-
Главная
-
Образование
-
Школьное образование
-
Объем четырехугольной призмы: как вычислить, формулы и примеры
Похожие статьи
Обзор популярных обучающих программ для школьников.
Что происходит с водой при замерзании.
Лучшие цитаты Уильяма Шекспира из его книг.
Как находится площадь поверхности правильной призмы.
Что означает слово бесперспективный.
Готовимся к экзамену по русскому языку на тему Анна Ивановна Щетинина и Исинбаева Елена Гаджиевна.
Примеры уравнения Менделеева Клапейрона.
Развитие и направления инновационной деятельность в школе.
Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию.
— основания призмы.
— бoковые грани. Вcе бoковые грани наклонной призмы являются параллелограммами.
— боковые рёбра. Боковые рёбра параллельны между собой и равны.
— высота наклонной призмы (перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания). Часто перпендикуляр проводят с одной из вершин верхнего основания.
— угол между боковым ребром и плоскостью основания.
Площадью боковой поверхности наклонной призмы называется сумма площадей её боковых граней.
Площадью полной поверхности наклонной призмы называется сумма площадей всех её граней.
Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту
Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.
Объём наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Перпендикулярное сечение — пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.
Источники:
Рис. 1. Наклонная призма, © ЯКласс.
Умение определять объем пространственных фигур является важным для решения геометрических и практических задач. Одной из таких фигур является призма. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, и покажем, как вычислять объем наклонной призмы.
Что понимают под призмой в геометрии?
Речь идет о правильном полиэдре (многограннике), который образован двумя одинаковыми основаниями, находящимися в параллельных плоскостях, и несколькими параллелограммами, соединяющими отмеченные основания.
Основаниями призмы могут быть произвольные многоугольники, например, треугольник, четырехугольник, семиугольник и так далее. Причем число углов (сторон) многоугольника определяет название фигуры.
Любая призма, имеющая в основании n-угольник (n – число сторон), состоит из n+2 граней, 2 × n вершин и 3 × n ребер. Из приведенных чисел видно, что количества элементов призмы соответствуют теореме Эйлера:
3 × n = 2 × n + n + 2 – 2
Ниже рисунок показывает, как выглядят треугольные и четырехугольные призмы, сделанные из стекла.
Виды фигуры. Наклонная призма
Выше уже было сказано, что название призмы определяется числом сторон многоугольника в основании. Однако существуют и другие особенности в ее строении, определяющие свойства фигуры. Так, если все параллелограммы, образующие боковую поверхность призмы, представлены прямоугольниками или квадратами, то такая фигура называется прямой. Для прямой призмы расстояние между основаниями равно длине бокового ребра любого прямоугольника.
Если же некоторые или все боковые стороны являются параллелограммами, то речь идет о наклонной призме. Высота ее уже будет меньше, чем длина бокового ребра.
Еще один критерий, по которому проводят классификацию рассматриваемых фигур — это длины сторон и углы многоугольника в основании. Если они равны друг другу, то многоугольник будет правильным. Прямая фигура с правильным многоугольником в основаниях называется правильной. С ней удобно работать при определении площади поверхности и объема. Наклонная призма в этом плане представляет некоторые трудности.
На приведенном рисунке показаны две призмы, имеющие четырехугольное основание. Угол 90° показывает принципиальную разницу между прямой и наклонной призмой.
Формула для определения объема фигуры
Часть пространства, ограниченная гранями призмы, называется ее объемом. Для рассматриваемых фигур любого типа эту величину можно определить по следующей формуле:
V = h × So
Здесь символом h обозначена высота призмы, которая является мерой дистанции между двумя основаниями. Символ So – одного основания площадь.
Площадь основания найти несложно. Учитывая тот факт, является правильным многоугольник или нет, а также зная количество его сторон, следует применить соответствующую формулу и получить So. Например, для правильного n-угольника с длиной стороны a площадь будет равна:
Sn = n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Теперь перейдем к высоте h. Для прямой призмы определение высоты не представляет никаких трудностей, однако для призмы наклонной – это непростая задача. Решать ее можно различными геометрическими методами, отталкиваясь от конкретных начальных условий. Тем не менее существует универсальный способ определения высоты фигуры. Опишем его кратко.
Идея заключается в нахождении расстояния от точки в пространстве до плоскости. Предположим, что плоскость задана уравнением:
A × x+ B × y + C × z + D = 0
Тогда от точки с координатами (x1; y1; z1) плоскость будет находиться на расстоянии:
h = |A × x1 + B × y1 + C × z1 + D| / √ (A2 + B2 + C2)
Если координатные оси расположить так, что точка (0; 0; 0) будет лежать в плоскости нижнего основания призмы, тогда уравнение для плоскости основания можно записать так:
z = 0
Это означает, что формула для высоты запишется так:
h = z1
Достаточно найти координату z любой точки верхнего основания, чтобы определить высоту фигуры.
Пример решения задачи
На рисунке ниже дана четырехугольная призма. Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 10 см. Необходимо вычислить ее объем, если известно, что длина бокового ребра равна 15 см, а острый угол фронтального параллелограмма равен 70°.
Поскольку высота h фигуры также является высотой параллелограмма, то используем формулы для определения его площади, чтобы найти h. Обозначим стороны параллелограмма так:
a = 10 см;
b = 15 см
Тогда можно записать для него следующие формулы для определения площади Sp:
Sp = a × b × sin (α);
Sp = a × h
Откуда получаем:
h = b × sin (α)
Здесь α – острый угол параллелограмма. Поскольку основанием является квадрат, то формула объема наклонной призмы примет вид:
V = a2 × b × sin (α)
Подставляем из условия данные в формулу и получаем ответ: V ≈ 1410 см3.
Конспект урока: Объём наклонной призмы
Объем
План урока
- Объём наклонной призмы;
- Примеры.
Цели урока
- Знать формулу объёма наклонной призмы;
- Уметь применять формулу объёма наклонной призмы для решения задач.
Разминка
- Чему равен объём правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а боковое ребро – 4?
- Объём какой фигуры равен произведению площади основания на высоту?
Объём наклонной призмы
Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. Объём прямой призмы мы находить умеем. Также известно, что объём тела можно вычислить с помощью интеграла по формуле: V=∫abSxdx.
Рис. 1. Наклонная треугольная призма
Воспользуемся этой формулой для нахождения объёма наклонной треугольной призмы.
Рассмотрим наклонную треугольную призму ABCA2B2C2 (рис. 1). Пусть площадь основания этой призмы S, а высота h. Найдем её объём. Отметим точку O на одном из оснований и направим ось Ox перпендикулярно к основаниям. Построим сечение A1B1C1 перпендикулярно высоте призмы, при этом x – абсцисса точки пересечения этой плоскости с высотой призмы. Обозначим площадь сечения через Sx.
Тогда, используя формулу объёма через определенный интеграл, получим, что объём призмы равен:
V=∫0hSxdx.
Обратим внимание, что высота призмы перпендикулярна плоскостям основания, а также построенной плоскости. Следовательно, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны, значит, AC∥A1C1, AB∥A1B1 и BC∥B1C1. Тогда ACC1A1, ABB1A1 и BCC1B1 – параллелограммы, т.е. AC=A1C1, AB=A1B1 и BC=B1C1. Значит, треугольники ABC и A1B1C1 равны, соответственно равны и их площади S=Sx. Таким образом площадь любого сечения, которое перпендикулярно высоте наклонной призмы, равна площади основания.
Тогда формула объёма примет следующий вид:
V=∫0hSxdx=∫0hSdx=S∫0hdx=S·x0h=S·h.
Получили, что объём наклонной треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту.
Рис. 2. Наклонная призма
Теперь рассмотрим произвольную наклонную призму с площадью основания S и высотой h. Можем разбить эту призму на треугольные призмы с высотой h (на рис. 2. разбиение выпуклой пятиугольной призмы). Объём каждой из них равен произведению площади основания на высоту. Объём призмы равен сумме объёмов треугольных призм, а площадь основания равна сумме площадей оснований треугольных призм. Тогда
V=S1·h+S2·h+S3·h=S1+S2+S3·h=S·h.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема
Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
Для наклонной призмы существует и другой способ вычисления его объема.
Теорема
Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.
Пример 1
Найдите объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм ABCD. Сторона AB равна 3 см, сторона AD равна
5 см, ∠A=45°. Высота призмы равна 8 см.
Решение
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.
Тогда
V=S·h=AB·AD·sinA·h=3·5·22·8=602 см3.
Ответ: 602 см3.
Пример 2
Дана треугольная призма ABCA1B1C1 (рис. 3). Найти ее объем, если AB=10 см, BC=10 см и AC=12 см, а боковое ребро AA1=8 см и составляет с плоскостью основания угол α=30°.
Решение
Рис. 3. Призма
Опустим перпендикуляр из точки A1 на плоскость ABC. Тогда A1O – высота призмы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOA1. Катет A1O лежит напротив угла в 30°, значит, A1O=12AA1=4 см.
Площадь треугольника ABC найдем с помощью формулы Герона: S=pp-ap-bp-c где p=a+b+c2=10+10+122=16 см.
Тогда
V=S·h=pp-ap-bp-c·A1O=
=1616-1016-1016-12·4=192 см3.
Ответ: 192 см3.
Упражнение 1
1. Найти объём наклонной призмы, основанием которой является ромб АВСD. Сторона АВ=7 см, ∠A=30°. Высота призмы равна 10 см.
2. Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Найти ее объем, если в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 10, а боковое ребро AA1=14 и составляет с плоскостью основания угол α, равный 60°.
Контрольные вопросы
1. Как найти объём призмы?
2. Какой вид имеет призма, если высота совпадает с боковым ребром?
Ответы
Упражнение 1
1. 245 см3.
2. 525.
Умение определять объем пространственных фигур является важным для решения геометрических и практических задач. Одной из таких фигур является призма. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, и покажем, как вычислять объем наклонной призмы.
Что понимают под призмой в геометрии?
Речь идет о правильном полиэдре (многограннике), который образован двумя одинаковыми основаниями, находящимися в параллельных плоскостях, и несколькими параллелограммами, соединяющими отмеченные основания.
Основаниями призмы могут быть произвольные многоугольники, например, треугольник, четырехугольник, семиугольник и так далее. Причем число углов (сторон) многоугольника определяет название фигуры.
Любая призма, имеющая в основании n-угольник (n – число сторон), состоит из n+2 граней, 2 × n вершин и 3 × n ребер. Из приведенных чисел видно, что количества элементов призмы соответствуют теореме Эйлера:
3 × n = 2 × n + n + 2 – 2
Ниже рисунок показывает, как выглядят треугольные и четырехугольные призмы, сделанные из стекла.
Виды фигуры. Наклонная призма
Выше уже было сказано, что название призмы определяется числом сторон многоугольника в основании. Однако существуют и другие особенности в ее строении, определяющие свойства фигуры. Так, если все параллелограммы, образующие боковую поверхность призмы, представлены прямоугольниками или квадратами, то такая фигура называется прямой. Для прямой призмы расстояние между основаниями равно длине бокового ребра любого прямоугольника.
Стереометрия является разделом геометрии, который изучает разные свойства фигур в пространстве…
Если же некоторые или все боковые стороны являются параллелограммами, то речь идет о наклонной призме. Высота ее уже будет меньше, чем длина бокового ребра.
Еще один критерий, по которому проводят классификацию рассматриваемых фигур — это длины сторон и углы многоугольника в основании. Если они равны друг другу, то многоугольник будет правильным. Прямая фигура с правильным многоугольником в основаниях называется правильной. С ней удобно работать при определении площади поверхности и объема. Наклонная призма в этом плане представляет некоторые трудности.
На приведенном рисунке показаны две призмы, имеющие четырехугольное основание. Угол 90° показывает принципиальную разницу между прямой и наклонной призмой.
Формула для определения объема фигуры
Часть пространства, ограниченная гранями призмы, называется ее объемом. Для рассматриваемых фигур любого типа эту величину можно определить по следующей формуле:
V = h × So
Здесь символом h обозначена высота призмы, которая является мерой дистанции между двумя основаниями. Символ So – одного основания площадь.
Площадь основания найти несложно. Учитывая тот факт, является правильным многоугольник или нет, а также зная количество его сторон, следует применить соответствующую формулу и получить So. Например, для правильного n-угольника с длиной стороны a площадь будет равна:
Стереометрия является разделом геометрии, который изучает разные свойства фигур в пространстве…
Sn = n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Теперь перейдем к высоте h. Для прямой призмы определение высоты не представляет никаких трудностей, однако для призмы наклонной – это непростая задача. Решать ее можно различными геометрическими методами, отталкиваясь от конкретных начальных условий. Тем не менее существует универсальный способ определения высоты фигуры. Опишем его кратко.
Идея заключается в нахождении расстояния от точки в пространстве до плоскости. Предположим, что плоскость задана уравнением:
A × x+ B × y + C × z + D = 0
Тогда от точки с координатами (x1; y1; z1) плоскость будет находиться на расстоянии:
h = |A × x1 + B × y1 + C × z1 + D| / √ (A2 + B2 + C2)
Если координатные оси расположить так, что точка (0; 0; 0) будет лежать в плоскости нижнего основания призмы, тогда уравнение для плоскости основания можно записать так:
z = 0
Это означает, что формула для высоты запишется так:
h = z1
Достаточно найти координату z любой точки верхнего основания, чтобы определить высоту фигуры.
Пример решения задачи
На рисунке ниже дана четырехугольная призма. Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 10 см. Необходимо вычислить ее объем, если известно, что длина бокового ребра равна 15 см, а острый угол фронтального параллелограмма равен 70°.
Поскольку высота h фигуры также является высотой параллелограмма, то используем формулы для определения его площади, чтобы найти h. Обозначим стороны параллелограмма так:
a = 10 см;
b = 15 см
Тогда можно записать для него следующие формулы для определения площади Sp:
Sp = a × b × sin (α);
Sp = a × h
Откуда получаем:
h = b × sin (α)
Здесь α – острый угол параллелограмма. Поскольку основанием является квадрат, то формула объема наклонной призмы примет вид:
V = a2 × b × sin (α)
Подставляем из условия данные в формулу и получаем ответ: V ≈ 1410 см3.
