Как найти объем многогранника формула если все

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

  • Призма $V=S_{осн}·h$
  • Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
  • Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ – длина, ширина и высота.
  • Куб $V=а^3$, где $а$ – сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  • Первый способ.
  1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
  2. Найти объем параллелепипеда.
  3. Найти объем лишней части фигуры.
  4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Пример:

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:

$V=10·9·4=360$

2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:

Его длина равна $9-4=5$

Ширина равна $4$

Высота равна $7$

$V=7·4·5=140$

3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

$V=360-140=220$

Ответ: $220$

  • Второй способ
  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

– Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

Пример:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

$S_1=6·6=36$

$S_2=2·4=8$

$S_осн=36+8=44$

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$

Ответ: $424$

– Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Объем многогранника формула

В стереометрии изучаются свойства самых разнообразных объемных тел, в том числе приводятся доказательства формул объемов многогранников от самого простого — куба — до сложных геометрических тел с n-м количеством граней.

Определение геометрических тел

Один из разделов геометрии — стереометрия — изучает самые разнообразные пространственные фигуры и их свойства. В общем случае геометрическое тело — это часть пространства, имеющая наружные границы в виде замкнутой поверхности. Сугубо геометрическое определение описывает любую пространственную форму как компактную совокупность множества точек, каждые две из которых можно соединить отрезком и он будет полностью находиться внутри заданного ограниченного контура.

Объем произвольного многогранника

Совокупность всех точек, которые находятся на границе тела, составляет его поверхность. Кроме того, можно сказать, что любое геометрическое тело образовано множеством внутренних точек. В

иды пространственных фигур:

  • многогранники;
  • тела вращения.

Конечное число плоских многоугольников, ограничивающих пространственное тело, называется многогранником. При этом должны соблюдаться два свойства:

Формула объема правильного многогранника

  1. Любая сторона каждого из многоугольников одновременно является стороной другого многоугольника и только их двоих. Соприкасающиеся стороны называются смежными.
  2. Все многоугольники связаны между собой — от каждого из них можно проложить путь до любого другого через смежные стороны.

В геометрии многоугольники, образующие сложный пространственный многогранник, называют гранями, отрезки, образованные местом соединения двух смежных граней — ребрами, а углы, образованные соединенными в одной точке гранями — вершинами.

Общий принцип названий таких геометрических тел заключается в указании количества их сторон.

Таким образом, если число граней обозначить n, то название образуется как n-гранник:

  • 4 грани — четырехгранник;
  • 5 граней — пятигранник;
  • 6 граней — шестигранник;
  • 8 граней — восьмигранник.

Если весь многогранник находится только с одной стороны каждой своей грани, то его называют выпуклым, в противном случае — вогнутым или невыпуклым. Звездчатые многогранники, состоящие из множества правильных пространственных фигур, относятся к невыпуклым.

Отрезок, проложенный между двумя вершинами, принадлежащими разным граням и соединяющий их — диагональ многогранника.

Понятие объема

У людей давно возникла необходимость подсчитывать или отмерять необходимое количество разных веществ.

 объем фигур

При измерении жидких и сыпучих материалов это было сделать легко, поместив их в сосуд известного объема. Для определения вместимости любых пространственных форм в стереометрии было введено понятие объема. Величина, описывающая размер части пространства, которую занимает геометрическое тело, называется его объемом и обозначается латинской буквой V. Для величины объема верны две аксиомы:

  1. Полный объем любого многогранника равен сумме объемов всех его простых частей. Это свойство используется при вычислении объемов составных пространственных фигур.
  2. У равных тел и объемы равные, что доказывается принципом наложения, и при параллельном переносе их объем не изменяется.

На величину объема никак не влияет ни пространственное местонахождение тела, ни то, каким образом оно делится на части. Как физическая величина объем выражается через массу и плотность вещества.

Чтобы понять, какая из емкостей более вместительная, можно заполнить одну жидкостью, а потом перелить в другую и увидеть, сколько жидкости останется или не хватит. Но это очень неудобно, и при решении геометрических задач пользуются понятием единицы измерения объема. Она равна объему куба, длина ребра которого — это единица длины.

Исторически известны разные меры емкостей — бушель, галлон, ведро, бочка и т. п. , объем нефти и сейчас измеряется в баррелях. В СИ за единицу объема принят 1 кубический метр, равный количеству вещества, вмещаемого кубом с длиной грани 1 м. В стереометрии обычно используются кубические сантиметры.

Виды многогранников

Различают несколько условных классов пространственных фигур.

Объем прямоугольного многогранника формула

К обычным или классическим относятся параллелепипеды всех разновидностей, пирамиды и призмы. Правильными или Платоновыми телами называют отдельную группу из пяти многогранников, состоящих только из правильных многоугольников. Полуправильными или Архимедовыми телами называют усеченные Платоновы тела.

Отдельно рассматриваются сложные многогранники, такие как звездчатые, криволинейные или составленные из классических геометрических тел. Следует отметить, что одно и то же геометрическое тело может относиться к разным классам или являться частным случаем другого. Например, параллелепипед — частный случай призмы, а куб — правильный многогранник и частный случай параллелепипеда. Объем произвольных многогранников определяется как сумма объемов его простых частей.

Призма и параллелепипед

Такие многогранники всегда образованы двумя конгруэнтными основаниями, принадлежащими параллельным плоскостям, и n-м числом параллелограммов, являющихся их боковыми гранями. Если все ребра перпендикулярны основаниям призмы, то она называется прямой. У наклонной призмы величина углов между ребрами и основаниями отличается от 90º. Для правильной призмы обязательно выполнение условия — ее основание должно быть правильным многоугольником.

 объема многогранника прямоугольного параллелепипеда

Высота — важная характеристика этого многогранника, она обозначается как h и в численном выражении представляет собой длину перпендикулярного отрезка между его основаниями. У прямой призмы высота равна длине ее ребра.

Формула для призмы: V = Sо·h, где Sо — площадь основания.

Параллелепипед является частным случаем призмы с основанием в виде четырехугольного многоугольника — параллелограмма. Тела такой формы тоже могут быть прямыми или наклонными и имеют две пары противоположных граней и четыре смежных. Если в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, а его грани перпендикулярны основаниям, то он называется прямоугольным.

Формула объема многогранника прямоугольного параллелепипеда: V = a·b·c, где a и b — длина и ширина основания, а c — высота ребра.

К другой разновидности призм относится призматоид, если его изобразить на рисунке, то легко заметить, что грани такого тела — треугольники, одна сторона которых совпадает со стороной верхнего или нижнего основания, или трапеции, основания которых совпадают со сторонами оснований призматоида. Формула Симпсона: V = h/6 x (Sо + 4S + S1), где Sо и S1 — обозначения площадей оснований, а S — площадь параллельного и равноудаленного от оснований сечения.

Разновидности пирамиды

Пирамида представляет собой многогранник, строение которого включает в себя одно основание и n-е число треугольных граней, сходящихся в одной точке — вершине. К пирамидам относится простейший многогранник — четырехгранная пирамида, сторонами которой являются треугольники. В зависимости от того, какой многоугольник является основанием пирамиды, она может быть треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д. Если при этом основания — правильные фигуры

 объем формулы

Формула расчета для пирамиды: V = 1/3 x So·h, где So — площадь основания, h — высота пирамиды, соединяющая ее вершину и центр основания.

Усеченная пирамида получается, если часть полной пирамиды отсекается параллельной основанию плоскостью. Получившееся сечение образует второе основание пирамиды.

Для усеченной пирамиды: V = 1/3 x h x (S1 + √(S1·S2) +S2), где S1 — площадь нижнего, а S2 — площадь верхнего оснований.

Правильные многогранники

Платоновы тела относятся к выпуклым многогранникам, обладают пространственной симметрией и состоят из одинаковых правильных многоугольников. Тетраэдр имеет форму пирамиды и состоит из четырех равносторонних треугольников. Его объем можно вычислить по стандартной формуле для пирамиды или так: V = √2/12 x a³, где a — длина ребра.

Следующий правильный многоугольник — это гексаэдр, который обычно называется кубом, у него шесть квадратных граней, следовательно, длины всех ребер равны между собой.

Формула объема куба: V = a³, где a — длина ребра.

Октаэдр имеет восемь треугольных граней. Формула объема этого правильного многогранника: V = (a³√2)/3.

Икосаэдр состоит из двадцати треугольных граней. Формула: V = (5a³(3 + √5))/12. Додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней, а его объем вычисляется так: V = (a³(15 + 7√5))/4.

Тела вращения

Если какую-либо плоскую геометрическую фигуру вращать вокруг оси, расположенной в той же плоскости, то получится объемное тело вращения.

 объем шара

Шар образуется при вращении круга вокруг своей оси. Если сделать оборот прямоугольника вокруг одной из его сторон, то получится цилиндр. Конус образуется вращением треугольника по линии одного из его катетов. Окружность, вращающаяся вокруг прямой, ее не пересекающей, образует тор. Объемы сложных криволинейных тел определяются по специальной формуле с помощью интеграла.

Формулы для определения объема тел вращения приведены в таблице.

Тело Формула объема
Цилиндр V = π R² h, R — радиус основания цилиндра, h — высота
Конус V = 1/3 x π R² h, R — радиус основания конуса, h — высота
Шар V = 4/3 x π R³, R — радиус, π — число пи, равное 3,14

Объемы деталей, представляющих собой составные многогранники можно вычислить с помощью онлайн-калькулятора.

Объёмы многогранников

Куб 

V = a3 , где а — ребро куба

Прямоугольный параллелепипед 

V = a * b * c, где a, b, c — рёбра фигуры: высота, ширина и длина

Параллелепипед

V = Sоснования * h, где  h — высота параллепипеда.

Призма

V = Sоснования * h, где  h — высота призмы

Пирамида

V = 1/3 Sоснования * h, где  h — высота пирамиды

Объёмы тел вращения

Цилиндр 

V = πR2h, где R — радиус основания, h — высота

Конус

V = 13 Sоснования * h

Шар

V = 43πR3 , где R — радиус шара

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Тема. «Объёмы многогранников».

Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО.

Дистанционная форма обучения.

1. Теоретический материал.

                    Вид многогранника

                   Формула объёма

                          1. Призма

               

V=Sосн H

     2. Прямоугольный  параллелепипед

   

V=abc

                                    3. Куб

 

V=a3

                                 4. Пирамида

         

V=Sосн H

                        5.Усеченная  пирамида

     

V=h

2. Решение задач.

Задача № 1

Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.

           

Дано:                                                                                                                                          

 АВСДА1В1С1Д1 – прямая четырехугольная призма

 АС = 60; ВД = 25; АА1 = 25

 Найти: V призмы 

Решение

V призмы = Sосн H;      Н=АА1

АВСД – ромб, следовательно     Sосн = ;

Sосн = ;  V призмы = 75025=18750

Ответ.  18750

Задача № 2

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15, боковое ребро равно 9. Найдите объем призмы.

Дано:

АВСА1В1С1 – прямая треугольная призма.

 АВС – прямоугольный; АС и ВС – катеты

АС = 15; ВС = 8;  АА1 = 9

Найти:   V призмы

V призмы = Sосн H;      Н=АА1

АВС – прямоугольный треугольник,

следовательно     Sосн = ;

Sосн = ;  V призмы = 609=540

Ответ.  540

Задача  3.

В основании наклонной треугольной призмы лежит треугольник со сторонами 14; 12 и 12. Боковое ребро равно 6 и наклонено к плоскость основания под углом 30. Найти объём призмы.

Дано:

АВСА1В1С1 – наклонная треугольная призма.

АС = 12; ВС = 12;  АВ = 14;  СС1 = 6; С1СО=30.

Найти:   V призмы

V призмы = Sосн H;      

ОСС1 – прямоугольный треугольник, так как

С1О  плоскости  АВС;    С1СО = 30;

С1О = С1С sin 30= 6= 3

Н=ОС1 = 3

Sосн =  ; р=;

р =;

Sосн =

V призмы =

Ответ.  21

Задача  4.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба. 

Дано: прямоугольный параллелепипед;

а=4; в=6; с=9. Vп.п = Vк

Найти : d

Решение:

Vп.п =авс; Vп.п = 469=216;

Vк = d3;   d3 = 216;  d =

Ответ. 6

Задача  5

От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Дано:

VSАВС = 34;   SМN – сечение SАВС

MN – средняя линия треугольника АВС

Найти: VSMNC

Решение:

Так как MN – средняя линия треугольника АВС, то

MN = АВ , поэтому АВС подобен MNC.

Коэффициент подобия к=2, следовательно

;     22;     4;  

Так как высоты пирамид  SАВС и  SMNC совпадают, то

VSMNC = VSАВС : 4= 34:4=8,5

Ответ. 8,5

Задача  6

 Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Дано: SABCD – пирамида; ABCD – прямоугольник;

АВ=3; ВС = 4; VSABCD = 16

Найти: H

Решение:

 V=Sосн H;  VSABCD =  SАВСDH;

SАВСD = АВВС; SАВСD = 34=12;

16=; 4Н=16;  Н=4

Ответ. 4        

Задача  7

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды.

Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида;

АВ=6см; SKO=60°

Найти: VSABCD

Решение:

VSABCD =Sосн H;

Sосн = AB2;  Sосн = (6)2 = 363=108(см2)

SKO – прямоугольный треугольник, так как

SO – высота пирамиды;

 SKO  – линейный угол двугранного угла при основании пирамиды SABCD, следовательно

  SKO = 60;   ОК=АВ;   ОК=6=3(см)

;    SO=OKtg60°=3=9(cм);

Н=SО = 9см;

VSABCD =108 9=324(см3)

Ответ. 324 см3

Задача  8

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые ребра равны 13 см. Найти объём пирамиды.

Дано: SABCD – пирамида; ABCD – прямоугольник;

АВ=6см; ВС = 8си; SA=SB=SC=SD=13cм.

Найти: VSABCD

Решение:

 VSABCD =Sосн H;  

SАВСD = АВВС; SАВСD = 68=48(см2)

АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора

АС2 = АВ2 + ВС2 ;  АС2 = 62 + 82 =100; АС=10; AO=5см

SO АВСD, поэтому SАO прямоугольный, по теореме Пифагора

SO2 = АS2 – AO2 ;  SO2 = 132 – 52 =169-25=144; SO=12см

Н=SO

VSABCD =48 12=192(cм3)

Ответ. 192см3

Задача  9

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны

2см, а объем равен  см3.

Дано: SABC-правильная треугольная пирамида; АВ=2см;

VSABC = см3

Найти: Н

Решение:

VSABC =Sосн H;

АВС – правильный, поэтому SABC = ABACsin600;

SABC = 22sin600=2(см2);

=Н;  Н=(см)

Ответ. 3

Задача  10

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3см и 5см. Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро равно 2см и   наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов​.

Дано: ABCDA1B1C1D1-правильная усеченная четырехугольная пирамида;

АВ=5см; A1B1 = 3 см;  DD1 = 2см; D1F(ABCD);

 D1DF=600

Найти: V

Решение:

V=h

S1 =;         S2 =;     h = D1F

=АВ2;      = 52 = 25(см2)

1В12;  = 32 = 9(см2);

D1DF – прямоугольный, поэтому  D1F= D1Dsin600;

D1F = 2sin600=2(см);

V=(cм3)

Ответ. 49 см3

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

4. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12см и углом 60º. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найти объем призмы.

5. В кубе AD1 через середину ребер АВ, DС и вершину D1 проведено сечение. Найдите объем куба, если площадь этого сечения равна .

Как найти объем многогранника

Как найти объем многогранника

Прежде всего определимся, что же такое многогранник. Это трехмерная геометрическая фигура, грани которой представлены в виде плоских многоугольников. Единой формулы поиска объема многогранника не существует, так как многогранники бывают разной формы. Для того чтобы найти объем сложного многогранника, его условно делят на несколько простых, таких как параллелепипед, призма, пирамида, а затем складывают объемы простых многогранников и получают в результате искомый объем фигуры.

1

Как найти объем многогранника – параллелепипеда

Для начала найдем площадь прямоугольного параллелепипеда. У такой геометрической фигуры все грани представлены в виде плоских прямоугольных фигур.

  • Самый простой прямоугольный параллелепипед – это куб. Все ребра куба равны между собой. Всего у такого параллелепипеда 6 граней, то есть 6 одинаковых квадратов. Объем такой фигуры рассчитывается таким образом:

где a – длина любого ребра куба.

  • Объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют различные измерения, рассчитывается по следующей формуле:

где a, b и с – длины ребер.

Параллелепипед1

2

Как найти объем многогранника – наклонного параллелепипеда

У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:

где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.

Параллелепипед

3

Как найти объем многогранника – призмы

Объемная геометрическая фигура, основание которой представлено многоугольником любой формы, а боковые грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с основанием – называется призмой. У призмы два основания, а боковых граней столько, сколько сторон у фигуры, являющейся основанием.

Для нахождения объема любой призмы, как прямой, так и наклонной, умножают площадь основания на высоту:

где S – площадь многоугольника в основании фигуры, а h – высота призмы.

Призма

4

Как найти объем многогранника – пирамиды

Если в основании фигуры расположен многоугольник, а боковые грани представлены в виде треугольников, смыкающихся в общей вершине, то такую фигуру называют пирамидой. Она отличается от вышеперечисленных фигур тем, что у нее имеется только одно основание, кроме этого, у нее есть вершина. Чтобы найти объем пирамиды, ее основание умножают на высоту, и делят результат на 3:


здесь S – площадь основания искомой геометрической фигуры, а h – высота.

Пирамида

Площадь простого многогранника найти достаточно просто, гораздо сложнее найти площадь фигуры, состоящей из множества многогранников. Особое внимание придется уделить правильному разделению сложного многогранника на простые.

Добавить комментарий