Как найти объем описанного около призмы шара - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

1. Многогранник и шар

Шар вписан в призму, если он касается всех граней призмы.

Шар описан около призмы, если все вершины призмы лежат на поверхности шара.

Не во всякую призму можно вписать шар и не около всякой призмы можно описать шар.

Шар вписан в пирамиду, если он касается всех граней пирамиды.

Шар описан около пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на поверхности шара.

2. Многогранник и цилиндр

Цилиндр вписан в прямую призму, если основания цилиндра вписаны в основания призмы.

Цилиндр описан около прямой призмы, если его основания описаны около оснований призмы.

Цилиндр вписан в пирамиду, если одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое его основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию.

Цилиндр описан около пирамиды, если основание пирамиды вписано в одно из оснований цилиндра, а вершина пирамиды принадлежит другому основанию цилиндра.

3. Многогранник и конус

Конус вписан в призму, если основание конуса вписано в одно из оснований призмы, а вершина конуса принадлежит другому основанию призмы.

Конус описан около призмы, если вершины одного из оснований призмы лежат на поверхности конуса, а все вершины другого основания призмы принадлежат основанию конуса.

Конус вписан в пирамиду, если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

Конус описан около пирамиды, если основание конуса описано около основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.

4. Комбинация тел вращения

Шар вписан в конус, если он касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности – по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центра основания и образующей конуса.

Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.

Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра по большой окружности шара, параллельной основаниям. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара можно найти по формуле:

$LaTeX formula: R_{BPi }=frac{h}{2}$ , где – высота цилиндра.

Шар описан около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара.

Не во всякий цилиндр можно вписать шар, но около всякого цилиндра можно описать шар.

При решении задач целесообразно строить вспомогательное сечение, проходящее через ось цилиндра или конуса и центр шара. При этом в сечении цилиндра будет получаться прямоугольник, в сечении конуса – равнобедренный треугольник, в сечении шара – круг с радиусом, равным радиусу шара.

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром другого основания цилиндра.

Конус описан около цилиндра, если одно из оснований цилиндра касается боковой поверхности конуса, а другое основание цилиндра принадлежит основанию конуса.

Пример 1. Шар радиуса касается всех граней прямоугольного параллелепипеда. Найдите объем шара, описанного около этого параллелепипеда.

Решение. Шар можем вписать только в прямоугольный параллелепипед, основание которого является квадрат (рис.9.78). Следовательно, имеем куб с ребром . Найдем диагональ этого куба: , .

Найдем радиус шара, описанного около куба: $LaTeX formula: R=frac{d}{2}=2sqrt{3}$ .

По формуле 9.26 найдем объем шара, описанного около куба: $LaTeX formula: V=frac{4}{3}pi 24sqrt{3}=32sqrt{3}pi$ .

Ответ: .

Пример 2. Все вершины треугольной призмы, основанием которой является треугольник со сторонами ; и , лежат на поверхности шара. Найдите объем шара, если высота призмы равна .

Решение. Так как шар описан около призмы, то все вершины призмы лежат на поверхности шара. Центр шара, с одной стороны, равноудален от вершин призмы, а с другой стороны, равноудален от центров окружностей, описанных около оснований призмы.

На рисунке 9.79: точки и – центры окружностей, описанных около оснований призмы; точка – центр шара; $LaTeX formula: R_{wapa}$ – радиус шара; .

Радиус окружности, описанной около основания призмы, найдем по формуле $LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ .

Площадь основания призмы найдем по формуле Герона . Получим: .

Тогда $LaTeX formula: AO=R=frac{3cdot 3cdot 4}{4cdot 2sqrt{5}}=frac{9}{2sqrt{5}}$ .

По теореме Пифагора: $LaTeX formula: R^2_{wapa}=AO^2+PO^2$ , $LaTeX formula: R^2_{wapa}=frac{81}{20}+16=frac{401}{20}$ .

Площадь поверхности шара найдем по формуле 9.25 : $LaTeX formula: S=frac{4pi cdot 401}{20}=80,2pi$ .

Ответ: .

Пример 3. Найдите отношение радиуса шара, описанного около правильного тетраэдра, к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр.

Решение. Пусть ребро тетраэдра равно . Высота правильного тетраэдра опускается в центр правильного треугольника (рис. 9.80), поэтому $LaTeX formula: OA=R=frac{a}{sqrt{3}}$ , $LaTeX formula: OD=r=frac{a}{2sqrt{3}}$ . Центры описанного около правильного тетраэдра и вписанного в него шаров совпадают и лежат на высоте тетраэдра (точка ).

Поскольку точки , , и лежат на поверхности шара, то $LaTeX formula: O_1A=O_1C=O_1B=O_1S=R_{Onuc.}$

Угол – угол наклона боковой грани к плоскости основания ( и – перпендикуляры к ребру ).

Вписанный шар касается всех граней тетраэдра, следовательно, его радиус является перпендикуляром к плоскостям граней, то есть $LaTeX formula: R_{Bnuc.}=O_1O=O_1N$ .

Так как ( $LaTeX formula: angle SNO_1=angle SOD=90^{circ}$ и – общий), то запишем $LaTeX formula: frac{OD}{NO_1}=frac{SD}{SO_1}$ или $LaTeX formula: frac{r}{R_{Bnuc.}}=frac{SD}{R_{Onuc.}}$ , откуда $LaTeX formula: R_{Onuc.}=frac{R_{Bnuc.}cdot SD}{r}$ .

Длину отрезка найдем из теоремы Пифагора: $LaTeX formula: CD=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{asqrt{3}}{2}$ .

Найдем отношение радиусов описного около тетраэдра и вписанного в тетраэдр шаров:

$LaTeX formula: frac{R_{Onuc.}}{R_{Bnuc.}}=frac{R_{Bnuc.}cdot SD}{rcdot R_{Bnuc.} }=frac{SD}{r}=frac{asqrt{3}}{2}:frac{a}{2sqrt{3}}=frac{asqrt{3}cdot 2sqrt{3}}{2a}=3$ .

Ответ: .

Пример 4. В прямой параллелепипед, одна из диагоналей оснований которого равна и равна стороне основания, вписан цилиндр, высота которого равна . Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Окружность можно вписать в квадрат или в ромб. Но диагональ квадрата не может быть равна его стороне. Диагональ ромба может быть равна его стороне, если угол ромба равен $LaTeX formula: 60^{circ}$ . Следовательно, основание параллелепипеда – ромб.

Согласно формуле найдем площадь ромба:

$LaTeX formula: S=12cdot frac{sqrt{3}}{2}=6sqrt{3}$ .

Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра: .

Согласно формуле 9.6 найдем объем параллелепипеда:

Ответ: .

Пример 5. Около правильной треугольной пирамиды описан цилиндр, объем которого равен . Найдите объем пирамиды.

Решение. Пусть – радиус основания цилиндра, – высота цилиндра и пирамиды.

Согласно формулам 9.15 и 9.16 запишем: $LaTeX formula: pi R^2h=12sqrt{3}pi$ , $LaTeX formula: R^2h=12sqrt{3}$ .

Так как основание пирамиды – правильный треугольник со стороной , а – радиус окружности, описанной около этого треугольника, то .

Найдем площадь основания пирамиды: $LaTeX formula: S_{o.}=frac{sqrt{3}a^2}{4}=frac{3sqrt{3}R^2}{4}$ .

Согласно формуле 9.11 запишем объем пирамиды: $LaTeX formula: V=frac{1}{3cdot }frac{3sqrt{3}R^2}{4}cdot h=frac{sqrt{3}}{4}cdot R^2h$ . Учитывая, что $LaTeX formula: R^2h=12sqrt{3}$ , получим: $LaTeX formula: V=frac{sqrt{3}}{4}cdot 12sqrt{3}=9$ .

Ответ: .

Пример 6. Конус вписан в треугольную призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами см и см, а высота равна см. Найдите площадь боковой поверхности конуса (рис. 9.81).

Решение. 1. Найдем гипотенузу треугольника: (см).

2. Найдем радиус окружности, вписанной в основание призмы:

$LaTeX formula: r=frac{a+b-c}{2}$ , $LaTeX formula: r=frac{5+12-13}{2}=2$ (см).

3. Высота конуса равна высоте призмы: см.

4. По теореме Пифагора найдем образующую конуса:

$LaTeX formula: l=sqrt{r^2+h^2}$ , .

5. По формуле 9.22 найдем боковую поверхность конуса: ( $LaTeX formula: _{CM}\^2$ ).

Ответ: $LaTeX formula: _{CM}\^2$ .

Пример 7. Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус, объем которого равен $LaTeX formula: frac{16pi }{3}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что радиус основания конуса в два раза меньше его высоты.

Решение. На рисунке 9.82: – высота конуса и высота пирамиды, – радиус основания конуса и радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника и .

С учетом формул 9.19 и 9.20 получим: $LaTeX formula: frac{16pi }{3}=frac{1}{3}pi R^2cdot 2R$ , откуда , . Тогда: сторона правильного шестиугольника равна ; .

Найдем радиус окружности, вписанной в шестиугольник: $LaTeX formula: r=frac{3sqrt{3}a^2}{2}$ , $LaTeX formula: r=frac{3sqrt{3}cdot 4}{2}=6sqrt{3}$ .

По теореме Пифагора найдем апофему пирамиды:

$LaTeX formula: CS=sqrt{h^2+r^2}=sqrt{1+108}=sqrt{109}$ .

По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$LaTeX formula: S=frac{1}{2}P_{o.}cdot h_{delta .}$ , $LaTeX formula: S=frac{1}{2}cdot 12cdot sqrt{109}=6sqrt{109}$ .

Ответ: .

Пример 8. Конус, высота которого равна , вписан в шар радиуса . Найдите объем конуса.

Решение. На рисунке 9.83 построено осевое сечение конуса. Так как , а , то .

По теореме Пифагора: . По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}pi r^2h=frac{pi}{3}(2sqrt{3})^2cdot 6=24pi$ .

Ответ: .

Пример 9. В конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объем конуса, если объем шара равен $LaTeX formula: frac{9pi }{16}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Решение. Объем шара находят по формуле 9.26 . Радиус шара найдем, решая уравнение $LaTeX formula: frac{4}{3}pi R^3_{wapa}=frac{9pi}{16}$ , откуда получим $LaTeX formula: R_{wapa}=frac{3}{4}$ см. Так как осевым сечением конуса является равносторонний треугольник (рис. 9.84), то центр шара (точка ) лежит на высоте конуса и радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в треугольник , т. е. $LaTeX formula: R_{wapa}=r$ .

В свою очередь радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной , находят по формуле $LaTeX formula: r=frac{a}{2sqrt{3}}$ . Следовательно, , $LaTeX formula: a=2sqrt{3}cdot frac{3}{4}=frac{3sqrt{3}}{2}$ (см).

Найдем радиус основания конуса и его высоту: $LaTeX formula: R_{kappa .}=frac{1}{2}cdot a=frac{3sqrt{3}}{2}$ (см); $LaTeX formula: h_{kappa .}=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{sqrt{3}a}{2}$ , $LaTeX formula: h_{kappa .}=frac{sqrt{3}}{2}cdot frac{3sqrt{3}}{2}=frac{9}{4}$ (см).

Согласно формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса: $LaTeX formula: V=frac{1}{3}pi left ( frac{3sqrt{3}}{2} right )^2cdot frac{9}{4}=frac{81pi}{64}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: frac{81pi}{64}$ $LaTeX formula: _{CM}\^3$ .

Пример 10. В цилиндр, площадь поверхности которого равна , вписана сфера. Найдите площадь поверхности сферы.

Решение. Осевое сечение цилиндра – квадрат. Тогда, если радиус основания цилиндра , то его образующая и радиус шара .

Согласно условию задачи: , , , , , .

Тогда и согласно формуле 9.25 получим: $LaTeX formula: S_{cphi .}=4pi sqrt{2}^2=8pi$ .

Ответ: .

1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар и около любой треугольной пирамиды можно описать шар.

2. В любой конус можно вписать шар и около любого конуса можно описать шар.

3. Решая задачи стереометрии, часто вовсе не обязательно изображать сами пространственные фигуры, а достаточно лишь выполнить некоторые фрагменты рисунка.

Объем прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.6)

Площадь поверхности прямой призмы находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.7)

Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты и периметром основания находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=P_{o.} cdot h$ . (9.8)

Объем наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.} cdot h$ . (9.9)

Площадь поверхности наклонной призмы можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ , (9.10)

Объем пирамиды высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}S_{o.} cdot h$ , (9.11)

Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.12)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=frac{1}{2}P_{o.} cdot h_{delta .}$ , (9.13)

где $LaTeX formula: h_{delta .}$ – апофема пирамиды.

Объем цилиндра высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.}cdot h$ . (9.15)

Площадь основания цилиндра ( – радиус основания) находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{o.}=pi r ^2$ . (9.16)

Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.17)

Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=2pi r l$ , (9.18)

где – радиус основания, – высота, – образующая цилиндра.

Объем конуса высоты находят по формуле:

$LaTeX formula: V=frac{1}{3}S_{o.}cdot h$ . (9.19)

Площадь основания конуса ( – радиус основания) находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{o.}=pi r^2$ . (9.20)

Площадь поверхности конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{delta .}$ . (9.21)

Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{delta .}=pi r l$ , (9.22)

где r – радиус основания, l – образующая конуса.

Площадь сферы радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{cphi .}=4pi R^2$ . (9.25)

Объем шара радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: V_{wapa}=frac{4}{3}pi R^3$ . (9.26)

Источник

Призма, вписанная в сферу

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Определение 1. Призмой, вписанной в сферу, называют такую призму, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если призма вписана в сферу, то сферу называют описанной около призмы.

Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Призма является прямой призмой;
Около оснований призмы можно описать окружности.

Доказательство. Докажем сначала, что если n – угольная призма A₁A₂ . A_nA’₁A’₂ . A’_n вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого заметим, что плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, на которой лежат вершины этого основания. Таким образом, многоугольники, являющиеся основаниями призмы, оказываются вписанными в окружности (рис. 1), то есть второе условие теоремы выполнено.

Каждая из боковых граней призмы также вписана в окружность (рис. 2).

Рассмотрим какое-нибудь боковое ребро призмы, например, A₂A’₂. Поскольку это ребро перпендикулярно к ребрам основания A₁A₂ и A₂A₃ , то в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что боковое ребро A₂A’₂ перпендикулярно к плоскости основания призмы, то есть призма является прямой призмой.

Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

Для этого обозначим символом O₁ центр окружности радиуса r , описанной около нижнего основания призмы, а символом O’₁ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы (рис. 3).

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны.

Согласно утверждению 1 из раздела «Призмы, вписанные в цилиндры» отрезок O₁O’₁, соединяющий центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок O₁O’₁ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Обозначим буквой O середину отрезка O₁O’₁ и докажем, что все вершины призмы будут находиться на одном и том же расстояниии от точки O (рис. 4).

(1)

от всех вершин призмы. Отсюда следует, что точка O является центром сферы радиуса R , описанной около призмы.

Следствие 1. Около любой прямой треугольной призмы можно вписать сферу.

Следствие 2. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба ) можно описать сферу.

Следствие 3. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

Для доказательства следствия 3 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Радиус сферы, описанной около правильной n – угольной призмы

то из формулы (1) получаем выражение для радиуса описанной сферы

(2)

Ответ.

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около около правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a равен

Отношение объема правильной n – угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

Задача 2. Около правильной n – угольной призмы с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов призмы и шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около призмы сферой, через высоту и ребро основания призмы:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 8. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной шестиугольной призмы с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Радиус описанной сферы и ребро “A” треугольной призмы

Свойства

Зная радиус сферы, описанной вокруг правильной треугольной призмы с равносторонним треугольником в основании, можно найти сторону этого основания и затем посчитать высоту основания, радиусы вписанной и описанной окружностей около него, а также площадь. a=√(6/5) R_1 h=a/√2=√(3/5) R_1 r=a/(2√3)=2√(2/5) R_1 R=a/√3=√(2/5) R_1 S=(√3 a^2)/4=(3√3 〖R_1〗^2)/10

Боковое ребро треугольной призмы в совокупности с радиусом описанной сферы позволяет вычислить диагональ боковой стороны, периметр призмы и площадь боковой, а затем и полной поверхности призмы. d=√(a^2+b^2 )=√(6/5 〖R_1〗^2+b^2 ) P=3(2a+b)=3(2√(6/5) R_1+b) S_(б.п.)=3ab=3b√(6/5) R_1 S_(п.п.)=3b√(6/5) R_1+(3√3 〖R_1〗^2)/5

Чтобы найти объем треугольной призмы через радиус описанной сферы и боковое ребро, нужно подставить в формулу объема необходимое выражение вместо площади основания и умножить его на боковое ребро. V=S_(осн.) b=(3√3 〖R_1〗^2)/10 b

Сферы, описанные около многогранников.
методическая разработка по геометрии по теме

Сферы, описанные около многогранников.u

Скачать:

Вложение	Размер
default.pptx	140.56 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Сферы, описанные около многогранников.

Определение. Многогранник называется вписанным в сферу (а сфера описанной около многогранника), если все вершины многогранника принадлежат этой сфере. Следствие . Центр описанной сферы есть точка, равноудаленная от всех вершин многогранника. O O O . . .

Теорема 1. Множество точек равноудаленных от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку с концами в данных точках, проходящая через его середину (плоскость серединных перпендикуляров к этому отрезку). AB ┴ α AO=OB α A B O

Теорема 2. Множество точек, равноудаленных от n заданных точек, лежащих на одной окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек, проходящая через центр описанной около них окружности. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .

Призма вписанная в сферу. OA=OB=…=OX=R сф . O 1 . O . O сф a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1 . .A .B .C .D E. X. a a 1 . O . O 1

Следствия. 1)Около прямой треугольной призмы можно описать сферу, т.к. около треугольника всегда можно описать окружность. 2) Около любой правильной призмы можно описать сферу, т.к. правильная призма является прямой и около правильного многогранника всегда можно описать окружность. O . O . .

Задача №1. Шар описан около призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковое ребро призмы равно 24. Найдите Радиус шара. Дано : ∆ ABC – прямоугольный ; AC=6, BC=8, AA 1 =24. Найти : R ш = ? Решение : 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 =AA 1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O ш OB: R ш = O ш B=√OO ш 2 + OB 2 = = √144+25=13 Ответ : 13. О 1 О . . . R ш О ш С 1 B 1 A 1 A С B

Задача №3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,3 и 5. Найдите радиус описанного шара. Дано :AB=a=2; BC=b=3; CC 1 =c=5. Найти : R ш = ? Решение : 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2 . 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 ( Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда ) 3) A 1 C=√38; R ш = O ш C = √38 /2 Ответ : √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . O ш

Задача №3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, а боковое ребро равно 2 a . Найдите радиус описанного шара. Дано : AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. Найти : R ш = ? Решение : 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R ш =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Ответ : 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O ш R ш . O O 1

Следствия. 1)Около треугольной пирамиду всегда можно описать сферу, так как около треугольника всегда можно описать окружность. 2)Около правильной пирамиды всегда можно описать сферу. 3)Если боковые ребра пирамиды равны (одинаково наклонены к основанию), то около такой пирамиды всегда можно описать сферу. *В последних двух случаях центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды. O . O .

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Около пирамиды PABC , основание которой – правильный треугольник ABC со стороной 4√3, описан шар. Боковое ребро PA перпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно 6. Найти радиус шара. Дано : AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. Найти : R ш = ? Решение : 1) OO СФ ┴(ABC); O – центр описанной около ∆ABC окружности ; K O СФ ┴ PA; KP=AK (KO СФ Один из серединных перпендикуляров к боковому ребру PA ); O СФ – центр описанного шара. 2) OO СФ ┴(ABC); OO СФ принадлежит ( AKO ) ; PA ┴(ABC); AK принадлежит ( AKO ) ; значит KA|| OO СФ ; . O СФ . O K. P. A. B .C

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). 3) KO c ф ┴AP; KO c ф принадлежит (AOK); AO ┴AP; AO принадлежит ( AOK ) ; значит KO c ф || AO; 4) Из (2) и (3) : AOO c ф K- прямоугольник, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c ф : AO c ф = R ш =5 Ответ : 5

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 ˚ . Высота пирамиды равна h . Найдите радиус описанной сферы. Дано : PABCD – правильная пирамида ; (AP^(ABC))=45 ˚; PO=h . Найти : R ш = ? Решение : 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP 1 – прямоугольный ; PP 1 – диаметр шара ; PP 1 = 2 R ш ; AP 2 = PP 1 *OP; ( h √ 2) 2 =2 R ш *h; R ш = 2h 2 /2h=h. Ответ : h . C . B A. .D .P .P 1 . O

Задачи (сфера, описанная около пирамиды) . Самостоятельно. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра равен R . Найдите площадь полной поверхности тетраэдра.

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно. Дано : DABC – правильный тетраэдр ; R – радиус сферы. Найти : S полн.тетр . =? Решение : 1) Так как тетраэдр правильный, то центр описанной сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды ; 2) S полн.тетр . = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) Точки D, A, D 1 принадлежат одной окружности – сечению сферы плоскостью DAD 1 , значит угол DAD 1 – вписанный угол, опирающийся на диаметр, DD 1 ; угол DAD 1 =90 ˚; 4) AO – высота ∆ ADD 1 , проведенная из вершины прямого угла. AD 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=a/ √ 3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 = 8R 2 /3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

Задачи (сфера, описанная около пирамиды). Самостоятельно. 6) S полн.тетр . = 8R 2 √ 3/3 Ответ : 8R 2 √ 3/3

[spoiler title=”источники:”]

http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/prism/radius_sphere_and_edge_a

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/04/06/sfery-opisannye-okolo-mnogogrannikov

[/spoiler]

Источник

Помогите с задачами по геометрии!! Пожааалуйста!!

Ученик

(187),
на голосовании

13 лет назад

Голосование за лучший ответ

Дана

Гуру

(3630)

13 лет назад

обозначим призмуАВСДА1В1С1Д1,а центр описанного шара-точка О. Точка О находится посередине отрезка, соединяющего центры оснований О1О2.О1 -точка пересечения АС и ВД, а О2 – точка пересечения А1С1 и В1Д1.Рассмотрим треуг-кОО1А: уголО1=90град. О О1=1/2АА1=корень из7.О1А=1/2АС=1/2*6корней из2=3корня из2.Отсюда по теор. Пифагора найдемОА=корень из (ОО1)^2+(О1А) ^2=корень из (7+18)=5Следов-но R=ОА=5.Vшара=4/3пR^3=4/3*п*5^3=500/3п

Михаил Зверев

Просветленный

(38577)

13 лет назад

1) Радиус описанного около призмы шара равен половине диагонали призмы. Диагональ призмы=sqrt(36+36+28)=10 дм. Радиус=5 дм. V=(4/3)*pi*125
2) Вершина пирамиды проецируется в центр описанной окр-сти. Радиус R=8/2=4см.
Высота пирамиды=8*sin60=4sqrt3. Высота осн-ния=(3/2)*R=6см. , сторона=4 sqrt3
Площадь осн-ния=12*sqrt3; => V=(1/3)*12sqrt3*4sqrt3=48

Источник

Шар описан около правильной четырехугольной призмы с высотой 10 см. Найти объем-шара,
если объем призмы равен 40 см

Светило науки – 7610 ответов – 113408 раз оказано помощи

Призма – правильная четырёхугольная => основание призмы – квадрат
h=10 см- высота призмы
V(призмы)= а*а*h=a*a*10=10a², a-сторона основания призмы
V(призмы)= 40 см³ (по условию)
Сдедовательно, 10a²=40
a²=4
a=2 (см)
d=√a²+a²+h²=√2*2²+10²=√8+100=√108 (см) – диагональ призмы
R=d/2=√108/2=6√3/2=3√3 (см)- радиус шара
V(шара)=4πR³/3=4π (3√3)³/3=4π*81√3/3=108π√3 (см³)-объём шара

Источник

Тема “Разные задачи на многогранники, цилиндр,
конус и шар” является одной из самых сложных в
курсе геометрии 11 класса. Перед тем, как решать
геометрические задачи, обычно изучают
соответствующие разделы теории, на которые
ссылаются при решении задач. В учебнике
С.Атанасяна и др. по данной теме (стр. 138) можно
найти только определения многогранника,
описанного около сферы, многогранника,
вписанного в сферу, сферы, вписанной в
многогранник, и сферы, описанной около
многогранника. В методических рекомендациях к
этому учебнику (см. книгу “Изучение геометрии в
10–11-х классах” С.М.Саакяна и В.Ф.Бутузова, стр.159)
сказано, какие комбинации тел рассматриваются
при решении задач № 629–646, и обращается внимание
на то, что “при решении той или иной задачи
прежде всего нужно добиться того, чтобы учащиеся
хорошо представляли взаимное расположение
указанных в условии тел”. Далее приводится
решение задач №638(а) и №640.

Учитывая все выше сказанное, и то, что наиболее
трудными для учащихся являются задачи на
комбинацию шара с другими телами, необходимо
систематизировать соответствующие
теоретические положения и сообщить их учащимся.

Определения.

1. Шар называется вписанным в многогранник, а
многогранник описанным около шара, если
поверхность шара касается всех граней
многогранника.

2. Шар называется описанным около
многогранника, а многогранник вписанным в шар,
если поверхность шара проходит через все вершины
многогранника.

3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный
конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) –
описанным около шара, если поверхность шара
касается оснований (основания) и всех образующих
цилиндра, усеченного конуса (конуса).

(Из этого определения следует, что в любое
осевое сечение этих тел может быть вписана
окружность большого круга шара).

4. Шар называется описанным около цилиндра,
усеченного конуса (конуса), если окружности
оснований (окружность основания и вершина)
принадлежат поверхности шара.

(Из этого определения следует, что около
любого осевого сечения этих тел может быть
описана окружность большего круга шара).

Общие замечания о положении центра
шара.

1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в
точке пересечения биссекторных плоскостей всех
двугранных углов многогранника. Он расположен
только внутри многогранника.

2. Центр шара, описанного около многогранника,
лежит в точке пересечения плоскостей,
перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и
проходящих через их середины. Он может быть
расположен внутри, на поверхности и вне
многогранника.

Комбинация шара с призмой.

1. Шар, вписанный в прямую призму.

Теорема 1. Шар можно вписать в прямую
призму в том и только в том случае, если в
основание призмы можно вписать окружность, а
высота призмы равна диаметру этой окружности.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую
призму, лежит в середине высоты призмы,
проходящей через центр окружности, вписанной в
основание.

Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать
в прямые: треугольную, правильную,
четырехугольную (у которой суммы
противоположных сторон основания равны между
собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r –
радиус круга, вписанного в основание.

2. Шар, описанный около призмы.

Теорема 2. Шар можно описать около
призмы в том и только в том случае, если призма
прямая и около ее основания можно описать
окружность.

Следствие 1. Центр шара, описанного около
прямой призмы, лежит на середине высоты призмы,
проведенной через центр круга, описанного около
основания.

Следствие 2. Шар, в частности, можно описать:
около прямой треугольной призмы, около
правильной призмы, около прямоугольного
параллелепипеда, около прямой четырехугольной
призмы, у которой сумма противоположных углов
основания равна 180 градусов.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с
призмой можно предложить задачи № 632, 633, 634, 637(а),
639(а,б).

Комбинация шара с пирамидой.

1. Шар, описанный около пирамиды.

Теорема 3. Около пирамиды можно описать
шар в том и только в том случае, если около ее
основания можно описать окружность.

Следствие 1. Центр шара, описанного около
пирамиды лежит в точке пересечения прямой,
перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей
через центр окружности, описанной около этого
основания, и плоскости, перпендикулярной любому
боковому ребру, проведенной через сере дину
этого ребра.

Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды
равны между собой (или равно наклонены к
плоскости основания), то около такой пирамиды
можно описать шар.Центр этого шара в этом случае
лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее
продолжения) с осью симметрии бокового ребра,
лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.

Следствие 3. Шар, в частности, можно описать:
около треугольной пирамиды, около правильной
пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у
которой сумма противоположных углов равна 180
градусов.

2. Шар, вписанный в пирамиду.

Теорема 4. Если боковые грани пирамиды
одинаково наклонены к основанию, то в такую
пирамиду можно вписать шар.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в
пирамиду, у которой боковые грани одинаково
наклонены к основанию, лежит в точке пересечения
высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла
любого двугранного угла при основании пирамиды,
стороной которого служит высота боковой грани,
проведенная из вершины пирамиды.

Следствие 2. В правильную пирамиду можно
вписать шар.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с
пирамидой можно предложить задачи № 635, 637(б), 638,
639(в),640, 641.

Комбинация шара с усеченной
пирамидой.

1. Шар, описанный около правильной усеченной
пирамиды.

Теорема 5. Около любой правильной
усеченной пирамиды можно описать шар. (Это
условие является достаточным, но не является
необходимым)

2. Шар, вписанный в правильную усеченную
пирамиду.

Теорема 6. В правильную усеченную
пирамиду можно вписать шар в том и только в том
случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем
оснований.

На комбинацию шара с усеченной пирамидой в
учебнике Л.С.Атанасяна есть всего лишь одна
задача (№ 636).

Комбинация шара с круглыми телами.

Теорема 7. Около цилиндра, усеченного
конуса (прямых круговых), конуса можно описать
шар.

Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой)
можно вписать шар в том и только в том случае,
если цилиндр равносторонний.

Теорема 9. В любой конус (прямой
круговой) можно вписать шар.

Теорема 10. В усеченный конус (прямой
круговой) можно вписать шар в том и только в том
случае, если его образующая равна сумме радиусов
оснований.

Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с
круглыми телами можно предложить задачи № 642, 643,
644, 645, 646.

Для более успешного изучения материала данной
темы необходимо включать в ход уроков устные
задачи:

1. Ребро куба равно а. Найти радиусы шаров:
вписанного в куб и описанного около него. (r = a/2, R =
a3).

2. Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б)
прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного
параллелепипеда, в основании которого лежит
прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д)
наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет;
г) нет; д) нет)

3. Справедливо ли утверждение, что около любой
треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)

4. Можно ли описать сферу около любой
четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой
четырёхугольной пирамиды)

5. Какими свойствами должна обладать пирамида,
чтобы около нее можно было описать сферу? (В её
основании должен лежать многоугольник, около
которого можно описать окружность)

6. В сферу вписана пирамида, боковое ребро
которой перпендикулярно основанию. Как найти
центр сферы? (Центр сферы – точка пересечения
двух геометрических мест точек в пространстве.
Первое – перпендикуляр, проведённый к плоскости
основания пирамиды, через центр окружности,
описанной около него. Второе – плоскость
перпендикулярная данному боковому ребру и
проведённая через его середину)

7. При каких условиях можно описать сферу около
призмы, в основании которой – трапеция? (Во-первых,
призма должна быть прямой, и, во-вторых, трапеция
должна быть равнобедренной, чтобы около неё
можно было описать окружность)

8. Каким условиям должна удовлетворять призма,
чтобы около нее можно было описать сферу?
(Призма должна быть прямой, и её основанием
должен являться многоугольник, около которого
можно описать окружность)

9. Около треугольной призмы описана сфера, центр
которой лежит вне призмы. Какой треугольник
является основанием призмы? (Тупоугольный
треугольник)

10. Можно ли описать сферу около наклонной
призмы? (Нет, нельзя)

11. При каком условии центр сферы, описанной
около прямой треугольной призмы, будет находится
на одной из боковых граней призмы? (В основании
лежит прямоугольный треугольник)

12. Основание пирамиды – равнобедренная
трапеция .Ортогональная проекция вершины
пирамиды на плоскость основания – точка,
расположенная вне трапеции. Можно ли около такой
трапеции описать сферу? (Да, можно. То что
ортогональная проекция вершины пирамиды
расположена вне её основания, не имеет значения.
Важно, что в основании пирамиды лежит
равнобедренная трапеция – многоугольник, около
которого можно описать окружность)

13. Около правильной пирамиды описана сфера. Как
расположен ее центр относительно элементов
пирамиды? (Центр сферы находится на
перпендикуляре, проведенном к плоскости
основания через его центр)

14. При каком условии центр сферы, описанной
около прямой треугольной призмы, лежит: а) внутри
призмы; б) вне призмы? (В основании призмы: а)
остроугольный треугольник; б) тупоугольный
треугольник)

15. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра
которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера.
Вычислите радиус сферы. (1,5 дм)

16. В какой усеченный конус можно вписать сферу? (В
усечённый конус, в осевое сечение которого можно
вписать окружность. Осевым сечением конуса
является равнобедренная трапеция, сумма её
оснований должна равняться сумме её боковых
сторон. Другими словами, у конуса сумма радиусов
оснований должна равняться образующей)

17. В усеченный конус вписана сфера. Под каким
углом образующая конуса видна из центра сферы? (90
градусов)

18. Каким свойством должна обладать прямая
призма, чтобы в нее можно было вписать сферу? (Во-первых,
в основании прямой призмы должен лежать
многоугольник, в который можно вписать
окружность, и, во-вторых, высота призмы должна
равняться диаметру вписанной в основание
окружности)

19. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя
вписать сферу? (Например, четырёхугольная
пирамида, в основании которой лежит
прямоугольник или параллелограмм)

20. В основании прямой призмы лежит ромб. Можно
ли в эту призму вписать сферу? (Нет, нельзя, так
как около ромба в общем случае нельзя описать
окружность)

21. При каком условии в прямую треугольную
призму можно вписать сферу? (Если высота призмы
в два раза больше радиуса окружности, вписанной в
основание)

22. При каком условии в правильную
четырехугольную усеченную пирамиду можно
вписать сферу? (Если сечением данной пирамиды
плоскостью, проходящей через середину стороны
основания перпендикулярно ей, является
равнобедренная трапеция, в которую можно вписать
окружность)

23. В треугольную усеченную пирамиду вписана
сфера. Какая точка пирамиды является центром
сферы? (Центр вписанной в данную пирамиду сферы
находится на пересечении трёх биссектральных
плоскостей углов, образованных боковыми гранями
пирамиды с основанием)

24. Можно ли описать сферу около цилиндра
(прямого кругового)? (Да, можно)

25. Можно ли описать сферу около конуса,
усеченного конуса (прямых круговых)? (Да, можно,
в обоих случаях)

26. Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу?
Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы
в него можно было вписать сферу? (Нет, не во
всякий: осевое сечение цилиндра должно быть
квадратом)

27. Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как
определить положение центра сферы, вписанной в
конус? (Да, во всякий. Центр вписанной сферы
находится на пересечении высоты конуса и
биссектрисы угла наклона образующей к плоскости
основания)

Автор считает, что из трех уроков, которые
отводятся по планированию на тему “Разные
задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар”,
два урока целесообразно отвести на решение задач
на комбинацию шара с другими телами. Теоремы,
приведенные выше, из-за недостаточного
количества времени на уроках доказывать не
рекомендуется. Можно предложить учащимся,
которые владеют достаточными для этого навыками,
доказать их, указав (по усморению учителя) ход или
план доказательства.

Автор надеется, что материал этой статьи
поможет молодым коллегам при подготовке к урокам
по данной теме.

Источник

Призма, вписанная в сферу

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n – угольной призмы

Отношение объема правильной n – угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

Радиус описанной сферы и ребро “A” треугольной призмы

Свойства

Сферы, описанные около многогранников. методическая разработка по геометрии по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Помогите с задачами по геометрии!! Пожааалуйста!!

Вам также может понравиться

Прочитать как составить смету

Как найти груз для манипулятора

Как найти массу когда известна сила тяжести

Добавить комментарий Отменить ответ

Сферы, описанные около многогранников.
методическая разработка по геометрии по теме