятор объема и площади усеченного конуса может быть полезным инструментом для учебных заданий или практических задач, связанных с расчетами объемов и площадей таких геометрических фигур. Он также может использоваться в различных профессиональных областях, где необходимы точные расчеты объемов и площадей, например, в архитектуре, инженерии, физике и т.д.
Где можно применить калькулятор объема и площади усеченного конуса?
Калькулятор объема и площади усеченного конуса может применяться в различных сферах, включая:
- Инженерия и строительство: усеченный конус может использоваться в качестве формы для создания конструкций и деталей, таких как колонны, башни, фонари, вазы и т.д. такие расчеты помогают определить необходимое количество материала для изготовления детали.
- Производство: усеченный конус может использоваться в качестве формы для изготовления различных изделий из металла, стекла, керамики, пластика и т.д. Расчёт его параметров помогает определить необходимое количество сырья для производства изделия.
- Математика: усеченный конус может быть использован для примеров и задач в математическом образовании. Расчёт объёма и площади позволяет ученикам узнать, как применять формулы для нахождения объёма и площади фигур.
- Машиностроение: усеченный конус может использоваться в качестве детали для различных механизмов и машин. Расчёт объёма и площади помогает определить размеры и форму детали.
- Архитектура и дизайн: усеченный конус может использоваться в качестве элемента декора и оформления интерьера и экстерьера зданий. Расчёт объёма и площади помогает определить оптимальный размер и форму элемента декора.
В чем преимущество усеченного конуса как геометрической фигуры?
Усеченный конус — это геометрическая фигура, у которой основаниями являются две круглые плоскости, соединенные боковой поверхностью, которая имеет форму конуса, но сечение вдоль его высоты меньше его оснований.
Преимущества этой геометрической фигуры могут включать:
- Усеченный конус имеет большую устойчивость, чем обычный конус, так как он имеет большую поверхность опоры на основаниях, что делает его лучшим выбором для некоторых приложений, например, при проектировании оболочек реакторов.
- Усеченный конус может быть более экономичным в использовании материала, чем обычный конус, так как он имеет меньшую высоту, но сохраняет ту же площадь оснований. Это может быть полезно в проектировании строительных элементов, таких как колонны или башни.
- Усеченный конус может иметь большую универсальность в применении, так как его форма может быть изменена путем изменения размеров его оснований и высоты. Это позволяет использовать усеченные конусы в различных областях, например, в качестве башенной опоры или формы для литья металла.
- Усеченный конус может иметь более эргономичную форму, что делает его удобным в использовании в некоторых приложениях, например, при проектировании мебели или автомобильных деталей.
- Усеченный конус может иметь более интересный внешний вид, что делает его привлекательным для использования в художественном дизайне или архитектуре.
В целом, усеченный конус является полезной геометрической фигурой, которая имеет множество преимуществ в различных областях применения.
Как вычислить объем усеченного конуса через радиусы его оснований и высоту?
Для расчета объема усеченного конуса необходимо знать радиусы большего и меньшего оснований, а также высоту усеченного конуса.
Формула для расчета объема усеченного конуса:
V = (1/3) * π * h * (R2 + Rr + r2)
где:
- π – число Пи (3.14)
- V – объем усеченного конуса
- h – высота усеченного конуса
- R – радиус большего основания
- r – радиус меньшего основания
Чтобы использовать эту формулу, нужно знать значения h, R и r. Затем необходимо подставить значения в формулу и выполнить вычисления.
Пример:
Допустим, у нас есть усеченный конус с высотой 10 см, радиусом большего основания 6 см и радиусом меньшего основания 4 см. Чтобы найти объем усеченного конуса, мы можем использовать формулу:
- V = (1/3) * π * h * (R2 + Rr + r2)
- V = (1/3) * 3,14 * 10 * (6^2 + 6*4 + 4^2)
- V = 795,5 см3
Ответ: объем усеченного конуса равен 795,5 кубическим сантиметрам.
Как вычислить площадь усеченного конуса через радиусы его оснований и образующую?
Площадь усеченного конуса можно рассчитать с использованием следующей формулы:
S = π(r + R)ℓ + π(R2 + r2)
- где S – площадь усеченного конуса,
- π – математическая константа, примерно равная 3.14,
- r1 и r2 – радиусы оснований большего и меньшего конусов соответственно,
- и ℓ – образующая, т.е. расстояние между вершиной и основанием, вычисленная по теореме Пифагора.
Для решения задачи необходимо знать значения радиусов оснований и образующей. Если известны только высоты обоих конусов, то необходимо использовать теорему Пифагора для вычисления образующей.
После подстановки всех известных значений в формулу можно вычислить площадь усеченного конуса.
❓ Вопросы и ответы
А вот несколько ответов на часто задаваемы вопросе о шаре и его объеме.
Как пользоваться онлайн калькулятором объема и площади усеченного конуса?
Для того, чтобы использовать калькулятор объема усеченного конуса, нужно ввести значения радиусов его оснований и высоту в соответствующие поля калькулятора, затем калькулятор автоматически рассчитает объем шара. Для расчёта площади нужно проделать соответствующие действия со значениями радиусов оснований и образующей, которая вычисляется по теореме Пифагора.
Что такое усеченный конус?
Усеченный конус – это геометрическое тело, полученное из обычного конуса путем удаления верхней части тела параллельным срезом, расположенным на определенном расстоянии от вершины конуса.
Для чего нужен расчет объема усеченного конуса?
Расчет объема и площади усеченного конуса может быть полезен во многих областях, включая инженерию, архитектуру, производство и технику. Например, в производственной отрасли расчет объема и площади усеченного конуса может помочь определить количество материалов, необходимых для создания детали.
Какой материал лучше всего подходит для изготовления усеченных конусов?
Для изготовления усеченного конуса можно использовать различные материалы в зависимости от требований к конструкции. Однако, наиболее распространенными материалами для изготовления усеченных конусов являются металлы. Это может быть сталь, алюминий, медь, латунь и другие металлы. Металлические конусы обычно используются в технических приложениях, где требуется высокая прочность и устойчивость к износу.
Как вычислить образующую усеченного конуса?
Образующая конуса (l) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, для этого можно воспользоваться формулой: l = √((R – r)² + h²). Таким образом, чтобы вычислить образующую усеченного конуса, необходимо знать значения радиуса большего основания, радиуса меньшего основания и высоты конуса, после чего следует применить формулу, описанную выше.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
- Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
- Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
- Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
- Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
- Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
- Калькулятор длины дуги. Рассчитайте онлайн длину дуги окружности по радиусу и углу или по формуле Гюйгенса.
- Калькулятор объема трубы. Рассчитайте онлайн объем трубы в куб. м. или литрах в зависимости от диаметра и длины трубопровода.
- Калькулятор объема пирамиды. Рассчитайте объем пирамиды по высоте, площади основания или стороне основания. Основание может быть любой формы.
- Калькулятор площади трапеции. Рассчитайте онлайн площадь трапеции, не только зная длины ее оснований и высоту, но и по другим известным параметрам, например, диагоналям.
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Показать комментарии
{V=dfrac {1}{3} pi r^2 h}
Конус – это трехмерная фигура, в основании которой лежит круг. Чтобы найти объем конуса достаточно знать два параметра – высоту (h) и радиус основания (r).
Содержание:
- калькулятор объема конуса
- формула объема конуса через высоту и радиус
- формула объема конуса через площадь основания и высоту
- формула объёма усеченного конуса
- примеры задач
Если мы сравним формулу объема конуса с формулой объема цилиндра, то мы увидим, что объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра с той же высотой и радиусом основания.
Наш калькулятор может рассчитать объем конуса через радиус основания и высоту, площадь основания и высоту, а также объем усеченного конуса через его высоту и радиусы нижнего и верхнего оснований.
Кроме того объем конуса можено найти, подставив значения в формулы, приведенные ниже.
Формула объёма конуса через радиус и высоту
{V=frac {1}{3} pi r^2 h}
r – радиус основания конуса,
h – высота конуса
Формула объёма конуса через площадь основания и высоту
{V=frac {1}{3} S h}
S – площадь основания конуса,
h – высота конуса
Формула объёма усеченного конуса
{V=frac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2)}
h – высота усеченного конуса,
r – радиус меньшего основания усеченного конуса,
R – радиус большего основания усеченного конуса.
Примеры задач на нахождение объема конуса
Задача 1
Найдем объем конуса, высота которого 30см, а радиус основания 20см.
Решение
Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} pi r^2 h = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 20^2 cdot 30 = dfrac {1}{3} cdot pi cdot 12000 = 400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3
Ответ: {400 pi : см^3 approx 12 566,37 : см^3}
Проверить результат можно с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдем объем конуса с высотой 3 см и диаметром основания 8 см².
Решение
Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} S h = dfrac {1}{3} cdot 8 cdot 3 = dfrac {1}{3} cdot 24 = 8 : см^3
Ответ: 8 см³
Воспользуемся калькулятором для проверки результата.
Задача 3
Найдите объем усеченного конуса радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а высота равна 3 см.
Решение
Подставим высоту и радиусы оснований в формулу и произведем расчет:
V=dfrac {1}{3} pi h(r^2 + r R + R^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1^2 + 1 cdot 2 + 2^2) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot (1 + 2 + 4) = dfrac {1}{3} pi cdot 3 cdot 7 = dfrac {1}{3} pi cdot 21 = 7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3
Ответ: {7 pi : см^3 approx 21,99115 : см^3}
Проверим полученный ответ.
Как рассчитать объем конуса
На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем конуса онлайн. Для расчета задайте высоту, радиус или площадь. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.
Конус – геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.
Через высоту и радиус
Формула объема конуса через радиус и высоту:
π – константа равная (3.14); h – высота конуса; r – радиус основания конуса.
Через высоту и площадь основания
Формула объема конуса через высоту и площадь основания:
h – высота конуса; S – площадь основания.
